張 穎，史冬巖，何東澤

(1.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)工程學(xué)院，大慶 163319；2.哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

伴隨著時(shí)代的進(jìn)步和社會(huì)的發(fā)展，機(jī)械制造業(yè)以及加工業(yè)對精密儀器的加工越來越重視，尤其對于機(jī)械加工制造而言，如何減振降噪已經(jīng)成為工程機(jī)械設(shè)計(jì)和生產(chǎn)的關(guān)鍵的因素。聲子晶體概念是類比于光子晶體的概念而提出的，通過對比與光子晶體，可以明顯地比較看出，彈性波傳播時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較為特殊的振動(dòng)帶隙。正因?yàn)槁曌泳w結(jié)構(gòu)獨(dú)特的振動(dòng)帶隙特性，是一個(gè)較為新穎的領(lǐng)域，其工程應(yīng)用價(jià)值也存在著較大的潛在價(jià)值。目前研究中，對于聲子晶體結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的掌握，仍不足以滿足實(shí)際應(yīng)用需求，研究相關(guān)結(jié)構(gòu)減振特性具有重要意義。

1 研究現(xiàn)狀分析

聲子晶體結(jié)構(gòu)存在特殊的周期性結(jié)構(gòu)，當(dāng)彈性波在其中傳播時(shí)，會(huì)使其在傳播過程之中產(chǎn)生較為特殊的色散關(guān)系，即能帶關(guān)系[1]。1883年的Floquet較早對周期材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行討論，進(jìn)行了關(guān)于一維Mathieus方程的研究。通常將振動(dòng)衰減范圍內(nèi)的頻率定義為帶隙，進(jìn)而提出了聲子晶體的概念。近年來，基于光學(xué)以及固體物理學(xué)研究領(lǐng)域的擴(kuò)展，光子能帶理論和電子能帶理論對各類交叉學(xué)科領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，人們提出了一種新的物理概念——聲子晶體，借助于能帶理論中的晶格、倒格子、布里淵區(qū)以及帶隙等相關(guān)研究結(jié)果，對能帶結(jié)構(gòu)以及振動(dòng)特性進(jìn)行計(jì)算[2]。為了進(jìn)一步對聲子晶體進(jìn)行研究，需要對聲子晶體進(jìn)行分類，通?？梢詫⒙曌泳w分為一維、二維以及三維，具體的分類規(guī)則是依據(jù)周期分布排列的方向數(shù)而確定的[3]。在工程實(shí)際的應(yīng)用之中，梁結(jié)構(gòu)較為常用，并且聲子晶體梁結(jié)構(gòu)由于其獨(dú)特性能而具有較為廣闊的應(yīng)用前景；在理論方面，一維聲子晶體結(jié)構(gòu)是一種散射體與基體相互不可區(qū)分的一維結(jié)構(gòu)，所以其理論模型應(yīng)具有一定的特殊性，具有重要的研究價(jià)值。在工程應(yīng)用以及裝備生產(chǎn)的過程之中，一維聲子晶體結(jié)構(gòu)具備穩(wěn)定機(jī)械振動(dòng)的作用，降低其在生產(chǎn)過程以及對工作環(huán)境產(chǎn)生的影響和危害[4]。尤其聲輻射、聲噪會(huì)對用戶及操作人員的身心健康產(chǎn)生危害[5]。在國防工業(yè)之中，減振更是值得考慮的問題，例如飛機(jī)、潛艇、航母等高科技裝備的制造和工作中，尤其是在惡劣的環(huán)境條件下都需要具有較好的減振特性，明顯的振動(dòng)噪聲會(huì)造成較多不良后果[6]。

近年來很多學(xué)者針對一維聲子晶體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性開展相關(guān)研究。宿星亮等[7]研究了功能梯度材料復(fù)合而成的一維聲子晶體結(jié)構(gòu)的彈性波帶隙特征。左曙光等[8]考察了一維局域共振聲子晶體帶隙受材料黏彈性的影響。張法[9]采用理論推導(dǎo)、仿真分析及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證相結(jié)合的研究方法，分析和比較了聲子晶體組合桿振動(dòng)特性。舒海生等[6]針對直梁低維振動(dòng)特性的不足，提出一類聲子晶體角梁結(jié)構(gòu)的理論模型，并開展數(shù)值分析，提供該結(jié)構(gòu)減振的有效方法。朱學(xué)治等[10]基于歐拉梁理論，分析了有周期分布轉(zhuǎn)動(dòng)振子的聲子晶體梁帶隙變化的一般規(guī)律。何東澤等[11]將一維聲子晶體振動(dòng)特性的研究拓展到均勻變截面結(jié)構(gòu)當(dāng)中。涂靜等[12]更進(jìn)一步將振動(dòng)帶隙特性研究拓展到雙層歐拉梁聲子晶體結(jié)構(gòu)中，指出雙層梁結(jié)構(gòu)在減振方面具有特有的優(yōu)勢。

