閻 飛

(北京京能地質(zhì)工程有限公司，北京 102300)

0 引言

地層損失概念最早是Peck[1]在預(yù)測隧道開挖誘發(fā)地表沉降變形的研究中提出，其認(rèn)為地層變形是由地層損失引起，從而假定地表沉降槽體的體積等于地層損失的體積?；娱_挖過程中，圍護結(jié)構(gòu)內(nèi)外側(cè)土壓力平衡被打破，圍護結(jié)構(gòu)在內(nèi)外壓力差的作用下向坑內(nèi)移動，從而引起坑周地表沉降。

如何根據(jù)圍護結(jié)構(gòu)的變形預(yù)測地表沉降一直是工程界的重要研究課題。地層損失的方法是由圍護結(jié)構(gòu)變形預(yù)測地表沉降的重要方法。目前，諸多學(xué)者根據(jù)地層損失概念，通過一系列合理假設(shè)，借助工程實際經(jīng)驗，由圍護結(jié)構(gòu)發(fā)生水平變形產(chǎn)生的側(cè)移面積與地表發(fā)生下沉產(chǎn)生的沉降面積之間的相關(guān)性，計算地表沉降。侯學(xué)淵[2]參考盾構(gòu)隧道施工誘發(fā)地表沉降的Peck和Schimidt公式，借鑒三角形沉降計算公式的推導(dǎo)思路，給出了利用地層損失概念計算指數(shù)型(即凹槽型)地表沉降曲線的求解過程。唐孟雄等[3，4]以凹槽形地表沉降為研究對象，提出采用正態(tài)分布函數(shù)描述地表沉降曲線。張尚根等[5-8]假設(shè)地表沉降影響范圍為1.5倍的圍護結(jié)構(gòu)長度，圍護結(jié)構(gòu)水平變形最大值與地表沉降最大值之間存在一定關(guān)系，在這樣假設(shè)的基礎(chǔ)上進行地表沉降曲線預(yù)測。

綜合現(xiàn)有的地層損失法的研究成果可以看出[9]，基坑地層損失法在計算地表沉降的過程中主要包含3方面內(nèi)容：① 地表沉降面積計算；② 圍護結(jié)構(gòu)側(cè)移面積計算；③ 地表沉降面積與圍護結(jié)構(gòu)側(cè)移面積之間比值的確定。地表沉降面積通常根據(jù)假設(shè)地表沉降曲線函數(shù)(未知參數(shù)一般包含地表沉降最大值wmax，地表沉降最大值位置xm，地表沉降影響范圍x0)，通過定積分運算得到；圍護結(jié)構(gòu)側(cè)移面積可通過對工程實測圍護結(jié)構(gòu)水平變形曲線進行積分運算得到；地表沉降面積與圍護結(jié)構(gòu)側(cè)移面積之比可由工程經(jīng)驗確定。其中，最主要的工作是確定地表沉降影響范圍x0，計算地表沉降最大值wmax和地表沉降最大值位置xm。

確定x0、wmax和xm的值，總體上可以采用兩種路徑。先確定xm和x0，再計算wmax；或者先確定wmax和x0，再計算xm。然而，無論采用哪種計算路徑，均需根據(jù)地區(qū)工程經(jīng)驗確定地表沉降影響范圍x0，但不同地區(qū)地表沉降影響范圍不同[5，7-8，10-12]，即使同一地區(qū)通過統(tǒng)計分析所確定的地表沉降影響范圍也可能因為統(tǒng)計樣本不同而有所差異[13-15]，因此實際工程中不易確定地表沉降影響范圍x0。若地表沉降影響范圍x0取值不當(dāng)，將極易高估或者低估地表沉降，選擇與地表沉降最大值位置xm相協(xié)調(diào)的地表沉降影響范圍x0至關(guān)重要。

