童衛(wèi)明 白紹竣

高次非球面鏡面低溫面形擬合方法研究

童衛(wèi)明 白紹竣

（北京空間機電研究所，北京 100094）

高次非球面在空間紅外低溫光學中應用廣泛，傳統的球面擬合方法不適用于高次非球面低溫面形擬合，而Zernike多項式擬合法因涉及像差理論擬合過程復雜在結構設計人員中應用較少。針對上述情況，文章提出了一種能夠快速擬合低溫高次非球面鏡面面形的方法。首先，基于高次非球面展開式可以精確表達成偶次多項式建立了偶次多項式擬合方程，直接擬合低溫非球面面形；非球面裸鏡低溫自由變形算例驗證表明，文章提出的方法能夠很好地擬合高次非球面低溫面形，擬合殘差達到9.15×10–5(=0.6328μm)。將該方法應用到低溫透鏡支撐結構設計中進行面形擬合，結果顯示低溫變形引起的面形誤差由采用柔性支撐結構之前的0.0217下降到0.0018，進一步支撐了提出的算法的有效性。

高次非球面 低溫 面形擬合 柔性卸載 空間光學

0 引言

在光學系統中使用高次非球面可以減小像差，同時也可以減少光學元件的數量。為提高成像品質、減小相機尺寸，航天相機光學系統中應用了大量高次非球面設計。隨著空間紅外低溫光學技術的發(fā)展，高次非球面鏡面已應用到JWST、EUCLID等載荷低溫鏡頭設計中[1-2]。由于支撐結構材料同透鏡或反射鏡材料線膨脹系數不一致，工作溫度從常溫降至低溫時兩種材料變形不同會使鏡面面形變差，需要采用無熱化膠層厚度設計、柔性支撐或彈性支撐等手段保證面形[3-6]。在低溫鏡頭光機結構設計中，需要采用有限元方法計算低溫下鏡頭變形，然后進行面形擬合評價支撐結構變形對面形的影響，迭代改進支撐結構直至鏡面面形誤差滿足指標要求。

鏡面變形包括剛體位移和面形誤差[7]。計算剛體位移時，采用齊次坐標變換建立變形后節(jié)點和變形前節(jié)點之間坐標關系，然后利用最小二乘法求解線性方程組，獲得鏡面平移、傾斜和旋轉[8]。去除剛體位移后剩余變形即為面形誤差，擬合面形誤差的方法主要包括球面方程擬合法和Zernike多項式擬合法[9-10]。Zernike多項式擬合法其系數與Seidel像差存在對應關系，在SigFit面形擬合軟件和光機熱集成分析的數據交互中應用比較廣泛[11-12]；球面方程擬合方法與實際干涉檢驗過程接近，在重力、膠層固化、小幅度溫升等工況下的鏡面面形擬合中獲得廣泛應用[13]。

針對低溫鏡面面形擬合，當鏡面為球面時，采用球面方程擬合和Zernike多項式擬合都可獲得較高精度。球面方程擬合后剩余誤差可以認為是支撐結構引起的面形變化；Zernike多項式擬合時，從常溫到低溫頂點曲率半徑的變化會引起離焦、球差和高階球差的變化，將這些項去除之后的殘差才代表支撐結構引起的面形變化[14]。當鏡面為高次非球面，采用球面方程擬合時，擬合殘差較大，無法評價支撐結構引起的面形變化；用Zernike多項式擬合時，需要對各項擬合系數進行判斷，然后才能得到支撐結構引起的面形誤差，過程比較復雜，結構設計人員一般很少選用?；谏鲜鰧嶋H，本文提出采用偶次多項式擬合高次非球面低溫面形、擬合殘差代表支撐形式引起的面形變化的一種新方法。

