周智輝，凌同華，楊志剛，吳維祥，張亮，何文超

(1.長沙理工大學 土木工程學院，湖南 長沙410114；2.中鐵南方投資集團有限公司，廣東 深圳518000；3.湖南城市學院 土木工程學院，湖南 益陽413000)

隨著人民群眾對交通運輸需求的日益增大，我國高速公路、鐵路等建設項目迎來了高速發(fā)展期，高速公路、鐵路的建設里程和規(guī)模不斷增大，其中隧道工程的數量也日益增多[1]。在隧道施工中，由于現場地質地形條件、設計及施工工藝的影響，襯砌結構背后極可能出現空洞、襯砌厚度不足或回填不密實等質量缺陷[2?4]。空洞的存在將對隧道的運營產生安全隱患[5?6]。準確、及時地發(fā)現和處理空洞問題是保證隧道安全施工和確保隧道未來正常運營的關鍵。地質雷達探測法具有高效、簡易、準確度高等優(yōu)點，常被運用于隧道襯砌結構質量檢測與分析中。巴特爾[7]詳細闡述了隧道襯砌結構中常見的脫空、襯砌混凝土厚度不足等質量缺陷的成因及其典型的雷達圖像特征，并采用地質雷達技術對某鐵路隧道襯砌缺陷分布進行分析和研究；白運等[8]以某高速公路隧道段混凝土襯砌地質雷達檢測為例，研究了檢測過程中測線布置、測試儀器參數選擇等重要問題，通過實際檢測與數據分析，得到了襯砌背后空洞與不密實帶的大致位置；穆偉[9]對襯砌背后空洞缺陷的幾種地質雷達波形圖進行解譯與分析，歸納并總結了空洞缺陷的典型雷達波特征和規(guī)律，并對空洞產生的原因進行了闡述。采用地質雷達法能有效檢測出襯砌結構背后空洞缺陷問題，但目前的研究基本上都是停留在對質量缺陷問題的定性識別上，沒有涉及到目標體的精確量化識別問題[10?11]。缺陷目標體的量化識別涉及地質雷達信號奇異特征點的提取問題，小波分析是信號特征點提取的有效方法[12]。缺陷目標體量化識別的準確與否與小波分析所用的基函數密切相關。不同的小波基具有不同的時頻局部化特性，在對非平穩(wěn)信號進行奇異性分析時，存在最優(yōu)小波基的選取及其算法與實現問題。本文在小波分析基本原理及信號特征點識別理論基礎上，在對比不同小波基函數對稱性及對地質雷達信號重構精度等基本性質后，采用小波時-能密度法對空洞缺陷的埋深及垂直尺寸進行定量計算，并對適合于RIS型地質雷達信號奇異性分析的最優(yōu)小波基進行選取，以提高對質量缺陷的識別精確度，從而為隧道襯砌結構質量缺陷整治和安全性控制提供準確參考。

1 小波分析及信號特征點識別理論

1.1 小波基本理論

在Hilbert空間中，如果函數ψ(x)∈L2(R)滿足容許條件：

且 滿 足 規(guī) 范 化 條 件|ψ|22=1，其 中ψ?(ω)為ψ(x)的傅里葉變換，則稱ψ(x)為母小波。母小波經移位和伸縮可產生的一組函數

稱為小波基函數(母函數)，其中，a為伸縮因子，b為平移因子，有a,b∈R，且a≠0。

設f(x)∈L2(R)，ψ(x)為母小波，定義公式

為關于基小波ψ的連續(xù)小波變換。其中，Xˉ表示X的共軛運算。連續(xù)小波變換將原來的一維信號變換成二維信號，以便于分析信號的時頻特性。

1.2 小波變換時?能密度法

對于信號x1(t),x2(t)和小波函數ψ(t)，若x1(t)，x2(t)的小波變換分別為WTx1(a,b)和WTx2(a,b)，則有：

式中：

Ψ(Ω)為ψ(t)的傅氏變換。

式(4)即為小波變換的Parserval定理，該式可表示成如下簡潔形式：

若令x1(t)=x2(t)=x(t)，根據式(4)，有：

此式表明，小波變換的幅平方在尺度?位移平面上的加權積分與被分析信號在時域上的總能量成正比，小波變換的幅平方可看成是信號能量時頻分布的一種表示形式。在非平穩(wěn)信號的處理中，受Heisenberg測不準原理的限制，在時?頻相空間中某一點的瞬時能量密度是無法確定的。但在式(7)中，可以將|WTx(a,b)|2/Cψa2看作是尺度-位移平

