張 鵬 吳立新 胡治國(guó) 張雪冬

(1 中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所 聲場(chǎng)聲信息國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190)

(2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

0 引言

水聲信道是一個(gè)時(shí)空頻變化的復(fù)雜多途信道。海洋環(huán)境特性隨著時(shí)間、季節(jié)、地域和海洋動(dòng)力過(guò)程等因素而產(chǎn)生不確定的變化，這些不確定的變化必然會(huì)導(dǎo)致由海洋環(huán)境參數(shù)決定的水下聲場(chǎng)的不確定分布，從而引起水聲通信和探測(cè)系統(tǒng)性能的降低[1-2]。因此需要深入了解海洋環(huán)境參數(shù)不確定情況下聲場(chǎng)分布統(tǒng)計(jì)特性以及各個(gè)環(huán)境參數(shù)對(duì)聲場(chǎng)分布的影響程度，來(lái)實(shí)現(xiàn)聲吶系統(tǒng)的性能評(píng)估預(yù)報(bào)或者對(duì)聲吶系統(tǒng)的設(shè)計(jì)進(jìn)行指導(dǎo)。

近些年來(lái)，海洋聲學(xué)中的不確定性研究受到了廣泛的關(guān)注，研究的重點(diǎn)在于環(huán)境信息不完全的情況下基于模擬的聲場(chǎng)不確定性預(yù)測(cè)，同時(shí)定量地評(píng)估不確定的環(huán)境參數(shù)對(duì)聲場(chǎng)的影響[3-16]。傳統(tǒng)的蒙特卡洛方法在存在多個(gè)不確定環(huán)境參數(shù)時(shí)所需計(jì)算量很大，且收斂較慢，而且該方法在進(jìn)行環(huán)境參數(shù)敏感度分析時(shí)僅考慮單個(gè)變量的影響，不能計(jì)算不確定環(huán)境參數(shù)之間的交互效應(yīng)[4-7]。還有一些學(xué)者應(yīng)用聲場(chǎng)位移法來(lái)分析環(huán)境參數(shù)的敏感度，但該方法有嚴(yán)格的適用條件，適用范圍較窄[8-10]。代理模型方法(多項(xiàng)式混沌展開(kāi)(Polynomial chaos expansion，PCE)法、Kriging法等)是一種常用的處理多維和非線性問(wèn)題的有效方法，近年來(lái)被廣泛用于水聲不確定傳播問(wèn)題的研究。已有的研究大多應(yīng)用PCE或者Kriging法來(lái)分析預(yù)測(cè)不確定環(huán)境下的聲場(chǎng)分布，但是研究選取的不確定環(huán)境參數(shù)數(shù)量較少，隨著環(huán)境參數(shù)數(shù)量的增加，需要更多的多項(xiàng)式展開(kāi)項(xiàng)數(shù)和訓(xùn)練點(diǎn)數(shù)使得計(jì)算結(jié)果收斂，這會(huì)導(dǎo)致計(jì)算效率大幅度降低[11-16]。

本文考慮一個(gè)3 層模型的淺海海洋環(huán)境，根據(jù)設(shè)定的“淺海負(fù)梯度溫躍層”信道，定量分析了代表聲速剖面、水深和沉積層的8 個(gè)不確定環(huán)境參數(shù)對(duì)水下聲傳播的影響，同時(shí)根據(jù)射線理論從海底反射的角度解釋了各個(gè)環(huán)境因素影響程度差異的具體原因。

1 聲場(chǎng)分布的不確定性分析原理

水下聲場(chǎng)的不確定性分析包含隨機(jī)海洋環(huán)境參數(shù)概率分布的不確定性量化、聲場(chǎng)模型輸出響應(yīng)集合的不確定性傳播以及聲場(chǎng)分布對(duì)于隨機(jī)海洋環(huán)境參數(shù)的敏感性分析。圖1顯示了基于PCE法的聲場(chǎng)不確定性分析過(guò)程。

圖1 基于PCE 方法的聲場(chǎng)不確定性量化分析Fig.1 Quantitative analysis of sound field uncertainty based on PCE model

1.1 多項(xiàng)式混沌展開(kāi)

由于海洋環(huán)境參數(shù)空間分布的不均勻性、海洋動(dòng)力過(guò)程導(dǎo)致的參數(shù)不確定性以及觀測(cè)數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差，環(huán)境參數(shù)表現(xiàn)出服從一定概率密度函數(shù)的分布。將N個(gè)不確定的環(huán)境參數(shù)用集合來(lái)表示，對(duì)于給定的概率空間，聲場(chǎng)模型的輸出值可以展開(kāi)為

