尹鳳偉，馬 琳，馬娟娟

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

機(jī)械結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)的非線性振動(dòng)是工程實(shí)際中的復(fù)雜問題.由于在幾何關(guān)系、約束條件、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、激勵(lì)因素、耦合方式等方面存在非線性因素，因此深入研究非線性振動(dòng)以便更精準(zhǔn)地描述機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征.掌握非線性振動(dòng)的產(chǎn)生與傳播機(jī)理，對(duì)于設(shè)計(jì)制造安全和性能優(yōu)良的機(jī)械系統(tǒng)至關(guān)重要.國(guó)內(nèi)外學(xué)者通過定性分析、數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)等方法研究了含間隙、約束振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及分岔特征、擦碰奇異性和顫沖擊-粘滯振動(dòng)系統(tǒng).Nordmark[1]研究了帶有剛性限幅約束的單自由度周期受迫振子的運(yùn)動(dòng)特性.Luo等研究了帶有單側(cè)剛性約束[2]和對(duì)稱剛性約束副[3]的周期受迫振動(dòng)系統(tǒng)的低頻振動(dòng)特性，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)遷域結(jié)點(diǎn)為其中一個(gè)基本周期沖擊振動(dòng)的二重Grazing余維二分岔.朱喜鋒[4]研究了含間隙機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性與參數(shù)匹配規(guī)律.樂源[5]研究了一類三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的激變和陣發(fā)性，分析了擬周期-擬周期陣發(fā)性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.張惠和丁旺才等[6]針對(duì)一類單自由度含間隙和預(yù)緊彈簧的彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的分岔控制問題，提出了一種基于Lyapunov指數(shù)及徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分岔預(yù)測(cè)及控制方法.葉建聰和石慧榮等[7]揭示了間隙和干摩擦對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)和分岔特性的影響.李得洋和丁旺才等[8]采用線性反饋控制方法研究了一類兩自由度含彈性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)共存吸引子轉(zhuǎn)遷控制問題.Wagg[9-10]研究了一類帶有多剛性約束的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)的低頻振動(dòng)特性，分析了其低頻域內(nèi)的顫碰-粘滯振動(dòng)及Rising現(xiàn)象.頡成利和石慧榮等[11]計(jì)算了含預(yù)壓約束的兩自由度受迫振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，分析了預(yù)壓量與顫-沖擊振動(dòng)的關(guān)系.Yin[12]針對(duì)含多間隙-非對(duì)稱剛性約束的兩自由度受迫振動(dòng)系統(tǒng)，分析和計(jì)算了機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)塊沖擊剛性約束時(shí)引發(fā)完整顫-沖擊振動(dòng)的判斷條件和動(dòng)力學(xué)特性.呂小紅[13]研究了一類碰撞-漸進(jìn)振動(dòng)系統(tǒng)的粘滯振動(dòng)及分岔特性.趙國(guó)慶[14]計(jì)算了兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特征.覃澤鋒等[15]研究了考慮油膜力-碰摩故障的雙盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為.王紅兵和李國(guó)芳等[16]通過仿真計(jì)算，分析了高速車輛車輪踏面磨耗預(yù)測(cè)及系統(tǒng)參數(shù)影響.Liu和Pavlovskaia等[17]提出了由置于基架的彈性限幅板、線性DC伺服電動(dòng)機(jī)和簡(jiǎn)諧激勵(lì)的金屬棒構(gòu)成的艙型振動(dòng)沖擊模型；通過改變支承彈簧的剛度和激振頻率，對(duì)艙體的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究.

本文在Wagg研究的基礎(chǔ)上，基于多參數(shù)耦合、多目標(biāo)協(xié)同仿真分析，研究含多間隙-彈性約束兩自由度受迫振動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性.而Wagg研究的帶有剛性約束的振動(dòng)系統(tǒng)可視為帶有彈性約束振動(dòng)系統(tǒng)的一種典型狀態(tài).

1 系統(tǒng)的力學(xué)模型

圖1為一類兩自由度含多間隙彈性約束振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型.質(zhì)塊M1與質(zhì)塊M2通過剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1的線性阻尼器聯(lián)接，質(zhì)塊M2經(jīng)剛度為K2的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C2的線性阻尼器連接于支承基礎(chǔ).簡(jiǎn)諧激勵(lì)力Pisin(ΩT+τ)作用于質(zhì)塊Mi(i=1,2)，其中Pi、Ω和τ表示系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧力振幅、頻率和初相位.質(zhì)塊M1右側(cè)和質(zhì)塊M2左、右側(cè)均置有剛度系數(shù)K0的彈性約束，約束剛度取值范圍為K0∈(0,∞).當(dāng)簡(jiǎn)諧力較小時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)無沖擊受迫振動(dòng).隨簡(jiǎn)諧力增大，當(dāng)質(zhì)塊M1的位移滿足X1=B1時(shí)，或質(zhì)塊M2的位移滿足|X2|=B2時(shí)，質(zhì)塊M1或質(zhì)塊M2與其對(duì)應(yīng)的彈性約束處發(fā)生軟沖擊[18].