從表1可看出，Db小波系具有非對稱特征且對地質雷達信號的分解重構誤差普遍較大。當小波函數不具備線性相位時，信號在分解過程中易產生頻率混疊、相位失真等問題。因此，Db小波系不適合用于地質雷達信號分析。Bior4.4，Bior5.5和Bior6.8小波雖然具有線性相位，但對信號的重構誤差較大，因此它們也不宜作為地質雷達信號分析用小波基。偶數階消失距Bior系小波基中Bior2.4和Bior2.6雙正交基對信號重構誤差較小，并且兩者重構誤差相當，但Bior2.6小波基消失距更高，函數更光滑，因此，偶數階消失距Bior系小波基中初步選擇該小波函數進行地質雷達信號奇異性分析。同理，奇數階消失距Bior系小波基中Bior3.7和Bior3.9雙正交基對信號重構誤差較小，且Bior3.9小波基消失距更高，函數更光滑，因此，奇數階消失距雙正交小波基中初步選取面上的能量密度，由此可將看作是以尺度a和位移b為中心的、尺度間隔為Δa，位移間隔為Δb的能量。根據能量密度的概念，式(7)可以改寫為

式中：

小波變換中的尺度a是一個與信號頻率相關的參數。因此，式(9)表示信號所有頻帶的能量隨位移b的分布情況，即時?能密度函數。

2 小波基函數初選

首先從小波函數的線性相位、對信號的分解重構誤差大小等角度選擇適合于地質雷達信號奇異性分析用較優(yōu)小波基。小波分析的最重要應用是濾波，為了保證濾波不失真，小波函數應具有線性相位。信號的多尺度重構誤差分析能直觀反映小波基函數的重構效果及小波函數與被分析信號之間的適應性。分別比較已有的Db系、Bior系小波基的對稱性及對實測RIS型地質雷達信號的重構效果，并對地質雷達信號奇異性分析用較優(yōu)小波基進行初選。各小波基的分析對比結果見表1。

表1 各小波基對稱性及重構誤差比較Table 1 Comparison of symmetry and reconstruction error of each wavelet basis

Bior3.9函數作為地質雷達信號奇異性分析用基函數。

3 正演模擬信號奇異性分析

3.1 正演模擬試驗

設計空洞地質雷達探測正演試驗，基于初選的2種小波基函數，采用小波時-能密度法進行正演信號特征點識別及空洞尺寸量化分析，并對適用于RIS型地質雷達信號奇異性分析的最優(yōu)小波基進行選取。空洞探測模型長2.00 m，高0.95 m，在模型上部存在一空洞缺陷，空洞長為0.20 m，高0.18 m，埋深0.17 m。運用GPRMAX軟件對含空洞混凝土模型進行正演模擬檢測，模擬時窗為12.076 ns，空間網格步長為Δx=Δy=0.005 m，天線步距為L=0.01 m，天線中心頻率為1 600 MHz，參數設置詳見表2。

表2 空洞正演模擬試驗參數設置Table 2 Parameter setting of cavity forward simulation test

3.2 基于小波時?能密度法的信號奇異性分析

提取正演結果中反映空洞位置信息的單道信號，基于初選得到的Bior2.6和Bior3.9雙正交小波基，采用小波時?能密度法對單道信號進行特征點提取與定量分析。

3.3.1 Bior2.6小波基識別結果

采用Bior2.6雙正交基作為基函數，第97道信號的小波時-能密度分析結果如圖所示，其中圖1(a)表示直達波信號時?能密度分析結果，圖1(b)表示空洞信號時?能密度計算結果。圖中點1表示傳播介質的表面反射波位置，點2，3分別表示空洞的上、下表面反射波位置，各點的起始時刻分別為0.720 1，1.688 0和3.022 0 ns，可計算出空洞埋深和垂直尺寸分別為18.22 cm和20.01 cm。與設計值相比，誤差分別為1.22 cm和2.01 cm，相對誤差分別為7.18%和11.17%，詳見表3。

圖1 基于Bior2.6小波基的時?能密度譜曲線Fig.1 Time-energy density spectrum curve based on Bior2.6 wavelet basis

3.3.2 Bior3.9小波基識別結果

選用Bior3.9雙正交基對單道信號作小波時?能密度分析，結果如圖2所示。各點的起始時刻分別為0.661 1，1.782 0和3.105 0 ns?？捎嬎愠隹斩绰裆詈痛怪背叽绶謩e為19.16 cm和19.85 cm。與設計值相比，誤差分別為2.16 cm和1.85 cm，相對誤差分別為12.71%和10.28%，詳見表3。

