田海弘 劉 榛

浙江大豐實(shí)業(yè)股份有限公司 余姚 315400

0 引言

為了適應(yīng)和滿足文化的發(fā)展和需求，近些年來，在國內(nèi)出現(xiàn)了大量的劇場、秀場、多功能廳、音樂廳和基層文化綜合體等文化演出場所。直接或間接為舞臺表演活動服務(wù)的舞臺機(jī)械設(shè)備提出了各種滿足特定應(yīng)用場所的要求，在多功能或基層文化綜合體中，往往要求在有限的空間結(jié)構(gòu)中能夠容納盡可能多的結(jié)構(gòu)，使機(jī)械設(shè)備滿足緊湊外形的情況下能夠?qū)崿F(xiàn)盡量多的功能，其傳動機(jī)構(gòu)的小型化成為一個重要技術(shù)指標(biāo)。

設(shè)計(jì)時，在滿足安全和性能要求的前提下，選用的減速器體積應(yīng)盡可能小，不僅可以實(shí)現(xiàn)傳動設(shè)備的緊湊化，而且還能降低設(shè)備的成本。如圖1所示，為了有緊湊的結(jié)構(gòu)，在舞臺機(jī)械中，卷揚(yáng)機(jī)卷筒軸與減速電機(jī)之間常采用直接套裝的結(jié)構(gòu)，但采用這種結(jié)構(gòu)需解決卷筒軸與減速器空心軸之間的匹配問題，目前常見的問題是標(biāo)準(zhǔn)減速器的額定傳遞力矩通常較大，而同等直徑的卷筒軸根據(jù)相關(guān)計(jì)算其強(qiáng)度無法滿足要求，在這種情況下，設(shè)計(jì)者不得不選擇更大型號的減速器才能實(shí)現(xiàn)上述結(jié)構(gòu)，這不僅使傳動機(jī)構(gòu)體積變大，還增加了設(shè)備的成本。針對上述問題對舞臺機(jī)械設(shè)備中軸的強(qiáng)度計(jì)算進(jìn)行深入研究，根據(jù)舞臺機(jī)械設(shè)備在安全性能方面的要求，進(jìn)行了有針對性的分析和歸納。

圖1 卷揚(yáng)機(jī)卷筒軸的典型安裝示意圖

1 卷筒軸的強(qiáng)度計(jì)算方法分析

以卷揚(yáng)機(jī)卷筒軸為例，對舞臺機(jī)械設(shè)備中類似軸進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算和對比分析[1]，軸的強(qiáng)度計(jì)算分三種情況按扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算、按彎扭合成強(qiáng)度計(jì)算和精確強(qiáng)度校核計(jì)算進(jìn)行討論。

1.1 按扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算

按扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算適用于只傳遞扭矩不承受彎矩的計(jì)算，對于如圖1所示的卷筒軸，在傳遞扭矩的過程中，還需承受電機(jī)減速器的重力所產(chǎn)生的彎矩，由于該彎矩不大，根據(jù)機(jī)械設(shè)計(jì)手冊[2]的推薦，它可采用降低許用應(yīng)力的辦法按照扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度式（1）進(jìn)行軸徑估算。

式中：d為軸端直徑，T為傳遞轉(zhuǎn)矩，A為鍵槽增大系數(shù)（舞臺機(jī)械設(shè)備中通常采用單鍵形式，取A=1.05），τp為許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，表1給出了卷筒軸常用材料的τp值，考慮了彎曲影響而降低的許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力值。

表1 卷筒軸常用材料的τp值 MPa

在舞臺機(jī)械設(shè)備的設(shè)計(jì)中，目前比較普遍采用式（1），利用降低的許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力τp值對軸進(jìn)行計(jì)算校核，若計(jì)算發(fā)現(xiàn)軸徑不能滿足要求，可通過放大軸的直徑和改變軸的材料來解決。但在表1中可以發(fā)現(xiàn)，即使采用性能最佳的合金鋼，τp最大也只能取到55 MPa，在此情況下，似乎只有通過加大軸徑來解決問題，而這又導(dǎo)致其與選好的減速器空心軸產(chǎn)生不匹配，不得不加大減速器的型號，違背了舞臺機(jī)械設(shè)備緊湊化的設(shè)計(jì)意圖。在此情況下，往往會認(rèn)為是強(qiáng)度計(jì)算的規(guī)定[3]限制了軸的選擇，實(shí)際上，利用式（1）和表1的計(jì)算，只有當(dāng)軸上的彎矩不大時，僅作為對軸強(qiáng)度的估算，進(jìn)一步可采用按彎扭合成的強(qiáng)度計(jì)算和精確強(qiáng)度校核計(jì)算的方法。