1 擬合理論

1.1 高次非球面方程展開式

高次非球面方程采用右手笛卡爾坐標系，原點與高次非球面頂點重合，光軸為軸。具體表達式為

根據文獻[15]高次非球面表達式可以展開為偶次多項式，即

表1 鏡面參數和幾何尺寸

Tab.1 Mirror surface parameters and dimensions

表2 展開誤差

Tab.2 Polynomial fitting error

1.2 擬合算法

高次非球面低溫面形擬合算法的實現，首先是采用有限元方法分析低溫下鏡面變形，然后擬合鏡面剛體位移，去除剛體位移后進行鏡面面形擬合。

經計算，偶次多項式基底在鏡面離散網格點上不滿足正交性，直接求解式（7）時會出現病態(tài)，計算誤差很大，因此，本文采用Gram-Schmidt正交化方法求解式（7）[18]。首先，根據偶次多項式基底構造在鏡面離散網格點上正交的多項式基底

式（8）中矩陣由Gram-Schmidt正交化方法計算，具體為

據此構造出矩陣，由于和具有相關性，式（7）可轉化為

根據和的遞推關系[18]，式（10）可以表示為

對比式（7），可得

至此，完成用偶次多項式擬合矢高變化的過程，擬合殘差即為面形誤差。

2 測試算例

當偏心率為0，非球面系數為0時，式（1）所示方程退化為球面。根據文獻[16]，球面受溫度作用產生自由變形，頂點曲率半徑變化公式為

根據式（2），球面溫度從293.15K變化到200K時偶次多項式展開系數表達式分別為

通過有限元計算得到透鏡低溫變形位移云圖如圖1（a）所示，非球面失高變化云圖如圖1（b）所示。透鏡因自由變形向中心收縮時，非球面頂點曲率半徑和非球面系數都會發(fā)生變化，導致失高發(fā)生變化，離中心位置越遠失高變化越大。球面的失高變化云圖和非球面的形狀相似，這里不做顯示。

提取球面節(jié)點位移，剛體位移擬合結果顯示只有方向平移–0.005 7mm。去除剛體位移后采用偶次多項式擬合矢高變化量，擬合系數如表3所示。

表3 球面矢高變化擬合系數

Tab.3 Fitting results of spherical sag displacement

球面直徑170mm，由理論系數可知8和10項對矢高變化的貢獻非常小，前三項擬合系數和理論值十分接近，最終算得擬合殘差為9.6×10–5，擬合精度優(yōu)于0.1nm，表明采用偶次多項式能夠精確地擬合球面失高變化。

提取非球面節(jié)點位移，剛體位移擬合結果顯示只有方向平移–0.005 7mm，和球面擬合結果一致，因為球面和非球面在同一個實體上，剛體位移擬合結果應相同。去除剛體位移后采用偶次多項式擬合矢高變化量，擬合系數如表4所示，擬合殘差9.15×10–5。由于自由變形，鏡面面形誤差理論上為0，說明采用偶次多項式能夠精確地擬合高次非球面鏡面低溫面形。

表4 非球面矢高變化擬合分數

Tab.4 Fitting results of aspherical sag displacement

3 工程應用

本節(jié)將基于偶次多項式的高次非球面低溫面形擬合方法應用到低溫透鏡支撐結構設計中。由于透鏡材料、支撐結構材料和膠粘劑的線膨脹系數存在差異，從常溫到低溫工作時由于變形不一致產生應力會影響透鏡面形。只采用無熱化膠層厚度設計[19-20]時，經常會由于膠層過厚影響力學性能和支撐穩(wěn)定性，因此，一般采用柔性卸載支撐結構，將透鏡和鏡框之間膠結，然后在鏡框粘接面徑向加工柔性結構以卸載變形不一致產生的應力。兩種透鏡支撐結構如圖2所示。

圖2 兩種透鏡支撐結構

采用二階四面體單元建立兩種支撐結構有限元模型，膠斑和透鏡及鏡框連接采用節(jié)點重合建模。相關材料屬性參數見表5。采用MSC Nastran慣性釋放技術，分析溫度從293.15K降到200K透鏡的結構變形，兩種支撐結構節(jié)點位移云圖如圖3、4所示。兩種結構透鏡和鏡框變形都是向透鏡中心收縮，由于透鏡材料和鏡框材料線膨脹系數存在差異，自由變形時兩者的收縮量會存在差異，若鏡框采用卸載結構，柔性結構通過局部變形使透鏡能夠接近自由收縮，圖3中可明顯觀察到卸載結構的局部變形。

