張 詣，方 勇

（云南電網有限責任公司昆明供電局，昆明 650011）

0 引言

近年來隨著交流電機調速系統(tǒng)和計算機電源等電力電子設備的廣泛應用，諧波污染問題日趨嚴重。與此同時，精密設備對電能質量的要求也越來越高。SAPF（并聯(lián)型有源濾波器）由于能很好抑制電流型諧波污染，受到廣泛關注[1-2]。

并聯(lián)型有源濾波器電流指令中含有高次諧波分量，單純的PI 控制難以滿足穩(wěn)態(tài)精度要求，因此大量文獻提出各種適合SAPF 的電流控制方案。其中，便于數字控制實現(xiàn)的主要有：廣義積分控制、預測控制、比例遞推積分控制和重復控制。廣義積分控制，利用指定頻率處的極點使該處開環(huán)增益無窮大來滿足穩(wěn)態(tài)精度要求，并且便于分頻控制，但控制器的復雜度隨所需控制諧波次數增多而加大[3-6]。預測控制基于控制對象數學模型，控制速度快，但對模型參數敏感，魯棒性差，而且要求預測電流指令。比例遞推積分控制，利用指令和擾動周期重復性在對應時刻進行PI 控制以提高穩(wěn)態(tài)精度[7]，遺憾的是其理論基礎尚不完善。重復控制同樣利用指令和擾動的周期重復性，通過逐周期積分提高基波倍頻處的穩(wěn)態(tài)精度，但動態(tài)響應速度慢，因此通常結合其它控制組成復合控制方案[8-12]。但現(xiàn)有文獻很少涉及重復控制系統(tǒng)的魯棒性分析。

本文采用嵌入式重復控制外環(huán)，PI 控制內環(huán)的雙環(huán)控制結構。PI 控制校正并網濾波器頻率特性，簡化重復控制器設計，提高動態(tài)響應速度，而重復控制保證控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度。同時，通過電網電壓前饋控制抑制電壓擾動的影響。本文將詳細分析電壓前饋控制性能，雙環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。分析和實驗結果表明重復加PI 雙環(huán)控制系統(tǒng)響應速度快，穩(wěn)態(tài)精度高，抗擾動能力強，并且具有較好的魯棒性。

1 SAPF 工作原理

SAPF 工作原理如圖1 所示。圖中，ug，us，ui和ud分別為無窮大系統(tǒng)電壓、電網電壓、逆變器橋臂中點電壓和直流側電容電壓；Ls為電網等效電感；Lload和Rload為阻感性負載；Cd為直流側電容；L1，L2和C 分別為LCL 濾波器前端電感、后端電感和電容；R1，R2為電感等效串聯(lián)電阻；r為阻尼電阻。電流指令由負載電流iload中的諧波及無功分量，和維持直流側電容電壓ud恒定所需的有功電流組成。與us基波分量同頻同相，幅值由電壓控制器決定，以補償SAPF自身功率損耗。假設補償電流i2完全跟蹤指令則電網電流is僅含有負載電流中的基波有功分量和電流，即is與us基波分量同頻同相。

圖1 SAPF 原理

2 電流控制方案

電流控制采用雙環(huán)控制方案，PI 控制為內環(huán)，嵌入式重復控制做為外環(huán)，引入電網電壓前饋控制抑制電網波動影響，控制框圖如圖2 所示。

圖2 電流控制框圖

2.1 有源濾波器數學模型

有源濾波器由并網濾波器和電壓型逆變器構成。并網濾波器用于抑制SAPF 補償電流中的開關紋波，相對L 濾波器，3 階的LCL 濾波器具有更好的高頻衰減能力，是現(xiàn)階段的研究熱點。濾波器參數如表1 所示。L 為L1，L2之和；R 為R1，R2之和；α 等于L1/L，并假設R1/R 等于α。

表1 LCL 濾波器參數

根據疊加原理可以分別求出ui到i2和us到i2的傳遞函數：

根據狀態(tài)空間平均模型，電壓型逆變器等效為零階保持器?？紤]數字控制器固有的一拍延遲，電流環(huán)的控制對象可由式（3）表示：

其頻率特性如圖3 所示，橫坐標為頻率f，采樣周期T 為50 μs。由于r 的阻尼作用頻率特性在諧振頻率附近變得相當平滑。

圖3 Gui（z）的波特圖

2.2 內環(huán)PI 控制設計

PI 控制器校正LCL 濾波器頻率特性，應使內環(huán)閉環(huán)傳遞函數具有足夠的帶寬以彌補重復控制響應速度緩慢的缺點，并使其頻率特性盡可能平滑，以簡化重復控制器設計。內環(huán)開環(huán)傳遞函數Po（z）和閉環(huán)傳遞函數P（z）可表示為：

