DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2103-5042-3263

摘? 要：該文以一類具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率且潛伏期具有傳染性的SEIR傳染病模型為研究對(duì)象，首先通過(guò)計(jì)算得出決定疾病滅絕或持續(xù)存在的基本再生數(shù)、模型存在的無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)，其次運(yùn)用LaSalle不變集原理和構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，證明當(dāng)r0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)的局部和全局漸近穩(wěn)定，此時(shí)流行病將會(huì)逐漸趨于滅絕而不會(huì)大規(guī)模爆發(fā)。

關(guān)鍵詞：基本再生數(shù)? 標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率? 潛伏期? Lyapunov函數(shù)? 全局漸近穩(wěn)定

中圖分類號(hào)：O175.1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3791（2021）03（b）-0221-03

Stability Analysis of SEIR Model for a Class of Latent Infection

DOU Zhongli

（Chongqing Finance and Economics College， Chongqing， 401320? China）

Abstract： In this paper， we study a class of a standard incidence of SEIR epidemic model of the incubation period is contagious， first of all， calculated decision to extinction or persistent disease basic reproductive number of disease-free equilibrium and the endemic equilibrium model， then using the LaSalle invariant set principle and constructing suitable Lyapunov function， proved that， When ro<1， the local and global asymptotic stability of the disease-free equilibrium and the epidemic will gradually become extinct without large outbreaks.

Key Words： Basic regeneration number; Standard incidence rate; Incubation period; Lyapunov function; Globally asymptotic stability

在現(xiàn)實(shí)生活中，傳染病的廣泛存在對(duì)人類的生存和社會(huì)的發(fā)展構(gòu)成很大的威脅。例如，蘇聯(lián)在1990年發(fā)生白喉流行病，波及東歐15個(gè)國(guó)家，死亡人數(shù)超過(guò)10萬(wàn);早在20世紀(jì)80年代初發(fā)現(xiàn)的艾滋病，已在全球奪取了2 500萬(wàn)人的性命，死亡人數(shù)超過(guò)第一次世界大戰(zhàn)，現(xiàn)在仍然沒有任何藥物可以治療它。但是人類仍然積極在對(duì)抗這種免疫系統(tǒng)疾病，沒有喪失戰(zhàn)勝它的決心。2003年爆發(fā)的SARS病毒涉及到32個(gè)國(guó)家和地區(qū)，病死率達(dá)到11%;2015年持續(xù)蔓延的埃博拉病毒有9萬(wàn)多人死亡，病死率高達(dá)50%和2020年初流行的新冠肺炎使全球超過(guò)20萬(wàn)人死亡等，流行病時(shí)刻在威脅著人類的健康。

人類對(duì)于傳染病的傳染源、傳播途徑、發(fā)病原因、發(fā)病機(jī)理、傳播速度、流行規(guī)律的研究從未停止。傳染病在傳播過(guò)程中與人生活的環(huán)境有關(guān)，傳播過(guò)程中存在著“環(huán)境-人”與“人-人”兩種途徑。數(shù)學(xué)家們利用傳染病的傳播特點(diǎn)結(jié)合數(shù)學(xué)本身的理論知識(shí)研究傳染病的動(dòng)力學(xué)性態(tài)，得到一些關(guān)于傳染病流行的更專業(yè)的理論結(jié)果，醫(yī)生利用這些理論結(jié)果解決傳染病的傳染問(wèn)題。因此，利用動(dòng)力學(xué)方法建立傳染病模型，分析流行病的發(fā)病原因、尋求防治策略、預(yù)測(cè)疾病的流行規(guī)律已成為重要的研究?jī)?nèi)容，是現(xiàn)在備受關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。