而在以往的研究過程中，大多數(shù)的研究主要集中于單一梁的研究，對組合梁的振動(dòng)特性的研究較少，等截面聲子晶體角梁可以視為工程應(yīng)用上較為常用的梁單元，是一種常見的組合梁。在工程應(yīng)用之中存在著較多的應(yīng)用，比如擔(dān)架的角梁扶手，房屋屋脊框架的結(jié)構(gòu)組成等均是由角梁單元變化而成[11]?；诖耍F(xiàn)對一維等截面聲子晶體、組合桿件——角梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行研究分析，研究各參數(shù)對聲子晶體角梁振動(dòng)特性的影響，對發(fā)揮其材料和結(jié)構(gòu)優(yōu)勢、有效控制振動(dòng)和聲輻射具有重要意義。

2 角梁模型建立與描述

一維等截面聲子晶體角梁結(jié)構(gòu)是由多段等截面一維短粗梁在直角方向上的排列組合而成(圖1)，本節(jié)主要研究三周期的一維等截面聲子晶體角梁，聲子晶體角梁的橫截面尺寸與軸向尺寸相當(dāng)。

圖1 一維等截面曲梁示意圖

選取材料A為有機(jī)玻璃，材料B為鋁，其性能參數(shù)如下：鋁：密度為2 799 kg/m3，彈性模量為7.21×1010Pa，泊松比為0.33；有機(jī)玻璃：密度為1 442 kg/m3，彈性模量為0.32×1010Pa，泊松比為0.33。

對于一維聲子晶體角梁結(jié)構(gòu)，其物理參數(shù)如下：材料A的長度為l1=60 mm，材料B的長度為l2=60 mm，則周期常數(shù)，即晶格常數(shù)N為l1+l2=120 mm；g為組分比，表示結(jié)構(gòu)中兩種材料的比例；材料A和材料B的橫截面均為矩形，橫截面面積相等，即A1=A2，具體參數(shù)如下：截面寬度b1=b2=10 mm，高度h1=h2=10 mm。定義角梁的夾角為θ，則本節(jié)所研究的角梁夾角θ為90o。

如圖2可以表示直角連接處，定義其節(jié)點(diǎn)數(shù)為2，則可以明確地表示出單元12和單元23中對偶坐標(biāo)系的建立情況，根據(jù)各自坐標(biāo)系的建立，結(jié)合節(jié)點(diǎn)處的廣義力平衡條件以及廣義位移協(xié)調(diào)條件進(jìn)行計(jì)算，得出整個(gè)系統(tǒng)的回傳射線矩陣，結(jié)合邊界條件進(jìn)行求解，得出相對應(yīng)的頻率相應(yīng)函數(shù)曲線，研究一維等截面聲子晶體角梁的振動(dòng)特性。

圖2 坐標(biāo)定義

3 回傳射線矩陣法

回傳射線矩陣法的主要求解思路為：建立整體坐標(biāo)系，將整個(gè)結(jié)構(gòu)劃分為若干的單元，建立一對對偶的局部坐標(biāo)系，根據(jù)相應(yīng)的物理關(guān)系得出對應(yīng)的控制微分方程，進(jìn)行傅里葉變換，將時(shí)域范圍內(nèi)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為頻域范圍內(nèi)的常微分方程，求出對應(yīng)的解[13]。將控制微分方程的解寫成波的形式，分為入射波和出射波兩大類；在同一單元之中，因一端的節(jié)點(diǎn)處的出射波，經(jīng)過在該單元之中的傳播過程，在另一單元之中將變?yōu)槿肷洳ǎ紤]二者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系；將各個(gè)單元的相位關(guān)系按照節(jié)點(diǎn)順序并且與散射關(guān)系中的順序相同組成總體相位關(guān)系矩陣；通過聯(lián)立總體散射關(guān)系矩陣以及總體相位關(guān)系矩陣，并且引入轉(zhuǎn)換矩陣，計(jì)算得出整體結(jié)構(gòu)的回傳射線矩陣，進(jìn)而求出相應(yīng)的入射波與出射波的波幅向量，求解對應(yīng)的物理量[14-16]。