式中：kp，ki 為PI 控制比例和積分系數，分別為6.8 和6800。Po（z）和P（z）波特圖如圖4 和圖5 所示。內環(huán)相角裕度為59.6°，幅值裕度為2.54 dB，閉環(huán)帶寬為2 970 Hz。

圖4 Po（z）的波特圖

圖5 P（z）和z-3 的波特圖

2.3 外環(huán)重復控制設計

重復控制器如圖2 所示，N 為基波周期內的采樣點數，k 為超前拍數，kr為重復控制增益，Q（z）為零相移低通濾波器。重復控制器對誤差信號逐周期累加，本周期檢測到的誤差信息在下周期才開始作用，因此可在下周期實現(xiàn)等效的控制超前。如果Q（z）等于1，若內環(huán)穩(wěn)定，則穩(wěn)態(tài)誤差應為零。但這樣會給系統(tǒng)帶來N 個位于單位圓圓周上的開環(huán)極點，從而使開環(huán)系統(tǒng)呈現(xiàn)臨界振蕩狀態(tài)，此時只要對象建模稍有偏差，閉環(huán)系統(tǒng)就極有可能失去穩(wěn)定。Q（z）的引入使重復控制的累加作用隨頻率增加而迅速減弱，以提高控制系統(tǒng)穩(wěn)定性。

根據小增益原理可以導出控制系統(tǒng)穩(wěn)定的一個充分條件[17-18]：

假設傳遞函數H（z）為：

如果傳遞函數H（z）的增益恒小于1，則可以判定重復控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其幾何意義如圖6所示：在奈奎斯特頻率內，矢量krzkQ（z）P（z）的末端所劃過的軌跡不能超出以矢量Q（z）的末端為圓心的單位圓。

圖6 穩(wěn)定性條件的幾何意義

重復控制的穩(wěn)態(tài)誤差幅值由式（8）決定：

由于內環(huán)閉環(huán)傳遞函數頻率特性相當平滑，用z3校正其頻率滯后即可，如圖5 所示。取k=3，Q（z）=（z+2+z-1）/4，kr=0.1，0.1，1 時，H（z）的增益和重復控制的穩(wěn)態(tài)誤差幅值如圖7 和圖8 所示，箭頭方向表示kr從0.1 增大到1?？梢妅r=1 時，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性最好，穩(wěn)態(tài)精度最高，然而，最終kr確定為0.8。這是因為kr取1 時，動態(tài)過程中會出現(xiàn)較大的超調，而穩(wěn)態(tài)精度僅有微弱提升。

圖7 H（z）的幅值特性

圖8 e（z）的幅值特性

2.4 電壓前饋性能分析

為得到電網電壓us到補償電流i2的傳遞函數，假設us同樣通過零階保持器加在LCL 濾波器后端。F（z）為電壓前饋通道的傳遞函數，如圖2 所示。不失一般性，僅考慮內環(huán)PI 控制器，us到i2的傳遞函數為：

式中：Gus（z）為用零階保持器法將式（2）離散化得到的離散域下的傳遞函數。

顯然，若沒有數字控制的一拍延時，F(xiàn)（z）=Nus（z）/Nui（z）時，可以完全抑制電壓擾動的影響（Nus（z），Nui（z）分別為Gus（z），Gui（z）的分子多項式，兩者的分母多項式相等）。數字控制延時的存在使得完全抑制電壓擾動影響已不再可能?？紤]F（z）分 別 等 于：0，1，Nus（z）/Nui（z）和4 種方案，0 表示沒有電壓前饋，最后一種方案表示用一階拉格朗日外推法預測電壓us。4 種情況下Hus-i2（z）的幅頻特性分別對應圖9 中的曲線1 到4。

圖9 Hus-i2（z）的幅頻特性

從圖9 可以得到以下結論：電壓前饋在中低頻率段能更好的抑制電壓擾動，高頻段不如無前饋時的情況；電壓前饋采用方案3 時效果最好，方案2 次之，方案4 最差。綜合考慮實現(xiàn)的簡單性和擾動抑制效果，本文選擇方案2，即單位電壓前饋。加入外環(huán)重復控制后，電壓擾動傳遞函數趨勢和圖9 相似，只是在基波整數倍頻率附近具有更強的抑制作用。

