劉 偉，史曉浩，孫紅偉，2

(1.山東科技大學 計算機科學與工程學院，山東 青島 266590；2.濰坊科技學院 智能制造學院，山東 壽光 262700)

Petri網(wǎng)是分布式系統(tǒng)的建模和分析工具，特別便于描述系統(tǒng)中進程或部件的順序、并發(fā)、沖突和同步關(guān)系[1-2]，在許多實際系統(tǒng)的建模和分析中都得到了成功應(yīng)用。隨著Petri網(wǎng)理論和仿真技術(shù)的不斷發(fā)展和完善，提出擴展的Petri網(wǎng)，如邏輯Petri網(wǎng)[3-4]、顏色Petri網(wǎng)[5]和混合Petri網(wǎng)[6]等。

邏輯Petri網(wǎng)是由Du等[7]定義的一種增廣Petri網(wǎng)模型，它具有較簡單的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[8]，能夠更好地描述實時協(xié)同工作系統(tǒng)模型的網(wǎng)結(jié)構(gòu)，模擬和分析系統(tǒng)中的批處理功能與傳值不確定性[9]。在邏輯Petri網(wǎng)中，變遷的輸入和輸出分別受到邏輯輸入表達式fI和邏輯輸出表達式fO的限制，這種受邏輯表達式約束的變遷稱為邏輯變遷。邏輯變遷通過邏輯表達式表示輸入/輸出庫所值的不確定性。顯然，邏輯Petri網(wǎng)增強了Petri網(wǎng)的表達能力，更適合于復雜的建模需求。為了對實際系統(tǒng)進行建模和分析，提出多種擴展邏輯Petri網(wǎng)。為解決token處理中的系統(tǒng)優(yōu)先級問題，文獻[10]提出擴展邏輯Petri網(wǎng)。針對資源公平共享系統(tǒng)的調(diào)度問題,文獻[11]提出隊列邏輯Petri網(wǎng)。為分析B2C電子商務(wù)的信用風險問題,文獻[12]提出基于博弈論和邏輯Petri網(wǎng)理論的信用風險博弈機制。

現(xiàn)有的邏輯Petri網(wǎng)模型以及擴展邏輯Petri網(wǎng)模型僅能建模離散系統(tǒng)，無法表征離散事件和連續(xù)動態(tài)之間的業(yè)務(wù)邏輯，難以應(yīng)用于由相互作用的離散事件和連續(xù)行為組成的混合系統(tǒng)。而有效描述和分析離散事件和連續(xù)動態(tài)之間的相互作用是混合系統(tǒng)建模的關(guān)鍵，邏輯Petri網(wǎng)的特性使其能夠充分挖掘活動之間的業(yè)務(wù)邏輯。因此，對邏輯Petri網(wǎng)進行擴展，將邏輯Petri網(wǎng)的邏輯表達能力應(yīng)用到單變量混合系統(tǒng)中，提出一種新的混合系統(tǒng)建模方法具有重要的理論和現(xiàn)實意義。

基于上述問題，對邏輯Petri網(wǎng)進行擴展，并結(jié)合混合Petri網(wǎng)的思想，提出邏輯混合Petri網(wǎng)的概念。

1 基礎(chǔ)定義

本節(jié)簡要介紹邏輯混合Petri網(wǎng)建立過程中用到的基礎(chǔ)知識，包括Petri網(wǎng)[13-14]、邏輯Petri網(wǎng)[15]和混合Petri網(wǎng)[16]，其中N是自然數(shù)集，N={0，1，…}，N+=N/{0}。R是實數(shù)集，R+是正實數(shù)集，R0=R++{0}。

定義1 (Petri網(wǎng))Petri網(wǎng)PN= (P,T;F,M)是一個四元組,P和T是沒有交集的非空有限集合，其中P是庫所集，T是變遷集。F? (P×T) ∪ (T×P)是有向弧的有限集合。M是標識函數(shù)。

定義2 (邏輯Petri網(wǎng))邏輯Petri網(wǎng)LPN= (P,T;F,I,O,M)是一個六元組,P和T是沒有交集的非空有限集合，其中P是庫所集，T=TCD∪TI∪TO是變遷集。T包含且僅包含三個互斥的子集：TCD普通變遷集，TI邏輯輸入變遷集以及TO邏輯輸出變遷集。F? (P×T) ∪ (T×P)是有向弧的有限集合。I(t)是從邏輯輸入變遷到邏輯輸入表達式的映射，O(t)是從邏輯輸出變遷到邏輯輸出表達式的映射。M是標識函數(shù)。