此外，上述計算路徑在確定地表沉降最大值位置xm時，一般認(rèn)為其僅與基坑開挖深度和土體力學(xué)參數(shù)內(nèi)摩擦角有關(guān)[3-4]，而與其他因素?zé)o關(guān)，這顯然與實際情況是不符的。已有研究表明[9]地表沉降最大值位置與圍護結(jié)構(gòu)水平變形曲線形態(tài)密切相關(guān)，因而地質(zhì)條件類似，而地表沉降最大值位置不同，可能是由于圍護結(jié)構(gòu)水平變形曲線不同所致。選擇先確定地表沉降最大值wmax和地表沉降影響范圍x0，再計算地表沉降最大值位置xm這條計算路徑時，易出現(xiàn)xm多解問題[5]。

為解決沉降最大值位置xm與地表沉降影響范圍x0的協(xié)調(diào)性問題以及xm多解問題，本文基于前人研究成果，通過理論分析提出了一種改進的基于地層損失概念的地表沉降經(jīng)驗預(yù)測方法。

1 改進的地表沉降預(yù)測方法

在既有研究的基礎(chǔ)之上，對凹槽型地表沉降進行分析。首先，視墻后地表沉降曲線服從正態(tài)分布；其次，通過分析圍護結(jié)構(gòu)的水平變形情況，并借助地表沉降顯式解析表達式，進一步求解地表沉降最大值的位置坐標(biāo)，記為xm；通過借助主、次要影響區(qū)分界點并假設(shè)沉降函數(shù)，進一步求解地表沉降影響范圍x0；再次，利用上述步驟中得到的xm和x0，進一步對沉降曲線函數(shù)表達式進行積分，求出地表沉降曲線包絡(luò)面積Av；然后求解出圍護結(jié)構(gòu)側(cè)移面積Ah；最終利用Av與Ah計算求出地表沉降最大值wmax。依據(jù)wmax，結(jié)合假設(shè)函數(shù)就能對墻后任意處地表沉降進行定量預(yù)估。

1.1 地表沉降曲線函數(shù)假設(shè)

深基坑首道支撐一般采用鋼筋混凝土支撐，由于圍護結(jié)構(gòu)頂部會承受一定程度的側(cè)向約束，圍護結(jié)構(gòu)水平曲線在深基坑開挖完成后變形多呈現(xiàn)鼓脹變形，基坑附近則往往呈現(xiàn)出“凹槽型”的地表沉降曲線。在既有研究[3-7，8，11]的基礎(chǔ)之上對該類型地表沉降曲線進行進一步的研究，假設(shè)墻后地表沉降曲線服從正態(tài)分布，可得：

(1)

相對應(yīng)的曲線見圖1。x為墻后任意位置距基坑邊緣的水平距離；wmax為深基坑開挖過程中地表沉降最大值；xm為基坑邊緣至地表沉降最大值間的水平距離；r=x0-xm，r為基坑開挖過程中沉降盆的影響半徑，x0為基坑開挖過程中地表沉降所影響的范圍。

圖1 基坑開挖引起的凹槽型地表沉降Fig.1 Fluted surface subsidence caused by foundation pit excavation

1.2 地表沉降最大值位置計算

胡之鋒等人基于圍護結(jié)構(gòu)平移變形條件下的解析表達式，運用微積分思想，得出了圍護結(jié)構(gòu)在任意變形模式下的地表沉降顯式解析解，通過與工程實測數(shù)據(jù)對比發(fā)現(xiàn)，該顯式解析解得出的地表沉降最大值位置與實測值較為吻合[9]。因此，本文基于該地表沉降顯式解析解，根據(jù)圍護結(jié)構(gòu)水平變形，計算地表沉降最大值位置xm。

胡之鋒等人所采用的地表沉降顯式解析解為

C5x2+C6x+C7)

(2)

其中，系數(shù)為

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

(3e)

(3f)

C7=F

(3g)