其中，第一項(xiàng)為多項(xiàng)式混沌展開(kāi)的均值，Γβ(ξ)為各階混沌展開(kāi)項(xiàng)，αβ為對(duì)應(yīng)各階混沌展開(kāi)項(xiàng)的系數(shù)，ξi1，ξi2，ξi3，···，ξiN表示一組互相獨(dú)立的環(huán)境參數(shù)隨機(jī)變量。

如果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量來(lái)描述不確定參數(shù)變量ξ，則PCE 方法可以將模型響應(yīng)描述為不確定參數(shù)的Hermite 多項(xiàng)式函數(shù)的展開(kāi)式。對(duì)于其他類型的隨機(jī)變量，可以使用不同的多項(xiàng)式基或進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q[17]。表1總結(jié)了多項(xiàng)式的選擇和隨機(jī)變量的分布類型之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

表1 隨機(jī)變量分布與正交多項(xiàng)式之間的關(guān)系Table 1 Classical univariate polynomial families used in PCE

多項(xiàng)式混沌展開(kāi)的項(xiàng)數(shù)可由展開(kāi)式的最高階數(shù)M以及隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)N確定為

根據(jù)稀疏效應(yīng)原則，只有輸入變量之間的低階相互作用才是最重要的，絕大部分高階相互作用的影響可以忽略。因此可以利用Q 范數(shù)來(lái)定義一個(gè)雙曲截?cái)喾桨福?/p>

式(3)中，

PCE方法的核心是展開(kāi)系數(shù){αβ}β∈A的求解。根據(jù)公式(1)可以得到

式(5)中，P(ξ)是實(shí)際輸出，PPCE(ξ)為PCE 方法預(yù)測(cè)輸出，ε為殘差。

PCE 方法的系數(shù)求解問(wèn)題可以構(gòu)造為最小二乘優(yōu)化問(wèn)題，使得殘差最小化：

1.2 Sobol敏感度分析

本文使用Sobol 敏感度指數(shù)估計(jì)全局非線性敏感度[18]。Sobol 指數(shù)和PCE 具有相似的多項(xiàng)式展開(kāi)，并且都使用正交項(xiàng)。因此，一旦計(jì)算出PCE 的多項(xiàng)式系數(shù)，就可以直接得到各階Sobol 指數(shù)和總階Sobol 指數(shù)的解析解，而不需要任何額外的模型計(jì)算。根據(jù)混沌多項(xiàng)式的正交性可以得到

式(7)中，

則Sobol敏感度指數(shù)為

2 數(shù)值計(jì)算與分析

2.1 環(huán)境參數(shù)設(shè)置

本文選取如圖2所示的3層水聲信道參數(shù)模型，圖2中確定性參數(shù)為聲源頻率500 Hz，溫躍層下限深度D2= 70 m，海底附近聲速為1500 m/s，其他不確定參數(shù)及其分布如表2所示，其中沉積層的吸收系數(shù)根據(jù)Hamilton經(jīng)驗(yàn)公式[19]來(lái)確定

表2 數(shù)值計(jì)算中使用的不確定性環(huán)境參數(shù)分布Table 2 The uncertain environmental parameters in numerical caculations

圖2 水聲信道環(huán)境參數(shù)模型Fig.2 Environmental parameter model of shallow water acoustic channel

2.2 聲傳播的不確定性分析

拋物方程近似聲場(chǎng)模型(Range-dependent acoustic model-parabolic equation，RAM-PE)是一種常用的聲場(chǎng)計(jì)算模型，本文采用該模型與多項(xiàng)式混沌展開(kāi)法相結(jié)合來(lái)研究聲場(chǎng)的不確定性分布。

圖3給出了上發(fā)下收(聲源深度：溫躍層內(nèi)；接收深度：80 m)和下發(fā)下收(聲源深度：溫躍層以下；接收深度：80 m)這兩種收發(fā)情況在100 km 接收距離處PCE 方法與10000 次蒙特卡羅方法計(jì)算得到的傳播損失概率密度對(duì)比，兩種方法計(jì)算的結(jié)果較吻合，但是PCE 方法僅需調(diào)用聲場(chǎng)模型200 次即可滿足給定的精度閾值1%的均方根誤差，相較于蒙特卡羅方法的計(jì)算效率大幅提升?？梢钥吹铰曉次挥跍剀S層以下時(shí)，傳播損失均值和標(biāo)準(zhǔn)差較小，分布相對(duì)集中；而當(dāng)聲源位于溫躍層內(nèi)時(shí)，由于溫躍層聲速的分布特性，聲線與海底的相互作用明顯增加，因此海洋環(huán)境的不確定性對(duì)傳播損失的影響更加劇烈。接下來(lái)將利用Sobol 敏感度指數(shù)來(lái)定量分析表2中各個(gè)序號(hào)對(duì)應(yīng)的環(huán)境參數(shù)對(duì)聲場(chǎng)分布的影響程度。

