何成文 袁運斌 潭冰峰

1 中國科學院精密測量科學與技術創(chuàng)新研究院大地測量與地球動力學國家重點實驗室，武漢市徐東大街340號，430077 2 中國科學院大學，北京市玉泉路19號甲，100049

對TDOA定位模式下的LOS信號場景的算法研究很多[1-14]，包括兩步加權最小二乘(two-step weighted least squares，TSWLS)算法[1]、線性修正最小二乘(linear-correction least-squares，LCLS)算法[2]、約束加權最小二乘(constrained weighted least squares，CWLS)算法[3-4]、分離約束加權最小二乘(separated CWLS，SCWLS)算法[5]和迭代約束加權最小二乘(iterative CWLS，ICWLS)算法[6]等。但這些方法難以同時兼顧精度和抗噪性能。為此，本文提出一種簡單有效的非約束迭代優(yōu)化算法，并用實驗驗證其效果。

1 算法描述

結合室內定位的特點，考慮采用N個UWB基準站去定位UWB標簽的2維坐標。假設si=[xi,yi]T為已知UWB基站坐標，u0=[x,y]T為待求標簽位置，通常選擇第1個基站作為參考站，則常規(guī)TDOA-LOS定位方程為：

(1)

式中，di,1為標簽到第i個基站和到第1個基站之間的距離差，ηi為均值為0的高斯白噪聲。對式(1)移項后進行平方展開，忽略高斯白噪聲的影響，可將其轉化為線性形式Gu1=h，其中，

(2)

u1=[x,y,R]T

(3)

(4)

由于R與u0和s1之間存在如下關系：

R2=(u0-s1)T(u0-s1)

(5)

因此，傳統(tǒng)CWLS算法[3-5]的表達形式可寫為：

min(h-Gu1)TW(h-Gu1)

s.t.R2=(u0-s1)T(u0-s1)

(6)

式中，W為加權矩陣。

CWLS算法已有較為快速的解法，但在定位精度方面仍存在較大的提升空間。為進一步提高CWLS算法的定位精度和運算速度，并解決約束方程的非凸問題，Qu等[6]提出迭代約束加權最小二乘(ICWLS)算法。該算法通過新的等式變換，將具有非凸特性的CWLS算法表達式轉化成具有凸性的新表達式。盡管仿真實驗證實了該算法的有效性，但在大噪聲環(huán)境下卻存在定位發(fā)散的缺點。

為解決定位發(fā)散的問題，本文提出一種簡單且適用于大噪聲環(huán)境下的TDOA定位算法。首先假設基準站坐標位于笛卡爾坐標系原點(即便真實場景中基準站坐標不在原點，也可通過坐標變換來實現)，因此，式(1)可被重新寫為：

(7)

通常在室內環(huán)境中，觀測值不會很大且白噪聲較小，而白噪聲的分析常用于計算加權矩陣，由于本文算法不屬于加權類算法，因此可忽略式(7)中噪聲項的影響。利用勾股定理，可將式(7)轉化為：

(di,1+R)2=(x-xi)2+(y-yi)2

(8)

展開移項后可得到：

(9)

令

(10)

(11)

(12)

則式(9)可寫為如下線性形式：

2AR=C-2BX*

(13)

(14)

(15)

當式(15)多次迭代后達到式(16)的迭代停止準則時，即可停止迭代，從而輸出最終定位結果：

(16)

式中，ε為誤差閾值，數值一般比較小。

(17)

通常初值可以由最小二乘算法得到，而最小二乘解是無偏的，因此式(17)中每步迭代解的期望都等于最小二乘解，是無偏估計解。

2 仿真實驗

通常情況下，室內環(huán)境相對復雜，視距條件下的基站總數相對有限。為保證UWB定位算法的可行性，僅采用4個UWB基站定位標簽的位置，坐標分別為A1(0,0)、A2(10,0)、A3(10,10)和A4(0,10)，標簽接收來自各個基站的信號中含有均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲ηi。由于本文的主要目的是評價算法在大噪聲環(huán)境下的性能，故將噪聲方差分別設置為0.1、0.25、0.5、0.75和1以進行綜合評價，將每個噪聲方差下的蒙特卡洛仿真實驗次數和迭代閾值ε分別設置為2 000和0.000 01。

基于Qu等[6]的仿真實驗結論可知，ICWLS算法的定位精度優(yōu)于TSWLS算法、SDR算法、CWLS算法和迭代似然估計法，因此本文僅選擇該算法與本文算法進行對比。在定位初值方面，2種算法均采用最小二乘解作為迭代初值；在精度評價指標方面，本文采用均方根誤差(RMSE)來評估2種算法的性能，計算公式為：

2.1 實驗1

為充分對比2種算法在邊緣點和中心點處的定位精度，在LOS信號環(huán)境下選擇近基站點L1(1, 1)和近中心點L2(5, 6)進行測試，2種算法在測試點處的定位精度見圖1。由圖可知，當噪聲方差σ2≤0.25時，ICWLS算法的精度性能與本文算法大致相同。然而，當σ2>0.25時，ICWLS算法的性能誤差開始急劇上升，而本文算法則緩慢上升，且誤差低于ICWLS算法。因此，總體而言，本文算法在定位精度和抗噪聲性能方面表現更好。

圖1 2種算法在不同點處的定位精度

2.2 實驗2

為進一步測試2種算法的定位精度，在4個基站圍成的矩形區(qū)域中隨機生成標簽的位置，實驗結果見圖2。可以看出，本文算法顯著優(yōu)于ICWLS算法，在數值方面，本文算法的相應誤差大約只有ICWLS算法的一半。此外，實驗發(fā)現，本文算法迭代到收斂的平均迭代次數為15次。

圖2 2種算法在隨機點環(huán)境下的定位精度

2.3 實驗3

基于實驗1和實驗2的仿真結果，通過定位散點圖來探究ICWLS算法定位性能較差的原因。將標簽位置分別固定在L1(1,1)和L2(5,6)處，并將其噪聲方差分別設為低噪聲σ2=0.1和高噪聲σ2=0.8，結果見圖3。從圖中可以看出，在低噪聲條件下，2種算法的定位坐標基本分布在同一區(qū)域內，變化不大；在高噪聲條件下，本文算法的定位結果接近真值，但ICWLS算法的定位結果分布在2個不同的區(qū)域，產生嚴重的發(fā)散。結合2種實驗場景的定位結果認為，ICWLS算法存在一定的發(fā)散現象，這種發(fā)散現象在低噪聲環(huán)境下不明顯，在高噪聲環(huán)境下相對明顯，而本文提出的定位算法具有良好的收斂性和抗噪聲性能。

圖3 2種算法在不同點處的定位坐標

由此認為：1)本文提出的算法優(yōu)于ICWLS算法；2)無論噪聲方差是多少，本文算法的定位結果都與真實位置更接近，說明本文算法具有良好的抗噪聲性能；3)ICWLS算法存在定位發(fā)散的缺點，這可能是其定位性能不如本文算法的根本原因。

3 結 語

針對傳統(tǒng)TDOA算法因抗噪性能弱而導致定位發(fā)散的缺點，本文提出一種簡單的TDOA定位算法。該算法首先將TDOA定位方程轉化為LS形式來得到初始解，然后通過迭代思想得到收斂坐標。本文算法原理簡單、抗噪聲性能好、易于實現，可推廣到工業(yè)領域，且仿真結果也驗證了本文算法具有可行性和有效性，定位精度優(yōu)于ICWLS算法。