楊洪濤 張宇 李莉 馬群 汪珺

摘 要：針對現(xiàn)有激光干涉儀的數(shù)控機(jī)床幾何誤差辨識與建模，操作過程復(fù)雜、建模效率低等問題，提出了一種新的基于球桿儀的數(shù)控機(jī)床幾何誤差辨識與建模方法。利用三平面圓弧軌跡測量法和球桿儀對誤差進(jìn)行測量，建立了球桿儀讀數(shù)與機(jī)床各平面內(nèi)對應(yīng)幾何誤差之間的辨識模型，實(shí)現(xiàn)了幾何誤差辨識，并建立了機(jī)床綜合誤差預(yù)測模型。同時(shí)利用激光干涉儀建立比對實(shí)驗(yàn)裝置，測量出機(jī)床的實(shí)際幾何誤差。分別將利用球桿儀辨識出的幾何誤差數(shù)據(jù)和激光干涉儀測量的誤差分別代入機(jī)床綜合誤差預(yù)測模型進(jìn)行對比驗(yàn)證。從對比結(jié)果中可以看出，利用兩種方法建立的機(jī)床綜合誤差模型差別在3.0μm，可以滿足機(jī)床誤差補(bǔ)償?shù)囊蟆?/p>

關(guān)鍵詞：球桿儀;幾何誤差辨識;綜合誤差預(yù)測模型;比對結(jié)果

中圖分類號： TG806? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-1098（2021）01-0018-06

收稿日期：2020-07-13

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51675004）;安徽高校自然科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（KJ2019A0844）

作者簡介：楊洪濤（1972-），男，福建莆田人，教授，博士，研究方向：精密測試技術(shù)、儀器精度理論及應(yīng)用。

A Geometric Error Identification and Modeling? of CNC Machine Tool Based on Double Ball-bar

YANG Hongtao1，2，ZHANG Yu1，2，LI Li1，2，MA Qun1，2，WANG Jun3

（1. School of Mechanical Engineering， Anhui University of Science and Technology ， Huainan Anhui? 232001， China;2. Anhui Key Laboratory of Mine Intelligent Equipment and Technology， Anhui University of Science and Technology， Huainan Anhui? 232001， China;3. School of Advanced Manufacturing Engineering， Hefei University， Hefei Anhui? 230001， China）

Abstract：To solve the problems of the complicated operation process and the low efficiency of geometric error identification and modeling of computer numerical control （CNC） machine tools with the existing laser interferometers， a new method of geometric error identification and modeling was proposed for CNC machine tools based on double ball-bar. The identification model was established of the relationship between the double ball-bar reading and the corresponding geometric error in each plane of the machine tool with the three-plane arc trajectory measurement method and the double ball-bar utilized to measure the error， realizing the geometric error Identification and the establishment of a comprehensive error prediction model of the machine tool and a comparison experimental device? with the laser interferometer used to measure the actual geometric error of the machine tool. The geometric error data identified by the double ball-bar and the error measured by the laser interferometer were respectively substituted into the comprehensive error prediction model of the machine tool for comparison and verification. From the results， it is found that the difference between the two is 3.0 μm， which meets the requirements of the machine tool error compensation.

Key words：double ball-bar; geometric error identification; comprehensive error prediction model; comparison results

數(shù)控機(jī)床在機(jī)測量系統(tǒng)是由機(jī)床本體和觸發(fā)測頭組成，通過測頭產(chǎn)生觸發(fā)信號，觸發(fā)機(jī)床本身的三維坐標(biāo)讀數(shù)裝置進(jìn)行讀數(shù)，實(shí)現(xiàn)被測點(diǎn)的三維坐標(biāo)測量。如果不提高測量系統(tǒng)精度，直接利用機(jī)床與測頭相結(jié)合開展測量，不滿足測量系統(tǒng)精度必須三倍高于被測零件精度的要求，因此必須利用誤差分離方法對機(jī)床各項(xiàng)幾何誤差進(jìn)行測量，建立高精度綜合誤差預(yù)測模型進(jìn)行測量誤差補(bǔ)償[1]。目前數(shù)控機(jī)床幾何誤差辨識方法主要采用雙頻激光干涉儀、球桿儀、平面光柵等設(shè)備[2]。利用激光干涉儀每測量1個(gè)誤差都需更換光學(xué)鏡組且光路不易調(diào)整，效率低，光學(xué)組件價(jià)格昂貴[3]。球桿儀主要通過測量常規(guī)的三平面圓弧軌跡便可分離與辨識包括滾轉(zhuǎn)角誤差在內(nèi)的21項(xiàng)幾何誤差[4-5]，但存在辨識精度問題。近年來，國內(nèi)外學(xué)者提出了很多基于球桿儀辨識空間誤差方法，主要針對機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸的誤差辨識[6-9]，而對直線軸誤差辨識研究缺乏完善的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比驗(yàn)證[10]。對于機(jī)床綜合誤差建模，大部分采用激光干涉儀測量各單項(xiàng)誤差，進(jìn)而利用微分法、多體系統(tǒng)理論等方法建立綜合誤差預(yù)測模型[11-13]，但利用球桿儀測量辨識的幾何誤差建立機(jī)床綜合誤差建模研究較少[14]。為了提高基于球桿儀的機(jī)床幾何誤差辨識精度和綜合誤差建模精度，本文采用球桿儀的三平面圓弧軌跡法，建立了球桿儀讀數(shù)與數(shù)控機(jī)床各平面內(nèi)幾何誤差項(xiàng)之間的模型，辨識出各項(xiàng)幾何誤差值，進(jìn)而利用辨識數(shù)據(jù)建立機(jī)床綜合誤差預(yù)測模型，并開展對比驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。