1? 模型建立

近幾十年來(lái)，傳染病動(dòng)力學(xué)快速發(fā)展，由于傳染病傳播的不確定性和多樣性，關(guān)于傳染病問(wèn)題的研究始終無(wú)法完美地解決，但是大部分傳染病問(wèn)題都可以用數(shù)學(xué)模型來(lái)分析。關(guān)于傳染病生物數(shù)學(xué)模型[1]，已經(jīng)有很多專家和學(xué)者進(jìn)行研究。例如：傳染病有“人-人”現(xiàn)象，專家給出隔離來(lái)切斷傳播途徑，并通過(guò)接種疫苗來(lái)預(yù)防傳染病的傳播。但是有一些傳染病具有一定的潛伏期，因此文獻(xiàn)[2-4]研究了一類具有潛伏期的傳染病模型，這類模型考慮了傳染病在染病期間具有傳染性，研究了模型的局部和全局穩(wěn)定性，但是沒有考慮在潛伏期間也具有傳染性;文獻(xiàn)[5-8]研究了傳染病在潛伏期和染病期都具有傳染性，但是文中采用的雙線性發(fā)生率。當(dāng)生存的環(huán)境中人數(shù)很多時(shí)，患病者與人數(shù)成正比的接觸率和實(shí)際的情況不太符合，因?yàn)樵谝欢ǖ膯挝粫r(shí)間內(nèi)患病者所能接觸到易感者的數(shù)目是有限的;文獻(xiàn)[9]考慮了具有染病者康復(fù)的傳染病模型，但是文中只是在總?cè)丝跀?shù)量不變的情況下進(jìn)行討論，而人口數(shù)量是在發(fā)生變化的有一定的局限性。通常對(duì)于群居的人類和某些種群來(lái)說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率會(huì)比雙線性發(fā)生率更符合實(shí)際。因此，該文在上述文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，以一個(gè)更接近實(shí)際情況且復(fù)雜的標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，研究在潛伏期和染病期均具有傳染性的傳染病模型。

式中，S（t）、E（t）、I（t）、R（t）分別表示t時(shí)刻易感者、潛伏者，染病者和恢復(fù)者人群數(shù)量：N表示總?cè)丝诹?，表示?biāo)準(zhǔn)傳染率：d表示自然死亡率：μ表示潛伏者轉(zhuǎn)化為染病者的轉(zhuǎn)化率：ε、c表示潛伏者和染病者的恢復(fù)率：δ表示因病死亡率，參數(shù)d、μ、ε、c、δ為非負(fù)。由于模型（1）中前3個(gè)方程不含R，該文僅關(guān)心疾病是否流行，故可以不考慮模型（1）中的第四個(gè)方程，僅討論由前3個(gè)方程所構(gòu)成的傳染病模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)。由前面3個(gè)方程構(gòu)成的平面系統(tǒng)為：

該文僅在正向不變集內(nèi)，討論模型（2）的動(dòng)力學(xué)性態(tài)。

2? 基本再生數(shù)和無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

一個(gè)病人在平均患病期內(nèi)所傳染的人數(shù)，稱為基本再生數(shù)[10-11]。基本再生數(shù)是用來(lái)區(qū)分疾病是否流行的閾值，當(dāng)基本再生數(shù)比1小，即染病者在平均患病期間傳染的人數(shù)比1小，模型在正向不變集D內(nèi)只存在著無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，疾病自然會(huì)逐步趨于滅絕;反之若基本再生數(shù)比1大，即染病者在平均患病期傳染的人數(shù)比1大，模型在D內(nèi)還存在著地方病平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，疾病將始終存在而逐漸形成一種地方病。該模型利用再生矩陣法計(jì)算可以得到模型（2）的基本再生數(shù) R0=。

求模型（2）的平衡點(diǎn)，令其模型的右端為零解方程，從而求得疾病消除的無(wú)病平衡點(diǎn)和疾病持續(xù)存在的地方病平衡點(diǎn)。

引理：若線性化矩陣的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，則模型的解是漸進(jìn)穩(wěn)定的;若線性化矩陣的所有特征值均具有非正實(shí)部，或者其具有零實(shí)部的特征值僅有單重初等因子，則模型的解是穩(wěn)定的;若線性化矩陣至少有一個(gè)正實(shí)部的特征值，或者有多重初等因子的零實(shí)部特征值，則系統(tǒng)的解是不穩(wěn)定的[11]。

定理1：當(dāng)時(shí)，模型（2）的無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的[12-13];當(dāng)時(shí)，模型（2）的無(wú)病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。

