王嘉琦，劉洋，趙慶志

（山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東淄博 255012）

0 引言

Shape from shading（簡(jiǎn)稱(chēng)SFS）算法是由美國(guó)麻省理工學(xué)院Horn教授[1]提出的一種單目測(cè)距算法。目前SFS算法在恢復(fù)單個(gè)物體外表面上有著重要應(yīng)用，我們?cè)谟?jì)算機(jī)等媒體上所見(jiàn)到的圖像實(shí)際上是由攝像機(jī)捕捉到的通過(guò)某一光源對(duì)物體的照射所反射出的能量[2-4]。SFS算法研究的正是輻射度與物體所反射出的能量之間的關(guān)系。

Ikuechi和Horn首先提出了SFS的變分求解方法[5]。通過(guò)將輻射度方程的灰度誤差表達(dá)為一個(gè)泛函，把SFS問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)泛函的極小化問(wèn)題，然后通過(guò)求解這個(gè)泛函極小化問(wèn)題從而得到SFS問(wèn)題的解[6-7]。Horn引入了光滑約束保證得到唯一的解使得恢復(fù)表面更加光滑的同時(shí)卻也變得更加扁平[8]。所以本文引入了綜合約束模型：在光滑約束的基礎(chǔ)上，增加了表面梯度約束和灰度梯度約束，改善了傳統(tǒng)變分法實(shí)驗(yàn)結(jié)果過(guò)于光滑和扁平的問(wèn)題。

1 模型高度獲取

SFS技術(shù)是通過(guò)圖像的灰度值來(lái)計(jì)算物體實(shí)際高度的，所以物體顏色的不同會(huì)對(duì)高度獲取造成相當(dāng)大的影響，因此我們首先需要通過(guò)PhotoShop、Illustrator等專(zhuān)業(yè)圖像處理軟件對(duì)物體原圖進(jìn)行處理，處理之后獲得一張深度圖，再由深度圖通過(guò)轉(zhuǎn)換顏色空間得到圖像亮度，然后根據(jù)清晰度評(píng)價(jià)函數(shù)（TenenGrad）得到圖像塊（5×5）的清晰度，獲取到可靠性更高的深度灰介圖。

1.1 顏色空間轉(zhuǎn)換

為使得圖像具有視覺(jué)統(tǒng)一性，需要將圖像轉(zhuǎn)換至LUV顏色空間，在LUV顏色空間中L代表亮度，U、V代表色度，本文通過(guò)利用XYZ顏色空間實(shí)現(xiàn)RGB顏色空間到LUV顏色空間的過(guò)渡，具體方法如下：

1）首先通過(guò)矩陣實(shí)現(xiàn)RGB顏色空間到XYZ顏色空間的轉(zhuǎn)換：

2）通過(guò)公式實(shí)現(xiàn)XYZ顏色空間到LUV顏色空間的轉(zhuǎn)換：

式中：

選擇標(biāo)準(zhǔn)光源D65作為參考光源，則Xn=95.047，Yn=100.000，Zn=108.883。代入上式可得：

由此便完成了由RGB顏色空間到XYZ顏色空間再到LUV顏色空間的轉(zhuǎn)換。

1.2 約束模型和泛函表達(dá)

通過(guò)綜合約束條件解決SFS問(wèn)題首先要建立約束模型和泛函表達(dá)，輻射度方程的灰度誤差表達(dá)式為

由表達(dá)式可知，求解SFS問(wèn)題就等同于求解F1（p,q）極小條件下的p和q。

假設(shè)重建表面光滑，且光滑約束表達(dá)式為

式中，px、py、qx、qy為表面梯度的偏導(dǎo)數(shù)。

為使所獲圖像在高度表達(dá)上更加理想，在光滑約束的基礎(chǔ)上再引入表面梯度約束和灰度梯度約束，表面梯度約束表達(dá)式為

式中，zx、zy為表面高度的偏導(dǎo)數(shù)。

灰度梯度約束表達(dá)式為

綜合以上可以得出綜合約束表達(dá)式為

式中，λ、μ、ν均為加權(quán)系數(shù)。由于高度z直接出現(xiàn)在表達(dá)式中，所以通過(guò)求上述泛函的極小化解，就可以直接得到z值，避免了從梯度到高度的積分過(guò)程中可能出現(xiàn)的振蕩。

