李程鵬， 李錦成

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

用C表示復(fù)平面，D={z∈C:|z|<1}表示C中的單位開圓盤，Dr=D(0，r)表示以原點(diǎn)為圓心、r為半徑的開圓盤.H(D，Ω)表示從D映到Ω?C中的解析函數(shù)全體，A(D)表示D內(nèi)正規(guī)化解析函數(shù)的全體，K(D)表示D內(nèi)正規(guī)化單葉解析凸函數(shù)的全體.在單復(fù)變幾何函數(shù)論中，凸函數(shù)都與正實(shí)部函數(shù)密切相關(guān).定義正實(shí)部函數(shù)子類，記為Pα(D)[1]，0<α≤1，即

Pα(D):={f∈A(D):Re[f(z)/z]≥α}.

注1當(dāng)α=1時(shí)，由極值原理可知，f(z)≡z.

注2[1]K(D)?P1/2(D).

在單復(fù)變中，Bohr[2]得到了經(jīng)典的Bohr定理.

上式中：d為歐式距離；?D為D的邊界.基于此形式，Bohr不等式可以被推廣到任何區(qū)域Ω?C[6-9].

給定一個(gè)區(qū)域Ω?C，找出最大的半徑rΩ>0，使得對(duì)任一f∈H(D，Ω)和|z|

類似地，可以定義一類解析函數(shù)滿足Bohr現(xiàn)象.

則稱M滿足Bohr現(xiàn)象，其中，最大的r*稱為M的Bohr半徑.

Bohr現(xiàn)象是一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域，Ali等[11]確定了幾類解析函數(shù)的Bohr半徑，包括α級(jí)凸函數(shù)類及近于凸函數(shù)子類.

由于K(D)?P1/2(D)，解析函數(shù)族Pα(D)的Bohr半徑將是一個(gè)有意義的問題.

給出上述問題的解答，通過建立Pα(D)的增長(zhǎng)和掩蓋定理，得到了Pα(D)的Bohr定理，給出了相應(yīng)的Bohr半徑.

1 相關(guān)引理

為了給出文中的主要結(jié)果，需引入以下2個(gè)引理.

引理1[12]設(shè)函數(shù)h(z)在D內(nèi)解析，Re[h(z)]>0，且h(0)=1，則當(dāng)z∈D時(shí)，

|an|≤2Re(a0).

證明：為了讀者方便，給出證明，具體可參考文獻(xiàn)[13].

對(duì)于任一正整數(shù)n≥1，由于

從而，

即|an|≤2Re(a0).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)f∈Pα(D)，0<α≤1，則當(dāng)z∈D時(shí)，有

從而，Dα?f(D).

從而，

于是，

即

上式左邊令|z|→1，可得Dα?f(D).

注3若f∈Pα(D)，則f(0)=0，且d(f(0)，?f(D))=d(0，?f(D))≥α.

(1)

其中，

(2)

為Pα(D)的Bohr半徑.

根據(jù)引理2，有

|an|≤2(1-α)，n≥2.

從而，

再結(jié)合注3，有d(f(0)，?f(D))=d(0，?f(D))≥α.

解不等式組

經(jīng)計(jì)算，可得|z|

下面證明r0為Pα(D)的Bohr半徑，即r0為最佳常數(shù).

這表明r0為Pα(D)的Bohr半徑.