穆 迪，王海江

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

超材料作為一種新型材料，通常是由整個(gè)空間區(qū)域內(nèi)按一定規(guī)則排布的散射體或小孔陣列構(gòu)成，能夠設(shè)計(jì)出多種天然電磁材料無(wú)法實(shí)現(xiàn)的電磁特性，包括負(fù)折射率、零折射率等。超表面是超材料的表面部分，是一種厚度遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)的超薄層結(jié)構(gòu)，在研究中常將其近似為二維材料進(jìn)行處理。與具有一定厚度的超材料相比，超表面占據(jù)更少的物理空間，同時(shí)對(duì)電磁波造成更小的損耗。

由于超材料的體積、重量、損耗等因素的影響，以及其本身在制造工藝上的難度，在頻率范圍和功能擴(kuò)展性上的制約，使得超表面逐步取代了傳統(tǒng)超材料的地位。近年來(lái)，超表面在各個(gè)鄰域都有著廣泛的應(yīng)用，比如可控智能超表面、空腔諧振器、新型波導(dǎo)結(jié)構(gòu)、吸波器、生物醫(yī)學(xué)設(shè)備等。

為了模擬電磁波在超材料中的傳播過程，進(jìn)而設(shè)計(jì)超材料的結(jié)構(gòu)參數(shù)實(shí)現(xiàn)預(yù)期的調(diào)制功能，目前針對(duì)超材料的主要分析方法有等效電路法、廣義斯涅爾定律法、等效阻抗法等。針對(duì)超表面的結(jié)構(gòu)特征，研究人員利用邊界條件對(duì)超表面處的電磁特性進(jìn)行數(shù)值分析。其中廣義薄層轉(zhuǎn)換條件GSTCs是近年興起的一種高效的超表面分析數(shù)值方法，用極化率張量表示超表面的結(jié)構(gòu)特征，從數(shù)值角度分析超表面對(duì)入射電磁波的作用，進(jìn)一步設(shè)計(jì)超表面的參數(shù)實(shí)現(xiàn)特定的調(diào)制功能。

1 GSTCs基本原理

GSTCs是一種應(yīng)用于超薄層結(jié)構(gòu)處(電磁場(chǎng)的邊界條件)分析的方法?；诘依朔植嫉膶?dǎo)數(shù)展開形式來(lái)表征超薄層結(jié)構(gòu)兩側(cè)的不連續(xù)性，利用極化率來(lái)表示超薄層的結(jié)構(gòu)、電磁參數(shù)，從而將“微觀”的結(jié)構(gòu)與宏觀的極化率聯(lián)系起來(lái)，用等效的方法來(lái)描述超薄層的整體電磁特性，其分析模型如圖1所示。

圖1 GTSCs分析模型

為了將微觀結(jié)構(gòu)與宏觀量聯(lián)系起來(lái)，可以將電場(chǎng)和磁場(chǎng)用電極化密度和磁極化密度表示，根據(jù)參考文獻(xiàn)[8]中的公式推導(dǎo)，假設(shè)超表面置于

x

=0處，可以得到：

(1)

(2)

式中：下標(biāo)||表示平行于超表面方向的分量。

可以看出，常規(guī)求解包含了矢量散度的計(jì)算，會(huì)導(dǎo)致方程的求解量異常龐大，因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常假設(shè)法相極化密度為零，即

P

=

M

=0，再代入極化密度與場(chǎng)值的關(guān)系，可得：

(3)

(4)

將電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別用分量的形式表示，有：

(5)

超表面的主要功能是對(duì)入射電磁波進(jìn)行調(diào)制，實(shí)現(xiàn)對(duì)反射、透射波的幅度、相位、傳播方向的控制，圖2給出了GSTCs方法在超表面整體設(shè)計(jì)中的4個(gè)步驟。

圖2 超表面整體設(shè)計(jì)