1 ?球桿儀數(shù)控機(jī)床幾何誤差辨識方法

1.1 數(shù)控機(jī)床幾何誤差源

本文以XYTZ型立式加工中心為研究對象，如圖1所示，三軸數(shù)控機(jī)床的機(jī)床部件沿著Y軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，共有6項(xiàng)幾何誤差，三軸共產(chǎn)生18項(xiàng)位置相關(guān)幾何誤差，加上3個(gè)垂直軸之間的3項(xiàng)垂直度誤差，共有21項(xiàng)幾何誤差，如表1所示。

1.2 球桿儀的工作原理

本文采用三平面圓弧軌跡測量法和球桿儀對誤差進(jìn)行測量[15]，球桿儀的測量原理示意圖如圖2所示。令工作臺安裝基座上吸附的精密球中心坐標(biāo)為O（0，0，0），在主軸安裝基桿上吸附的精密球中心坐標(biāo)為P（x，y，z），當(dāng)工作臺進(jìn)行理論圓插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)時(shí)，吸附在主軸上的精密球中心坐標(biāo)由于機(jī)床幾何誤差影響變?yōu)镻′（x′，y′，z′），設(shè) Δx，Δy和Δz分別是P點(diǎn)與P′點(diǎn)之間誤差在X、Y、Z方向上的分量。

由于幾何誤差的存在，球桿儀的實(shí)際長度可以表示為

（r+Δr）2=（x+Δx）2+（y+Δy）2+（z+Δz）2 （1）

式中：Δx，Δy，Δz都在微米級，忽略其二次項(xiàng)，可得球桿儀實(shí)際長度變化可以計(jì)算如下

Δr=1r（Δx×x+Δy×y+Δz×z）（2）

式中：Δr是球桿儀讀數(shù)，即球桿長變化量。該式即為球桿儀測量數(shù)控機(jī)床幾何誤差的理論基礎(chǔ)，由此可以推導(dǎo)出數(shù)控機(jī)床的誤差分離模型。

三平面圓弧軌跡測量法即在數(shù)控機(jī)床三正交平面進(jìn)行，如圖3所示，球桿儀在XY平面上進(jìn)行檢測時(shí)，機(jī)床主軸Z方向停止運(yùn)動(dòng)。將球桿儀水平安裝，球桿儀以工作臺側(cè)支座上支承的精密球中心為回轉(zhuǎn)中心，按照數(shù)控指令完成半徑為r的圓弧插補(bǔ)進(jìn)給，順時(shí)針和逆時(shí)針各1次，同理，在YZ平面和ZX平面上的進(jìn)行檢測時(shí)，主軸X和Y方向停止運(yùn)動(dòng)。其中，在XY平面進(jìn)行360°（越程45°）圓弧測量，在ZX平面、YZ平面分別進(jìn)行220°（越程2°）圓弧測量[16]。此時(shí)球桿長度變化量Δr即為該平面內(nèi)綜合誤差，再將球桿儀的檢測數(shù)據(jù)代入幾何誤差辨識方法建立的球桿儀讀數(shù)與機(jī)床各平面內(nèi)對應(yīng)幾何誤差之間的辨識模型，實(shí)現(xiàn)幾何誤差辨識。

1.3 幾何誤差辨識方法

利用4×4齊次坐標(biāo)變換矩陣HTM（Homogeneous Transformation Matrix），對數(shù)控機(jī)床幾何誤差分量進(jìn)行辨識。

