陳 罡, 霍 達(dá), 何志球, 龔?fù)砹? 徐朝輝

(武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院，湖北 武漢 430072)

0 引 言

在實(shí)際的無線電系統(tǒng)中，天線的輻射特性對(duì)系統(tǒng)的性能有著很重要的影響。單支天線的輻射特性往往無法很好滿足各種不同的應(yīng)用需求，而通過對(duì)多支天線進(jìn)行不同的幾何排布組成天線陣列，可以更加靈活地實(shí)現(xiàn)各種復(fù)雜的輻射特性，但是，當(dāng)陣列天線數(shù)量過多又會(huì)增加成本。如何在保證天線陣列的良好輻射特性的同時(shí)降低成本，一直是陣列方向圖綜合領(lǐng)域需要研究的問題。陣列方向圖綜合是一種典型的非線性優(yōu)化問題，粒子群算法作為一種基于群體智能的全局搜索算法被廣泛應(yīng)用于非線性優(yōu)化問題。粒子群優(yōu)化[1](particle swarm optimization,PSO)算法最早是由Kennedy博士和Eberhart博士提出的一種通過模擬鳥類捕食而發(fā)展起來的隨機(jī)搜索算法。文獻(xiàn)[2]中提出了一種改進(jìn)的PSO算法，對(duì)最優(yōu)粒子初值進(jìn)行有效估計(jì)來增加算法的收斂速度。文獻(xiàn)[3]在PSO基礎(chǔ)之上對(duì)目標(biāo)函數(shù)梯度尋優(yōu)進(jìn)行離網(wǎng)格處理從而避免算法陷入局部最優(yōu)化。文獻(xiàn)[4]對(duì)PSO算法速度更新時(shí)的慣性權(quán)重進(jìn)行了改進(jìn)，改善了算法效果。文獻(xiàn)[5,6]則引入混合算法，利用其他算法的特點(diǎn)，改善PSO全局搜索性能。CLOVAR雷達(dá)陣列采用了十字交叉結(jié)構(gòu)來獲得HPBW和單元數(shù)量N之間的折衷[7]。

本文受CLOVAR啟發(fā)，提出了一種多臂非均勻排布的交叉天線陣列結(jié)構(gòu)，并以此為基礎(chǔ)，對(duì)稀布優(yōu)化模型進(jìn)行設(shè)計(jì)，將粒子群算法和免疫算法結(jié)合，對(duì)陣列天線進(jìn)行稀布優(yōu)化，從而得到具有窄HPBW，低MSLL和較少輻射單元的平面交叉天線陣列。

1 非均勻多臂交叉天線陣列

通過對(duì)均勻交叉陣列每條臂上的單元數(shù)目和相鄰單元間距做出擾動(dòng)，均勻交叉陣列可以轉(zhuǎn)換為非均勻形式。圖1為一個(gè)有19個(gè)陣元5條臂的非均勻交叉陣列。

圖1 稀布交叉天線陣列結(jié)構(gòu)示意

相位參考點(diǎn)為陣列中心陣元，總陣元數(shù)為N時(shí)的陣因子可以表示為

(1)

式中Ii和αi分別為第i個(gè)陣元的激勵(lì)幅度和相位，其中i=1,…,N；N為陣列中總的陣元數(shù)量；Loci,1和Loci,2分別為第i個(gè)單元所在位置的橫縱坐標(biāo)，這里以中心陣元為原點(diǎn)，水平向右為橫軸正向，豎直向上為縱軸正向；θ和φ為方向圖采樣角度，分別對(duì)應(yīng)天頂角和方位角。

2 多臂交叉陣列優(yōu)化模型

2.1 決策變量設(shè)計(jì)

為了更方便地應(yīng)用免疫粒子群算法，本文的優(yōu)化模型所采用的決策變量需要滿足：固定的決策變量的維度；決策變量定義域?yàn)檫B續(xù)空間。

這里引入有效范圍的概念，每一條臂對(duì)應(yīng)變量Li來限制有效長(zhǎng)度，臂上的陣元可以被分為有效陣元和無效陣元。如圖2所示，臂上包含6個(gè)陣元但是經(jīng)過限制以后，有效單元數(shù)目只有4個(gè)。因此，每條臂上的單元數(shù)目可以通過Li來進(jìn)行描述，預(yù)先設(shè)置的每條臂上的單元數(shù)目可以被設(shè)定為一個(gè)較大的并且相等的常數(shù)Nunit，因此，決策變量的維度也就可以確定?？紤]到理想的天線陣列輻射方向圖在所有的方向角應(yīng)該有著類似的特征，這就需要天線陣列的結(jié)構(gòu)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性質(zhì)，本文通過初始化一個(gè)子塊然后擴(kuò)展到整個(gè)陣列來實(shí)現(xiàn)近似效果。因此決策變量可以表示為

