吳 亮，李引珍

(蘭州交通大學 交通運輸學院，蘭州 730070)

城市交通問題(道路擁擠、環(huán)境污染、資源消耗等)因小汽車的迅速增長而日趨嚴重，發(fā)展公共交通是解決城市交通問題的有效途徑之一[1].對于城市常規(guī)公共交通，決定公交線路運營策略是否科學合理的首要標準是發(fā)車頻率，這將有利于均衡高峰期公交出行需求，提升公交服務水平，提高公交客流分擔率.作為公交系統(tǒng)內(nèi)部的主要參與方，出行者與公交運營者雙方均期望采取對自身最有利的策略以獲得各自最高的收益，結果往往事與愿違.究其原因，主要有以下兩點：1) 在決策時雙方并未完全掌握自身及對方的全部信息；2) 雙方不具有完備的信息處理能力.

研究發(fā)現(xiàn)[2-3]，動態(tài)演化博弈理論既不要求參與人是完全理性的，也不要求完全信息的條件，它將博弈理論分析和動態(tài)演化過程分析相結合.目前，演化博弈理論已廣泛應用在社會、經(jīng)濟、管理等領域.其中，文獻[4-8]均利用演化博弈理論，對共享經(jīng)濟、安居工程、大氣污染治理、醫(yī)患矛盾等方面進行了有益的研究.此外，一些學者已將該理論引入交通領域并初見成效，文獻[9]針對出租車隨機合乘繞行路徑選擇問題，構建了出租車合乘路徑選擇演化博弈模型，研究了合乘路徑的演化穩(wěn)定策略，并分析了合乘演化穩(wěn)定策略的影響因素；文獻[10]考慮不完全信息的影響，運用決策理論和博弈理論設計了基于兩階段選擇的綜合評價模型，分析了風險偏好對分運人選擇策略的影響；文獻[11-13]在有限理性的框架下，利用博弈理論對出行者出行方式選擇行為展開了研究；文獻[14]提出公交價格聯(lián)動策略演化博弈模型，分析了公交價格策略的演化趨勢；文獻[15]結合研究區(qū)域分析常規(guī)公交和地鐵的Nash均衡點，并給出合理的最優(yōu)公共交通出行結構，為有關公交優(yōu)化提供參考和建議.

綜上，雖然現(xiàn)有研究已經(jīng)關注并將演化博弈理論引入城市公交調(diào)度優(yōu)化研究領域，但是針對公交線路運營策略內(nèi)在機理的研究有待深入.為此，聚焦公交客流高峰時段，基于演化博弈理論構建出行者與公交運營者之間的非對稱演化博弈模型，研究雙方的演化博弈行為達到穩(wěn)定均衡的過程，仿真分析各自策略選擇的影響因素，尋找演化穩(wěn)定策略(evolutionary stability strategy，ESS)，進而探究二者的策略互動機制和內(nèi)在影響機理.

1 非對稱演化博弈模型

1.1 模型假設

為簡化模型，作以下假設：

假設1將公交線路發(fā)車頻率分為高低兩類.

假設2將出行者分為公交出行者與非公交出行者.

假設3認為政府向公交運營者補貼S采取總價包干形式，與客流分擔率無關.

假設4公交票價一票制，固定為1元.

1.2 非對稱演化博弈模型

建立出行者與公交運營者的雙方非對稱演化博弈模型，如表1所列.

表1 出行者與公交運營者的非對稱演化博弈模型Tab.1 Asymmetric evolutionary game model between travelers and public transport operators

1.2.1 符號定義

M策略表示公交線路以高于時段內(nèi)平均發(fā)車頻率運營；N策略表示公交線路以低于時段內(nèi)平均發(fā)車頻率運營；K策略表示出行者選擇公交方式出行；L策略表示出行者選擇其他交通方式出行.

C為線路平均運營成本，元；I為現(xiàn)有客流票價收入，元；Cr為因發(fā)車頻率提高而增加的變動運營成本，元；α為潛在客流分擔率；β為損失客流分擔率；Cd因發(fā)車頻率降低而減少的變動運營成本，元；S為政府對公交運營者補貼，元；P為公交出行較其他方式出行節(jié)省的固定經(jīng)濟收益，元；Pe為正向感知收益，元；Pc為負向感知收益，元；J為其他交通方式出行者的綜合平均收益，元.

1.2.2 模型策略含義

公交出行者分為現(xiàn)有客流與潛在客流.

1) 公交運營者選擇M策略：

此時仍選擇K策略的公交出行者包含現(xiàn)有客流與潛在客流，認為供給大于需求，候車時間成本小，在車擁擠度低，舒適性好，滿意度高，完成行程后在收益P的基礎上增加正向感知收益Pe.雖然線路運營成本增長至C+Cr，但是因潛在客流的增加，票價收入隨之增長αI.總體表現(xiàn)為公交服務水平提高，吸引力增強，公交客流分擔率上升.此背景下選擇L策略的出行者僅為非公交出行者.根據(jù)文獻[1]調(diào)查，該群體時間敏感度較高，常規(guī)公交的運行速度不能滿足出行者的需求，公交運營策略的調(diào)整對其沒有影響，利用其他交通方式完成行程獲得收益J.

