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        時(shí)滯依賴狀態(tài)的隨機(jī)脈沖隨機(jī)集值微分方程解的存在性

        2021-07-20 05:29:12李文勝
        關(guān)鍵詞:集值時(shí)滯微分

        李文勝

        (西安航空學(xué)院 理學(xué)院,西安 710077)

        近些年來,時(shí)滯依賴狀態(tài)的微分方程或包含理論得到了許多專家學(xué)者的關(guān)注,取得了一些重要成果[1-3],最近幾年,有關(guān)隨機(jī)多值微分系統(tǒng)解的存在性和可控性理論也相繼建立[4-6]。

        本文主要考慮一類時(shí)滯依賴狀態(tài)的隨機(jī)脈沖隨機(jī)集值微分方程解的存在性:

        y0=φ

        (2)

        y(ξk)=bk(τk)y(ξk),i=1,2,…,n

        (3)

        1 預(yù)備知識(shí)

        定義1.4 若以下三個(gè)條件成立:

        (a) 當(dāng)0≤s≤r≤t≤a時(shí), 有(t,s)→U(t,s)是強(qiáng)連續(xù)的。

        (c)U(t,r)U(r,s)=U(t,s),U(s,s)=I,0≤s≤r≤t≤a。

        引理1.3 假如{A(t):t∈Rτ}生成一個(gè)線性發(fā)展系統(tǒng){U(t,s):0≤s≤r≤t≤T*},則當(dāng)t>s時(shí),{U(t,s):0≤s≤r≤t≤a}是緊算子[9]。

        定義1.5t適應(yīng)隨機(jī)過程{y(t):t0-r≤t≤T}稱為問題(1.1)至(1.3)的溫和解,當(dāng)且僅當(dāng)

        引理1.4[10](Kakutani型非線性抉擇) 令K是Hilbert空間Y中的一個(gè)凸閉子集,Λ是K的一個(gè)開子集且0∈K.

        (ii) 存在v∈?Λ和λ∈(0,1),使得v∈λGv.

        2 主要結(jié)果

        為了討論隨機(jī)集值微分系統(tǒng)(1.1)至(1.3)溫和解的存在性,假設(shè)以下四個(gè)條件成立:

        H1.雙參數(shù)發(fā)展系統(tǒng){U(t,s),t>s}是緊算子,且存在M>0,使得當(dāng)t∈[t0,T*]時(shí),有‖A(t)A(0)-1‖2≤M.

        H3(ii) 存在一個(gè)可積函數(shù)m:Rτ→[0,+∞)和一個(gè)連續(xù)非負(fù)函數(shù)W*:[0,T*]→[0,T*],使得

        H4.存在正常數(shù)Q,使得

        定理2.1.假設(shè)上述條件成立.如果

        則隨機(jī)集值微分系統(tǒng)(1.1)至(1.3)的溫和解是存在的.

        令Γ=Γ1+Γ2, 其中

        接下來分幾步證明(1.1)至(1.3)的溫和解是存在的:

        第一步,對(duì)每個(gè)y∈B,Γ(y)是凸的.

        如果u1,u2∈Γ(y),則存在g1,g2∈SF,y使得

        令γ=(λu1+(1-λ)u2)(t),0≤λ≤1,則有

        因?yàn)镾G,y是凸的(G有凸值),所以λu1+(1-λ)u2∈Γ(y)

        第二步,證明存在一個(gè)開集Ω∈B,使得當(dāng)λ∈[0,1],u∈?Ω時(shí),u?λΓy.

        記B*={y:(t0,T)→X;y0∈B,y|Rτ∈C(Rτ,X)},對(duì)任意的y∈B*,記‖·‖T是B*的半范數(shù)并定義為:

        ‖y‖T=‖y0‖B+sup{‖y(s)‖:t0≤s≤T*}

        令u∈λΓy,則存在g∈SG,y,使得

        則有

        E‖z(t)‖2≤3Q2M2E‖φ(0)‖2+(‖A(0)-1‖2L1(E‖φ‖2)+1)+3Q2‖A(0)-1‖2(L1(E‖u‖2)+1)

        定義μ(t)=sup{E‖us‖2:t0≤s≤t},t0≤t≤T*,令ζ=3M2max{1,Q2}(T-t0)因此

        N=3Q2M2E‖φ(0)‖2+(‖A(0)-1‖2L1(E‖φ‖2)+1)+3Q2‖A(0)-1‖2(L1(E‖u‖2)+1)

        因此

        由H4可知,存在M,使得‖μ‖≠M(fèi),集合Ω={v∈B, ‖v‖B

        第三步,Γ1是壓縮的。

        如果u,v∈B,有

        第四步,Γ2是全連續(xù)多值映射。

        (i) 顯然Γ1(Br)是有界的,Bi={y∈Y:‖y‖2≤r}

        (ii) (Γ2Br)(t)={u(t):u∈Γ2(Br),t∈[t0,T]}是相對(duì)緊的。

        當(dāng)t=t0時(shí),易知Γ2(Br)(t)是相對(duì)緊的。令t0

        因?yàn)閁(t,s),(t>s)是緊的,則對(duì)任意的0<ε

        當(dāng)ε→0時(shí),上式右端一致收斂于零。因此,存在相對(duì)緊集序列無限逼近于集合{u(t):u∈Γ2(Br)},由此可知,集合{u(t):u∈Γ2(Br)}為Y中的相對(duì)緊集合。由Arzela-Ascoli引理可知Γ2是全連續(xù)集值映射。Γ2有閉圖可參見文獻(xiàn)[5]。所以,Γ2是上半連續(xù)算子。 因此Γ=Γ1+Γ2是凝聚且上半連續(xù)的映射。由引理2.4可知,隨機(jī)集值微分系統(tǒng)(1.1)至(1.3) 有一個(gè)溫和解。

        3 結(jié)語

        利用隨機(jī)分析有關(guān)理論結(jié)合適當(dāng)?shù)募涤成洳粍?dòng)點(diǎn)定理結(jié)合,在時(shí)滯依賴狀態(tài)相關(guān)方法以及抽象的相空間里所給定的適當(dāng)條件的基礎(chǔ)上,先將集值微分方程轉(zhuǎn)化成積分系統(tǒng),然后按照所給集值映射不動(dòng)點(diǎn)定理證明了一類時(shí)滯依賴狀態(tài)的隨機(jī)脈沖隨機(jī)集值微分方程解的存在性,此存在性的分析方法對(duì)同類微分系統(tǒng)解的存在性的研究具有一定的促進(jìn)意義。

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