魏新輝 ，張翼 ，吳忠維 ，蘇映宏 ，崔傳智 ，陳業(yè)詳

（1.中國石化勝利油田分公司油氣開發(fā)管理中心，山東 東營 257100；2.中國石化石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；3.中國石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東 青島 266580）

非常規(guī)儲層具有低孔、低滲特征［1-3］（孔隙度小于10%，滲透率小于1×10-3μm2），通常情況下無自然產(chǎn)能，常采用壓裂改造技術(shù)實現(xiàn)其經(jīng)濟高效的開發(fā)。非常規(guī)儲層油井壓裂后雖然可以獲得經(jīng)濟油流，但受儲層物性（滲透率與孔隙度）影響，壓裂井產(chǎn)量遞減快，第1年遞減超50%，且長期處于低產(chǎn)階段，最終在生產(chǎn)曲線上呈現(xiàn)出“L”型特征［4-5］。

目前對產(chǎn)量遞減規(guī)律的研究方法較多，主要有基于滲流理論的（半）解析方法［6-9］與基于數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗法［10-18］?；跐B流理論的（半）解析方法是在各自假設(shè)的基礎(chǔ)上，建立與其相適應(yīng)的滲流數(shù)學(xué)模型，求解模型獲得產(chǎn)量遞減規(guī)律。該方法不僅計算過程比較復(fù)雜，且較難運用于復(fù)雜儲層和開發(fā)條件（邊底水、非均質(zhì)性、化學(xué)驅(qū)等）下的產(chǎn)量遞減規(guī)律的研究。而基于數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗法［10-18］是從遞減數(shù)據(jù)出發(fā)，研究遞減數(shù)據(jù)規(guī)律，不受儲層物性、油藏類型及開發(fā)條件的限制，適應(yīng)性廣。Arps［11］通過分析井底定壓生產(chǎn)的油氣井生產(chǎn)數(shù)據(jù)，獲得了Arps產(chǎn)量遞減類型，分別為指數(shù)遞減（遞減指數(shù) n=0）、雙曲線遞減（0＜n＜1）、調(diào)和遞減（n=1），可見n的取值范圍都在0～1。陳元千等［12］在Arps產(chǎn)量遞減類型基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了線性遞減（n=-1）與冪函數(shù)遞減類型（1＜n≤2）。從陳元千的研究成果可知，線性遞減類型對應(yīng)的產(chǎn)量遞減速度最大，其次是指數(shù)遞減、雙曲線遞減、調(diào)和遞減及冪函數(shù)遞減類型。

如前所述，非常規(guī)儲層壓裂井的生產(chǎn)曲線呈現(xiàn)出“L”型特征［4-5］，即前期產(chǎn)量遞減快，后期遞減慢。因此，整個產(chǎn)量遞減過程已經(jīng)無法歸屬于某一種遞減類型。齊亞東等［16］通過修正 ILK 等［17］確立的遞減率，獲得了“雙曲-指數(shù)”混合遞減模型。該混合遞減模型將產(chǎn)量遞減初期與后期分為不同的遞減類型，但可惜的是，該混合遞減模型默認了后期產(chǎn)量遞減為指數(shù)遞減，而指數(shù)遞減屬于產(chǎn)量遞減速度較快的遞減類型。結(jié)合產(chǎn)量遞減曲線的“L”型特征可知，默認指數(shù)遞減為后期產(chǎn)量遞減類型，將限制該混合遞減模型在非常規(guī)儲層壓裂井產(chǎn)量遞減分析中的運用。

本文針對產(chǎn)量遞減初期與后期服從不同的遞減規(guī)律，提出了全周期產(chǎn)量遞減模型，對比常用產(chǎn)量遞減類型的遞減特征，構(gòu)建、求解全周期遞減模型，開展模型驗證分析，進行了全周期產(chǎn)量遞減模型討論與遞減特征分析。本研究對認識非常規(guī)儲層壓裂井產(chǎn)量遞減特征和準確評估可采儲量具有重要意義。

1 常規(guī)產(chǎn)量遞減類型

常規(guī)產(chǎn)量遞減類型包括線性遞減、指數(shù)遞減、雙曲線遞減、調(diào)和遞減和冪函數(shù)遞減。各遞減類型的相關(guān)參數(shù)（遞減指數(shù)、無因次遞減率、無因次產(chǎn)量等）取值見表1。表中D為遞減率，t為時間，q為產(chǎn)量，三者的無因次量定義分別為 DD=D/Di，tD=Dit，qD=q/qi（下標 i，D 分別表示初始值與無因次）。

表1 常規(guī)產(chǎn)量遞減類型的相關(guān)參數(shù)取值

初期遞減率Di取0.01 d-1，雙曲線遞減類型n取0.5，冪函數(shù)遞減類型n取2.0。計算DD與qD，并作DD，qD隨tD變化的關(guān)系曲線（見圖1）。