小結：此背景下加強了現(xiàn)有客流的出行意愿，刺激了潛在客流發(fā)生轉移.

2) 公交運營者選擇N策略：

此時仍然選擇K策略的公交出行者僅為現(xiàn)有客流，由于發(fā)車頻率降低，乘客候車時間成本提高，在車擁擠度逐漸提高，舒適度下降，乘坐體驗變差，完成行程導致Pc增加.

此背景下選擇L策略的出行者中，包含既定非公交出行群體與損失客流，后者由于公交吸引力降低導致公交客流出現(xiàn)流失情況，總體分擔率較原水平降低β比例.非公交出行者完成出行獲得平均收益J.雖然公交線路票價收入降低，但是運營成本Cd相應減少.

小結：現(xiàn)有公交客流的出行意愿逐漸削減，甚至出現(xiàn)流失情況.

1.3 復制動態(tài)系統(tǒng)

為清晰地掌握雙方各自不同策略間的演化形勢，構建雙方復制動態(tài)系統(tǒng).其中，出行者選擇K策略的比例為x，選擇L策略的比例為1-x;公交運營者采取M策略的比例為y，采取N策略的比例為1-y.建立雙方復制動態(tài)方程如下[2]：

1.3.1 出行者復制動態(tài)方程

Pm1=(P+Pe)y+(P-Pc)(1-y)=(Pe+Pc)y+P-Pc,

(1)

Pm2=Jy+J(1-y)=J,

(2)

(3)

根據(jù)以上公式，得到出行者復制動態(tài)方程如下：

(4)

F′(x)=(1-2x)[(Pe+Pc)y+P-Pc-J].

(5)

1.3.2 公交運營者復制動態(tài)方程

Pn1=x[(1+α)I+S-C-Cr]+(1-x)(I+S-C-Cr)=xαI+I+S-C-Cr,

(6)

Pn2=x(I+S-C+Cd)+(1-x)[(1-β)I+S-C+Cd]=xβI+(1-β)I+S-C+Cd,

(7)

(8)

根據(jù)以上公式，得到公交運營者的復制動態(tài)方程如下：

(9)

F′(y)=(1-2y)[x(α-β)I+βI-Cr-Cd].

(10)

2 雙方策略演化

2.1 乘客群體的策略演化

圖1 出行者群體的復制動態(tài)相位圖Fig.1 Replicator dynamics phase diagram of traveler group

2.2 公交運營者的策略與演化

圖2 公交運營者的復制動態(tài)相位圖Fig.2 Replicator dynamics phase diagram of public transport operators

3 動態(tài)復制系統(tǒng)策略分析

雖然以上演化策略能夠解釋乘客群體和公交運營者雙方各自的策略演化過程，但是針對雙方共同參與的動態(tài)復制系統(tǒng)演化如何達到穩(wěn)定均衡無法說明.

3.1 均衡點穩(wěn)定性分析

在以上系統(tǒng)平衡點中，存在穩(wěn)定平衡點、不穩(wěn)定平衡點及鞍點，雅可比矩陣能夠很好地解決可微方程與給出點的最優(yōu)線性逼近問題.因此，構建動態(tài)復制系統(tǒng)的雅可比矩陣[3]：

(11)

現(xiàn)通過計算雅可比矩陣的行列式det(J)與跡tr(J)，進而判定各平衡點的穩(wěn)定性，結合Cr+Cd-βI、Cr+Cd-αI、α與β之間的大小組合關系，分別考慮以下8種情形：

情形1：當Cr+Cd-βI>0、Cr+Cd-αI<0、α>β時，各均衡點穩(wěn)定性分析如表2所列.

表2 情形1下的演化博弈均衡點穩(wěn)定性Tab.2 Stability of equilibrium point of evolutionary gameunder condition 1

情形2：當Cr+Cd-βI>0、Cr+Cd-αI>0、α>β時，各均衡點穩(wěn)定性分析如表3所列.

表3 情形2下的演化博弈均衡點穩(wěn)定性Tab.3 Stability of equilibrium point of evolutionary gameunder condition 2

情形3：當Cr+Cd-βI<0、Cr+Cd-αI<0、α<β時，各均衡點穩(wěn)定性分析如表4所列.

表4 情形3下的演化博弈均衡點穩(wěn)定性Tab.4 Stability of equilibrium point of evolutionary gameunder condition 3

情形4：當Cr+Cd-βI<0、Cr+Cd-αI>0、α<β時，各均衡點穩(wěn)定性分析如表5所列.

表5 情形4下的演化博弈均衡點穩(wěn)定性Tab.5 Stability of equilibrium point of evolutionary gameunder condition 4

情形5：當Cr+Cd-βI>0、Cr+Cd-αI>0、α<β時，各均衡點穩(wěn)定性分析如表6所列.

表6 情形5下的演化博弈均衡點穩(wěn)定性Tab.6 Stability of equilibrium point of evolutionary gameunder condition 5

情形6：當Cr+Cd-βI<0、Cr+Cd-αI<0、α>β時，各均衡點穩(wěn)定性分析如表7所列.