圖2 陣列的單條臂結(jié)構(gòu)

(2)

式中Npart為陣列分塊的數(shù)量，包含d的項(xiàng)表示了子塊中所有的間距值，包含L的項(xiàng)對(duì)應(yīng)每一條臂的有效范圍。

2.2 目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)

本文的優(yōu)化目標(biāo)是得到窄的HPBW,低的MSLL和低陣元個(gè)數(shù)N。通過設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化函數(shù)，將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解，轉(zhuǎn)化函數(shù)需要能對(duì)陣列的MSLL，HPBW和N給出綜合評(píng)價(jià)。本文研究中，轉(zhuǎn)化函數(shù)被設(shè)計(jì)為一個(gè)包含HPBW，N和MSLL的的多變量函數(shù)

(3)

式中obj=(MSLL(x),HPBW(x),N(x)),tMSLL，tHPBW和tN為對(duì)應(yīng)變量的臨界值，代表了對(duì)應(yīng)的期望目標(biāo)值的最差狀況。式(3)中的f1和f2可以表示為

(4)

f2(par,t)=exp(100×(|par|-t))

(5)

可以看出，當(dāng)MSLL越大，HPBW和N越小時(shí)轉(zhuǎn)化函數(shù)值越大，其中MSLL在低于臨界值后，根據(jù)式(5)可知，此時(shí)轉(zhuǎn)化函數(shù)值會(huì)增加很快，也就是說此時(shí)作為優(yōu)化目標(biāo)之一的MSLL擁有更高權(quán)重。結(jié)合上述內(nèi)容，優(yōu)化模型為

(6)

式中X為x的約束范圍，通過約束條件，在變量搜索過程中，保持解的可行性，本文主要對(duì)陣元間距和臂的有效范圍進(jìn)行約束，限制它們的上下邊界值。

3 改進(jìn)的免疫粒子群算法

3.1 改進(jìn)算法流程

關(guān)于免疫算法和幾種典型的混合算法可以參考文獻(xiàn)[8～11]，本文則是從算法流程，適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)，免疫過程簡(jiǎn)化等方向?qū)γ庖吡Ｗ尤核惴ㄟM(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)的算法流程如圖3所示。

圖3 改進(jìn)的免疫力群算法流程

3.2 適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)

根據(jù)式(8)中轉(zhuǎn)化函數(shù)，適應(yīng)度函數(shù)可以寫成

fitness(xi)=F(obj)

(7)

式中xi為種群中的個(gè)體粒子i，適應(yīng)度函數(shù)也反映了種群中個(gè)體表現(xiàn)的好壞程度，一般情況下種群個(gè)體總是傾向于向高適應(yīng)度個(gè)體所在位置聚集。

3.3 粒子速度和位置更新

算法迭代過程中通過個(gè)體歷史最優(yōu)pbest和群體歷史最優(yōu)gbest的位置來進(jìn)行更新。包含慣性權(quán)重w的速度更新方程如下

(8)

式中i=1,2,…,Npop;t為當(dāng)前迭代的次數(shù);rand1和rand2為分布在[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)。c1和c2為學(xué)習(xí)因子，代表驅(qū)使個(gè)體向個(gè)體最佳位置和全局最佳位置運(yùn)動(dòng)的權(quán)重。w為慣性系數(shù)，這里運(yùn)用線性減小權(quán)重的策略，來提高算法的搜索和收斂性能，w可以表示為

(9)

式中wstart為初始的慣性權(quán)重，wend為當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到最大值時(shí)的慣性權(quán)重，Tmax為最大的迭代次數(shù)。位置更新關(guān)系式如下

(10)

當(dāng)違反約束時(shí)將粒子位置映射到違反的邊界，并且使粒子速度反向，使得粒子保持在約束范圍以內(nèi)。

3.4 改進(jìn)的免疫過程

(11)

Ai=fitness(xi)