1.2 按彎扭合成強(qiáng)度的計(jì)算

當(dāng)軸上的載荷和軸的結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定時，可按彎扭合成的方法對卷筒軸的強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果是偏于安全的，具體計(jì)算為

式中：d為軸端直徑，A為鍵槽增大系數(shù)，M為軸所受彎矩，T為軸所受轉(zhuǎn)矩，ψ為校正系數(shù)，由扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力變化來確定，σ+1p、σ0p、σ-1p分別為材料在靜應(yīng)力、脈動循環(huán)應(yīng)力和對稱循環(huán)應(yīng)力狀態(tài)下的許用彎曲應(yīng)力。

式（2）中，除參數(shù)ψ與扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的變化形式有關(guān)外，其他參數(shù)與卷筒軸材料和結(jié)構(gòu)有關(guān)。針對舞臺機(jī)械設(shè)備的卷筒軸的強(qiáng)度計(jì)算，關(guān)于參數(shù)ψ的選擇具體分析和討論如下：

1）對于舞臺機(jī)械設(shè)備的卷筒軸，其扭應(yīng)力均會隨著機(jī)械的啟動和停止產(chǎn)生變化，不存在扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力不變化的狀況。

2）對于水平運(yùn)動的舞臺機(jī)械設(shè)備，在運(yùn)動的過程主要是利用驅(qū)動力去克服摩擦阻力，而摩擦阻力的方向與車臺的運(yùn)動方向和運(yùn)動趨勢相關(guān)，若該水平運(yùn)行的設(shè)備是用卷揚(yáng)機(jī)作為驅(qū)動機(jī)構(gòu)，則施加在卷筒軸上的作用力方向會隨著設(shè)備運(yùn)行方向的變動而產(chǎn)生變化，從理論上講，在兩個相反的運(yùn)動方向需要的驅(qū)動力大小相等、方向相反，因此卷筒軸上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的變化屬于對稱循環(huán)的范疇，即ψ=σ-1p/σ-1p≈ 1。

3）對于帶有平衡重的舞臺機(jī)械升降設(shè)備，若其平衡重與承載件和負(fù)載基本平衡，作用在卷筒軸上的力主要是由于摩擦阻力和慣性力，其作用力的方向會隨著設(shè)備的升降而產(chǎn)生變化，所以其扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的變化屬于對稱循環(huán)的范疇，即 ψ = σ-1p/σ-1p≈ 1。

4）對于不帶平衡重的舞臺機(jī)械升降設(shè)備，其運(yùn)動的過程主要是利用驅(qū)動力去克服承載件的重力和負(fù)載，無論設(shè)備上升或下降，重力和負(fù)載的方向始終是垂直向下的，施加在卷筒軸上的作用力方向不會隨著設(shè)備運(yùn)行方向的改變而變化，同時考慮到舞臺機(jī)械升降設(shè)備在一定周期內(nèi)的啟停動作產(chǎn)生的摩擦力和慣性力的變化，以及在不同演出場景條件下負(fù)載的不同，使軸上的扭力的大小呈現(xiàn)出一定的周期性變化，故卷筒軸上扭應(yīng)力的變化屬于脈動循環(huán)的范疇，即ψ=σ-1p/σ0p≈0.6。