1.3 變分求解

由變分原理可知，方程的解等價(jià)于下面歐拉方程的解：

圍繞p和q進(jìn)行泰勒展開(kāi)，有：

其余項(xiàng)同理展開(kāi)后整理可得

其中：

于是有：

式中：δp為泰勒展開(kāi)中的p-p0項(xiàng)；δq、δz相同。這里將其定義為迭代一次后的增量，于是可建立如下迭代公式關(guān)系：

式中，k為迭代次數(shù)。

由于要在計(jì)算機(jī)中編程實(shí)現(xiàn)，還需要應(yīng)用有限差分法對(duì)偏導(dǎo)數(shù)等一些非離散量進(jìn)行離散化處理。將圖像區(qū)域Ω按圖像本身像素進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)劃分。以px為例，離散化形式為

式中，i、j表示像素在圖像中所處的行列數(shù)，其他與此相同。

2 迭代算法的實(shí)現(xiàn)

2.1 建立迭代過(guò)程

根據(jù)以上分析和推導(dǎo)，建立迭代過(guò)程如下：給出光源入射方向（ps，qs，-1）；給定初值p0、q0、z0，加權(quán)系數(shù)λ、μ、ν，并令k=0。

計(jì)算δp、δq、δz并令：

給定光源入射方向（0,0,-1），通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，經(jīng)對(duì)比可知，前4次迭代，模型還原度逐步提高，直到第5次時(shí)模型高度出現(xiàn)了與加工要求所不符的噪聲。

圖1 原圖

圖2 迭代1次效果圖

圖3 迭代2次效果圖

圖4 迭代3次效果圖

圖5 迭代4次效果圖

圖6 迭代5次效果圖

2.2 高度變換

由于通過(guò)SFS算法獲取的模型高度在z軸之上不能直接參與浮雕加工，因此還需要對(duì)模型高度進(jìn)行平移和縮放變換。具體過(guò)程如下：

1）整體平移處理。假設(shè)模型進(jìn)行變換前的高度為zq，變換后的高度為zh，將生成的浮雕模型整體沿Z軸方向下移Hmax，則

2）高度縮放變換。設(shè)縮放比例為p，則

圖7 高度變換

因此可以根據(jù)模型原高度zq求出模型在每一點(diǎn)處的加工深度zh：

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示，左邊通過(guò)直方圖與原始圖像的截面誤差分析對(duì)比表明迭代誤差滿(mǎn)足要求，右邊為仿真的圖像，結(jié)果顯示重建圖像還原度高，實(shí)驗(yàn)結(jié)果理想。

圖8 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于SFS技術(shù)通過(guò)數(shù)學(xué)演繹實(shí)現(xiàn)了對(duì)雕刻模型高度獲取的優(yōu)化。使得所獲產(chǎn)品在三維空間中的立體還原度進(jìn)一步改良。通過(guò)顏色空間的轉(zhuǎn)換獲取圖像每個(gè)像素點(diǎn)處的亮度，用圖像像素點(diǎn)處的亮度代替圖像像素強(qiáng)度。通過(guò)在光滑約束的基礎(chǔ)上引入表面梯度約束和灰度梯度約束實(shí)現(xiàn)綜合約束下變分法求解SFS問(wèn)題，再根據(jù)所得結(jié)果和實(shí)際加工要求通過(guò)平移、縮放等方法調(diào)節(jié)浮雕模型，最終達(dá)到加工要求。