表7 情形6下的演化博弈均衡點穩(wěn)定性Tab.7 Stability of equilibrium point of evolutionary gameunder condition 6

情形7：當Cr+Cd-βI>0、Cr+Cd-αI<0、α<β時，相互矛盾不成立.

情形8：當Cr+Cd-βI<0、Cr+Cd-αI>0、α>β時，相互矛盾不成立.

3.2 系統(tǒng)演化路徑分析

為進一步明確分析雙方得益，現(xiàn)簡化非對稱演化博弈模型如表8所列.

表8 出行者與公交運營者的非對稱演化博弈簡化模型Tab.8 A simplified model of asymmetric evolutionary gamebetween travelers and public transport operators

圖3 情形1下的系統(tǒng)演化路徑Fig.3 System evolution path under condition 1

針對情形2，出行者群體的選擇對公交運營者的決策影響單一，公交運營者的收益均為B

圖4 情形2下的系統(tǒng)演化路徑Fig.4 System evolution path under condition 2

圖5 情形3下的系統(tǒng)演化路徑Fig.5 System evolution path under condition 3

針對情形4，出行者與公交運營者的不同策略組合關系下，動態(tài)復制系統(tǒng)的演化路徑均不相同，此時不存在ESS，系統(tǒng)演化路徑如圖6所示.

圖6 情形4下的系統(tǒng)演化路徑Fig.6 System evolution path under condition 4

針對情形5和情形6，系統(tǒng)演化路徑分別與情形2和情形3一致，說明α與β關系在動態(tài)演化系統(tǒng)內(nèi)相對獨立，對演化路徑?jīng)]有產(chǎn)生影響.

以上，當公交線路以M策略運營時，出行者群體收益均有A>F；當公交線路以N策略運營時，出行者群體收益均有D

4 數(shù)值仿真

由于篇幅有限，僅針對情形1進行仿真研究.設J=0.9，P=1，Pc=0.4，Pe=0.1，Cr=0.05*I，Cd=0.02*I，α=8.1%，β=5%，利用MATLAB軟件進行計算仿真.

x與y不同初始概率組合對雙方策略選擇演化結果產(chǎn)生影響.經(jīng)計算，當x低于0.645、y低于0.6時，x與y均明顯趨向0演化；當x高于0.645、y高于0.6時，x與y均明顯趨向1演化，如圖7～8所示.

圖7 x策略選擇演化博弈仿真結果Fig.7 Evolutionary game simulation results of x strategy selection

圖8 y策略選擇演化博弈仿真結果Fig.8 Evolutionary game simulation results of y strategy selection

4.1 x值的影響因素

公交運營者選擇M策略，出行者選擇K與L不同策略的收益差為A-F；公交運營者選擇N策略，出行者選擇K與L不同策略的收益差為P-D.考慮公交運營策略差異的影響，為高峰期吸引更多客流乘坐公交出行，提高A-F收益，降低P-D差值，基于公交運營策略擴大出行者的收益變化值A-F-P+D，進而加強公交出行者的出行意愿.此外，擴大出行者選擇公交出行與其他交通方式的收益差A-P，能夠減少客流流失，刺激潛在客流轉移，能夠加快出行者策略在演化博弈系統(tǒng)中達到ESS的收斂速度.

4.2 y值的影響因素

出行者選擇K策略，公交運營者選擇M與N不同策略的收益差為B-E；出行者選擇L策略，公交運營者選擇M與N不同策略下的收益差Q-G.為保證客流正常運送前提下公交運營者獲得更大收益，通過提高B-E收益，降低Q-G差值，基于出行者策略擴大公交運營者的收益變化值B-E-Q+G，通過控制公交線路單位班次運營成本、增加運營班次數(shù)量等方法，積極促使公交運營者改善運營策略，提升運營效益，能夠加快公交運營策略在演化博弈系統(tǒng)中達到ESS的收斂速度.

仿真結果與情形1中的系統(tǒng)演化路徑演變過程相符，且y群體相較x群體演化速度更快，這與鞍點位置有關.x、y值的大小均受到公交運營者與出行者雙方選擇策略初始概率的影響.

5 結論

面向公交客流高峰時段，將可變的發(fā)車頻率作為公交運營者的選擇策略，構建了出行者與公交運營者的雙方非對稱演化博弈模型，期間采用復制動態(tài)方程分析了演化路徑及相關均衡點的穩(wěn)定性，研究了不同情形下的演化博弈穩(wěn)定策略，利用復制動態(tài)圖更加清晰地展現(xiàn)了參與者雙方的演化博弈行為達到穩(wěn)定的過程，有針對性地仿真分析了雙方策略選擇的影響因素，對加快二者構成的演化博弈系統(tǒng)達到ESS的收斂速度具有幫助，以期為公交運營管理決策提供理論支持.

科學的公交補貼機制對于城市公交系統(tǒng)優(yōu)化具有直接影響.本文在建立模型時僅考慮單一固定的公交補貼方式，在未來研究中應進一步考慮與公交客流結構相關的政府補貼機制，使研究結果更加符合實際.