王暉
不等式的求解與證明是高中數(shù)學(xué)的難點之一,下面通過介紹幾道不等式問題的多種解(證)法,以開拓同學(xué)們的思維空間,提高發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力,同時希望對提高同學(xué)們的解題技能與技巧也能有所幫助。
例1解關(guān)于x的不等式ax-(a+1)x+1<0。
解法1:討論法。
當(dāng)a=0時,由原不等式得-+1《0,解得x》1。
當(dāng)a≠0時,原不等式為二次不等式,對應(yīng)方程的△=(a+1)?-4a=(a-1)》0。
由△=0,得a=1,由原不等式得x-2x+1《0,則原不等式的解集為0。
由△》0,得a≠1,此時對應(yīng)方程有兩個不相等的實根,解得=1
,2=1。a
1
當(dāng)一《0,即a《0時,結(jié)合y=axa
(a+1)x+1的圖像,可知原不等式的解集為
解法2:轉(zhuǎn)換法。
原不等式等價變形為(ax-1)(x-1)《0。當(dāng)a《0時,由原不等式得x《或x》1當(dāng)a=0時,由原不等式得一(x-1)《0,解得x》1。
當(dāng)a》0時,若?《1,即a》1,則由原不等式得1《x《1;若=1,即a=1,則原不等式無解;若。L》1,即0《a《1,則由原不等式得1《x《-1綜上可知,當(dāng)a《0時,原不等式的解集為(-o,1)u(1,+);當(dāng)a=0時,原不等式的解集為(1,+o);當(dāng)0《a《1時,原不等式的解集為(1..);當(dāng)a=1時,原不等式的解集為0;當(dāng)a》1時,原不等式的解集為A-a-,1)。
例2已知|a|《1,|6|《1,求證a+b
證法1:因為|a|《1,|6|《1,所以1士a》0,1土b》0。 點評:這里利用了絕對值不等式的性質(zhì),采用綜合法來證明,思路樸素自然。 證法2:因為|a|《1,|6|《1,所以1土a》0,1土b》0。 點評:此法通過構(gòu)造一次函數(shù),利用其單調(diào)性證明不等式,非常簡潔。 證法4:當(dāng)6=0時,原不等式顯然成立。 點評:此種證法通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)進行證明,突出了函數(shù)思想和方程思想,加強了函數(shù)、方程和不等式的聯(lián)系。 證法了:消元法。 證法4:判別式法。 證法5:換元法。 證法6:分析法。 證法7:數(shù)形結(jié)合法。 證法8:放縮法。 證法9:均值換元法。 證法10:單調(diào)函數(shù)法。 解(證)不等式問題,首先要明確基本思路,即等價轉(zhuǎn)換,分式不等式整式化,將要求解的不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)或可進行因式分解的一元高次不等式,進而順利求解。 在解(證)一元二次不等式時,我們要運 用好二次不等式、二次方程和二次函數(shù)間的關(guān)系。利用數(shù)形結(jié)合的思想,即利用二次函數(shù)的圖像可一目了然地得到一元二次不等式的解集。 在解(證)簡單的一元高次不等式時,我們首先要將對應(yīng)函數(shù)f(x)的最高次項的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù),再將f(x)分解為若干個一次因式的積,然后將每一個一次因式對應(yīng)方程的根標在數(shù)軸上,從右上方依次通過每一個點畫曲線,最后根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的函數(shù)值的符號變化規(guī)律,寫出不等式的解集。 在解(證)分式不等式時,我們首先要進行等價變形,將不等式的右邊化為零,左邊化為分式,然后分解因式。要注意的是分式的分母不能為零。當(dāng)分式不等式的分母不能確定正負時,去分母需要分情況進行討論。 在解(證)含參數(shù)的不等式時,我們要根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)選好分類標準,避免盲目討論。 (責(zé)任編輯王福華)