圖1 力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model

引入無量綱量參數(shù)、變量和時(shí)間：

(1)

系統(tǒng)的無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程：

(2)

其中，

(3)

(4)

根據(jù)無量綱化的系統(tǒng)參數(shù)(1)，可確定系統(tǒng)部分參數(shù)的取值范圍：μm∈(0,1)，μk∈(0,1)，μc∈(0,1)，μk0∈(0,1)，f∈[0,1].

2 系統(tǒng)的Poincaré映射

(5)

X(i+1)=f(X(i),ν),

(6)

(7)

(8)

上式(6),(7)和(8)中，X∈R4,ν是系統(tǒng)參數(shù)，ν∈R8.

3 數(shù)值分析

對(duì)圖1振動(dòng)系統(tǒng)，在其參數(shù)定義域內(nèi)取一組無量綱參數(shù)作為基準(zhǔn)參數(shù)：μm=0.5,μk=0.5,μc=0.5,f=0.5,μk0=0.95.在同一范疇下，基于多參數(shù)耦合、多目標(biāo)協(xié)同仿真分析，揭示了振動(dòng)系統(tǒng)間隙閾值(δ)和激勵(lì)頻率(ω)等關(guān)鍵參數(shù)與系統(tǒng)周期振動(dòng)的映射關(guān)系.數(shù)值計(jì)算結(jié)果(如圖2a)表明了系統(tǒng)在(ω,δ)-參數(shù)平面內(nèi)的周期沖擊振動(dòng)模式類型、分布規(guī)律和分岔特征.本文中(ω,δ)-參數(shù)平面圖中未標(biāo)注的60%黑色區(qū)域表示未辨識(shí)的長(zhǎng)周期振動(dòng)或混沌.同時(shí)也未進(jìn)一步對(duì)概周期振動(dòng)和混沌進(jìn)行辨識(shí)區(qū)分，本文暫均稱為混沌.數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明當(dāng)間隙閾值較大時(shí)(δ>1.5)，系統(tǒng)在高頻域內(nèi)主要表現(xiàn)為0/1無沖擊自由振動(dòng)；在低頻域內(nèi)表現(xiàn)為0/1、1/1基本周期振動(dòng)和少量的1/2、2/2周期沖擊振動(dòng).當(dāng)間隙閾值較小時(shí)(δ≤1.5)，質(zhì)塊M1在高頻域內(nèi)表現(xiàn)為1/2、2/2、3/3、4/3、2/4、3/4、4/4等亞諧周期振動(dòng)；在低頻域內(nèi)，質(zhì)塊M1主要表現(xiàn)為1/1、2/1、3/1、4/1、5/1…q/1(q≥6)等基本周期沖擊振動(dòng)和少量的3/2、4/2…q/2(q≥6)等亞諧周期振動(dòng)，如圖2(a)所示.

如圖2(b)所示，當(dāng)間隙閾值較大時(shí)(δ>1.0)，質(zhì)塊M2在高頻域內(nèi)主要表現(xiàn)為1-0-0無沖擊受迫振動(dòng)；在低頻域內(nèi)表現(xiàn)為1-0-1、1-1-1、1-2-1、1-2-0、1-1-0等基本周期振動(dòng)和少量的2-0-0、2-3-2等亞諧周期振動(dòng).當(dāng)間隙閾值較小時(shí)(δ≤1.0)，質(zhì)塊在高頻域內(nèi)表現(xiàn)為4-2-0、2-1-0、2-1-1、2-2-1、2-2-2、4-4-4、4-4-3等亞諧周期振動(dòng)；在低頻域內(nèi)，質(zhì)塊M2主要表現(xiàn)為1-3-0、1-3-1、1-3-2、1-4-0、1-4-1、1-4-2、1-5-0、1-5-1…1-p-q(p≥6或q≥6)等非對(duì)稱的各類基本周期沖擊振動(dòng)和少量的2-3-2、2-5-2…2-p-q(p≥6或q≥6)等亞諧周期振動(dòng).