其中，H表示圍護結(jié)構(gòu)長度，A、B、C、D、E、F為多項式系數(shù)，可采用五次多項式表示圍護結(jié)構(gòu)水平位移：

f(h)=Ah5+Bh4+Ch3+Dh2+Eh+F

(4)

h表示計算點的深度。在得到式(2)表達式的情況下，以x為變量，對其求導(dǎo)，令其導(dǎo)數(shù)為零，可以得出地表沉降最大值位置xm。

1.3 地表沉降影響范圍計算

基坑開挖過程中的地表沉降進行計算可借助地層損失理論，但此時x0的取值應(yīng)處于合理區(qū)間，才能對地表沉降進行較為準(zhǔn)確地計算。這是因為運用地層損失理論進行相關(guān)計算時最重要的兩個計算參數(shù)為圍護結(jié)構(gòu)側(cè)移面積Ah以及基坑開挖過程中的地表沉降面積Av，而這兩者之間存在一定的比例關(guān)系。因此當(dāng)Ah一定時，Av也就確定。此時一旦x0取值太小，通過計算后地表沉降曲線就會顯著變短，而基坑主要響范圍內(nèi)曲線則會變得很陡，最終導(dǎo)致地表實際沉降值被高估；反之亦然。

在對既有研究[10，14，16]進一步分析后得知，盡管地表沉降影響范圍因基坑工程的不同而略顯差異，但主、次要影響區(qū)分界點的位置則呈現(xiàn)出相對一致的規(guī)律：位于墻后兩倍基坑開挖深度處，大小約為0.1wmax，見圖2。本文為了更準(zhǔn)確地預(yù)測地表沉降，重點研究主、次要影響區(qū)分界點，并結(jié)合上節(jié)所求出的各特殊點間內(nèi)在聯(lián)系來計算地表沉降影響范圍x0，使其與待求解的xm協(xié)調(diào)，最終對坑后地表沉降進行準(zhǔn)確的估算。

圖2 主次要影響區(qū)分界Fig.2 Division of primary and secondary influence areas

首先將主、次要影響區(qū)分界點坐標(biāo)(2He，0.1wmax)代入式(1)可得：

(5)

由圖3可見，地表沉降曲線中涉及的位置關(guān)系為

xm+xp=2He

(6)

圖3 地表沉降影響范圍求解示意圖Fig.3 Schematic diagram for solution of influence range of surface subsidence

式(6)中xp為地表最大值沉降點距主、次要影響區(qū)分界點之間水平方向的距離。借助式(5)、式(6)得出：

xp=0.856r

(7)

根據(jù)r=x0-xm，結(jié)合式(6)、式(7)可得：

0.144xm+0.856x0=2He

(8)

在式(8)中代入地表沉降最大值位置xm以及基坑開挖深度He就能進一步對基坑開挖過程中的實際影響范圍x0進行求解。

1.4 地表沉降曲線包絡(luò)面積計算

求解出xm以及x0之后，對假設(shè)地表沉降曲線函數(shù)進行積分，能夠得出地表沉降曲線包絡(luò)面積Av，而Av是僅含wmax一個未知數(shù)的表達式。此處為了簡化運算將地表沉降最大值位置設(shè)為坐標(biāo)原點，也即假設(shè)xd=x-xm，于是求解出Av積分表達式如下所示：

(9a)

經(jīng)過變換后可得：

(9b)

(9c)

Av=wmaxr[Φ(ur)-1+Φ(uxm)]

(9d)

式(9d)中，Φ(u)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，把ur代入可得

(10)

則式(9d)轉(zhuǎn)化為

(9e)

根據(jù)求解得到的xm和x0，且已知r=x0-xm，r也為已知量，從而wmax為式(9e)中唯一未知數(shù)。

1.5 圍護結(jié)構(gòu)側(cè)移面積計算

計算圍護結(jié)構(gòu)側(cè)移面積Ah。首先，根據(jù)實測數(shù)據(jù)確定圍護結(jié)構(gòu)的水平位移，并擬合出水平位移表達式；然后，以圍護結(jié)構(gòu)長度范圍為積分區(qū)間對擬合函數(shù)進行積分運算，求解出Ah。采用多項式對圍護結(jié)構(gòu)水平位移曲線進行擬合是當(dāng)前較為常見的處理方式，研究[9]表明采用五次多項式進行擬合效果較好，因此本文對五次多項式進行擬合最終得出Ah。