其中過程①是根據(jù)超表面等效的極化率張量求解邊界條件；過程②是根據(jù)確定的超表面結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)其等效的極化率張量；過程③依照確定的極化率取值，反推相應(yīng)的超表面結(jié)構(gòu)參數(shù)和電磁參數(shù)；過程④是從具體的調(diào)制功能出發(fā)，求解欲實(shí)現(xiàn)該功能所需的極化率取值。文章針對(duì)步驟①和④進(jìn)行分析，推導(dǎo)時(shí)域有限差分(FDTD)下的GSTCs方法的方程，并給出仿真實(shí)例驗(yàn)證分析和公式推導(dǎo)的正確性。

2 基于GSTCs方法的FDTD方程

為了模擬電磁波入射超表面的傳播過程，將GSTCs方法與數(shù)值算法結(jié)合。文章中將GSTCs方法引入FDTD算法中，具有以下的優(yōu)勢(shì)：(1)僅需變換超表面相鄰網(wǎng)格處電磁場(chǎng)方程，計(jì)算效率高；(2)與一般FDTD算法相比，超表面處的方程僅與極化率相關(guān)，算法易實(shí)現(xiàn)；(3)不同極化率取值可以模擬不同超表面，通用性高。為了驗(yàn)證FDTD算法實(shí)現(xiàn)GSTCs方法的正確性，分別對(duì)一維和二維超表面進(jìn)行方程推導(dǎo)和仿真驗(yàn)證。

2.1 一維超表面

假設(shè)超表面置于

yoz

平面處，如圖3所示。在不考慮法相分量的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)有

y

和

z

兩方向的分量，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，同時(shí)保證方程有唯一確定的解，極化率僅需保留4個(gè)量描述邊界處電場(chǎng)和磁場(chǎng)的數(shù)值關(guān)系，此時(shí)式(5)可以表示成4階對(duì)角矩陣：

圖3 二維GSTC-FDTD節(jié)點(diǎn)分布

(6)

將式(6)代入到式(5)中，有：

(7)

以電場(chǎng)

y

分量為例，迭代方程的一般形式為：

(8)

超表面處以0+處的磁場(chǎng)代替

i

處的磁場(chǎng)，這樣方程中的各分量均處于超表面同側(cè)，可以采用一般形式的FDTD方程，有：

(9)

由式(7)可得，超表面處的邊界條件為：

(10)

將式(9)代入到式(8)中可以得到超表面處電場(chǎng)

y

分量的迭代方程：

(11)

(12)

同理可得電場(chǎng)

z

分量以及磁場(chǎng)的方程。

2.2 二維超表面

圖4給出了二維超表面處的節(jié)點(diǎn)分布，其中超表面置于

yoz

平面上。以TM波為例，由于不考慮法相分量的作用，磁場(chǎng)

x

分量不需特殊化處理，因此，單模式調(diào)制的方程為：

圖4 二維GSTC-FDTD節(jié)點(diǎn)分布

(13)

對(duì)照一維的思路可以推導(dǎo)出超表面處迭代方程。二維超表面的雙模式調(diào)制，就是假定副對(duì)角線上的極化率不為0時(shí)的超表面功能。此時(shí)的方程形式可以表示成：

(14)

可以看出，此時(shí)的超表面可以對(duì)入射電磁波實(shí)現(xiàn)2種不同的調(diào)制功能。

3 仿真結(jié)果

3.1 一維幅度、偏轉(zhuǎn)角調(diào)制

一維超表面能夠?qū)θ肷潆姶挪ǖ姆瓷洳ê屯干洳ǖ姆?、偏轉(zhuǎn)角進(jìn)行調(diào)制，僅需找到幅度、偏轉(zhuǎn)角與超表面極化率的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可模擬電磁波入射超表面時(shí)相應(yīng)的調(diào)制功能。

進(jìn)行方程推導(dǎo)時(shí)分別研究了對(duì)入射電磁波的幅度、偏轉(zhuǎn)角的調(diào)制功能，進(jìn)而推導(dǎo)出幅度、偏轉(zhuǎn)角同時(shí)調(diào)制的電磁方程。圖5給出了一維超表面幅度和偏轉(zhuǎn)角同時(shí)調(diào)制時(shí)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的空間分布，其中薄板表示超表面的空間位置。入射電磁波是幅度為1、偏轉(zhuǎn)角為45°的正弦波，預(yù)設(shè)的調(diào)制功能為：反射系數(shù)