3 控制系統(tǒng)魯棒性分析

3.1 穩(wěn)定性分析

在LCL 濾波器模型參數發(fā)生變化時，內環(huán)閉環(huán)傳遞函數的頻率特性將發(fā)生相應變化。假設在某頻率點矢量krzkP（z）相角變化量為Δθ，在小增益原理給出的穩(wěn)定性充分條件（內環(huán)必須穩(wěn)定）下，該頻率點允許其幅值最大變化量為Δh。幾何解釋如圖10 所示，其中θ 為P（z）相角。根據ΔABC邊長與角度的關系可求得：

圖10 幅值裕度的幾何解釋

當Δθ 和頻率變化時，可以得出重復控制系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍，如圖11 中空間曲面所示。

假設LCL 濾波器模型參數中，L，C，r 取額定值的0.5，0.1，1.5 倍，R 取額定值的0，0.5，5 倍，可以分別得到單一參數變化時矢量krzkP（z）的變化量，如圖11 中空間曲線所示。此參數變化范圍內內環(huán)控制均穩(wěn)定。如果空間曲線位于曲面下方，則有充分的把握斷定參數相應變化時重復控制系統(tǒng)仍然穩(wěn)定。圖中只有L=0.5 mH 時在頻率為2 510～2 910 Hz，重復控制系統(tǒng)不滿足小增益原理給出的穩(wěn)定充分條件。

圖11 穩(wěn)定性邊界曲面和krzkP（z）變化量的空間曲線

3.2 穩(wěn)態(tài)精度

相同的變化范圍內，L，C，r 和R 單一變化時重復控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度可由式（8）求得，如圖12 所示，箭頭方向表示參數取值由小變大。

圖12 參數變化時的穩(wěn)態(tài)精度

由此可見，模型參數在較大范圍變化時，重復控制系統(tǒng)仍然穩(wěn)定，并且具有較高的穩(wěn)態(tài)精度。

4 實驗結果

實驗平臺按照圖1 搭建，主要參數如表2 所示（LCL 濾波器參數已在表1 中給出）。額定容量10 kVA，采樣和控制頻率20 kHz。

表2 實驗平臺主要參數

不控整流負載電阻為5 Ω 時，穩(wěn)態(tài)波形如圖13（a）所示，此時負載功率為7.32 kVA。電壓、電流頻譜如圖13（b）—（d）所示。電網電壓THD 為5.24%，負載電流THD 為38.19%，補償后電網電流THD 為1.61%。

圖13 穩(wěn)態(tài)實驗波形及其頻譜

圖14 為相同負載條件下無電壓前饋時，電網電流的頻譜圖?？梢钥闯鲭妷呵梆伒囊胧沟秒娋W電流THD 降低了0.31%，有效抑制了電網電壓中低頻段的擾動，而高頻段如49 次諧波的效果不如無前饋時，這與理論分析一致。

圖14 無電壓前饋時電網電流頻譜

圖15 為相同條件下kr為1 時的電網電流頻譜。雖然THD 有所降低，但僅降低了0.08%。

圖15 kr=1 時電網電流頻譜

圖16 為SAPF 動態(tài)時的實驗波形。圖16（a）光標時刻SAPF 投入運行，此時不控整流負載電阻為8 Ω。圖16（b）光標時刻負載電阻由8 Ω 突變?yōu)? Ω。由于復合了內環(huán)PI 控制，響應速度較快。

圖16 SAFP 動態(tài)時的實驗波形

圖17 為kr取1 和0.8 時，負載突加時刻電網電流波形對比?？梢钥吹酵患雍笤诓豢卣鲹Q流時刻附近出現(xiàn)超調，kr取1 時其超調量更大。

圖17 kr 取0.8 和1 時突加時刻電網電流波形

5 結語

本文以單相SAPF 電流控制為研究對象，詳細分析了在PI 控制內環(huán)、重復控制外環(huán)的雙環(huán)控制方案下，LCL 濾波器參數發(fā)生改變時，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，以及電網電壓前饋對SAPF 性能的影響。分析和實驗結果表明此雙環(huán)控制系統(tǒng)響應速度快，穩(wěn)態(tài)精度高，抗擾動能力強，并且具有較好的魯棒性。