定義3 (混合Petri網(wǎng))混合Petri網(wǎng)HPN = (P,T;Pre,Post,M,S)是一個六元組，P=Pd∪Pc是離散庫所和連續(xù)庫所的有限集合且Pd∩Pc=?。T=TD∪TC是離散變遷和連續(xù)變遷的有限集合且TD∩TC=?。Pre:P×T→R+是輸入關(guān)聯(lián)矩陣，Post:T×P→R+是輸出關(guān)聯(lián)矩陣。M:P→R是標識函數(shù)，M0表示初始標識。S是與連續(xù)變遷相關(guān)聯(lián)的持續(xù)引發(fā)速度和引發(fā)時間的集合。對于t∈TC,S(t) = (vt,ht)，其中vt，ht∈R，vt，ht分別是與連續(xù)變遷t相關(guān)聯(lián)的持續(xù)引發(fā)速度和引發(fā)時間。

2 邏輯混合Petri網(wǎng)

定義4 (邏輯混合Petri網(wǎng))LHPN= (P,T;F,S,Usp,M,I,O,LC)稱為邏輯混合Petri網(wǎng)，當且僅當

1)P=Pd∪Pc是庫所的有限集合。

2)T=TD∪TC是變遷的有限集合,TD=TCD∪TI∪TO，TC=TCC∪TLC，其中

a)TD是離散變遷的集合。其中

i)TCD是普通離散變遷集合，其引發(fā)與輸出均不受邏輯表達式的限制；

ii)TI是邏輯輸入變遷集合，?t∈TI，變遷t的引發(fā)受到邏輯輸入表達式fI(t)的限制；

iii)TO是邏輯輸出變遷集合，?t∈TO，變遷t引發(fā)后的結(jié)果受到邏輯輸出表達式fO(t)的限制。

b)TC是連續(xù)變遷的集合。其中

i)TCC是普通連續(xù)變遷的集合，其引發(fā)與輸出均不受邏輯表達式的限制；

ii)TLC是邏輯連續(xù)變遷的集合。?t∈TLC，變遷t的引發(fā)受到邏輯連續(xù)表達式fLC(t)的限制。

3)F=FT∪FC是有向弧的集合，F(xiàn)T∩FC=?，其中

a)FT是普通有向弧的集合，其定義與定義1中F相同；

b)FC是控制弧的集合。控制弧只控制變遷的引發(fā),變遷t∈T的引發(fā)不引起FC上庫所的變化。

4)S=ST∪SP，ST∩SP=?，其中

a) 對于t∈TC，ST(t) = (vt，ht)為與連續(xù)變遷相關(guān)的持續(xù)引發(fā)速度向量和引發(fā)時間的集合；

b) 對于p∈Pc，SP(p) = (vp，hp)為與連續(xù)庫所相關(guān)的持續(xù)引發(fā)速度向量和引發(fā)時間的集合。

注意vt，ht，vp，hp∈R0。

5)USP是SP的計算函數(shù)。

6)M是標識函數(shù)，?是標識數(shù)量函數(shù)。?(p)表示庫所p中token的數(shù)量。?(Pd)∈N，?(Pc)∈R0。

a)對于?p∈Pd，庫所p的標識M(p) = ?(p)；

b)對于?p∈Pc，庫所p的標識M(p)由?(p)和SP組成。

7)I是邏輯限制輸入函數(shù)，對?t∈TI，I(t) =fI(t)。

8)O是邏輯限制輸出函數(shù)，對?t∈TO，O(t) =fO(t)。

9)LC是邏輯連續(xù)限制輸入函數(shù)，對?t∈TLC，LC(t) =fLC(t)。

表1 邏輯混合Petri網(wǎng)的圖示Tab. 1 Graphic presentation of logic hybrid Petri nets

定義5 (邏輯表達式f)令f為LHPN的邏輯表達式。p|M代表p在M下的邏輯值，·1·和·0·分別表示邏輯真值和邏輯假值。

對于?p∈Pd，

(1)

