李輝

(天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222)

機(jī)電設(shè)備故障產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)具有明顯的非高斯和非線性等特征，相關(guān)分析、功率譜估計(jì)等基于信號(hào)二階統(tǒng)計(jì)量的傳統(tǒng)方法在處理這類信號(hào)時(shí)往往不能取得滿意的效果[1-3]。基于信號(hào)高階統(tǒng)計(jì)量的雙譜、高階譜分析則在非線性、非高斯信號(hào)處理方面有著獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，但高階統(tǒng)計(jì)量(Higher Order Statistics，HOS)存在計(jì)算方法復(fù)雜且計(jì)算量大的缺點(diǎn)[4-5]。分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量[6-9]( Fractional Lower Order Statistics，F(xiàn)LOS)盡管能在一定程度上消除非高斯噪聲的影響，但卻過度依賴被分析信號(hào)噪聲Alpha值的先驗(yàn)知識(shí)，噪聲抑制能力受到極大地限制。相關(guān)熵[10-13]是一種分析高斯噪聲和非高斯噪聲的高效方法，已成功應(yīng)用于通信信號(hào)檢測(cè)、雷達(dá)回波信號(hào)檢測(cè)、波達(dá)方向估計(jì)、信號(hào)濾波和時(shí)延估計(jì)等領(lǐng)域，且取得了較好的分析效果[14-19]。雖然相關(guān)熵已成功應(yīng)用于雷達(dá)、通信等技術(shù)領(lǐng)域，但在機(jī)電設(shè)備故障診斷領(lǐng)域的應(yīng)用才剛剛起步，因此，將相關(guān)熵與其他信號(hào)處理方法相結(jié)合，開展基于相關(guān)熵技術(shù)的機(jī)電設(shè)備故障特征提取與診斷，具有很重要的理論創(chuàng)新和工程應(yīng)用價(jià)值[20]。

近年來，基于振動(dòng)信號(hào)分析的旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷方法在信號(hào)降噪、故障特征提取等方面取得了較好的效果，其中的循環(huán)平穩(wěn)分析和譜峭度方法由于其高效性和穩(wěn)健性引起了研究者的矚目[21-22]。但傳統(tǒng)基于信號(hào)二階統(tǒng)計(jì)量的循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)分析在處理強(qiáng)高斯噪聲和非高斯噪聲時(shí)會(huì)造成性能衰退，甚至失效。因此，針對(duì)傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)和譜相關(guān)密度難以有效處理強(qiáng)非高斯噪聲干擾的問題，提出了基于循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵的故障診斷方法，從理論分析、幾何圖解和信號(hào)仿真等幾個(gè)方面系統(tǒng)闡釋了相關(guān)熵的降噪機(jī)理，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵在滾動(dòng)軸承故障診斷中有效處理染噪信號(hào)的能力。

1 相關(guān)熵及循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵

1.1 相關(guān)熵的估計(jì)

對(duì)于任意2個(gè)實(shí)隨機(jī)變量x,y，其互相關(guān)熵可定義為

Vσ(x,y)=E[κσ(x-y)]，

(1)

式中：κσ(·)為滿足Mercer條件的核函數(shù)；σ為核函數(shù)的核長。σ定義了隨機(jī)變量x和y相似性的特征長度尺度，即權(quán)重空間視角下特征空間映射前后隨機(jī)變量x與y之間距離的比例。

對(duì)于實(shí)信號(hào)x(t)∈R，時(shí)變自相關(guān)熵可定義為

(2)

κσ(·)一般采用高斯核函數(shù)，其解析式為

κσ[x(t),x(t+τ)]=

(3)

式中：·為一種范數(shù)算子。

在實(shí)際應(yīng)用中，假設(shè)x(i)是長度為N的觀測(cè)樣本，其自相關(guān)熵(下文統(tǒng)稱為相關(guān)熵)的無偏估計(jì)可表示為

(4)

式中：m為時(shí)延的采樣點(diǎn)數(shù)，m=0,1,2,…,N-1。由(4)式估計(jì)的相關(guān)熵是一個(gè)正定的對(duì)稱函數(shù)。

V=

(5)

上述相關(guān)熵矩陣V是N×N的正定、對(duì)稱矩陣。

1.2 循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵

(6)