R

=0.25，透射系數(shù)

T

=0.5，投射偏轉(zhuǎn)角為75°。

圖5 一維幅度、偏轉(zhuǎn)角同時(shí)調(diào)制

為了從數(shù)值角度研究調(diào)制效果，給出幅度與偏轉(zhuǎn)角的分布曲線，如圖6、圖7所示。

圖6 一維調(diào)制幅度分布

圖7 一維調(diào)制偏轉(zhuǎn)角分布

可以看出，由于仿真時(shí)計(jì)算網(wǎng)格粗細(xì)等因素的影響，局部數(shù)值存在差異，但幅度和偏轉(zhuǎn)角曲線的整體趨勢(shì)與預(yù)設(shè)的調(diào)制功能相符。

3.2 二維幅度調(diào)制

由于二維算法只與電場(chǎng)、磁場(chǎng)單個(gè)方向分量相關(guān)，因此算法僅能夠?qū)θ肷潆姶艌?chǎng)的幅度進(jìn)行調(diào)制。

首先研究部分透射。此時(shí)預(yù)設(shè)超表面對(duì)入射電磁波無(wú)反射，且透射系數(shù)為0.5，仿真結(jié)果如圖8、圖9所示。

圖8 R=0，T=0.5場(chǎng)分布

圖9 R=0，T=0.5幅度分布

圖8、圖9中分別給出了正弦波垂直入射時(shí)場(chǎng)分布圖和

y

=100平面處的幅度分布曲線，可以看出垂直入射時(shí)幅度調(diào)制效果與預(yù)設(shè)的功能吻合得很好。為了驗(yàn)證二維算法的通用性，研究反射系數(shù)、透射系數(shù)都不為零時(shí)，45°斜入射電磁波在超表面處的電場(chǎng)變化。此時(shí)預(yù)設(shè)的反射系數(shù)為

R

=0

.

25，透射系數(shù)

T

=0.25，實(shí)現(xiàn)對(duì)反射波和透射波幅度調(diào)控的功能。圖10和圖11分別給出了場(chǎng)值分布圖和

y

=100時(shí)的幅度分布曲線，從圖10、圖11中可以看出，超表面兩側(cè)幅度變化和場(chǎng)值分布符合預(yù)設(shè)的調(diào)制功能。

圖10 R=0.25，T=0.25場(chǎng)分布

圖11 R=0.25，T=0.25幅度分布

綜合一維和二維的仿真結(jié)果可以看出，通過預(yù)設(shè)的調(diào)制功能求得的極化率，在仿真電磁波入射超表面時(shí)，能夠準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)的調(diào)制功能，因此GSTCs方法可以有效地應(yīng)用到超表面功能設(shè)計(jì)中。

4 結(jié)束語(yǔ)

GSTCs方法的核心思想是用極化率來(lái)代替超表面的電磁、結(jié)構(gòu)參數(shù)，進(jìn)而有效、便捷地對(duì)超表面進(jìn)行功能設(shè)計(jì)。

目前已有研究人員在對(duì)從超表面結(jié)構(gòu)計(jì)算極化率的過程進(jìn)行研究。未來(lái)GSTCs方法的研究，需在此基礎(chǔ)上總結(jié)超表面電磁參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)與極化率的數(shù)值關(guān)系，建立模型庫(kù)，將典型的超材料表面結(jié)構(gòu)模型與極化率一一對(duì)應(yīng)，從而對(duì)預(yù)設(shè)調(diào)制功能求解極化率數(shù)值，進(jìn)一步從模型庫(kù)和結(jié)構(gòu)與極化率的對(duì)應(yīng)關(guān)系中找出相應(yīng)的結(jié)構(gòu)模型，實(shí)現(xiàn)從預(yù)設(shè)功能到超表面的設(shè)計(jì)。