對于?p∈Pc，

(2)

f中的運算符由“∨”(邏輯或)，“∧”(邏輯與)和“?”(邏輯非)組成。f=p1∨p2代表p1|M=·1·或p2|M=·1·。f=p1∧p2代表p1|M=·1·且p2|M= ·1·。?·1·=·0·，?·0·=·1·。將邏輯表達式中所有庫所的邏輯值代入，得到的f|M=·1·/·0·為f在標識M下的邏輯值。

示例1如圖1(a)所示，(p1,t1), (t1,p4) ∈FT; (p2,t1), (p3,t1) ∈FC。t1∈TLC，fLC(t1)=(p1∨p2)∧p3。只有滿足邏輯表達式fLC時，才能引發(fā)變遷t1。fLC(t1)為真當且僅當p1∨p2，p3均為真。即p1|M=·1·或p2|M=·1·且p3|M=·1·。

圖1 兩個簡單的LHPN示例Fig. 1 Two simple LHPNs examples

算法1Pre,Post,A-和A+的計算

輸入：LHPN=(P,T;F,S,Usp,M,I,O,LC)

輸出：Pre,Post,A-,A+

Step 0: 初始化：n=num[p],m=num[t],i∈{1, 2, …,n},j∈{1, 2, …,m},Pre←?,Post←?,A-←?,A+←?;

Step 1: For tj∈T, Do

Step 1.1: If (pi,tj) ∈FTThen

preij← 1;Pre?preij;

Step 1.1.1: Iftj∈TI∪TLCThen

Step 1.1.2: Iftj?TI∪TLCThen

Step 1.2: If (pi,tj) ∈FCThen

Step 1.3: If (tj,pi) ∈FTThen

postij← 1;Post?postij;

Step 1.3.1: Iftj∈TOThen

IffR= ? Then

Else IffR≠ ? Then

Step 1.3.2: Iftj?TOThen

Step 2: 返回Pre,Post,A-,A+。

輸入：fI(tj) fLC(tj),pi|M

Step 1: If (pi,tj) ∈FTThen

Ifpi與任意p∈·tj/{pi}都不?“∨” Then

Else Ifpi與pk∈·tj/{pi}?“∨” Then

Ifpi|M= ·1· Then

Else Ifpi|M= ·0· Then

算法2的算法時間復雜度為O(1)。

輸入：fO(tj)fR(tj)

Step 1: If (tj,pi) ∈FTThen

IffR= ?Then

Ifpi與任意p∈tj·/{pi}都不?“∨” Then

Else Ifpi與pk∈tj·/{pi}? “∨” Then

Else IffR≠ ? Then

If 關(guān)于pi的判定條件為真 Then

示例3對于圖1(b)中的LHPN，如果O(t1) =fO(t1) =p2∨p3,則根據(jù)算法1，2，3，可以得到:

T1T2T3T4T5T1T2T3T4T5

T1T2T3T4T5T1T2T3T4T5

修正后的關(guān)聯(lián)矩陣

W=Post*A+-Pre*A-。

(3)

代入示例3的數(shù)據(jù)，可得

T1T2T3T4T5

令σ為可達標識M0執(zhí)行的引發(fā)序列。對于?tj∈TD，σj為變遷tj在序列σ中的引發(fā)次數(shù)。對于?tj∈TC，σj為變遷tj在序列σ中的vt和ht。如果引發(fā)序列σ滿足M0[σ>Ms，則可以得出基本方程：

?s= ?0+Wσ。

(4)

取σ= (1, 1, 1, 2; 2, 1, 1)，可以得到：

如果O(t1) =fO(t1) =p2∧p3，則相應(yīng)的結(jié)果為[4 1 1 0 3)]T。

定理1如果?t∈TO，fO中?“∨”且fR= ?，M0[σ>Ms，則?s具有不確定性。

證明1:基于算法1，2，3，如果?t∈TO，fO中?“∨”且fR= ?，則Step 1因為無fR限定變遷輸出，因此fOΘA+?不確定的A+；Step 2 因為Post，Pre，A-都為確定值，A+不確定，因此W=Post*A+-Pre*A-ΘW?不確定的W；Step 3M0[σ>Ms。因為?0，σ為確定值，W不確定，因此?s= ?0+WσΘ?s?不確定的?s，?s具有不確定性。定理1得證。