(7)

(8)

1.3 循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度計(jì)算步驟

在實(shí)際應(yīng)用中可通過以下步驟計(jì)算信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度：

1)根據(jù)(4)式計(jì)算信號(hào)的相關(guān)熵。

2)根據(jù)(5)式計(jì)算信號(hào)的相關(guān)熵矩陣V。

3)計(jì)算相關(guān)熵矩陣V各行的傅里葉變換，得到信號(hào)循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵函數(shù)矩陣R。

4)計(jì)算信號(hào)循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵函數(shù)矩陣R各列的傅里葉變換，得到信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度函數(shù)矩陣S。

2 相關(guān)熵的降噪機(jī)理

2.1 理論分析

將(2)式表示的時(shí)變相關(guān)熵展開為泰勒級(jí)數(shù)形式，即

x(t+τ)]2n}。

(9)

由(9)式可知：

3)可通過調(diào)整σ來控制高斯核函數(shù)曲線的形狀，σ的引入使相關(guān)熵函數(shù)和循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度對(duì)于具有不同統(tǒng)計(jì)特性(概率密度)的信號(hào)都具有適應(yīng)性，因此，可根據(jù)分析信號(hào)的性質(zhì)和目的選擇合適的σ。

2.2 幾何圖解

不失一般性，假設(shè)有2個(gè)隨機(jī)變量X和Y，則可由(1)式表示的互相關(guān)熵定義相關(guān)熵誘導(dǎo)的度量[12](Correntropy Induced Metric，CIM)，即

(10)

SCIM(X,Y)是對(duì)稱函數(shù)，當(dāng)核函數(shù)為平移不變核函數(shù)(如高斯核函數(shù))時(shí)，SCIM(X,Y)也是平移不變的。SCIM(X,Y)是隨機(jī)變量X與Y之間相似性的一種度量，SCIM(X,Y)越大，表示X與Y越不相似，反之，SCIM(X,Y)越小，表示X與Y越相似。為透徹理解SCIM(X,Y)蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律，繪制了σ=1時(shí)SCIM(X,0)的三維圖(圖1)，其等高線圖如圖2所示。

圖1 SCIM(X,0)三維圖(σ=1)Fig.1 3D diagram of SCIM(X,0)(σ=1)

圖2 SCIM(X,0)等高線圖(σ=1)Fig.2 Contour map of SCIM(X,0)(σ=1)

由圖1、圖2可知，不同區(qū)域的SCIM(X,0)具有不同的形狀，根據(jù)SCIM(X,0)的形狀和性質(zhì)，可以將SCIM(X,0)分為3個(gè)區(qū)域：

1)歐幾里得區(qū)，即圖2中心圓形區(qū)域部分。當(dāng)空間中兩點(diǎn)間距離很近時(shí)，SCIM相當(dāng)于L2范數(shù)。

2)過渡區(qū)，即圖2中近似方形區(qū)域部分。當(dāng)空間中兩點(diǎn)間距離比較近時(shí)，SCIM相當(dāng)于L1范數(shù)。

3)矯正區(qū)，即圖2中以4個(gè)角為中心的扇形區(qū)域部分。當(dāng)空間中兩點(diǎn)間距離很遠(yuǎn)時(shí)，SCIM相當(dāng)于L0范數(shù)，在該區(qū)域，隨著兩點(diǎn)間距離的繼續(xù)增大，SCIM的值將趨于飽和(不變)，因此，該區(qū)域是信號(hào)異常值的免疫區(qū)。

綜上可知，SCIM可以作為2個(gè)隨機(jī)變量相似性的度量工具：SCIM越小，表明2個(gè)隨機(jī)變量越相似；SCIM=0，2個(gè)隨機(jī)變量完全相同；SCIM越大，2個(gè)隨機(jī)變量的差異越大。

當(dāng)信號(hào)中含有幅值較大的異常值時(shí)，其SCIM值將位于矯正區(qū)，而矯正區(qū)是信號(hào)異常值的免疫區(qū)，SCIM將趨于不變，異常值對(duì)SCIM幾乎沒有影響，因此，相關(guān)熵能有效抑制信號(hào)中的異常值，對(duì)于隨機(jī)脈沖噪聲具有很強(qiáng)的免疫力，因而基于相關(guān)熵的信號(hào)分析具有很好的魯棒性。