(12)

(13)

(14)

式中γ為給定常數(shù)，Npop為種群中個(gè)體數(shù)目?？贵w濃度Ci可以表示為

(15)

其中

(16)

式中Si,j為抗體i和抗體j的親和度，計(jì)算方法可參考文獻(xiàn)[10]，Tc為一個(gè)基于當(dāng)前親和度的可以調(diào)整的臨界值。

求出期望繁殖概率以后，根據(jù)個(gè)體適應(yīng)度值來對(duì)算法的收斂程度進(jìn)行判斷，在必要時(shí)免疫過程介入粒子群算法的流程中，然后根據(jù)適應(yīng)度和期望繁殖概率，在當(dāng)前的種群中去保留Nf個(gè)具有高適應(yīng)度的個(gè)體和Ne個(gè)具有高的期望繁殖概率的個(gè)體，并隨機(jī)初始化所有未被保留下來的個(gè)體，生成新的種群，讓算法繼續(xù)迭代進(jìn)行。改進(jìn)后的免疫過程能夠在粒子群算法過早收斂時(shí)對(duì)種群進(jìn)行擾動(dòng)，增加個(gè)體多樣性，同時(shí)對(duì)精英個(gè)體進(jìn)行保留，能夠提高算法的全局搜索性能，并且具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。

4 仿真實(shí)例

由于采取了陣列分塊的策略，這里指定交叉陣列的總臂數(shù)設(shè)置為Narm=15，分塊數(shù)Npart=3作為初始陣列來進(jìn)行仿真。表1中詳細(xì)給出了本仿真實(shí)例中的參數(shù)細(xì)節(jié)，其中dmin,dmax約束了陣元間距，Lmin,Lmax約束了臂的有效范圍。

表1 仿真實(shí)例詳細(xì)參數(shù)

圖4為具有最高的適應(yīng)度值時(shí)的陣列構(gòu)型，此時(shí)單元數(shù)目N=148，陣列包含3個(gè)子塊。圖4右上角子塊中的陣元間距數(shù)值分布如表2所示。其中arm1代表的是分塊中方位角為0°的臂，這里以水平向右的坐標(biāo)軸作為參考。表2中對(duì)應(yīng)的數(shù)值依次代表臂上每一對(duì)相鄰陣元之間的間距。

圖4 最佳適應(yīng)度下陣列構(gòu)型

表2 二種算法陣元間距分布

應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法，在相同的參數(shù)設(shè)置下進(jìn)行對(duì)比，標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化后的陣列間距分布如表2所示。通過免疫粒子群算法和標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的到的陣列陣因子歸一化取dB值后的對(duì)比方向圖如圖5所示，應(yīng)用本文中所改進(jìn)的免疫粒子群算法得到的優(yōu)化陣列，在陣元數(shù)為148的情況下，MSLL為-14.70 dB，HPBW為1.47°，而利用粒子群算法得到的陣列，陣元數(shù)為172，MSLL為-14.59 dB，HPBW為1.74°?？梢钥吹?，應(yīng)用免疫粒子群算法優(yōu)化的交叉陣列，在MSLL和HPBW均優(yōu)于應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的結(jié)果，并且能夠保持較低的陣元數(shù)N。

圖5 陣列方向圖對(duì)比

5 結(jié) 論

本文提出了一種平面交叉天線陣列結(jié)構(gòu)，隨后針對(duì)優(yōu)化目標(biāo)提出了一種交叉陣列陣列稀布優(yōu)化模型，利用有效范圍的概念解決了決策變量維度的不確定的問題，然后引入旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化。針對(duì)粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)的問題，引入了改進(jìn)的免疫過程，在保留精英個(gè)體的同時(shí)增加種群多樣性從使算法不容易過早陷入局部最優(yōu)。仿真結(jié)果表明：本文所給出的基于免疫粒子群算法的多臂交叉陣列優(yōu)化設(shè)計(jì)方法相比于傳統(tǒng)粒子群方法，能夠在較少的陣元數(shù)目下達(dá)到較低的MSLL和HPBW。另一方面，在復(fù)雜情況下，粒子群算法陷入局部最優(yōu)化問題依然無法徹底避免，怎樣構(gòu)造好的適應(yīng)度函數(shù)，以及保持粒子群的個(gè)體多樣性，從而改善算法效果依舊是今后需要繼續(xù)研究的地方。