定理2如果?t∈TO，fO中?“∨”且fR≠ ?或者fO中不?“∨”，M0[σ>Ms，則?s是確定值。

證明2:如果?t∈TO，fO中?“∨”且fR≠ ?或者fO中不?“∨”，則Step 1 如果fO中?“∨”且fR≠ ?，因為fR限定變遷輸出，因此fRΘA+?確定的A+；如果fO中不?“∨”，fOΘA+?確定的A+；Step 2: 因為Post，Pre，A-和A+都為確定值，因此W=Post*A+-Pre*A-ΘW?確定的W；Step 3M0[σ>Ms。因為?0，W，σ都為確定值，因此?s= ?0+WσΘ?s?確定的?s，?s是確定值。定理2得證。

定理3如果?t?TO，M0[σ>Ms，則?s是確定值。

證明3:如果?t?TO，則Step 1 根據(jù)算法1，2，3得出Post，Pre，A-和A+都為確定值；Step 2 因為Post，Pre，A-和A+都為確定值，因此W=Post*A+-Pre*A-ΘW?確定的W；Step 3:M0[σ>Ms。因為?0，W，σ都為確定值，因此?s= ?0+WσΘ?s?確定的?s，?s是確定值。

定義8函數(shù)USP是連續(xù)庫所Sp的計算函數(shù)。在tj∈TC開始引發(fā)與引發(fā)結(jié)束時，函數(shù)USP對?pi∈ (·tj∪tj·) ∩Pc的SP中vpi和hpi進行計算和更新。SP中vpi和hpi求解算法如算法4所示。

算法4SP中vpi和hpi的計算

輸入：LHPN= (P,T;F,S,Usp,M,I,O,LC),tj∈T

輸出：vpi,hpi

Step 0 初始化：vpi← (0, 0, …, 0),hpi← 0, [P,T] ← ?, [T,P] ← ?,TM(n),TM(i,j),TM(j,i);

Step 1 While (tj∈TC開始引發(fā)) Do

更新當前時間TM(n);

Step 1.1 For ?pi∈·tj∩PcDo

TM(i,j) ←TM(n),vpi←vpi-vtj; [P,T] ? (pi,tj);/*將(pi,tj)寫入[P,T]*/

Step 1.2 Ifhpi> 0 Then

Else Ifhpi= 0 Thenhpi←htj;

Step 1.3 For ?pi∈tj·∩PcDo

TM(j,i) ←TM(n),vpi←vpi+vtj; [T,P] ? (tj,pi);

Step 1.4 If (hpi> 0) Then

Else Ifhpi= 0 Thenhpi←htj;

Step 2 While (tj∈TC引發(fā)結(jié)束) Do

更新當前時間TM(n)；

Step 2.1 For ?pi∈·tj∩PcDo

Step 2.2 For ?pi∈tj·∩Pc, Do

Step 3 返回vpi,hpi。

算法4的算法時間復雜度為O(|pi|)。

定理4如果多個tj∈TC∩ (·pi∪pi·)同時開始引發(fā)且vpi=0，hpi= 0。則pi的vpi和hpi的計算公式為：

(5)

(6)

注意，tf∈·pi∩TCI，tl∈pi·∩TCI，其中TCI表示被引發(fā)的連續(xù)變遷集合。

定義9 (變遷引發(fā)規(guī)則)

1)對于?t∈TCD，如果?p∈·t∩Pd，?(p) ≥pre(p,t)且?p∈·t∩Pc，?(p) > 0，則t在M下使能。

2)對于?t∈TI，I(t)=fI(t)。如果邏輯輸入表達式fI(t)在標識M下的邏輯值為真，則t在M下使能。

3)對于?t∈TO，O(t)=fO(t)。如果?p∈·t∩Pd，?(p)≥pre(p,t)且?p∈·t∩Pc，?(p)>0，則t在M下使能。對于t·，fO(t)|M′=·1·。

對于?t∈TD，如果t使能，則它可以引發(fā)，在標識M下引發(fā)生成一個新的標識M′。?′(p)的計算公式為：

?p∈·t, ?′(p) = ?(p) -a-(p,t) *pre(p,t)；

(7)

?p∈t·, ?′(p) = ?(p) +a+(p,t)*post(p,t)。

(8)