3.1 結(jié)構(gòu)描述

假設(shè)一維聲子晶體由K段組成，將每一段結(jié)構(gòu)視為一個(gè)整體，建立整體坐標(biāo)系并進(jìn)行結(jié)構(gòu)定義。則可以將整個(gè)聲子晶體桿劃分為K個(gè)整體結(jié)構(gòu)，即，將每一段材料視為一個(gè)整體結(jié)構(gòu)，分別建立整體坐標(biāo)系和對偶坐標(biāo)系進(jìn)行求解。通常采用數(shù)字對節(jié)點(diǎn)以及單元進(jìn)行編號(hào)，如圖3所示為對聲子晶體桿進(jìn)行節(jié)點(diǎn)分配以及結(jié)構(gòu)定義，其中，K=6。

圖3 結(jié)構(gòu)描述示意圖

3.2 總體坐標(biāo)與單元局部坐標(biāo)

對于一根桿單元，如i、j，分別引入對偶的局部坐標(biāo)系(x,y,z)ij和(x,y,z)ji，分別以i和j為相應(yīng)的坐標(biāo)原點(diǎn)，以單元的軸線方向?yàn)閤軸方向。對于(x,y,z)ij坐標(biāo)系而言，以i到j(luò)的方向?yàn)檎较?，相對?yīng)的，(x,y,z)ji以j到i的方向?yàn)檎较?。將xij和xji在xy平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得到y(tǒng)ij和yji，根據(jù)各自坐標(biāo)系中x和y的正方向，結(jié)合右手螺旋法則，得到對應(yīng)的zij和zji。對偶坐標(biāo)的具體形式如圖4所示。從圖4中可以看出，xij和xji方向相反，yij和yji方向相反，zij和zji方向相同。在對偶坐標(biāo)系中，坐標(biāo)x滿足關(guān)系式:xij=lij-xji以軸向位移u為例，可以得到uij=-uji。

圖4 單元的對偶坐標(biāo)系

3.3 坐標(biāo)變換與對偶變換

圖5 局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系之間的關(guān)系

(1)

對于任意單元i、j而言，將每一個(gè)物理量的上標(biāo)用對應(yīng)的坐標(biāo)系標(biāo)注，以區(qū)分不同坐標(biāo)系中的物理量。對于每個(gè)單元，單元中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間滿足對偶變換關(guān)系，各物理量之間的關(guān)系為

Nij=Nji,Qij=Qji,Mij=-Mji,uij=-uji,

vij=-vji,φij=φji

(2)

式(2)中：Nij、Qij、Mij分別為梁的軸向力、剪切力以及彎矩；uij、vij、φij分別為3個(gè)方向的位移分量。

將單元坐標(biāo)系中的廣義力與廣義位移之間的關(guān)系表示為

(3)

將上述關(guān)系矩陣分別定義為廣義力坐標(biāo)變換矩陣，廣義位移坐標(biāo)變換矩陣為

(4)

3.4 行波解及其矩陣形式

現(xiàn)有的梁理論主要是Euler-Bernoulli梁理論和Timoshenko梁理論。其中在實(shí)際應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，Euler-Bernoulli梁理論的結(jié)果只有當(dāng)細(xì)長梁的低頻情況下才和理論值相接近，當(dāng)在高頻區(qū)段或者梁模型為短粗梁時(shí)，其理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)際結(jié)果相差甚遠(yuǎn)[15]。隨著時(shí)代的進(jìn)步以及科學(xué)情況的發(fā)展，人們提出了Timoshenko梁理論，該理論不僅僅考慮到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，并且還考慮到梁的剪切變形。這個(gè)理論極大地改變了梁的動(dòng)力學(xué)理論，提高了計(jì)算的精度，具有極大的工程應(yīng)用價(jià)值[17]。對于梁的軸向波的控制微分方程，Timoshenko梁理論與經(jīng)典的梁理論是相同的，在笛卡爾坐標(biāo)系中，考慮梁的彎曲變形之中剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，其控制微分方程[5-6]為

(5)

式(5)中：E(x)、G(x)分別為材料的拉伸和剪切彈性模量系數(shù)；ρ(x)為材料的密度；A(x)為橫截面面積；I(x)為橫截面二次矩；Q(x,t)為梁的剪力；M(x,t)為梁的彎矩；v(x,t)為梁的撓度位移；φ(x,t)為梁的轉(zhuǎn)角位移。