如圖3所示，設(shè)維護結(jié)構(gòu)頂端為坐標(biāo)原點，f(h)為對圍護結(jié)構(gòu)水平位移曲線進行擬合的五次多項式函數(shù)，可得Ah為

(11)

結(jié)合式(4)，對式(11)進行積分可得：

(12)

1.6 地表沉降最大值計算

圍護結(jié)構(gòu)側(cè)移面積Ah可由式(12)通過計算得出，并結(jié)合Av、Ah以及前文已經(jīng)推導(dǎo)出的Av表達式(9e)，就能對地表沉降最大值wmax進行求解。其中，Av、Ah的關(guān)系由CA給出，CA定義為

(13)

通過上述計算得出地表沉降最大值wmax，然后式(1)中代入wmax、xm和r就能得出地表沉降預(yù)測曲線。地表沉降預(yù)測曲線確定后就能非常方便地對墻后任意地表位置沉降值進行估算。

2 改進方法計算流程

綜上，采用改進方法計算地表沉降的基本流程見圖4，具體如下：

圖4 改進方法計算地表沉降的流程Fig.4 The procedure of improved method to calculate surface subsidence

1)根據(jù)地表沉降的顯式解析式(2)求導(dǎo)，令其導(dǎo)數(shù)為零，得出地表沉降最大值位置xm。

2)根據(jù)假設(shè)沉降曲線，基于相對較為穩(wěn)定的主次要影響區(qū)分界點，根據(jù)式(8)利用地表沉降最大值位置xm計算地表沉降影響范圍x0。

3)依據(jù)Av與Ah之間的關(guān)系式、圍護結(jié)構(gòu)水平位移的實測數(shù)據(jù)，并由式(11)求解出Ah，最終對地表沉降曲線包絡(luò)面積Av進行求解。

4)借助式(9e)對地表沉降最大值wmax進行求解，然后在假設(shè)函數(shù)式(1)中代入wmax，就能對墻后任意地表位置的沉降值進行估算。

3 工程實例驗證及分析

3.1 工程實例

本文主要選取臺北軟土TNEC基坑[17]、倫敦軟土基坑[18-19]加以分析。具體的基坑的地層資料及開挖情況可以參考相應(yīng)文獻。這兩個工程實測的圍護結(jié)構(gòu)水平位移及五次函數(shù)擬合曲線見圖5a。

得出水平位移擬合曲線后，按照圖4所示的流程可以得到地表沉降曲線(圖5b)，計算的主要計算結(jié)果見表1。由圖5中的地表沉降預(yù)測結(jié)果和實測結(jié)果對比可以看出，改進后的沉降計算方法具有較強的預(yù)測能力，完全可以滿足工程實踐要求。

表1 主要計算結(jié)果Table 1 List of the main calculation result

圖5 改進方法的工程實例應(yīng)用

4 地表沉降影響范圍的大小對地表沉降的影響分析

不同學(xué)者根據(jù)經(jīng)驗所得的地表沉降影響范圍x0會有所不同。當(dāng)先確定地表沉降最大值位置xm和地表沉降影響范圍x0，再計算地表沉降最大值wmax時，如地表沉降影響范圍x0取值不當(dāng)，將極易高估或者低

估地表沉降。因此選擇與地表沉降最大值位置xm相協(xié)調(diào)的地表沉降影響范圍x0至關(guān)重要。

為了說明本文計算地表沉降影響范圍x0方法的合理性，基于上述2個工程實例，分別計算x0為4He，2.5He，1.5He時的地表沉降預(yù)測曲線，并將其與采用改進方法得到的地表沉降曲線和實測數(shù)據(jù)進行對比。