1.3 精確強(qiáng)度校核計(jì)算

軸采用安全系數(shù)進(jìn)行校核計(jì)算。舞臺機(jī)械設(shè)備中的卷筒軸應(yīng)屬于設(shè)備中關(guān)鍵零件，同時，在舞臺機(jī)械相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定：所有驅(qū)動系統(tǒng)的零部件應(yīng)能承受2倍特征載荷（在正常運(yùn)行情況下，作用于舞臺機(jī)械設(shè)備上的最大載荷，包括額定工作載荷、運(yùn)動承載件自重、正常運(yùn)行情況下的動態(tài)作用力），這里隱含了安全系數(shù)的概念，故精確強(qiáng)度校核計(jì)算的方法適合舞臺機(jī)械設(shè)備中卷筒軸的強(qiáng)度計(jì)算。精確強(qiáng)度校核計(jì)算包括疲勞強(qiáng)度[4]安全系數(shù)校核和靜強(qiáng)度[5]安全系數(shù)校核兩個方面的內(nèi)容。

1.3.1 疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)校核

疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)校核的計(jì)算為

式中：Sp為許用安全系數(shù)，對于舞臺機(jī)械設(shè)備，由于其載荷確定精確，應(yīng)力計(jì)算準(zhǔn)確，在機(jī)械設(shè)計(jì)手冊中提供的許用安全系數(shù)為Sp=1.3～1.5，又考慮到舞臺機(jī)械設(shè)備較大安全性的要求，可以適當(dāng)加大，推薦取Sp=1.6為宜；Sσ為只考慮彎矩作用時的安全系數(shù)；Sτ為考慮扭矩作用時的安全系數(shù)；σ-1、τ-1為對稱循環(huán)應(yīng)力下的材料彎曲和扭轉(zhuǎn)疲勞極限；Kσ、Kτ為彎曲和扭轉(zhuǎn)時的有效應(yīng)力集中系數(shù)；β為表面質(zhì)量系數(shù)；εσ、ετ為彎曲和扭轉(zhuǎn)時的尺寸影響系數(shù)；ψσ、ψτ為材料拉伸和扭轉(zhuǎn)的平均應(yīng)力折算系數(shù)；σa、σm為彎曲應(yīng)力幅和平均應(yīng)力；τa、τm為扭轉(zhuǎn)應(yīng)力幅和平均應(yīng)力，對于舞臺機(jī)械設(shè)備卷筒軸的精確強(qiáng)度校核計(jì)算，參數(shù)σa、τa、σm、τm的選擇為：

1）如圖1所示，對于卷筒軸的彎曲應(yīng)力，其主要是由減速器的重力作用而產(chǎn)生，在卷筒軸轉(zhuǎn)動過程中，對于軸上某個確定的點(diǎn)，它所承受的彎矩是周期性變化的，軸旋轉(zhuǎn)1圈是其變化周期，且在該周期內(nèi)其兩個峰值彎矩的方向是相反的，屬于對稱循環(huán)，故有

式中：Z為軸危險截面上的抗彎截面系數(shù)，M為軸所承受的彎矩。

2）對于卷筒軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力，其主要是由承載件的自重和負(fù)載作用而產(chǎn)生，它屬于不帶平衡重的舞臺機(jī)械升降設(shè)備，屬于脈動循環(huán)，故有

式中：Zp為軸險截面上的抗扭截面系數(shù)；T為軸所承受的扭矩，根據(jù)舞臺機(jī)械相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定，在校核計(jì)算時，參數(shù)T（軸所承受的扭矩）應(yīng)選取為2倍的特征載荷。

與彎扭合成強(qiáng)度計(jì)算式（2）相比，在疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)校核中，引入了更多的軸相關(guān)的系數(shù)，如有效應(yīng)力集中系數(shù)（Kσ、Kτ）、表面質(zhì)量系數(shù)（β）和彎曲和扭轉(zhuǎn)時的尺寸影響系數(shù)（εσ、ετ）等，顯然，其計(jì)算的結(jié)果會更加精確客觀。從式（4）～式（7）中各參數(shù)的含義分析可知，增大軸的安全系數(shù)，可以通過增大軸的直徑去實(shí)現(xiàn)，還可以通過改進(jìn)軸的結(jié)構(gòu)、降低應(yīng)力集中、提高軸的表面質(zhì)量、采用熱處理或改用較高強(qiáng)度的材質(zhì)去實(shí)現(xiàn)。

1.3.2 靜強(qiáng)度安全系數(shù)校核

靜強(qiáng)度安全系數(shù)校核的目的是為了校驗(yàn)軸對塑性變形的抵抗能力，即校核危險截面的靜強(qiáng)度安全系數(shù)。軸的靜強(qiáng)度計(jì)算是根據(jù)軸上作用的最大瞬時載荷（包括動載荷和沖擊載荷）進(jìn)行的。靜強(qiáng)度安全系數(shù)校核為