圖3 不同聲源深度的傳播損失分布Fig.3 Transmission loss distribution of different sound source depth

2.3 環(huán)境參數(shù)敏感度分析

應(yīng)用1.1 節(jié)中Sobol 敏感度分析方法，圖4給出了聲源分別位于溫躍層內(nèi)和溫躍層以下時(shí)在100 km 接收距離80 m 接收深度處的環(huán)境參數(shù)敏感度指數(shù)，兩種情況下沉積層聲速的不確定性對(duì)于該接收位置處的傳播損失的影響都是占絕對(duì)主導(dǎo)地位，但是聲源位于溫躍層內(nèi)時(shí)，聲源深度對(duì)聲場(chǎng)分布的不確定性也有一定的貢獻(xiàn)，其他因素的影響基本可以忽略。同時(shí)觀察到僅有環(huán)境參數(shù)的低階相互作用對(duì)聲場(chǎng)不確定性分布影響顯著，高階相互作用的影響可以忽略，這也符合稀疏效應(yīng)原則，因此后續(xù)主要從總敏感度指數(shù)的角度來(lái)分析環(huán)境參數(shù)的影響程度。

圖4 不同聲源位置在100 km 距離上接收點(diǎn)處一階、二階及總敏感度指數(shù)Fig.4 The sensitivity indexes of different sound source depth at 100 km receiving distance

圖5為上發(fā)下收和下發(fā)下收時(shí)所有隨機(jī)參數(shù)的總敏感度指數(shù)隨傳播距離的變化。觀察發(fā)現(xiàn)兩種收發(fā)情況下在20 km 傳播距離內(nèi)，各個(gè)環(huán)境參數(shù)都對(duì)聲場(chǎng)的不確定性分布有較重要的影響，且隨著傳播距離的增加，除了沉積層聲速外的各個(gè)參數(shù)影響程度逐漸減小。

圖5 所有環(huán)境參數(shù)的總敏感度指數(shù)隨傳播距離的變化Fig.5 The Sobol sensitivity index varies with propagation distance

當(dāng)傳播距離大于20 km 時(shí)，兩種收發(fā)情況下聲場(chǎng)分布對(duì)環(huán)境參數(shù)的敏感度呈現(xiàn)一定的差異：對(duì)于溫躍層內(nèi)的聲源，聲源深度的敏感度指數(shù)隨著傳播距離增加逐漸增大，并且在60 km 以后穩(wěn)定在0.25左右，沉積層聲速的敏感度指數(shù)總體保持在0.7 以上。這是由于躍層中聲速的負(fù)梯度使得聲線向海底傳播，進(jìn)而增加了與海底的相互作用次數(shù)，本文并未考慮海面粗糙度以及波浪等海表面不確定性參數(shù)對(duì)聲傳播的影響，因此海底環(huán)境參數(shù)對(duì)聲場(chǎng)影響最大，其中海底沉積層聲速的影響最大。其他環(huán)境參數(shù)的影響非常小，基本可以忽略。當(dāng)聲源位于溫躍層以下時(shí)，各個(gè)環(huán)境參數(shù)中，沉積層聲速的敏感度指數(shù)基本保持在0.85 以上，是聲場(chǎng)不確定性分布的最主要貢獻(xiàn)參數(shù)，其他環(huán)境參數(shù)的敏感度指數(shù)都低于0.1。因此對(duì)于20 km 以后的聲場(chǎng)分布，給定環(huán)境下僅需要重點(diǎn)考慮沉積層聲速的影響。

根據(jù)上述計(jì)算分析結(jié)果，選擇下發(fā)下收的情況研究不確定環(huán)境參數(shù)對(duì)不同頻率聲源聲場(chǎng)分布的影響。從圖6可以看到，當(dāng)聲源位于溫躍層以下時(shí)，聲源深度對(duì)聲場(chǎng)分布的影響隨著頻率的升高不斷增加，與之相反的是沉積層聲速敏感度指數(shù)逐漸降低。在較低頻段內(nèi)(0～1700 Hz)，聲源深度的敏感度指數(shù)在0.8 以上，其他參數(shù)敏感度指數(shù)在絕大多數(shù)頻率下均保持在0.2以下。

