王義琳，鄭庭庭，聶麟飛

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046)

瘧疾是一種通過攜帶瘧原蟲的蚊蟲叮咬進(jìn)而感染所引起的媒介傳染病.臨床醫(yī)學(xué)研究表明，瘧疾感染者一般會(huì)在被攜帶瘧原蟲的蚊蟲叮咬7 d或之后才出現(xiàn)癥狀，最初表現(xiàn)的癥狀可能很輕而難以被發(fā)現(xiàn).此外，由于個(gè)體之間的差異，許多瘧原蟲攜帶者因癥狀輕微而被忽視，故在瘧疾的傳播過程中無癥狀感染者是普遍存在的[1].然而，在現(xiàn)有的研究工作中，往往只考慮了受感染個(gè)體的影響，而忽略了無癥狀個(gè)體在疾病傳播中的重要作用.[2]為此，一些國內(nèi)外學(xué)者建立了具有無癥狀感染的傳染病數(shù)學(xué)模型去討論無癥狀感染在傳染病傳播和控制中的影響[3-4]，研究表明，人群中無癥狀感染者的比例和無癥狀感染者的病程周期是影響疾病患病率的最重要參數(shù).

1 模型的建立

用Sh(t)，Sv(t)，Ia(t)，Is(t)，Iv(t)和Rh(t)分別表示t時(shí)刻的易感者、易感蚊子、無癥狀感染者、有癥狀感染者、感染蚊子和恢復(fù)者的數(shù)量或密度.則人類和蚊子總數(shù)為Nh(t)=Sh(t)+Ia(t)+Is(t)+Rh(t)和Nv(t)=Sv(t)+Iv(t).考慮無癥狀感染者和種群總數(shù)對(duì)疾病傳播的抑制作用，用飽和發(fā)生率模擬瘧原蟲在人和蚊子間的傳播.基于瘧原蟲在蚊蟲和人體內(nèi)的傳播規(guī)律，提出具有無癥狀感染的瘧疾傳播模型：

(1)

其中：1/μh，1/μv分別表示人類與蚊子的平均壽命，取值分別為70 a[5]與14 d[6]；βvh，βhv，γa與γs分別表示染病蚊子對(duì)易感人群的感染率、染病人類對(duì)易感蚊子的感染率、無癥狀個(gè)體的恢復(fù)率與有癥狀個(gè)體的恢復(fù)率，取值范圍詳見文獻(xiàn)[7-8]；參數(shù)Λh，Λv，αi，c，p與θ分別代表人類種群的補(bǔ)充率、蚊子種群的補(bǔ)充率、飽和系數(shù)、蚊子的有效控制系數(shù)、無癥狀感染者向易感蚊子傳播疾病的可能性和個(gè)體在感染后成為無癥狀病例的可能性，αi，c，p與θ的取值均在(0，1)之間.

2 平衡點(diǎn)的動(dòng)態(tài)分析

通過計(jì)算下一代矩陣FV-1的主特征值或譜半徑，得到如下基本再生數(shù)：

通過適當(dāng)選取Lyapunov函數(shù)，類似定理2的證明，可得下面結(jié)論：

顯然有

(2)

(3)

證明由模型(1)的第1和第5個(gè)方程可知

下證M?={(Sh，0，0，Rh，Sv，0)|Sh>0，Rh≥0，Sv>0}.事實(shí)上，若(Sh(0)，…，Iv(0))∈M?，則有Ia(t)≡Is(t)≡Iv(t)≡0.否則，若存在一個(gè)t0≥0使得Ia(t0)>0，或Is(t0)>0，或Iv(t0)>0成立，則有(Sh(t)，…，Iv(t))∈X0.這與(Sh(0)，…，Iv(0))∈M?矛盾.

記w(Sh(0)，Ia(0)，Is(0)，Rh(0)，Sv(0)，Iv(0))為從(Sh(0)，Ia(0)，Is(0)，Rh(0)，Sv(0)，Iv(0))∈X出發(fā)的解的w極限集.令Ω′=∪{w(Sh(0)，Ia(0)，Is(0)，Rh(0)，Sv(0)，Iv(0))|(Sh(0)，Ia(0)，Is(0)，Rh(0)，Sv(0)，Iv(0))∈M?}，則在M?上有Ia(t)=0，Is(t)=0和Iv(t)=0.從而在M?上模型(1)退化為

(4)

顯然，模型(4)存在唯一的平衡點(diǎn)E01=(Λh/μh，0，Λv/(μv+c))且是全局漸近穩(wěn)定的.因此，E0是模型(1)在M?上的唯一平衡點(diǎn)且全局漸近穩(wěn)定的.因此Ω′={E0}，且E0為Ω′的一個(gè)孤立的非循環(huán)的覆蓋.