為對(duì)比核長σ對(duì)相關(guān)熵的影響，繪制了σ=0.1時(shí)SCIM(X,0)的三維圖及其等高線圖，結(jié)果如圖3、圖4所示。對(duì)比圖1—圖4可知：σ越大，歐幾里得區(qū)范圍越大，矯正區(qū)范圍越?。沪以叫?，歐幾里得區(qū)范圍越小，矯正區(qū)范圍越大；離原點(diǎn)很遠(yuǎn)的點(diǎn)，其SCIM表現(xiàn)為各向異性，即距離與方向有關(guān)。

圖3 SCIM(X,0)三維圖(σ=0.1)Fig.3 3D diagram of SCIM(X,0)(σ=0.1)

圖4 SCIM(X,0)等高線圖(σ=0.1)Fig.4 Contour map of SCIM(X,0)(σ=0.1)

由此可以看出：核長σ對(duì)于空間中兩點(diǎn)間距離的度量具有重大影響，當(dāng)σ值較大時(shí)，歐幾里得區(qū)范圍較大，相當(dāng)于傳統(tǒng)的二階統(tǒng)計(jì)量適用的區(qū)域，可以對(duì)線性信號(hào)進(jìn)行有效處理；當(dāng)σ值較小時(shí)，歐幾里得區(qū)范圍較小，矯正區(qū)范圍較大，相當(dāng)于高階統(tǒng)計(jì)量適用的區(qū)域，可以對(duì)非線性信號(hào)進(jìn)行有效處理。因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可以根據(jù)被處理信號(hào)的性質(zhì)，選擇合適的核長σ。

2.3 小結(jié)

通過以上分析可以得出以下結(jié)論：

1)相關(guān)熵是基于核函數(shù)的隨機(jī)變量間局部相似性度量方法，其既考慮了隨機(jī)時(shí)間信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性(概率密度)，又考慮了隨機(jī)時(shí)間信號(hào)的時(shí)間結(jié)構(gòu)(相關(guān)關(guān)系)，是傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)的一般化和推廣，在包含傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)特性的基礎(chǔ)上提高了性能。

2)相關(guān)熵不僅包含隨機(jī)變量幅值的二階矩，而且包含了隨機(jī)變量幅值的高階矩，因此能夠有效刻畫信號(hào)的非線性特征，有效處理非線性信號(hào)。

3)相關(guān)熵能夠有效抑制高斯及非高斯噪聲，基于核函數(shù)的相關(guān)熵為高斯、非高斯噪聲的處理提供了一種嶄新的魯棒性解決方法。

4)相關(guān)熵利用核函數(shù)，將原特征空間線性不可分的數(shù)據(jù)映射到高維希爾伯特空間，將其轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性可分的數(shù)據(jù)，從而能有效刻畫原特征空間數(shù)據(jù)的非線性特征。

5)相關(guān)熵利用核函數(shù)，能高效進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 相關(guān)熵核長的影響

由高斯核函數(shù)定義的相關(guān)熵有一個(gè)自由核長參數(shù)σ，用一個(gè)余弦信號(hào)說明核長σ對(duì)相關(guān)熵的影響，并驗(yàn)證相關(guān)熵抑制非高斯噪聲的能力。余弦信號(hào)的頻率為10 Hz，采樣頻率為1 000 Hz，采樣時(shí)間為1 s，余弦信號(hào)及其傅里葉變換如圖5所示。