圖6 所有環(huán)境參數(shù)的Sobol 敏感性指數(shù)隨頻率的變化Fig.6 The Sobol sensitivity index varies with source frequency

2.4 環(huán)境參數(shù)敏感度差異解釋

海水中聲信號(hào)經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)距離傳輸后的能量損失主要由聲傳播過(guò)程中波陣面的擴(kuò)展帶來(lái)的擴(kuò)展衰減、不均勻海水介質(zhì)造成的吸收衰減以及海底海面邊界反射的損失組成。由于給定的信道環(huán)境未考慮海面的影響，而且通過(guò)敏感度指數(shù)的分析發(fā)現(xiàn)海底底質(zhì)聲學(xué)參數(shù)對(duì)聲場(chǎng)分布影響較大，因此這里重點(diǎn)從射線角度分析海底沉積層參數(shù)的影響。

考慮如圖7所示的3 層模型[20]，圖中Rij和Tij分別表示反射系數(shù)和透射系數(shù)，下標(biāo)對(duì)應(yīng)傳播的方向。除了邊界處幅度的變化，還需要考慮相位的變化：

圖7 聲波在兩層海底模型中的反射Fig.7 Reflection and transmission by a layered halfspace

則總的反射系數(shù)

式(12)中，

其中，Zi為有效阻抗，

則公式(12)轉(zhuǎn)化為用有效阻抗來(lái)表示：

海底反射損失可以表示為

在考慮沉積層吸收時(shí)，公式(13)中有效阻抗中沉積層聲速和基底聲速可以分別表示為[20]

將表2中的不確定環(huán)境參數(shù)帶入式(15)求解海底反射損失，統(tǒng)計(jì)其在不同頻率和角度分布的標(biāo)準(zhǔn)差和均值結(jié)果，如圖8所示。

圖8 海底反射損失標(biāo)準(zhǔn)差和均值分布Fig.8 The standard deviation and mean distribution of bottom reflection loss

為了方便解釋，通過(guò)Bellhop 射線模型計(jì)算上發(fā)下收和下發(fā)下收兩種情況下典型聲源深度(50 m和80 m)對(duì)應(yīng)的本征聲線和時(shí)間到達(dá)結(jié)構(gòu)，如圖9所示，計(jì)算結(jié)果也可以反映兩種情況下不同聲源深度對(duì)應(yīng)聲線和到達(dá)結(jié)構(gòu)的總體趨勢(shì)。圖9中：藍(lán)綠色線表示掠射角小于7.5°的本征聲線和到達(dá)結(jié)構(gòu)，紅色表示掠射角大于7.5°小于15°的本征聲線和到達(dá)結(jié)構(gòu)，其他掠射角對(duì)應(yīng)的聲線和到達(dá)結(jié)構(gòu)用黑色線表示，結(jié)果表明兩種收發(fā)情況下掠射角均在15°以內(nèi)。本文中的掠射角特指聲線與海底相互作用時(shí)對(duì)應(yīng)的掠射角，7.5°以內(nèi)稱為小掠射角，7.5°～15°之間稱為大掠射角。

從圖9可以看到，上發(fā)下收時(shí)，大掠射角本征聲線數(shù)量遠(yuǎn)大于小掠射角聲線，而下發(fā)下收時(shí)的小掠射角本征聲線數(shù)量更多。小掠射角聲線具有更高的幅度，因此圖3(b)中下發(fā)下收時(shí)的傳播損失均值遠(yuǎn)小于圖3(a)中上發(fā)下收的情況。由圖8(a)可見(jiàn)，聲源頻率為500 Hz 時(shí)，大掠射角聲線對(duì)應(yīng)更大的海底反射損失標(biāo)準(zhǔn)差，因此圖3(a)中下發(fā)下收時(shí)傳播損失的分布標(biāo)準(zhǔn)差更大。

圖9 兩個(gè)不同深度聲源的本征聲線和時(shí)間到達(dá)結(jié)構(gòu)Fig.9 Comparison of the eigenrays and arrivals at two different source depth

對(duì)比圖5中上發(fā)下收和下發(fā)下收兩種情況，通過(guò)Bellhop 射線模型計(jì)算不同接收距離處掠射角度。當(dāng)收發(fā)距離在20 km 以內(nèi)時(shí)，各個(gè)環(huán)境因素不確定性對(duì)公式(14)中的掠射角度和阻抗等都具有一定程度的影響，且影響程度隨距離增加逐漸減小。

