王暉

不等式的求解與證明是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，下面通過介紹幾道不等式問題的多種解（證）法，以開拓同學(xué)們的思維空間，提高發(fā)散思維能力和創(chuàng)新能力，同時(shí)希望對提高同學(xué)們的解題技能與技巧也能有所幫助。

例1解關(guān)于x的不等式ax-（a+1）x+1<0。

解法1：討論法。

當(dāng)a=0時(shí)，由原不等式得-+1《0，解得x》1。

當(dāng)a≠0時(shí)，原不等式為二次不等式，對應(yīng)方程的△=（a+1）？-4a=（a-1）》0。

由△=0，得a=1，由原不等式得x-2x+1《0，則原不等式的解集為0。

由△》0，得a≠1，此時(shí)對應(yīng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，解得=1

，2=1。a

1

當(dāng)一《0，即a《0時(shí)，結(jié)合y=axa

（a+1）x+1的圖像，可知原不等式的解集為

解法2：轉(zhuǎn)換法。

原不等式等價(jià)變形為（ax-1）（x-1）《0。當(dāng)a《0時(shí)，由原不等式得x《或x》1當(dāng)a=0時(shí)，由原不等式得一（x-1）《0，解得x》1。

當(dāng)a》0時(shí)，若?《1，即a》1，則由原不等式得1《x《1;若=1，即a=1，則原不等式無解;若。L》1，即0《a《1，則由原不等式得1《x《-1綜上可知，當(dāng)a《0時(shí)，原不等式的解集為（-o，1）u（1，+）;當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為（1，+o）;當(dāng)0《a《1時(shí)，原不等式的解集為（1..）;當(dāng)a=1時(shí)，原不等式的解集為0;當(dāng)a》1時(shí)，原不等式的解集為A-a-，1）。

例2已知|a|《1，|6|《1，求證a+b

證法1：因?yàn)閨a|《1，|6|《1，所以1士a》0，1土b》0。

點(diǎn)評(píng)：這里利用了絕對值不等式的性質(zhì)，采用綜合法來證明，思路樸素自然。

證法2：因?yàn)閨a|《1，|6|《1，所以1土a》0，1土b》0。

點(diǎn)評(píng)：此法通過構(gòu)造一次函數(shù)，利用其單調(diào)性證明不等式，非常簡潔。

證法4：當(dāng)6=0時(shí)，原不等式顯然成立。

點(diǎn)評(píng)：此種證法通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明，突出了函數(shù)思想和方程思想，加強(qiáng)了函數(shù)、方程和不等式的聯(lián)系。

證法了：消元法。

證法4：判別式法。

證法5：換元法。

證法6：分析法。

證法7：數(shù)形結(jié)合法。

證法8：放縮法。

證法9：均值換元法。

證法10：單調(diào)函數(shù)法。

解（證）不等式問題，首先要明確基本思路，即等價(jià)轉(zhuǎn)換，分式不等式整式化，將要求解的不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式（組）、一元二次不等式（組）或可進(jìn)行因式分解的一元高次不等式，進(jìn)而順利求解。

在解（證）一元二次不等式時(shí)，我們要運(yùn)

用好二次不等式、二次方程和二次函數(shù)間的關(guān)系。利用數(shù)形結(jié)合的思想，即利用二次函數(shù)的圖像可一目了然地得到一元二次不等式的解集。

在解（證）簡單的一元高次不等式時(shí)，我們首先要將對應(yīng)函數(shù)f（x）的最高次項(xiàng)的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再將f（x）分解為若干個(gè)一次因式的積，然后將每一個(gè)一次因式對應(yīng)方程的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一個(gè)點(diǎn)畫曲線，最后根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的函數(shù)值的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集。

在解（證）分式不等式時(shí)，我們首先要進(jìn)行等價(jià)變形，將不等式的右邊化為零，左邊化為分式，然后分解因式。要注意的是分式的分母不能為零。當(dāng)分式不等式的分母不能確定正負(fù)時(shí)，去分母需要分情況進(jìn)行討論。

在解（證）含參數(shù)的不等式時(shí)，我們要根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)選好分類標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目討論。

（責(zé)任編輯王福華）