對式(5)進(jìn)行Fourier變化，可得

(6)

則微分方程的通解可以表示為

(7)

式(7)中：ω為振動(dòng)頻率；a2(ω)、a3(ω)為入射波解向量；d2(ω)、d3(ω)為入射波解向量；k2、k3為彎曲波的波數(shù)；β2、β3為比例系數(shù)，表達(dá)式為

(8)

(9)

式(9)中：ξ2、ξ3、μ2、μ3為比例系數(shù)，其具體定義為

(10)

對于梁單元的狀態(tài)方程，可以得出其狀態(tài)向量，并且可以得到狀態(tài)方程的解，將狀態(tài)方程的頻域解寫成矩陣形式，可以得到形式為

(11)

式(11)中：AF、DF為力傳播矩陣；AV、DV為位移傳播矩陣；k1為縱波波數(shù)，k1=ω/c1。上述物理量的具體矩陣形式可以表示為

(12)

3.5 單元分析與相位關(guān)系

根據(jù)單元內(nèi)對偶變換以及公式推導(dǎo)，可以得到關(guān)系式為

(13)

經(jīng)過定義可以得到對應(yīng)的相位關(guān)系為

(14)

式(14)中：Pij為單元i、j的相位矩陣。

(15)

由上文所得節(jié)點(diǎn)相位關(guān)系，將所有節(jié)點(diǎn)的局部相位矩陣按照節(jié)點(diǎn)編號(hào)的順序組成總體相位矩陣為

(16)

式(16)中：P為相應(yīng)的總體相位關(guān)系矩陣，是6N×6N階的對角陣。單元總體的入射波向量和出射波向量可以分別表示為

(17)

引入轉(zhuǎn)換矩陣，得出整體散射矩陣為

(18)

式(18)中：U0為轉(zhuǎn)換矩陣，其每一行、每一列有且只有一個(gè)元素為1，可以得到整體散射矩陣：a=PUd。

3.6 節(jié)點(diǎn)分析與色散關(guān)系

根據(jù)廣義力平衡關(guān)系，以節(jié)點(diǎn)i為例，設(shè)節(jié)點(diǎn)i的相關(guān)單元數(shù)為ni，可以寫出在頻域內(nèi)的平衡方程[7]為

(19)

式(19)中：M、K、u、f為相應(yīng)單元的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、位移向量以及外載荷向量。

將式(12)代入式(19)中，得

fi=(-ω2Mi+Ki)ui

(20)

Tij[Vij(0,ω)]=ui,j=1,2,…,nj

(21)

將式(21)代入式(20)中，可得

(22)

di=Siai+si

(23)

式(23)中：Si為局部散射矩陣；si為外載矩陣。

(24)

同時(shí)，按照節(jié)點(diǎn)順序得出相應(yīng)的散射矩陣S[8]，即

d=Sa+s

(25)

根據(jù)結(jié)構(gòu)受到的周期載荷，如位移u(t)=u(ω)eiωt，作用時(shí)產(chǎn)生的動(dòng)力響應(yīng)成為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，分別定義力向量和位移向量為

(26)

進(jìn)而可得

(27)

式(27)中：AFO和DFO為整體廣義位移的傳播矩陣；AVO和DVO為整體廣義力的傳播矩陣。

4 數(shù)值計(jì)算與比較

4.1 理論計(jì)算與有限元仿真

為了減小與一維聲子晶體模型與實(shí)際工程應(yīng)用的差別，取一維等截面聲子晶體角梁的左端面為激勵(lì)輸入段，取角梁的最右端面為響應(yīng)拾取端，并且取自由邊界條件進(jìn)行理論計(jì)算。于激勵(lì)輸入端輸入振幅為1 mm的軸向位移激擾，取右端的輸出位移響應(yīng)，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

對一維等截面聲子晶體角梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元仿真計(jì)算，需要對其進(jìn)行設(shè)置，其具體參數(shù)如下：①材料參數(shù)與周期結(jié)構(gòu)物理參數(shù)：與前文結(jié)構(gòu)描述相同；②離散化處理：對整體模型進(jìn)行自由網(wǎng)格劃分的方法，將每一個(gè)離散化單元的尺寸定義為2 mm；③施加載荷：主要研究一維等截面聲子晶體對軸向波的傳輸特性，因此施加軸向簡諧位移載荷，位移的幅值為1 mm,激振頻率范圍為0～30 kHz；④分析模塊設(shè)置：采用諧響應(yīng)分析模塊，因施加的是位移載荷，因此采用完全法進(jìn)行有限元模擬仿真計(jì)算，具體如圖6所示。