在20 km 以后較遠(yuǎn)的傳播距離上，聲線到達(dá)結(jié)構(gòu)與圖9中的計(jì)算結(jié)果較類似。上發(fā)下收時(shí)，溫躍層中聲速的負(fù)梯度使得聲線向海底傳播，聲源深度的變化會(huì)顯著地改變掠射角的分布位置，從而造成海底反射損失的較大波動(dòng)，所以在圖5(a)中20 km以后聲源深度的敏感度指數(shù)較大。

對(duì)于下發(fā)下收的情況，遠(yuǎn)距離處聲源深度的變化會(huì)一定程度影響小掠射角聲線的分布，從圖8中提取5°和11°這兩個(gè)典型掠射角對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差、均值與頻率的關(guān)系，如圖10 所示。觀察圖8和圖10 可以看到，不同頻率聲源在小掠射角下的海底反射損失波動(dòng)比大掠射角聲線的反射損失波動(dòng)小很多，因此聲場(chǎng)分布的不確定性程度主要取決于大掠射角聲線海底反射損失波動(dòng)。低頻段內(nèi)大掠射角對(duì)應(yīng)的海底反射損失要比高頻段小很多，聲能量可以傳播到較遠(yuǎn)距離處，所以低頻段內(nèi)海底沉積層對(duì)聲場(chǎng)分布的不確定性影響程度最大。隨著聲源頻率的增大，海底反射損失的均值也逐漸增加，大掠射角的聲線很難到達(dá)遠(yuǎn)距離處，因此小掠射角的聲線貢獻(xiàn)了主要的聲場(chǎng)能量，此時(shí)聲源深度的影響程度也逐漸增強(qiáng)，對(duì)應(yīng)圖6中隨頻率變化的環(huán)境參數(shù)敏感度。

圖10 掠射角為5°和11°時(shí)海底反射損失標(biāo)準(zhǔn)差、均值與頻率的關(guān)系Fig.10 The relationship between the standard deviation，mean value and frequency of bottom reflection loss

3 結(jié)論

本文將Sobol 敏感度指標(biāo)的計(jì)算與混沌多項(xiàng)式展開(kāi)方法相結(jié)合，根據(jù)設(shè)定的“水下負(fù)梯度溫躍層”信道模型，利用Q 范數(shù)約束的雙曲截?cái)喾桨竵?lái)減少多項(xiàng)式展開(kāi)項(xiàng)數(shù)，有效地分析了8 個(gè)海洋環(huán)境參數(shù)及其交互效應(yīng)對(duì)不同聲源位置、傳播距離和聲源頻率的聲場(chǎng)不確定性分布的影響及Sobol 敏感度指數(shù)代表的影響程度，計(jì)算結(jié)果表明：(1)對(duì)于20 km 以內(nèi)較近的傳播距離內(nèi)，上發(fā)下收和下發(fā)下收兩種情況下各個(gè)環(huán)境參數(shù)都對(duì)聲場(chǎng)不確定性分布有較大的影響，在20 km后的遠(yuǎn)場(chǎng)，沉積層聲速是聲場(chǎng)不確定性分布的最主要貢獻(xiàn)，同時(shí)上發(fā)下收時(shí)，聲源深度對(duì)聲場(chǎng)分布也有較大的影響。其他環(huán)境參數(shù)的影響基本可以忽略。(2)對(duì)于下發(fā)下收的情況，聲源深度對(duì)聲場(chǎng)分布的影響隨著頻率的升高不斷增加，與之相反的是沉積層聲速敏感度指數(shù)逐漸降低。

最后利用射線理論從海底反射的角度解釋了各個(gè)環(huán)境因素影響程度差異的具體原因。理論分析與計(jì)算結(jié)果較吻合，結(jié)果表明該方法可以有效地處理大量隨機(jī)環(huán)境參數(shù)情況下的聲場(chǎng)不確定性量化問(wèn)題，并識(shí)別出對(duì)傳播損失最有影響力的參數(shù)。在聲吶應(yīng)用中，根據(jù)實(shí)際使用條件，綜合考慮環(huán)境參數(shù)對(duì)聲場(chǎng)分布的敏感性，忽略敏感度較低的環(huán)境參數(shù)的變化性、關(guān)注對(duì)聲場(chǎng)不確定性影響較大的環(huán)境參數(shù)，可更精確預(yù)報(bào)和提升聲吶系統(tǒng)的性能。下一步將在更加復(fù)雜的情況，如三維海洋環(huán)境和內(nèi)波等水平變化環(huán)境，對(duì)文本所用分析方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。