最后，證明

(5)

其中(Sh(t)，Ia(t)，Is(t)，Rh(t)，Sv(t)，Iv(t))是模型(1)滿足初值(Sh(0)，Ia(0)，Is(0)，Rh(0)，Sv(0)，Iv(0))∈X0的解.由文獻(xiàn)[10]可知，若Ws(E0)∩X0=?成立，Ws(E0)為E0的穩(wěn)定流形，則(5)式成立.假設(shè)Ws(E0)∩X0=?不成立，則存在一個(gè)(Sh(0)，Ia(0)，Rh(0)，Sv(0)，Iv(0))∈X0使得從該初值出發(fā)的解(Sh(t)，Ia(t)，Is(t)，Rh(t)，Sv(t)，Iv(t))∈X0，當(dāng)t→∞，有

Sh(t)∈Λh/μh，Ia(t)→0，Is(t)→0，Rh(t)→0，Sv(t)→Λv/(μv+c)，Iv(t)→0.

(6)

進(jìn)一步，由(6)式可知，對(duì)上述的ε，存在一個(gè)T>0使得

(7)

令W(t)=Ia(t)+Is(t)+ρ1Iv(t)+ρ2Iv(t)，ρ1和ρ2是待定正常數(shù)，則W(t)沿模型(1)的全導(dǎo)數(shù)為

選取ρ1=(μv+c)(μh+γa)/(pβhvΛv)，ρ2=(μv+c)(μh+γs)/(βhvΛv)，代入上式并結(jié)合(7)式可得

3 敏感性分析

敏感性分析可以用來描述模型參數(shù)關(guān)于基本再生數(shù)的敏感度.當(dāng)基本再生數(shù)是參數(shù)的可微函數(shù)時(shí)，可以用偏導(dǎo)數(shù)交替法定義敏感性指數(shù).

表和關(guān)于模型(1)中參數(shù)的敏感性指數(shù)

4 最優(yōu)控制

由于瘧疾沒有疫苗，僅能依賴于藥物的治療，因而媒介控制就顯得尤為重要.為此，提出了一個(gè)最優(yōu)控制問題，目的在于找到一種可行的解決方案使得無癥狀個(gè)體的數(shù)量，有癥狀個(gè)體的數(shù)量和蚊子的總數(shù)量與控制成本之間最小化，從而控制疾病的傳播.假設(shè)u(t)和c(t)分別代表個(gè)體自我保護(hù)意識(shí)和媒介防控的控制變量，則該控制問題可以表示為

(8)

根據(jù)上述模型，給出目標(biāo)函數(shù)最小化的最優(yōu)控制問題如下：

(9)

這里：A1，A2和A3分別表示無癥狀個(gè)體、有癥狀個(gè)體和蚊子總數(shù)的權(quán)重常數(shù)；B1和B2分別表示易感個(gè)體和蚊子控制因子的權(quán)重常數(shù).控制集的可行域?yàn)閁={(u(t)，c(t))|0≤u(t)，c(t)≤1}，u(t)和c(t)在[0，T]上是勒貝格可積的且模型(8)是線性有界系統(tǒng)，從而滿足最優(yōu)控制存在的條件.

定理6 存在(u*(t)，c*(t))∈U，使得在控制模型(8)的約束下給出的目的函數(shù)(9)達(dá)到最小，即

J(u*(t)，c*(t))=min{J(u(t)，c(t))|(u(t)，c(t))∈U}.

橫截條件為λi(T)=0，i=1，…，6.此外，最優(yōu)控制J(u*(t)，c*(t))滿足

5 數(shù)值模擬

為驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性和控制措施的可行性，將使用Matlab和龍格-庫塔方法模擬驗(yàn)證模型(1)的理論分析和控制措施的有效性.在模擬中時(shí)間以d為單位，特別地取定參數(shù)：Λh=4，Λv=34 000，μh=4.0×10-5.

圖1 模型(1)無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

為討論個(gè)人的自我保護(hù)意識(shí)和媒介控制措施對(duì)瘧疾傳播的影響，依次選取u為0，0.2，0.4和0.6.顯然從圖2(a)和(b)中可得無癥狀者和有癥狀者的數(shù)量隨著人類的自我保護(hù)意識(shí)的增加而減少.因此可以通過增加易感者的個(gè)人防護(hù)意識(shí)以達(dá)到遏制瘧疾傳播的目的.類似地，隨著媒介控制措施強(qiáng)度c的增加，染病者的總數(shù)量和染病蚊子的數(shù)量也將不斷減少.數(shù)值模擬顯示，減少蚊子的數(shù)量和加強(qiáng)個(gè)體的自我保護(hù)意識(shí)，對(duì)控制瘧疾的傳播起著至關(guān)重要的作用.

圖2 個(gè)人的自我防護(hù)意識(shí)對(duì)瘧疾傳播的影響