王海洋, 宋萬清

(上海工程技術大學 電子電氣工程學院,上海 201600)

0 引 言

鋰電池的剩余壽命預測一直是其可靠性分析和健康狀態(tài)預測中一個重要的研究方向[1]。更加準確的鋰電池預測對于其使用的安全性、可靠性以及減少經(jīng)濟損耗等都有著十分重要的作用[2]。在過去的幾十年里,各種RUL預測方法被提出,例如:物理原理法、實驗法、數(shù)據(jù)驅動法以及混合法[3]、基于自回歸滑動平均(auto-regressive moving average,ARMA)時間序列的預測模型法。陶耀東等人[4]利用Box-Jenkins ARIMA 模型模擬鋰電池退化過程從而進行鋰電池的RUL預測研究。而王巍等人[5]則提出了新的高斯過程回歸方法提升訓練和預測的速度?；谌斯ど窠?jīng)網(wǎng)絡的鋰電池RUL預測也是目前研究的熱點。文獻[6]在進行的鋰電池RUL預測研究時則提出一種利用重采樣來對前饋神經(jīng)網(wǎng)絡進行輸入選擇的新思路。陳雄姿等人[7]便提出了一種基于貝葉斯最小二乘—支持向量回歸(least square support vector regression,LS-SVR)的鋰電池剩余壽命在線概率性預測方法。而王春雷等人[8]則利用改進的相關向量機方法進行鋰電池RUL預測。

本文結合混沌理論得到鋰電池最大預測時間尺度,再利用具有長相關性的FARIMA 模型應用于鋰電池剩余使用壽命預測,通過計算Hurst指數(shù)建立起預測模型,并給出RUL預測具體的步驟與其概率密度函數(shù)計算公式。最終通過實際的美國NASA Amse數(shù)據(jù)庫中的鋰電池退化數(shù)據(jù)進行實際的RUL預測實驗,并選擇多種誤差標準量化其預測結果。

1 混沌理論

混沌理論屬于非線性學科的一種,科學界認為萬物皆是混沌構成。因此對于混沌的研究方面設計自然與人文科學的各個方面[9]。混沌理論的發(fā)展主要歸功于1963年洛倫茲的論文發(fā)表。本文結合混沌動力學理論,通過計算Lyapunov指數(shù)給出的可預測剩余壽命的最大尺度,從而優(yōu)化RUL預測過程,獲得更好的預測結果。計算Lyapunov指數(shù)的方法有:定義法、Wolf法、Jacobian方法、P—范數(shù)法、小數(shù)據(jù)量法等。本文選在實際應用中比較有效的Jacobian法,其具體計算步驟如下：

考慮下列微分方程系統(tǒng)為

(1)

(2)

式中T為F的Jacobian矩陣。方程(2)可以表示為

e(t)=U(t,e(0))

(3)

其中,U:e(0)→e(t)線性算子映射。這個映射U的漸進行可以用指數(shù)表示為

(4)

所以,式(1)的Lyapunov指數(shù)為上述過程的平均數(shù)

(5)

通過Jacobian法計算得出的Lyapunov指數(shù)最終再代入退化過程數(shù)據(jù)得出最大預測尺度。

2 FARIMA模型

分數(shù)自回歸求和滑動平均模型通常表示為FARIMA(p,q,d)。這里的參數(shù)p,q,d分別表示自回歸階數(shù)、滑動平均階數(shù)和差分階數(shù)。FARIMA模型同時具有長相關性與短相關性。因此,為了將FARIMA模型應用于預測,需要先對預測序列的相關性進行研究。據(jù)此給出了判斷序列相關性的基本指數(shù):Hurst指數(shù)(H)。當0

給定一個隨機的時間序列{Xi},將其長度t劃分為k個相鄰的長度為n的子區(qū)間,其中t=kn。每個子區(qū)間的每個點與區(qū)間平均值之差的和組成一個新的序列Yi,有

(6)

(7)

當n→∞時,R/S法函數(shù)曲線看起來與cnH相似,其中，c為常數(shù),它獨立于n。將上式取對數(shù)并畫出對數(shù)圖,其擬合曲線斜率則為Hurst估計值。

計算完Hurst指數(shù),給出FARIMA模型定義為:如果{Xt}為平穩(wěn)時間序列且滿足差分方程

Φ(B)ΔdXt=θ(B)at

(8)