圖5 仿真余弦信號(hào)及傅里葉變換Fig.5 Simulative cosine signal and its FFT

當(dāng)σ取0.04，0.40，1，10時(shí)，根據(jù)(4)式計(jì)算余弦信號(hào)的相關(guān)熵及其頻譜，結(jié)果如圖6、圖7所示，由圖可知：隨著σ的增大，相關(guān)熵會(huì)逐漸接近于傳統(tǒng)的自相關(guān)函數(shù)；當(dāng)σ減小時(shí)，相關(guān)熵趨向于正值，相關(guān)熵與相關(guān)函數(shù)的時(shí)域波形則完全不同；當(dāng)σ趨近于0時(shí)，相關(guān)熵趨近于脈沖信號(hào)。σ的取值越小，相關(guān)熵的頻譜圖中包含信號(hào)頻率的高次諧波成分越多，隨著σ的增大，相關(guān)熵的頻譜圖中包含信號(hào)頻率的高次諧波成分越少，例如當(dāng)σ=10時(shí)，相關(guān)熵的頻譜圖與余弦信號(hào)的頻譜圖相同。綜上可知，核長σ是影響相關(guān)熵中統(tǒng)計(jì)量成分的權(quán)重系數(shù)，與根據(jù)相關(guān)熵的泰勒展開式的理論分析相吻合，其主要原因是高斯核函數(shù)是一種非線性變換，因此，在信號(hào)處理時(shí)應(yīng)根據(jù)信號(hào)的性質(zhì)選取適當(dāng)?shù)暮碎L。

圖6 余弦信號(hào)的相關(guān)熵Fig.6 Correntropy for cosine signal

圖7 余弦信號(hào)相關(guān)熵的傅里葉變換Fig.7 FFT of correntropy for cosine signal

為對(duì)比相關(guān)熵與傳統(tǒng)相關(guān)函數(shù)處理非高斯噪聲的性能，將Alpha分布噪聲(圖8a)與余弦信號(hào)進(jìn)行合成，合成信號(hào)如圖8b所示，其廣義信噪比為-10 dB。由于強(qiáng)非高斯噪聲的影響，從合成信號(hào)的傅里葉變換結(jié)果(圖8c)中無法識(shí)別出余弦信號(hào)的頻率成分。

圖8 余弦信號(hào)與Alpha分布噪聲合成信號(hào)及其傅里葉變換Fig.8 Composite signal of cosine signal with Alpha noise and its FFT

合成信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)如圖9所示，由圖可知：自相關(guān)函數(shù)在τ=0時(shí)取得最大值，但從圖中無法觀察到合成信號(hào)中的周期性變化；而由于Alpha分布噪聲的二階統(tǒng)計(jì)量不存在，從自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換圖中也無法識(shí)別余弦信號(hào)的頻率成分；因此，傳統(tǒng)基于二階統(tǒng)計(jì)量的信號(hào)處理方法，在處理含有非高斯噪聲的信號(hào)時(shí)，會(huì)造成性能衰退，甚至失效。

圖9 合成信號(hào)的相關(guān)函數(shù)及其傅里葉變換Fig.9 Correlation function and FFT of composite signal

為有效識(shí)別合成信號(hào)中的頻譜成分，對(duì)合成信號(hào)進(jìn)行相關(guān)熵運(yùn)算(σ=0.4)，結(jié)果如圖10所示，由圖可知：相關(guān)熵圖中可以觀察到明顯的周期性變化，而相關(guān)熵的傅里葉變換圖中存在顯著的譜峰(10 Hz處)，表明相關(guān)熵能從強(qiáng)非高斯噪聲中提取信號(hào)的周期成分。

圖10 合成信號(hào)的相關(guān)熵及其傅里葉變換Fig.10 Correntropy and FFT of composite signal

3.2 循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵降噪性能仿真

采用一個(gè)仿真調(diào)幅信號(hào)詳細(xì)解釋循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵的降噪機(jī)理，并驗(yàn)證其有效抑制噪聲的能力，仿真調(diào)幅信號(hào)的解析表達(dá)式為

x(t)=[1+cos(2πf0t)]cos(2πfct)+

n1(t)+n2(t)，

(11)

式中：f0為調(diào)制頻率，取200 Hz；fc為載波頻率，取1 000 Hz；n1(t)為零均值高斯白噪聲；n2(t)為隨機(jī)脈沖噪聲。信號(hào)的采樣頻率為6 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為600，通過該仿真調(diào)幅信號(hào)，利用循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度詮釋循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵的降噪機(jī)理并驗(yàn)證其對(duì)高斯白噪聲和隨機(jī)脈沖噪聲的降噪性能。