表5 材料屬性參數

Tab.5 Material properties

圖3 帶卸載結構透鏡組件和鏡框變形位移云圖

圖4 無卸載結構透鏡組件和鏡框變形位移云圖

提取非球面鏡面節(jié)點位移進行剛體位移擬合，去除剛體位移后再采用偶次多項式擬合矢高變化，剛體位移擬合結果如表6所示。偶次多項式擬合系數及擬合后殘差如表7所示。由表7結果可知，采用柔性卸載結構時，鏡框柔性環(huán)節(jié)很好地卸載了熱應力，對非球面鏡面面形影響很小，只有0.0018。當沒有采用柔性卸載環(huán)節(jié)時，熱應力引起非球面面形誤差達到0.0217。透鏡低溫面形擬合結果表明采用偶次多項式擬合高次非球面面形，剩余殘差能夠很好地評價支撐結構對面形的影響，能夠應用于實際低溫鏡頭支撐設計仿真分析。

表6 剛體位移擬合結果

Tab.6 Fitting results of Rigid motion

表7 非球面鏡面面形擬合結果

Tab.7 Aspherical surface error fitting results

4 結論

本文提出一種高次非球面鏡面低溫面形擬合方法，即采用偶次多項式擬合變形后鏡面矢高變化，擬合殘差即代表面形誤差變化。該方法可解決球面擬合方法無法擬合高次非球面低溫變形問題，同時相比Zernike多項式擬合方式其結果更容易判讀，所有殘余像差都包含在擬合誤差中。裸鏡低溫自由變形算例表明偶次多項式能夠很好地擬合非球面低溫面形，非球面擬合殘差達到9.15×10–5，同時該方法也適用于球面低溫變形擬合。將文本提出的方法實際應用到低溫透鏡支撐結構設計中，通過設計 柔性支撐結構，低溫下支撐結構引起的面形誤差由0.021 7下降到0.001 8，面形擬合結果顯示算法有效。

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Research on Cryogenic Aspheric Surface Error Fitting Methods

TONG Weiming BAI Shaojun

（Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China）

Aspheric surface is widely used in cryogenic optics for space infrared cameras. The traditional spherical fitting method can not be used for cryogenic aspheric surface error fitting. The Zernike polynomial fitting method is not ideal for structural engineers because of the aberration theory. In view of the above situation, a new method which can fit cryogenic aspheric surface error quickly is proposed in this paper. By analyzing the aspheric equation, it can be accurately expressed to even polynomials. Based on this, a method of fitting cryogenic aspheric surface error with even polynomials is proposed. Fitting equation is established and fitting algorithm is given. Finally, the cryogenic deformation example of lens without support structure shows that the proposed method can fit aspherical surface well and the fitting residual is 9.15×10–5(=0.632 8μm). At last, the method proposed is applied to cryogenic lens design. Surface error fitting results show that aspheric surface error is reduced from 0.027 1to 0.001 8when flexure structure is used.

aspheric; cryogenic; surface error fitting; flexure; space optics

TN219

A

1009-8518(2021)03-0079-09

10.3969/j.issn.1009-8518.2021.03.009

2020-10-29

國家重大科技專項工程

童衛(wèi)明, 白紹竣. 高次非球面鏡面低溫面形擬合方法研究[J]. 航天返回與遙感, 2021, 42(3): 79-87. TONG Weiming, BAI Shaojun. Research on Cryogenic Aspheric Surface Error Fitting Methods[J]. Spacecraft Recovery & Remote Sensing, 2021, 42(3): 79-87. (in Chinese)

童衛(wèi)明，男，1989年生，2015年獲北京航空航天大學航空工程專業(yè)碩士學位，工程師。研究方向為航天遙感器光機結構設計與分析。E-mail：TWM08Acoustics@163.com

（編輯：夏淑密）