圖1 常規(guī)產(chǎn)量遞減類型特征

由圖1a可知：線性遞減的DD隨tD增加而增大，指數(shù)遞減的DD為定值，其他遞減類型的DD均隨tD的增加而降低，只是降低趨勢不同——冪函數(shù)遞減的DD降低最快，其次是調(diào)和遞減、雙曲線遞減。當(dāng)tD=0.6時，線性遞減、指數(shù)遞減、雙曲線遞減、調(diào)和遞減及冪函數(shù)遞減類型的 DD分別為 2.50，1.00，0.77，0.63，0.45。

由圖1b可知：隨著時間的推移，各遞減類型對應(yīng)的qD均降低，降低趨勢由快到慢依次為線性遞減、指數(shù)遞減、雙曲線遞減、調(diào)和遞減及冪函數(shù)遞減類型。當(dāng)tD=0.6時，線性遞減、指數(shù)遞減、雙曲線遞減、調(diào)和遞減及冪函數(shù)遞減類型的qD減少量分別為0.60，0.45，0.41，0.38，0.33。

2 全周期產(chǎn)量遞減模型

2.1 模型構(gòu)建及求解

齊亞東等［16］通過修正 ILK 等［17］建立的遞減率模型，獲得的“雙曲-指數(shù)”混合遞減模型為

式中：D∞為產(chǎn)量后期遞減率，1/d；m為時間系數(shù)。

根據(jù)遞減率定義可知：

將式（2）代入式（1），分離變量積分可獲得產(chǎn)量表達式：

分析遞減率模型可知：當(dāng)時間較小時，D=Di；時間較大時，D=D∞。而齊亞東模型［16］與非常規(guī)儲層產(chǎn)量遞減呈現(xiàn)的“L”型特征相矛盾，因此，本文構(gòu)建了非常規(guī)儲層壓裂井全周期產(chǎn)量遞減模型：

對比式（4）與式（1）可知，D∞由常數(shù)變?yōu)殡S時間變化的量。結(jié)合表1可知：當(dāng)0＜n＜1時，全周期產(chǎn)量遞減率在后期為雙曲線遞減類型；當(dāng)n=1時，后期為調(diào)和遞減類型；當(dāng)1＜n≤2時，后期為冪函數(shù)遞減類型。

將式（2）代入式（4），分離變量積分可以獲得產(chǎn)量表達式：

全周期產(chǎn)量遞減模型求解思路：首先，收集產(chǎn)量與時間的數(shù)據(jù)點（t1，q1），（t2，q2），…，（tj，qj），…，（tN，qN）；再用式（5）去擬合產(chǎn)量動態(tài)數(shù)據(jù)，從而獲得待定參數(shù)（初期遞減率Di、后期遞減率D∞、時間系數(shù)m、遞減指數(shù)n等）。該擬合問題為非線性最小二乘法問題：

F為實際值與計算值之差的平方和的1/2，其值越小，表示擬合效果越好。Levenberg-Marquardt方法（LM方法）由于對初值要求低、計算速度快的特點，在求解非線性最小二乘法問題上具有先天優(yōu)勢。將產(chǎn)量與時間數(shù)據(jù)代入式（5），可以獲得Ax=B矩陣形式的方程組。 x為需要求解的參數(shù)向量（x=［m DiD∞n］），求解Ax=B的雅克比矩陣J后，運用L-M方法，按照以下步驟求解 min F：1）任給初值 x0=［m0Di0D∞0n0］；2）依據(jù)L-M 方法，可得迭代公式（JTJ+λI）Δx=-JTf（x），運用步驟 1）中的數(shù)據(jù)，可得 Δx；3）若 F（x+Δx）≥F（x），則搜索值比原值誤差大，不滿足條件，擴大搜索范圍（λ→αλ），返回步驟 2），重新計算 Δx；4）若 F（x+Δx）＜F（x），則搜索值比原值誤差小，更新原值，并縮小搜索范圍（λ→βλ），若滿足允許誤差（‖JTf（x）‖＜ε），或達到最大搜索次數(shù)，就終止迭代，否則返回步驟2）重新搜索。

min F求解步驟的公式中：上標T為矩陣轉(zhuǎn)置；λ為阻尼參數(shù)或優(yōu)化半徑，用于描述搜索范圍；α，β分別為放大因子和縮小因子，通常α取值為2.0，β取值為0.5；ε 為允許誤差。Δx 和 f（x）的表達式分別為