圖2 基于Bior3.9小波基的時?能密度譜曲線Fig.2 Time-energy density spectrum curve based on Bior3.9 wavelet basis

假設以空洞埋深和內部垂直高度計算值的誤差百分比之和作為評價指標，從表3可知，Bior2.6雙正交基的計算誤差較小，即相對于Bior3.9小波基，由Bior2.6計算得到的空洞埋深和內部垂直高度與設計值更接近，表明該小波基更適合用于正演地質雷達信號奇異性判別中。

表3 正演信號小波時?能密度法定量分析結果Table 3 Quantitative analysis results of forward signal by wavelet time-energy density method

4 實測地質雷達信號定量分析

4.1 試驗設計

設計已知埋深和尺寸的空腔檢測試驗，空腔用于模擬隧道襯砌結構中的空洞缺陷，運用地質雷達對含空腔缺陷的試驗模型進行檢測，并采用小波時?能密度法對地質雷達圖像的空洞反射信號進行定量分析，比較不同小波基函數在RIS型地質雷達信號定量識別中的準確度。

空洞尺寸為長×寬×高=25 cm×25 cm×20 cm(空洞內部實際高度為18.8 cm)，空洞至沙槽表面的垂直距離為19 cm，其中空洞頂部干沙的埋置高度為18 cm，沙槽上覆測試用木板厚1 cm?？斩刺綔y試驗的詳細參數設置見表4，試驗設計示意圖、探測過程及實測地質雷達圖像結果分別見圖3和圖4。

圖3 空洞地質雷達探測試驗Fig.3 GPR detection test for cavity

圖4 地質雷達探測原始圖像Fig.4 Original GPR detection image

表4 空洞探測試驗詳細參數設置Table 4 Detailed parameter setting of cavity detection test

4.2 地質雷達信號定量分析

基于初選的Bior2.6和Bior3.9雙正交小波基，采用小波時-能密度法進行空洞反射信號特征點提取及空洞尺寸定量分析。定量分析用小波基分別為Bior2.6和Bior3.9小波基。提取含空洞位置信號的第410條單道信號，2種小波基計算得到的時能密度譜曲線分別見圖5和圖6。圖中，t1為傳播介質的表面反射波位置，t2和t3分別表示空洞上、下表面反射波時間位置。2種小波基計算得到的空洞位置值與實際值對比見表5。

表5 實測地質雷達圖像定量分析結果Table 5 Quantitative analysis results of measured GPR image

圖5 基于Bior2.6小波基的時?能密度譜曲線Fig.5 Time-energy density spectrum curve based on Bior2.6 wavelet basis

圖6 基于Bior3.9小波基的時-能密度譜曲線Fig.6 Time-energy density spectrum curve based on Bior3.9 wavelet basis

由表4可知，小波時?能密度譜法計算出的空洞位置結果與實際值很接近，并且該方法對信號特征點的捕捉效果明顯且易于判斷。同樣地，以空洞埋深和內部垂直高度計算值的誤差百分比之和作為方法優(yōu)劣評判指標，可知，Bior2.6小波基的計算誤差和較小，由該小波基計算出的空洞埋深和內部垂直尺寸結果與實際值更為相近，說明該小波基在地質雷達信號奇異性檢測方面具有較明顯的優(yōu)越性。

5 結論

1)由于Bior系小波具有線性相位且對實測地質雷達信號分解、重構誤差小，因此選擇該類小波用于地質雷達信號分析，其中偶數階消失距Bior系小波-Bior2.6和奇數階消失距Bior系小波-Bior3.9雙正交基具有對雷達信號重構誤差較小，且消失距更高，函數更光滑等優(yōu)勢，初步選取Bior2.6和Bior3.9小波函數作為地質雷達信號奇異性分析用基函數；

2)在正演及實測地質雷達信號奇異性分析中，相對于Bior3.9小波基，Bior2.6計算得到的空洞埋深和內部垂直高度與設計值更接近，該小波基的識別精確度較高，表明該小波基更適合用于地質雷達信號奇異性判別中。

3)小波時?能密度法對信號特征點的突出和放大作用非常明顯，運用該方法能直接且精確地檢測出地質雷達信號特征點所在位置，表明小波分析在非平穩(wěn)信號處理中具有匹配性和適應性。

4)對襯砌質量缺陷進行精細化定量識別具有理論價值與實際意義，定量分析可為缺陷的危險等級劃分及精確處治提供準確依據，從而在一定程度上維護工程的耐久性和安全性。