式中：SSP為靜強(qiáng)度的許用安全系數(shù)，如果選用軸材料為 40Cr（σs/σb=550/750=0.73），同時考慮到舞臺機(jī)械設(shè)備安全要求的特殊性，取機(jī)械設(shè)計(jì)手冊推薦的最大值SSp=2.2；SSσ為只考慮彎矩作用時的安全系數(shù)；SSτ為只考慮彎矩作用時的安全系數(shù)；Z、ZP為軸的抗彎和抗扭截面系數(shù)；σs、τs為材料的拉抻和扭轉(zhuǎn)屈服點(diǎn)；Mmax、Tmax為軸的最大彎矩和扭矩。

如圖1所示，卷筒軸端所承受最大彎矩Mmax主要由減速電機(jī)的重力產(chǎn)生，它是一個固定不變的值；對于卷筒軸的最大扭矩Tmax，在計(jì)算時，應(yīng)將2倍的特征載荷作為其計(jì)算輸入值。

2 卷筒軸的強(qiáng)度計(jì)算的舉例分析

為了便于對卷筒軸的計(jì)算有更加直觀的理解，列舉卷筒軸強(qiáng)度計(jì)算實(shí)例，并對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的分析。計(jì)算用原始參數(shù)及載荷計(jì)算如表2所示。

表2 設(shè)計(jì)計(jì)算原始參數(shù)

2.1 按照扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度公式計(jì)算

根據(jù)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度式（1），有

計(jì)算結(jié)果大于圖1所示的減速器空心軸的直徑70 mm，且許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力τp選取了表1相關(guān)取值范圍的最大值，說明用式（1）校核軸的直徑偏小，只有增加卷筒軸的直徑才能滿足扭矩的傳遞，但這需要選取更大的減速器，無法滿足設(shè)備緊湊化的要求，而且還會使設(shè)備的成本增加。

2.2 按彎扭合成強(qiáng)度計(jì)算

根據(jù)彎扭合成強(qiáng)度式（2），有

計(jì)算結(jié)果大于減速器空心軸的直徑70 mm，且其脈動循環(huán)許用彎曲應(yīng)力選取了上限值：σ-1p=90 MPa，說明用式（2）校核軸的直徑偏小，但從具體計(jì)算的數(shù)值可以看出，用彎扭合成方法計(jì)算得到的結(jié)果要好于按照扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度公式估算的結(jié)果，但隨著彎矩的增大，用按彎扭合成強(qiáng)度計(jì)算的軸徑也隨之增大，經(jīng)過驗(yàn)算得到，當(dāng)彎矩M=2 492 Nm時，用式（2）計(jì)算獲得的軸徑與式（1）計(jì)算的軸徑相等均為78.4 mm，此時軸的彎矩與扭矩的比值為0.55。在機(jī)械設(shè)計(jì)手冊中提到，當(dāng)彎矩不大時，可以采用式（1）進(jìn)行軸徑估算，但其沒有給出具體的彎扭占比值，從上述計(jì)算結(jié)果可以看出：當(dāng)彎矩小于扭矩的一半時，采用扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度式（1）進(jìn)行估算的軸徑不會小于按彎扭合成強(qiáng)度式（2）計(jì)算的軸徑。

2.3 精確強(qiáng)度校核計(jì)算

精確強(qiáng)度計(jì)算過程中用到的各參數(shù)值匯總?cè)绫?所示，參數(shù)的選擇均按照機(jī)械設(shè)計(jì)手冊的相關(guān)表格和要求獲得。

表3 精確強(qiáng)度計(jì)算各參數(shù)取值

1）疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)校核計(jì)算：

根據(jù)式（4）和式（5），以及表3的相關(guān)參數(shù)計(jì)算得到

根據(jù)式（4）計(jì)算得到

計(jì)算得到的疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)大于許用安全系數(shù)Sp=1.6，滿足設(shè)計(jì)安全要求。