證明：通過(guò)線性化得到模型（2）在無(wú)病平衡點(diǎn)處的Jacobi矩陣為：

因此得到特征方程為：

顯然，該模型有一個(gè)特征值λ1=-d<0，另外兩個(gè)特征值滿足方程，其中：

當(dāng)時(shí)，有，，3個(gè)特征值的實(shí)部均小于零，由引理可知，模型（2）在無(wú)病平衡點(diǎn)處是局部漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)時(shí)，有，有一個(gè)特征值實(shí)部大于零，由引理可知，模型（2）在無(wú)病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。

定理2：當(dāng)時(shí)，模型（2）的無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明：構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)為[14]：

沿模型（2）軌線的全導(dǎo)數(shù)有：

當(dāng)R0<1時(shí)，由Lasalle不變集原理可知，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，模型的解均有染病者趨于零，易感者趨于N/d，而D中所有軌線均趨于無(wú)病平衡點(diǎn)，因此模型（2）的無(wú)病平衡點(diǎn)在D內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

3? 結(jié)語(yǔ)

該文討論了具有更接近實(shí)際生活的標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SEIR傳染病模型，利用再生矩陣法得到模型的基本再生數(shù)，求出模型的無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn);利用LaSalle不變集原理和Lyapunov函數(shù)，證明當(dāng)R0<1時(shí)，模型的無(wú)病平衡點(diǎn)的局部和全局漸近穩(wěn)定性，這意味著，在生存的環(huán)境中無(wú)論開始感染的病人有多少，傳染病都不會(huì)大規(guī)模流行而是逐漸趨于滅絕。關(guān)于模型的地方病平衡點(diǎn)的局部和全局漸近穩(wěn)定性有待于進(jìn)一步解決。

參考文獻(xiàn)

[1] 馬知恩，周義倉(cāng)，王穩(wěn)地，等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].北京：科學(xué)出版社，2004：33.

[2] 豆中麗，王銳.一類具有飽和發(fā)生率和潛伏期的SEIR模型的穩(wěn)定性[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2019，58（2）：155-160.

[3] 米曉麗.一類含潛伏期且總?cè)丝谠谧兓腟EIRI傳染病模型的全局穩(wěn)定性[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，29（1）：15-18.

[4] 張改平，董玉才，許飛，等.具有垂直傳染且總?cè)丝谠谧兓腟IRS傳染病模型的漸近分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011，41（18）：139-143.

[5] 梁桂珍，郝林莉.一類潛伏期和染病期均傳染的SEIQR流行病模型的穩(wěn)定性[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2020，45（3）：1-9.

[6] 楊金根，王鐵英，張萍.潛伏期和染病期均傳染且具脈沖接種的傳染病模型[J].信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2017，30（3）：345-348.

[7] 米曉麗，王鑫.一類潛伏期和染病期均傳染的SEIR傳染病模型的穩(wěn)定性研究[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016，30（3）：12-14.

[8] 趙海全，王美娟，唐春婷.潛伏期和染病期均傳染的SEIS模型的分析[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，32（5）：457-460.

[9] 方彬，楊金根，李學(xué)志.潛伏期和染病期均具有康復(fù)的年齡結(jié)構(gòu)MSEIS流行病模型的穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2018，22（1）：90-100.

[10] 馬知恩，周義倉(cāng)，李承治.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M].北京：科學(xué)出版社，2015：6.

[11] Huang SZ. A new SEIR epidemic model applications to the theory of eradication and control of diseases and to the calculation[J].Mathematical Bioscienc-es，2008，2015（1）：84-104.

[12] 郝林莉.幾類具有潛伏期的流行病模型的穩(wěn)定性分析[D].鄭州大學(xué)，2019.

[13] 張瑞霞.基于動(dòng)力系統(tǒng)的復(fù)雜社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中傳播行為建模研究[D].山西大學(xué)，2018.

[14] Busenberg S，van den Driessche P. Analysis of a disease transmission model in a population with varying size[J].Journal of mathematical biology，2014，28（3）：257-270.