Y軸的HTM可以寫成

Trans（y）=1000010ym00100001（3）

忽略高階項(xiàng)，Y軸幾何誤差的HTM可以寫成

E（y）=1-εz（y）εy（y）δx（y）εz（y）1-εx（y）δy（y）-εy（y）εx（y）1δz（y）0001（4）

根據(jù)式（3）和（4）可得到床身R到Y(jié)軸坐標(biāo)系的包含各幾何誤差的HTM

RTT=Trans（y）×E（y）=??? 1-εz（y）εy（y）δx（y）εz（y）1-εx（y）δy（y）+ym-εy（y）εx（y）1δz（y）0001（5）

使用相同的方法，可以分別建立Y軸和X軸，X軸和工件W，Z軸RZT，主軸S和Z軸，刀具T與主軸S之間的HTM，同理，刀具T相對于機(jī)床床身R的HTM可以如下表示，它們用于建立機(jī)床的整個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

RwT=RYT·YXT·XwT·TW（6）

RTT=RZT·ZST·STT·Tt （7）

式中：TW工件理論加工點(diǎn)在工件坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)矢量，Tt為刀具坐標(biāo)系T中機(jī)床刀具尖端的位置坐標(biāo)矢量。

根據(jù)式（6）和式（7）可得這兩個(gè)矩陣的差值即為工件和刀尖之間的相對位移誤差矩陣，即機(jī)床的幾何誤差矩陣如式（8）所示。

WTT=RTT-RWT（8）

在其求解過程中，舍去誤差二次項(xiàng)及高次項(xiàng)，得到簡化的數(shù)控機(jī)床沿X、Y、Z坐標(biāo)軸運(yùn)動(dòng)的幾何誤差模型，并分別代入式（2）中，再經(jīng)過一系列簡化計(jì)算，得到1個(gè)有12個(gè)系數(shù)的方程，如式（9）所示，這些系數(shù)與球桿儀長度的偏差Δr有關(guān)。

Δr=1rxdxz（zr）2-z·γx，z+2d·dxz（zr2）-Xw+YW2dyx（xr2）+2dxy（yr2）-ZW2dzx（xr2）+eyy（yr）-x-dxx（xr）-dxy（yr）2+ydyz（zr）2-z·γy，z-2d·dyz（zr2）-XW2dxy（yr2）+2dyx（xr2）-YW+ZWexx（xr）+2dzy（yr2）-2x·dxy（yr2）-dyx（xr）2+x·γx，y-y-dyy（yr）+zz+dzz（zr）+d+XWeyy（yr）+2dzx（xr2）-YW2dzy（yr2）+exx（xr）-ZW+x·eyy（yr）-dzx（xr）2-dzy（yr）2（9）

式中：dxx，dyy，dzz，dyx，dzx，dzy，dxy，dxz，dyz，exx，eyy，ezz為未知數(shù); γx，z，γy，z，γx，y為三個(gè)垂直度誤差，由球桿儀測量得出;x，y，z，Δr分別為各測量點(diǎn)的理論坐標(biāo)值和徑向誤差值;r為測量半徑。只要求出這些系數(shù)，即可計(jì)算不同位置的各項(xiàng)幾何誤差值。

2 數(shù)控機(jī)床綜合誤差預(yù)測模型

根據(jù)齊次坐標(biāo)變換原理建立的綜合誤差模型[17]，考慮到3個(gè)軸的滾轉(zhuǎn)角誤差數(shù)值非常小且對數(shù)控機(jī)床在機(jī)測量系統(tǒng)的總體誤差影響較微小，所以忽略滾轉(zhuǎn)角誤差的影響，則可簡化模型為

Δx=-δx（x）-δx（y）+δx（z）-yεz（x）-zεy（x）-? zγx，z+yγx，yΔy=-δy（x）-δy（y）+δy（z）+zεx（y）-zγy，zΔz=-δz（x）-δz（y）+δz（z）（10）

式中：δx（x）為X軸定位誤差，δy（x），δz（x）分別為X軸運(yùn)動(dòng)時(shí)Y和Z向的直線度誤差，εz（x），εy（x）分別為X軸的偏擺角和俯仰角誤差;γx，y、γy，z、γx，z分別為X軸和Y軸之間、Y軸和Z軸之間、X軸和Z軸之間的垂直度誤差。

根據(jù)式（10）建立數(shù)控機(jī)床綜合誤差預(yù)測模型

E（x，y，z）=Δx2+Δy2+Δz2（11）

3 對比驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

以沈陽機(jī)床VMC850E三軸立式加工中心為數(shù)據(jù)采集對象，分別采用雷尼紹公司的QW20球桿儀和激光干涉儀XL-80對同1臺機(jī)床進(jìn)行測量。該機(jī)床XYZ三軸行程分別為800mm、500mm、540mm，試驗(yàn)中使用的球桿儀和激光干涉儀分別具有0.1μm 和1nm的分辨率，實(shí)驗(yàn)裝置組成如圖4所示。