圖6 有限元模擬仿真示意圖

為了進(jìn)行回傳射線矩陣法計(jì)算得出的頻率響應(yīng)曲線與有限元分析軟件計(jì)算的曲線對比，由圖7中可以看出，二者重合程度較為良好，可以證明由回傳射線矩陣法計(jì)算的一維等截面聲子晶體角梁結(jié)構(gòu)得出的頻率響應(yīng)函數(shù)曲線的正確性?？梢钥闯?，在0～30 kHz的頻率范圍內(nèi)，一維等截面聲子晶體角梁存在著較多的振動(dòng)帶隙，并且在相應(yīng)的帶隙范圍內(nèi)存在表面局域態(tài)現(xiàn)象，在各自的振動(dòng)帶隙的范圍內(nèi)，最大衰減程度較少，對輸入激勵(lì)的傳播抑制程度較低。

圖7 有限元仿真與數(shù)值計(jì)算的對比

4.2 晶格常數(shù)N的影響

為了分析研究晶格常數(shù)N對一維有限尺寸等截面聲子晶體角梁振動(dòng)特性的影響，將不同晶格常數(shù)N對應(yīng)的頻率響應(yīng)曲線進(jìn)行比較分析研究。取N的范圍為100～140 mm，得出各自晶格常數(shù)N對應(yīng)的頻率響應(yīng)曲線。通過圖8中各條曲線可以觀察出，在0～35 kHz的頻率范圍內(nèi)，隨著晶格常數(shù)N的增加，頻率響應(yīng)曲線對應(yīng)的振動(dòng)帶隙以及帶隙范圍內(nèi)的最大衰減程度變化規(guī)律不是特別明顯，但是可以比較出隨著晶格常數(shù)N的增加，0～35 kHz頻率范圍內(nèi)的帶隙數(shù)量增加。

圖8 不同晶格常數(shù)N對應(yīng)的頻響曲線

4.3 組分比g的影響

為了比較分析研究單一組成材料的長度對一維聲子晶體角梁振動(dòng)特性的影響，改變材料A，即材料有機(jī)玻璃的長度，將其長度定義為l1，得到不同的組分比，通過組分比的變化，得出相對應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)曲線。在圖9中可以看出，在0～35 kHz的頻率范圍內(nèi)，隨著組分比u的變化，各曲線對應(yīng)表達(dá)的振動(dòng)特性不是十分明顯。

圖9 不同組分比u對應(yīng)的頻響曲線

4.4 角梁夾角角度θ的影響

為了研究比較分析一維聲子晶體角梁的夾角θ對振動(dòng)特性的影響，通過改變夾角θ的大小，得到夾角θ分別為60°、90°和120°所對應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)曲線。通過圖10可以看出，隨著一維等截面聲子晶體角梁夾角θ的變化，各個(gè)夾角所對應(yīng)的曲線基本吻合，變化的幅度不是很大。因此，角梁夾角θ對一維等截面聲子晶體角梁的振動(dòng)特性影響不大。

圖10 不同夾角θ對應(yīng)的頻響曲線

4.5 橫截面形狀的影響

分別將橫截面的形狀參數(shù)設(shè)計(jì)為：圓形橫截面r1=5 mm，矩形橫截面b1=10 mm，h1=8 mm；正方形橫截面b2=h2=10 mm。通過圖11可以看出，三種橫截面所對應(yīng)的頻率相應(yīng)函數(shù)曲線中，各個(gè)橫截面形狀對應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)曲線在0～35 kHz的頻率范圍內(nèi)，其帶隙寬度，帶隙的起始頻率，截止頻率以及帶隙范圍內(nèi)的最大衰減程度基本上保持不變，因此，橫截面形狀對一維等截面聲子晶體角梁的振動(dòng)特性的影響較小。

圖11 不同橫截面形狀對應(yīng)的頻響曲線

5 結(jié)論

基于Timoshenko梁理論，以及回傳射線矩陣法對等截面一維聲子晶體角梁結(jié)構(gòu)對于軸向波的振動(dòng)特性進(jìn)行研究，對角梁形式的一維聲子晶體角梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行計(jì)算，并選取有限元分析法作為參考，證明了算法的正確性。通過相應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)曲線之間的不同，比較分析了各參數(shù)對聲子晶體角梁振動(dòng)特性的影響及相應(yīng)規(guī)律。