圖2 系統(tǒng)周期振動(dòng)在(ω,δ)-參數(shù)平面上模式類型Fig.2 Mode types of periodic vibration of system on (ω,δ)-parameter plane

圖3 δ=0.43,系統(tǒng)分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of the system,δ=0.43

結(jié)合圖2(a)，圖3(a)和(b)，圖4代表性的揭示了質(zhì)塊M1由5/1周期振動(dòng)經(jīng)Real-grazing分岔轉(zhuǎn)遷入穩(wěn)定的6/1周期振動(dòng).圖4(a)取間隙閾值δ=0.43且激勵(lì)頻率ω=0.233 3時(shí)，質(zhì)塊M1表現(xiàn)為5/1周期沖擊振動(dòng)(圖4(b)是圖4(a)的局部描述)，隨ω減小到ω=0.233 22時(shí)發(fā)生5/1周期振動(dòng)擦切接觸(圖4(d)是圖4(c)的局部描述)，當(dāng)激勵(lì)頻率ω=0.233 20時(shí)質(zhì)塊M1顯示為6/1周期振動(dòng)(圖4(f)是圖4(e)的局部描述).在ω∈[0.332,0.333]區(qū)間內(nèi)，隨激勵(lì)頻率ω的減小質(zhì)塊M1經(jīng)歷一次Real-grazing分岔轉(zhuǎn)遷；反之隨激勵(lì)頻率(ω)增大，質(zhì)塊M1則由6/1周期振動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為5/1周期振動(dòng).

圖4 δ=0.43,質(zhì)塊M1相圖 Fig.4 Phase diagram of mass M1,δ=0.43

同樣的Real-grazing分岔特性在質(zhì)塊M2上也可觀察到.如圖5所示，取間隙閾值δ=0.43，當(dāng)激勵(lì)頻率ω=0.413時(shí)，質(zhì)塊M2顯示為1-2-2周期沖擊振動(dòng)(圖5(b)是圖5(a)的局部描述)，隨ω減小到ω=0.411 2時(shí)發(fā)生1-2-2周期振動(dòng)擦切接觸(圖5(d)是圖5(c)的局部描述).隨即當(dāng)激勵(lì)頻率ω=0.410時(shí)，質(zhì)塊M2表現(xiàn)為1-3-2周期振動(dòng)(圖5(f)是圖5(e)的局部描述).在ω∈[0.410,0.413]區(qū)間內(nèi)，隨激勵(lì)頻率(ω)的減小質(zhì)塊M2經(jīng)歷一次Real-grazing分岔轉(zhuǎn)遷；反之隨激勵(lì)頻率(ω)增大，質(zhì)塊M2則由1-3-2周期振動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為1-2-2周期振動(dòng).

圖5 質(zhì)塊M2相圖，δ=0.43Fig.5 Phase diagram of mass M2,δ=0.43

圖6是對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)在基準(zhǔn)參數(shù)下計(jì)算結(jié)果的進(jìn)一步數(shù)值仿真計(jì)算，且取間隙閾值δ=0.1.在同一范疇下與圖3進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算結(jié)果顯示隨間隙閾值(δ)的減小，系統(tǒng)表現(xiàn)出更為復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性.圖6(a)表明系統(tǒng)在低頻區(qū)主要表現(xiàn)為1周期振動(dòng)，在高頻區(qū)表現(xiàn)為2周期振動(dòng)，然而在1周期振動(dòng)演化為2周期振動(dòng)過程中，系統(tǒng)顯示出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，見圖6(b).取激勵(lì)頻率ω∈[1.7,2.95]區(qū)間時(shí)，隨ω增大，質(zhì)塊M1的1/1周期振動(dòng)嵌入混沌后退化為3/3亞諧周期振動(dòng)和2/3亞諧周期振動(dòng).隨ω繼續(xù)增大，質(zhì)塊M1表現(xiàn)為2/2、4/4、3/6等亞諧振動(dòng).隨后質(zhì)塊M1由混沌經(jīng)逆周期倍化分岔演化為1/2亞諧周期振動(dòng)，見圖6(d).在相同的激勵(lì)頻率取值ω∈[1.7,2.95]區(qū)間內(nèi)，隨ω遞減，質(zhì)塊M2由2-2-1周期振動(dòng)演化為1-1-0周期振動(dòng)過程中，出現(xiàn)了2-2-2、4-4-4、4-4-3、8-8-7、6-6-4、2-2-1、3-4-1、3-3-2等亞諧周期振動(dòng)，見圖6(f).