3.1 實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

QW20球桿儀的分辨率為0.1μm，桿的長度取100mm，即測量空間范圍為200mm×200mm×200mm，用球桿儀三平面圓弧軌跡法分別測量機(jī)床在XY平面、YZ平面、ZX平面的綜合幾何誤差。將QW20球桿儀安裝在工作臺上并在機(jī)床空載狀態(tài)下進(jìn)行測量，使機(jī)床主軸以480mm/min的速度在各平面內(nèi)作半徑為100mm的圓弧軌跡插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)，順時(shí)針和逆時(shí)針各1次，每個(gè)平面共進(jìn)行3次測量，其平均值作為球桿儀檢測的最終值，以減少隨機(jī)誤差。如圖4（a）所示為球桿儀現(xiàn)場檢測圖。以XY平面機(jī)床順時(shí)針運(yùn)行為例，QW20球桿儀每旋轉(zhuǎn)10°選取1次數(shù)據(jù)，如表2所示為不同位置的球桿儀測量數(shù)據(jù)。

以機(jī)床各單項(xiàng)幾何誤差為例進(jìn)行模型驗(yàn)證，利用激光干涉儀在球桿儀相同檢測位置進(jìn)行各單項(xiàng)誤差檢測，間隔5mm采集1次數(shù)據(jù)，每個(gè)測點(diǎn)均單向測量3次。如圖4（b）所示為激光干涉儀現(xiàn)場檢測圖。

3.2 幾何誤差辨識與建模效果驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述幾何誤差辨識結(jié)果的正確性，以機(jī)床X軸定位誤差和X軸Z向直線度誤差為例，將利用球桿儀辨識出的幾何誤差數(shù)據(jù)和激光干涉儀測量出機(jī)床的實(shí)際幾何誤差進(jìn)行比較，結(jié)果如圖5所示。圖中兩條曲線表示利用該方法辨識結(jié)果計(jì)算得到的誤差值，兩組離散點(diǎn)表示激光干涉儀測量值的均值。激光干涉儀測量各直線軸滾珠絲杠的幾何誤差，且測量精度高，圖5中，由于機(jī)床本身存在的缺陷，激光干涉儀測得X定位誤差不連續(xù)，有很大的跳躍和下降，而球桿儀辨識方法無法對機(jī)床本身存在的缺陷進(jìn)行預(yù)測，呈光滑的曲線。因此圖中激光干涉儀得到的結(jié)果比球桿儀辨識方法得到的結(jié)果波動(dòng)更大。

從圖5中可以看出，通過球桿儀辨識得到的幾何誤差值與激光干涉儀檢測出的相應(yīng)幾何誤差值的變化趨勢基本一致，除去粗大誤差外，兩者間的偏差均在2.7μm以下，平均偏差僅為1.5μm，從而驗(yàn)證了該數(shù)控機(jī)床幾何誤差辨識的正確性。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該數(shù)控機(jī)床幾何誤差辨識的效果，分別將利用球桿儀辨識出的幾何誤差數(shù)據(jù)和激光干涉儀測量的誤差代入機(jī)床綜合誤差預(yù)測模型進(jìn)行對比驗(yàn)證。將兩者數(shù)據(jù)分別代入式（11）中，得到各自數(shù)控機(jī)床綜合誤差預(yù)測值E（x，y，z），為了方便觀察，取測量空間范圍200mm×200mm×200mm正方體對角線上點(diǎn)空間坐標(biāo)（x，y，z）的預(yù)測數(shù)據(jù)，其中x=y=z=i，0≤i≤200，同時(shí)剔除對角線上由于機(jī)床本身存在的缺陷而造成粗大誤差外的部分?jǐn)?shù)據(jù)，其預(yù)測誤差結(jié)果比較如圖6所示。

從圖6中可以看出，兩者預(yù)測結(jié)果的變化趨勢基本一致，兩者間的偏差均在3.0μm以下，平均偏差僅為1.5μm，從而驗(yàn)證了該數(shù)控機(jī)床幾何誤差辨識與建模方法的正確性。

5 結(jié)論

（1）針對數(shù)控機(jī)床利用齊次坐標(biāo)變換矩陣分析位置相關(guān)幾何誤差模型，建立了待辨識誤差系數(shù)與球桿儀測得的徑向誤差值之間的辨識方程組。進(jìn)行了基于球桿儀的數(shù)控機(jī)床幾何誤差辨識與建模。

（2）利用球桿儀辨識出的幾何誤差代入建立的綜合誤差預(yù)測模型，與激光干涉儀的綜合誤差建模的結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果表明該數(shù)控機(jī)床幾何誤差辨識與建模方法具有較高的準(zhǔn)確性，最大辨識誤差為3.0μm，且成本低，耗時(shí)短，操作簡便。

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（責(zé)任編輯：李 麗）