2）靜強(qiáng)度安全系數(shù)校核計(jì)算

根據(jù)式（9）和式（10），以及表3的相關(guān)參數(shù)計(jì)算得到

根據(jù)式（8）計(jì)算得到

計(jì)算得到的靜強(qiáng)度安全系數(shù)大于許用安全系數(shù)SSp=2.2，滿足設(shè)計(jì)安全要求。

在上述疲勞強(qiáng)度安全系數(shù)校核和靜強(qiáng)度安全系數(shù)校核計(jì)算的過程中，同樣是根據(jù)舞臺機(jī)械設(shè)備的相關(guān)要求，選用2倍特征載荷產(chǎn)生的扭矩代入核算，但從計(jì)算結(jié)果看，卷揚(yáng)機(jī)卷筒軸徑70 mm滿足設(shè)計(jì)安全要求，原選擇的減速器與之匹配，產(chǎn)生該結(jié)果的原因是由于在精確強(qiáng)度校核計(jì)算的過程中，引入了更多軸的相關(guān)系數(shù)，使得計(jì)算結(jié)果不僅更加精確且更加接近實(shí)際工況。

3 結(jié)論

1）對于軸的強(qiáng)度校核計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果的精確度依次按照扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度公式估算、彎扭合成強(qiáng)度公式計(jì)算、精確強(qiáng)度校核計(jì)算的順序提高。當(dāng)軸的彎矩不大時，可按降低許用扭應(yīng)力采用扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度式（1）進(jìn)行計(jì)算，但其僅作為對軸強(qiáng)度的一種估算，若其估算結(jié)果不能滿足要求，可進(jìn)一步用彎扭合成強(qiáng)度公式和精確強(qiáng)度校核進(jìn)行計(jì)算去判斷其最終是否滿足強(qiáng)度要求。

2）當(dāng)彎矩小于扭矩的一半時，可以采用降低許用應(yīng)力的辦法按照扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度式（1）進(jìn)行軸徑估算，其計(jì)算所得的軸徑不會小于按彎扭合成強(qiáng)度式（2）計(jì)算的軸徑，當(dāng)彎矩超過扭矩的一半時，式（1）相對不適合對軸徑進(jìn)行估算，無法保證其計(jì)算結(jié)果的安全性。

3）在如圖1所示的類似設(shè)備中，對于卷筒軸的彎曲應(yīng)力，主要是由減速器的重力作用而產(chǎn)生，它所承受的彎應(yīng)力呈周期性變化，屬于對稱循環(huán)。對于卷筒軸上的扭應(yīng)力，其不同的變化形式對應(yīng)著不同的強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果，水平運(yùn)動設(shè)備和帶有平衡重（平衡重與承載件和負(fù)載基本平衡）的升降設(shè)備，其卷筒軸上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的變化屬于對稱循環(huán)的范疇；不帶平衡重的升降設(shè)備，卷筒軸上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的變化屬于脈動循環(huán)的范疇。

4）舞臺機(jī)械相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)[6]中規(guī)定了所有驅(qū)動系統(tǒng)的零部件應(yīng)能承受2倍特征載荷，這里隱含了安全系數(shù)的概念，舞臺機(jī)械設(shè)備中的卷筒軸適合采用精確強(qiáng)度校核計(jì)算的方法，且其計(jì)算結(jié)果更加客觀準(zhǔn)確。

5）在軸的強(qiáng)度計(jì)算和校核中，需注意設(shè)備可能產(chǎn)生較大的峰值載荷，峰值載荷通常發(fā)生在故障情況，如控制系統(tǒng)斷電、卡阻停車和0類急停等，應(yīng)將2倍的特征載荷與峰值載荷產(chǎn)生的扭矩進(jìn)行對比，選取大者作為軸強(qiáng)度計(jì)算校核的輸入值。

6）增加軸的強(qiáng)度不僅可以通過增大軸的直徑達(dá)到，還可以通過改進(jìn)軸的結(jié)構(gòu)、降低應(yīng)力集中、提高軸的表面質(zhì)量、采用熱處理或改用較高強(qiáng)度的材質(zhì)實(shí)現(xiàn)。在舞臺機(jī)械設(shè)備中，還有很多是類似于緊湊型卷筒軸的零件，其強(qiáng)度的計(jì)算校核同樣可參考本文。