在仿真調(diào)幅信號(hào)x(t)中加入零均值高斯白噪聲n1(t)，獲得信噪比為-10 dB的合成信號(hào)，之后再隨機(jī)加入幾個(gè)幅值不等的脈沖信號(hào)以模擬隨機(jī)脈沖噪聲。仿真調(diào)幅信號(hào)的時(shí)域波形如圖11所示，由于調(diào)幅信號(hào)完全被噪聲淹沒，從時(shí)域波形中已完全看不出信號(hào)的變化規(guī)律，在其傅里葉變換圖中也很難識(shí)別載波頻率及調(diào)制頻率。

圖11 仿真調(diào)幅信號(hào)的時(shí)頻圖Fig.11 Time-frequency diagram of simulative amplitude modulation signal

計(jì)算仿真調(diào)幅信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度(σ=3)，結(jié)果如圖12所示，由圖可知：在循環(huán)頻率α和譜頻率f構(gòu)成的雙頻平面內(nèi)，信號(hào)的能量主要分布在f=0,α=0及f=-0.5α這3條頻譜線上，其余區(qū)域循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度的能量為零，表明循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜具有很強(qiáng)的能量聚集性，其中高斯噪聲的能量主要聚集在f=0及α=0這2條頻譜線上；調(diào)幅信號(hào)的能量主要聚集在f=-0.5α這條頻譜線上；非高斯噪聲能量分散在其他區(qū)域，已被循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜有效抑制。

圖12 仿真調(diào)幅信號(hào)循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜Fig.12 Cyclostationary correntropy spectrum of simulative amplitude modulation signal

在低頻段，仿真調(diào)幅信號(hào)x(t)的循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜在α=±f0的位置存在明顯的譜峰，對(duì)應(yīng)信號(hào)的調(diào)制頻率f0，表明能準(zhǔn)確識(shí)別調(diào)制頻率f0；在高頻段，α=±2fc±f0及α=±4fc位置存在明顯譜峰，表明能準(zhǔn)確識(shí)別載波頻率fc和調(diào)制頻率f0。

根據(jù) (8) 式計(jì)算循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵輪廓，結(jié)果如圖13所示，圖中的α=±f0，α=±2fc±f0及α=±4fc位置存在明顯的譜峰。由于相關(guān)熵能有效抑制高斯噪聲和脈沖噪聲，因此循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜具有很強(qiáng)的從強(qiáng)高斯噪聲和非高斯噪聲中提取信號(hào)特征的能力，基于高斯核函數(shù)的循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵為高斯、非高斯噪聲的處理提供了一種嶄新的有效處理方法。

圖13 循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜輪廓圖Fig.13 Profile map of cyclostationary correntropy spectrum

為凸顯循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵的降噪能力，將循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度與傳統(tǒng)基于二階統(tǒng)計(jì)量的譜相關(guān)密度進(jìn)行對(duì)比，仿真調(diào)幅信號(hào)的譜相關(guān)密度即輪廓圖如圖14所示[23-24]，可以看出信號(hào)的能量分散在整個(gè)雙頻平面內(nèi)，譜相關(guān)密度的能量聚集性很差，調(diào)制頻率和載波頻率完全被噪聲掩蓋，難以有效識(shí)別。

圖14 仿真調(diào)幅信號(hào)的譜相關(guān)密度處理結(jié)果Fig.14 Spectral correlation density processing results of simulative amplitude modulation signal

4 實(shí)例驗(yàn)證

采用某型號(hào)齒輪箱輸入端軸承進(jìn)行試驗(yàn)，電動(dòng)機(jī)額定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，轉(zhuǎn)頻fr為25 Hz，采樣頻率為32 768 Hz。軸承型號(hào)為6208，球組節(jié)圓直徑為97.5 mm，鋼球直徑為18.33 mm，球數(shù)為10。利用線切割機(jī)床分別在軸承內(nèi)、外圈溝道上加工寬0.8 mm、深1 mm的局部裂紋，以模擬軸承內(nèi)圈、外圈局部裂紋故障。計(jì)算[25]可得軸承內(nèi)、外圈故障特征頻率fi，fe分別為148.5，101.5 Hz。

4.1 軸承內(nèi)圈故障

軸承內(nèi)圈局部裂紋故障振動(dòng)信號(hào)如圖15所示，圖中存在明顯的幅值調(diào)制現(xiàn)象，但根據(jù)時(shí)域波形及其傅里葉變換無法有效識(shí)別軸承故障。