圖6給出了實測地表沉降曲線，以及取地表沉降影響范圍x0分別為4He，2.5He，1.5He時采用改進方法得到的沉降曲線。由圖6可見，xm不變的情況下，影響范圍x0的取值越大，相應(yīng)得出的曲線越平，總體沉降偏?。环粗?，曲線越陡，計算所得主要影響區(qū)內(nèi)的地表沉降值偏大，這與前文分析一致，說明地表沉降影響范圍x0取值不當(dāng)會對地表沉降的計算結(jié)果產(chǎn)生重要影響。

圖6 地表沉降影響范圍大小分析圖Fig.6 Analysis chart of influence range of surface subsidence

改進的計算方法得到的地表沉降曲線與x0分別取4He，2.5He，1.5He時算得的地表沉降曲線相比，前者與實測數(shù)據(jù)更為吻合。這說明本文所采用的基于主次影響區(qū)分界計算x0較為合理，可避免傳統(tǒng)經(jīng)驗法確定x0的不足，保證x0與xm之間的協(xié)調(diào)。

5 地表沉降最大值位置多解對地表沉降的影響分析

如前所述，傳統(tǒng)方法中xm存在多解問題，為了避免該問題，基于上述兩個工程實例，假設(shè)地表沉降最大值為圍護結(jié)構(gòu)水平位移最大值的62.5%[12，20]，從而根據(jù)圍護結(jié)構(gòu)水平位移最大值確定地表沉降最大值wmax。假設(shè)地表沉降影響范圍x0為2.5He，便可反求地表沉降最大值位置xm。這兩個工程實例最終計算的地表沉降最大值位置xm見表2。

表2 依據(jù)地表沉降最大值計算地表沉降Table 2 The surface settlement is calculated according to the maximum value of surface settlement

根據(jù)表2中的參數(shù)，圖7給出了兩個工程實例在不同地表沉降最大值位置xm時的地表沉降曲線，同時繪制出了采用本文方法計算得到的地表沉降曲線，以及實測地表沉降曲線。由圖7可見，先算wmax與x0，再算xm時得到的地表沉降曲線與實測值相差較大，這是由于地表沉降影響范圍x0，地表沉降最大值與圍護結(jié)構(gòu)水平變形最大值之間的數(shù)量關(guān)系都是根據(jù)工程經(jīng)驗確定，存在一定的不確定性。

圖7 地表沉降最大值位置多解分析圖Fig.7 Multi-solution analysis diagram of the location of maximum surface subsidence

此外，當(dāng)?shù)乇沓两底畲笾祑max，地表沉降影響范圍x0確定時，存在多條地表沉降曲線，使得其曲線包絡(luò)面積等于確定的地表沉降面積Av，從而造成地表沉降最大值位置xm存在多個解，不易取舍。說明本文采用先確定xm與x0，然后計算wmax這條計算路徑具有一定的優(yōu)越性。

6 結(jié)論

本文基于地表沉降曲線正態(tài)分布假設(shè)，提出了一種與圍護結(jié)構(gòu)水平變形曲線相適應(yīng)的地表沉降最大值位置的計算方法，給出了一種與地表沉降最大值位置相協(xié)調(diào)的地表沉降影響范圍x0的計算方法，在此基礎(chǔ)上提出了一種改進的基于地層損失概念的地表沉降的預(yù)測方法。主要的結(jié)論：

1)先確定地表沉降最大值位置xm和地表沉降影響范圍x0，再計算地表沉降最大值wmax這條計算路徑可以避免出現(xiàn)多解問題。

2)地表沉降影響范圍x0取值對地表沉降曲線的計算結(jié)果具有重要影響，本文所采用的基于主次影響分界求x0的方法是有效的，可以確保影響范圍與最大值位置相互協(xié)調(diào)。

3)此改進方法整體預(yù)測效果較好，具有較強的工程實用性。