4) 對于?t∈TCC，如果?p∈·t∩Pd，?(p) ≥pre(p,t)且?p∈·t∩Pc，?(p) > 0，則t在M下使能；如果t使能，則它可以引發(fā)。

5) 對于?t∈TLC，LC(t) =fLC(t)。如果邏輯連續(xù)表達式fLC(t)在標識M下的邏輯值為真，則t在M下使能；如果t使能，則它可以引發(fā)。

對于?t∈TC，假設(shè)引發(fā)開始時刻為tms，引發(fā)結(jié)束時刻為tme，tme=tms+ht。在任意時刻tm∈ [tms,tme]，標識變?yōu)镸′。?′(p)的計算公式為：

(9)

(10)

?p∈·t∩Pd, ?′(p) = ?(p) -a-(p,t)*pre(p,t);

(11)

?p∈t·∩Pd, ?′(p) = ?(p) +a+(p,t) *post(p,t)。

(12)

注意，當t∈TC引發(fā)開始和結(jié)束時,根據(jù)定義8與算法4，函數(shù)USp對?p∈ (·t∪t·) ∩Pc的vpi和hpi進行計算和更新。上述考慮的輸入弧都為普通有向弧，控制弧連接的庫所標識不會隨變遷的引發(fā)而改變。

3 實例分析

3.1 微電網(wǎng)系統(tǒng)的LHPN模型

微電網(wǎng)包括分布式發(fā)電機、儲能系統(tǒng)和公用電網(wǎng)上的負荷等，其提出可將再生能源有效地整合到電力和能源系統(tǒng)中，為用戶提供高質(zhì)量和高可靠性的電力。以文獻[16]中微電網(wǎng)系統(tǒng)為例，建立如圖2所示LHPN模型。

圖2 微電網(wǎng)的LHPN模型Fig. 2 LHPN model of microgrid

3.2 系統(tǒng)業(yè)務(wù)邏輯挖掘

與LPN相比，LHPN中的邏輯表達式定義進行了擴展，能夠有效地描述和分析離散變量和連續(xù)演化過程之間的相互作用，充分挖掘混合系統(tǒng)中的業(yè)務(wù)邏輯。例如f(t11) = ?p8∧p10∧p11，經(jīng)過邏輯推理可得：?p8∧p10∧p11→t11，p8∨ ?p10∨ ?p11→ ?t11。即變遷p11的引發(fā)受到庫所p8，p10，p11的限制，只有p8= ·0·，p10= ·1·，p11= ·1·時，變遷t11才能引發(fā)。這意味著在該微電網(wǎng)系統(tǒng)中，只有當微電網(wǎng)系統(tǒng)中風力發(fā)電與光伏發(fā)電產(chǎn)生電量為0，且電池存儲電量和負載需求大于0時，變遷t11才能引發(fā)。電池進入放電狀態(tài)，滿足用戶負載需求。而當p8，p10，p11狀態(tài)發(fā)生改變，使得fLC= ·0·時，則變遷t11結(jié)束引發(fā)，即電池結(jié)束放電狀態(tài)。而同時也可以推出，t11→ ?p8∧p10∧p11，?t11→p8∨ ?p10∨ ?p11。擴展之后的邏輯表達式能夠很好地運用到混合系統(tǒng)建模分析中，并能夠?qū)旌舷到y(tǒng)中的業(yè)務(wù)邏輯進行充分挖掘。

基于邏輯表達式的微電網(wǎng)業(yè)務(wù)邏輯挖掘：?p8∧p10∧p11→t11，p8∨ ?p10∨ ?p11→ ?t11，t11→ ?p8∧p10∧p11，?t11→p8∨ ?p10∨ ?p11，p8∧p9∧ ?p11→t10，?p8∨ ?p9∨p11→ ?t10，t10→p8∧p9∧ ?p11，?t10→ ?p8∨ ?p9∨p11，p6∧p8→t5，?t5→ ?p6∨ ?p8，p7∧p11→t6，?t6→ ?p7∨ ?p11。

3.3 修正表達

3.4 系統(tǒng)可達圖

基于文獻[16]中微電網(wǎng)系統(tǒng)的相關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)定義9變遷引發(fā)規(guī)則，以及算法4連續(xù)庫所SP的算法，得到系統(tǒng)運行的可達圖，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)標識可達圖Fig. 3 System marking reachability