式中 {at}為白噪聲序列,Φ(B)為自回歸項的p階多項式,B為滿足等式BXt=Xt-1的后移算子,θ(B)為滑動平均項的q階多項式。Φ(B)和θ(B)的具體表達式為

Φ(B)=1-Φ1(B)-Φ2(B)2-…-Φp(B)p

(9)

θ(B)=1-θ1(B)-θ2(B)2-…-θq(B)q

(10)

由于|B|≤1,Φ(B)和θ(B)都不為零。令Δ=(1-B)為差分算子,進而Δd表示分數(shù)差分算子為

(11)

(12)

式中Γ為伽馬函數(shù)。而這里的參數(shù)d與Hurst指數(shù)之間有這樣的關系:d=H-0.5。因此,可以通過計算Hurst指數(shù)從而建立起FARIMA預測模型。

3 RUL預測過程

為了進行鋰電池剩余壽命的預測估計,通常將壽命定義為退化過程第一次超過故障閾值,而這個閾值根據(jù)國際標準一般設定為鋰電池剩余容量的80 %左右。這里將第一次超過這個閾值的時間點設為壽命終結點(end of life,EOL),如圖1所示的來自NASA’s Ames Research Center預測數(shù)據(jù)庫的鋰電池開源數(shù)據(jù)集中的B0018組鋰電池數(shù)據(jù),根據(jù)所設置的閾值,B0018的EOL=97。

圖1 B0018組鋰電池退化過程

根據(jù)上面所測量出的EOL,退化系統(tǒng)的壽命T可以形式上定義為

T=inf{t∶X(t)≥ω|X(0)<ω}

(13)

這里T的概率密度函數(shù)(probability density function,PDF)可以描述為fT(t)(如圖1中所示的概率密度分布圖),ω則為根據(jù)不同退化模型所須性能決定的預設恒定故障閾值水平。

Lk=inf{lk>0∶X(lk+tk)≥ω}

(14)

同理,它的PDF為fLk(lk)。

對于閾值為ω的退化模型與之相匹配的PDF為

(15)

基于fLk(lk)的定義式可以看出,其由退化過程的漂移系數(shù)μ和擴散系數(shù)σ,及故障閾值ω和系統(tǒng)狀態(tài)共同決定。

4 實驗與數(shù)據(jù)分析

將利用B0018組的鋰電池數(shù)據(jù)案例,以證明所提出的鋰電池RUL預測模型。利用Jacobian法計算鋰電池的Lyapunov指數(shù),得到最大預測尺度為10。將電池退化數(shù)據(jù)代入計算其Hurst指數(shù)的值判斷其相關性。本文采用R/S分析法來計算B0018組鋰電池的Hurst指數(shù)值,最終的結果H=0.564 9。

根據(jù)已經(jīng)建立好的FARIMA模型,可以對具體的鋰電池退化數(shù)據(jù)進行RUL預測分析。根據(jù)上面的計算的最大尺度選擇從B0018鋰電池組中選擇8個起始預測觀察點進行RUL預測實驗,并且每個起始預測時間點的時間間隔都為1個循環(huán)周期。圖2為8個預測時間點分別預測出的RUL的PDF分布圖。

圖2 B0018組鋰電池RUL預測結果

對于B0018組鋰電池RUL預測最終結果,提出通過計算實際的RUL與預測得出的RUL之間的絕對誤差(absolute error,AE)與相對誤差(relative error,RE)來對上述預測結果進行數(shù)值分析。其計算公式為

(16)

表1 B0018組鋰電池RUL預測結果及誤差分析

5 結 論

本文介紹了一種結合混沌理論的FARIMA模型的預測鋰電池的RUL的方法。根據(jù)混沌理論計算鋰電池的Lyapunov指數(shù)給出其剩余壽命的最大可預測時間尺度。介紹了具有長相關性的FARIMA模型的基本形式及其原理,同時給出了判斷長相關性的Hurst指數(shù)擬合方法。然后詳細介紹對于鋰電池退化數(shù)據(jù)的RUL的預測過程，并將建立好的模型代入進行預測。通過實際的電池退化數(shù)據(jù)利用FARIMA模型的RUL預測實驗,結合實驗預測效果仿真圖以及誤差評估指標計算的數(shù)據(jù),證明本文提出的結合混沌理論的FARIMA模型在預測鋰電池RUL時的優(yōu)越性。