圖15 軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)及其傅里葉變換Fig.15 Vibration signal and its FFT with bearing inner ring fault

軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度圖如圖16所示，由圖可知：軸承內(nèi)圈故障頻譜特征是由循環(huán)頻率α與譜頻率f構(gòu)成的雙頻平面，軸承內(nèi)圈故障特征頻率fi及其倍頻主要沿直線f=-0.5α分布，逐漸由頻譜中心向外擴(kuò)展成整個(gè)頻譜平面。

圖16 軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜Fig.16 Cyclostationary correntropy spectrum of vibration signal with bearing inner ring fault

根據(jù)(8)式計(jì)算可得軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜輪廓，如圖17所示，由圖可知：在循環(huán)頻率α=±fr位置存在顯著的譜峰，對(duì)應(yīng)故障軸承所在軸的調(diào)制頻率；在α=±fi±fr，α=±2fi±fr等軸承內(nèi)圈故障特征頻率及其倍頻位置也存在明顯的譜峰，清晰地刻畫了軸承內(nèi)圈故障信號(hào)的頻譜特征。

圖17 軸承內(nèi)圈故障循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜輪廓圖Fig.17 Profile map of cyclostationary correntropy spectrum with bearing inner ring fault

4.2 軸承外圈故障

滾動(dòng)軸承外圈局部裂紋故障振動(dòng)信號(hào)如圖18所示，其循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度圖如圖19所示。由圖可知：在循環(huán)頻率α=±fe,α=±2fe等軸承外圈故障特征頻率及其倍頻位置存在明顯的譜峰，這種頻譜結(jié)構(gòu)清晰表達(dá)了軸承外圈故障特征頻率的分布特征。

圖18 軸承外圈故障振動(dòng)信號(hào)及其傅里葉變換Fig.18 Vibration signal and its FFT with bearing outer ring fault

圖19 軸承外圈故障循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜Fig.19 Cyclostationary correntropy spectrum of vibration signal with bearing outer ring fault

根據(jù)(8)式計(jì)算軸承外圈故障振動(dòng)信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜輪廓，結(jié)果如圖20所示，由圖可知,在軸承外圈故障特征頻率fe及其倍頻位置存在明顯的譜峰，清晰反映了軸承外圈故障信號(hào)的頻譜特征。

圖20 軸承外圈故障循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜輪廓圖Fig.20 Profile map of cyclostationary correntropy spectrum with bearing outer ring fault

4.3 小結(jié)

通過上述分析可以看出：循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵具有信號(hào)自解調(diào)功能，在由譜頻率和循環(huán)頻率組成的雙頻平面內(nèi)，循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度能夠清晰地刻畫軸承內(nèi)、外圈故障信號(hào)的頻譜特征，具有從強(qiáng)染噪信號(hào)中提取軸承內(nèi)、外圈故障特征的能力，提高了滾動(dòng)軸承故障模式識(shí)別和特征提取的準(zhǔn)確性和可靠性。

5 結(jié)束語

以理論分析和幾何圖解等方式系統(tǒng)分析了相關(guān)熵的降噪機(jī)理，用余弦信號(hào)和仿真調(diào)幅信號(hào)詳細(xì)詮釋了相關(guān)熵的降噪機(jī)理并驗(yàn)證了其抑制高斯噪聲和隨機(jī)脈沖噪聲的能力。基于相關(guān)熵提出了循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜的軸承故障診斷方法,將循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜方法應(yīng)用于軸承內(nèi)、外圈局部裂紋故障診斷，試驗(yàn)結(jié)果表明循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵譜密度具有解調(diào)功能，能有效提取淹沒在強(qiáng)噪聲環(huán)境中的微弱信號(hào)，是一種有效的軸承故障診斷方法。下一步的研究可將循環(huán)平穩(wěn)相關(guān)熵應(yīng)用于風(fēng)機(jī)、內(nèi)燃機(jī)等復(fù)雜設(shè)備的故障診斷，也可將其作為一種信號(hào)預(yù)處理手段，與深度學(xué)習(xí)方法相結(jié)合，自動(dòng)完成故障特征提取和故障模式識(shí)別。