其中，各個可達標識的信息如下：

M1= [0,0,1,0,1,0,1,0(0;0),2(0;0),8(0;0),0(2;2)]，

M2= [0,1,0,0,1,0,1,0(0;0),2(0;0),8(0;0),0(0;0)]，

M3= [0,1,0,0,1,0,1,0(0;0),2(0;0),8(0;0),0(6;2)]，

M4= [0,1,0,1,0,0,1,0(0;2),2(0;0),8(0;0),0(2;2)]，

M5= [0,1,0,1,0,0,1,0(0;0),2(0;0),8(0;0),ε(2;2)]，

M6= [0,1,0,1,0,1,0,0(0;0),2(1;2),8(-1;2),ε(0;0)]，

M7= [0,1,0,1,0,1,0,0(0;0),4(0;0),6(0;0),ε(6;4)]，

M8= [0,0,1,1,0,1,0,ε(1;4),4(1;4),6(-1;4),ε(0;0)]，

M9= [0,0,1,1,0,1,0,ε(1;4),4(1;4),6(-1;4),0(0;0)]，

M10= [0,0,1,1,0,1,0,ε(0;0),4(-1;4),6(1;4),0(0;0)]，

M11= [0,0,1,1,0,0,1,ε(0;0),0(-1;2),10(1;2),0(6;2)]，

M12= [1,0,0,1,0,0,1,ε(0;0),0(-1;2),10(1;2),0(0;0)]，

M13= [1,0,0,1,0,0,1,0(0;0),0(0;0),10(0;0),0(0;0)]，

M14= [1,0,0,1,0,0,1,0(0;0),0(0;0),10(0;0),0(6;2)]，

M15= [0,1,0,1,0,0,1,0(0;2),0(0;0),10(0;0),0(2;0)]，

M16= [0,1,0,1,0,0,1,0(0;2),0(0;0),10(0;0),ε(2;0)]，

M17= [0,1,0,1,0,1,0,0(0;2),0(1;2),10(-1;2),ε(0;2)]，

M18= [0,1,0,1,0,1,0,0(0;4),2(1;4),8(-1;4),ε(3;4)]，

M19= [0,1,0,0,1,1,0,0(0;0),2(1;4)/(0.5;4),8(-1;4)/(-0.5;4),ε(0;4)]，

M20= [0,1,0,0,1,1,0,ε(0;0),2(1;4),8(-1;4),0(0;0)]，

M21= [0,1,0,0,1,0,1,ε(0;0),2(1;4),8(-1;4),0(0;0)]，

M22= [0,1,0,0,1,1,0,0(1;2),6(1,4),4(-1;4),ε(1;2)]，

M23= [0,1,0,0,1,1,0,ε(1;2),6(0;0),4(0;0),0(0;2)]，

M24= [0,1,0,0,1,0,1,ε(1;2),6(-1;2),4(1;2),0(0;2)]，

M25= [0,1,0,0,1,1,0,0(1;2),4(0.5,4),6(-0.5;4),ε(0;0)]，

M26= [0,1,0,0,1,1,0,ε(1;2),4(0;0),6(0;0),0(0;0)]，

M27= [0,1,0,0,1,0,1,ε(0;0),4(0;0),6(0;0),0(0;0)]，

M28= [0,1,0,0,1,0,1,ε(0;0),4(-1;2),6(1;2),0]，

M29= [1,0,0,0, 11,0,ε(1;2),4(-1;2),6(1;2),0(0;2)]，

M30= [0,1,0,0,1,0,1,ε(0;0),2(-1;2),8(1;2),0(0;0)]，

M31= [1,0,0,0,1,0,1,ε(1;2),2(-1;2),8(1;2),0(0;0)]，

M32= [1,0,0,0,1,0,1,ε(1;2),2(-1;2),8(1;2),0(0;4)]，

M33= [0,0,1,0,1,0,1,ε,2(-1;2),8(1;2),0(0;2)]，

M34= [0,0,1,0,1,0,1,0(0;0),2(0;0),8(0;0),0(0;0)]，

M35= [1,0,0,0,1,0,1,ε(1;2),0(-1;2),10(1;2),0(0;0)]，

M36= [0,0,1,0,1,0,1,ε(0;0),0(-1;2),10(1;2),0(0;0)]，

M37= [0,0,1,0,1,0,1,0(0;0),0(0;0),10(0;0),0(0;0)]，

M38= [0,0,1,0,1,0,1,0(0;0),0(0;0),10(0;0),0(0;0)]。

生成的LHPN可達性圖用于顯示系統(tǒng)離散狀態(tài)以及連續(xù)狀態(tài)。此外，決策點上所有可能選擇均被列出。通過對不同的決策方式下產(chǎn)生的狀態(tài)標識進行分析比較，決策者可以選擇最佳的操作方案。