2.2 模型驗證

分別運用全周期產(chǎn)量遞減模型和齊亞東模型對鄂爾多斯盆地南部H油田壓裂井（HP30井與H1-350井）的產(chǎn)量數(shù)據(jù)進行擬合，獲得的模型參數(shù)見表2。由表可知，運用全周期產(chǎn)量遞減模型和齊亞東模型擬合實際井的產(chǎn)量數(shù)據(jù)時，全周期產(chǎn)量遞減模型的殘差平方要小于齊亞東模型的殘差平方，即前者與實際井產(chǎn)量數(shù)據(jù)的吻合度更高，誤差更小。

表2 擬合獲得模型參數(shù)

圖2為全周期產(chǎn)量遞減模型和齊亞東模型擬合HP30井與H1-350井產(chǎn)量數(shù)據(jù)的結(jié)果。由圖可見，HP30井產(chǎn)量遞減曲線呈現(xiàn)明顯的“L”型特征：0～200 d，產(chǎn)量快速降低；200～750 d，產(chǎn)量緩慢降低。與齊亞東模型相比，全周期產(chǎn)量遞減模型計算的產(chǎn)量在0～200 d內(nèi)降低速度更快，而在200～750 d內(nèi)降低速度更慢。

圖2 模型擬合結(jié)果

H1-350井產(chǎn)量遞減數(shù)據(jù)也呈現(xiàn)明顯的“L”型特征：0～192 d，產(chǎn)量快速降低；192～300 d，產(chǎn)量緩慢降低。與齊亞東模型相比，全周期產(chǎn)量遞減模型計算的產(chǎn)量與實際產(chǎn)量吻合更好。全周期產(chǎn)量遞減模型擬合HP30井產(chǎn)量的效果比H1-350井的效果好，原因是H1-350井后期（192 d后）數(shù)據(jù)較少。

運用表2中全周期產(chǎn)量遞減模型擬合HP30井獲得的參數(shù)，結(jié)合式（4）可計算產(chǎn)量遞減率隨時間變化的曲線（見圖3）。由圖可知，遞減率先快速增加，然后再緩慢下降。由常用產(chǎn)量遞減類型特征可知，只有線性遞減的遞減率隨時間增加而增加，因此HP30井產(chǎn)量遞減初期為線性遞減類型；而在HP30井產(chǎn)量遞減后期，遞減指數(shù)為0.792，依據(jù)表1中遞減指數(shù)取值范圍可知，HP30井產(chǎn)量遞減后期為雙曲線遞減類型。

圖3 HP30井產(chǎn)量遞減率隨時間變化情況

運用全周期產(chǎn)量遞減模型進行產(chǎn)量擬合時，需要確認生產(chǎn)井已經(jīng)進入產(chǎn)量遞減階段。模型中的時間系數(shù)用于對產(chǎn)量遞減數(shù)據(jù)進行分段，且只能分為遞減初期與后期；如果未進入產(chǎn)量遞減階段，實際產(chǎn)量數(shù)據(jù)分為穩(wěn)產(chǎn)、遞減初期及遞減后期，最終將導(dǎo)致擬合、預(yù)測結(jié)果與實際相差較遠。

2.3 特征分析

全周期產(chǎn)量遞減模型的無因次遞減率為

全周期產(chǎn)量遞減模型的無因次產(chǎn)量為

用表2模型參數(shù)計算的無因次產(chǎn)量圖版如圖4所示。由圖可知：qD隨著tD的推移，先快速降低，后趨于穩(wěn)定；Di對無因次產(chǎn)量曲線形狀影響較小，然而當(dāng)Di增加時，無因次產(chǎn)量曲線右移，這是tD定義方式所致；D∞越大，m越大，無因次產(chǎn)量遞減就越快；n只影響產(chǎn)量遞減后期，n越大，產(chǎn)量遞減后期的遞減速度越慢。

圖4 無因次產(chǎn)量圖版

3 結(jié)論

1）本文提出了全周期產(chǎn)量遞減模型，推導(dǎo)了產(chǎn)量計算表達式，并給出了相應(yīng)的無因次遞減率與產(chǎn)量計算公式。通過對比鄂爾多斯盆地南部H油田壓裂井產(chǎn)量遞減數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果，驗證了全周期產(chǎn)量遞減模型能夠較好地描述非常規(guī)儲層產(chǎn)量遞減規(guī)律。

2）鄂爾多斯盆地南部H油田HP30壓裂井的產(chǎn)量遞減率先快速增加，后緩慢降低，遞減初期為線性遞減類型，后期為雙曲線遞減類型，遞減指數(shù)為0.792。

3）初期遞減率對無因次產(chǎn)量曲線形狀影響較小，遞減指數(shù)僅影響產(chǎn)量遞減后期，當(dāng)遞減指數(shù)變大時，產(chǎn)量遞減后期的遞減速度變慢。