結(jié)合計(jì)算結(jié)果圖2、圖3和圖6，當(dāng)間隙閾值(δ)取值越小，系統(tǒng)的非光滑特征越顯著，導(dǎo)致低頻域內(nèi)基本周期沖擊振動(dòng)群的量增大，即q/1(或1-p-q)周期振動(dòng)顯著增多，且相鄰基本周期沖擊振動(dòng)經(jīng)Bare-grazing分岔轉(zhuǎn)遷過程中的亞諧周期振動(dòng)模式類型表現(xiàn)出復(fù)雜性和多樣性特征.由于系統(tǒng)帶有多重間隙彈性約束，使系統(tǒng)M2在低頻域內(nèi)出現(xiàn)了大量的非對(duì)稱基本周期沖擊振動(dòng)群.隨激勵(lì)頻率ω進(jìn)一步減小，當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)塊的沖擊次數(shù)(p或q)變得足夠大時(shí)，系統(tǒng)的基本周期沖擊振動(dòng)表現(xiàn)為顫-沖擊振動(dòng)特性.取間隙閾值δ=0.1，當(dāng)激勵(lì)頻率ω=0.18時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)塊M1表現(xiàn)為10/1周期振動(dòng)，質(zhì)塊M2表現(xiàn)為1-9-2周期振動(dòng)(見圖7).然而在相同參數(shù)條件下，當(dāng)激勵(lì)頻率減小為ω=0.1時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)塊M1于其右側(cè)彈性約束處的沖擊次數(shù)q顯著增多，并表現(xiàn)為顫-沖擊振動(dòng)特征；質(zhì)塊M2則于其右側(cè)彈性約束處的沖擊次數(shù)明顯增大，也表現(xiàn)出顫沖擊振動(dòng)特征(見圖8).

圖6 系統(tǒng)分岔圖,δ=0.10Fig.6 Bifurcation diagram of the system,δ=0.10

圖7 δ=0.1,ω=0.18,時(shí)間歷程圖Fig.7 Time response figure,δ=0.1,ω=0.18

圖8 δ=0.1,ω=0.1,時(shí)間歷程圖Fig.8 Time response figure,δ=0.1,ω=0.1

4 結(jié)論

本文針對(duì)含多間隙彈性約束機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型，研究了模型關(guān)鍵參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響.

1) 基于多參數(shù)耦合、多目標(biāo)協(xié)同仿真分析，通過數(shù)值計(jì)算，揭示了系統(tǒng)在(ω,δ)-參數(shù)平面內(nèi)的周期沖擊振動(dòng)模式類型、分布規(guī)律和分岔特征.結(jié)果表明，間隙閾值取值越小，系統(tǒng)表現(xiàn)出越復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)特性.由于振動(dòng)系統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu)帶有多重非對(duì)稱彈性約束，導(dǎo)致系統(tǒng)表現(xiàn)出非對(duì)稱性的周期沖擊振動(dòng)，系統(tǒng)周期沖擊振動(dòng)的模式類型顯示出復(fù)雜性和多樣性特征.

2) 系統(tǒng)在小間隙且低頻域內(nèi)，隨著激振頻率或間隙閾值的逐漸減小，系統(tǒng)的相鄰基本周期沖擊振動(dòng)的q/1基本周期振動(dòng)經(jīng)Real-grazing分岔轉(zhuǎn)遷為穩(wěn)定的(q+1)/1基本周期振動(dòng).或q/1基本周期振動(dòng)經(jīng)Bare-grazing分岔引發(fā)不穩(wěn)定的(q+1)/1基本周期振動(dòng)，并伴隨出現(xiàn)(nq+1)/n或2(nq+1)/2n亞諧周期振動(dòng)等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性.

3) 隨間隙閾值的遞減，系統(tǒng)在高頻區(qū)域出現(xiàn)亞諧周期振動(dòng)和混沌；在低頻區(qū)域，系統(tǒng)各類周期沖擊振動(dòng)模式類型和分布規(guī)律涌現(xiàn)出越發(fā)顯著的多樣性和競(jìng)爭(zhēng)性.在低頻且小間隙域內(nèi)，隨激勵(lì)頻率或間隙閾值減小，系統(tǒng)各質(zhì)塊的沖擊次數(shù)(p或q)逐漸增多.當(dāng)系統(tǒng)沖擊次數(shù)足夠大，系統(tǒng)表現(xiàn)出顫-沖擊振動(dòng)特性.

4) 計(jì)算結(jié)果揭示了含多間隙彈性約束機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)在基準(zhǔn)參數(shù)取值下的非線性動(dòng)力學(xué)特性.針對(duì)不同功能的機(jī)械系統(tǒng)能夠確定激勵(lì)頻率和間隙閾值等關(guān)鍵參數(shù)的科學(xué)匹配范圍，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性與功能目標(biāo)的協(xié)同優(yōu)化.