LHPN模型在連續(xù)庫所添加了SP，與文獻[16]中HPN模型相比，系統(tǒng)狀態(tài)得到更加準確的描述，所有連續(xù)動態(tài)的變化趨勢均被量化且列出。對比文獻中的HPN模型的系統(tǒng)可達圖，根據(jù)LHPN模型得到的系統(tǒng)可達圖能夠更加詳盡地描述系統(tǒng)各狀態(tài)下連續(xù)庫所對應(yīng)行為的變化趨勢。例如M19= [0,1,0,0,1,1,0,0(0;0),2(1;4)/(0.5;4),8(-1;4)/(-0.5;4),ε(0;4)]，由于M19→M22和M19→M25為兩種不同的操作方案，不僅會生成不同的狀態(tài)標識，且相應(yīng)連續(xù)庫所會產(chǎn)生不同的變化趨勢，這些都在M19中得到準確描述。

3.5 標識求解方程

根據(jù)定義7的LHPN的標識求解方程，可以求取系統(tǒng)當前狀態(tài)標識經(jīng)過一定操作及連續(xù)運行之后的系統(tǒng)狀態(tài)標識。當確定操作方案后，即確定了引發(fā)序列，可直接根據(jù)?s= ?0+Wσ，對系統(tǒng)的狀態(tài)標識進行求解。雖然該方程無法對連續(xù)庫所對應(yīng)的SP進行求解，但能夠快速求得系統(tǒng)標識中各部分的token數(shù)量。與根據(jù)變遷引發(fā)規(guī)則一步步求解的方法相比，能夠有效提高運算效率。以定義7中例子可見，在計算之前根據(jù)算法1、2、3確定Pre、Post、A-和A+，并據(jù)此求出修正矩陣。狀態(tài)標識求解時只需根據(jù)?s=?0+Wσ直接得出。而根據(jù)變遷引發(fā)規(guī)則需要計算兩次離散變遷和兩次連續(xù)變遷引發(fā)結(jié)果，運算較為復雜。通過LHPN的標識求解方程可對求得的標識可達圖進行驗證，經(jīng)計算驗證，圖3所示標識可達圖為正確的。

4 結(jié)論

在擴展邏輯Petri網(wǎng)定義的基礎(chǔ)上，提出邏輯混合Petri網(wǎng)概念用于建模和分析混合系統(tǒng)。擴展邏輯表達式的定義，提出一種確定連續(xù)庫所邏輯值的方法，使LHPN可以應(yīng)用到混合系統(tǒng)建模中。在邏輯輸出中引入修正函數(shù)，解決了LPN輸出的不確定性表達問題，并提出LHPN的標識求解方程。在連續(xù)庫所上加入連續(xù)變化速度和時間，提出相應(yīng)的求解算法，較HPN能夠更加詳盡地描述系統(tǒng)各狀態(tài)下連續(xù)庫所對應(yīng)動態(tài)行為。LHPN能夠?qū)旌舷到y(tǒng)的離散事件和單變量連續(xù)行為進行準確描述和分析，并能對離散事件與連續(xù)行為之間的業(yè)務(wù)邏輯進行挖掘。以一個微電網(wǎng)系統(tǒng)為例，構(gòu)建LHPN模型，對系統(tǒng)業(yè)務(wù)邏輯進行挖掘分析，驗證了模型的可行性和有效性。通過系統(tǒng)可達圖計算驗證了方法的可靠性。實例證明該模型能夠有效地對微電網(wǎng)系統(tǒng)進行建模和分析。將此建模方法用于混合系統(tǒng)的最優(yōu)控制和決策有待進一步研究。此外，此建模方法僅適用于單變量連續(xù)系統(tǒng)，而對于多變量連續(xù)系統(tǒng)需要進一步研究。