劉國軍

（湖南理工學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，湖南 岳陽 414006）

0 引言

與串聯(lián)機(jī)器人相比較，并聯(lián)機(jī)器人具有承載能力高、精度高、速度快、加速度大等優(yōu)點(diǎn)，在多個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]，如六自由度并聯(lián)機(jī)器人——Gough-Stewart平臺(tái)、Delta并聯(lián)機(jī)器人及其變形體、Tricept并聯(lián)機(jī)床等。Delta并聯(lián)機(jī)器人及其變形體在小物品的快速拾取與揀選等應(yīng)用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2-3]。

若對Delta并聯(lián)機(jī)器人只采用運(yùn)動(dòng)學(xué)控制，則性能不會(huì)很好[2]。為了得到性能優(yōu)良，需要考慮動(dòng)力學(xué)反解模型[2]。設(shè)計(jì)Delta并聯(lián)機(jī)器人時(shí)也需要建立動(dòng)力學(xué)反解模型，得到各個(gè)電動(dòng)機(jī)輸出的力矩等。國內(nèi)外很多學(xué)者對Delta并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模進(jìn)行了研究，如：Tsai[4]引入3個(gè)多余的自由度，利用第一類拉格朗日方程建立了三平動(dòng)Delta并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)反解模型；Hong和Yamamoto[5]利用虛功原理和牛頓-歐拉方程分析得到了三平動(dòng)Delta并聯(lián)機(jī)器人的作用力和作用力矩；Brinker[6]分別利用虛功原理、牛頓-歐拉方程和第一類拉格朗日方程三種方法對三平動(dòng)Delta并聯(lián)機(jī)器人建立了動(dòng)力學(xué)反解模型，并且進(jìn)行了對比分析。但第一類拉格朗日方程對三平動(dòng)Delta并聯(lián)機(jī)器人建立動(dòng)力學(xué)反解模型時(shí)需要引入3個(gè)額外的參數(shù)；牛頓-歐拉方程對三平動(dòng)Delta并聯(lián)機(jī)器人建立動(dòng)力學(xué)反解模型時(shí)需要計(jì)算各個(gè)構(gòu)件之間的約束力和約束力矩；由于虛位移與實(shí)位移相等時(shí)要滿足一些特定的條件，但實(shí)際中一般不滿足這些條件，從而虛位移一般不是實(shí)位移[7]。當(dāng)用凱恩方程建立動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，不出現(xiàn)約束力，也不必計(jì)算拉格朗日函數(shù)等及其導(dǎo)數(shù)[8-10]。與第一類拉格朗日方程相比，對于非完整系統(tǒng)，凱恩方程不需要引入拉格朗日算子[10]。本文將采用凱恩方程建立三平動(dòng)Delta并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)反解模型。

1 系統(tǒng)描述

瑞士洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院（EPFL）Clavel領(lǐng)導(dǎo)的團(tuán)隊(duì)發(fā)明了平移三自由度并聯(lián)機(jī)器人——三自由度Delta并聯(lián)機(jī)器人，如圖1所示[11]。Clavel領(lǐng)導(dǎo)的團(tuán)隊(duì)發(fā)明的三自由度Delta并聯(lián)機(jī)器人由1個(gè)動(dòng)平臺(tái)、1個(gè)靜平臺(tái)和3條支路組成。每一條支路通過固定于靜平臺(tái)上的電動(dòng)機(jī)和精密減速裝置帶動(dòng)主動(dòng)臂轉(zhuǎn)動(dòng)，然后通過一個(gè)2-SS型（S表示球鉸）空間平行四桿機(jī)構(gòu)連接到動(dòng)平臺(tái)上。

圖1 Clavel等發(fā)明的三自由度Delta并聯(lián)機(jī)器人

如圖2所示，為了分析的需要，在動(dòng)平臺(tái)上建立體坐標(biāo)系{L}，在靜平臺(tái)上建立慣性坐標(biāo)系{W}，在支路i中轉(zhuǎn)動(dòng)副的中點(diǎn)Ai建立體坐標(biāo)系{Li}。直角坐標(biāo)系O-XYZ為慣性坐標(biāo)系{W}，其坐標(biāo)系原點(diǎn)為O。把直角坐標(biāo)系{W}移動(dòng)到動(dòng)平臺(tái)上以點(diǎn)P為原點(diǎn)，則為體坐標(biāo)系{L}。直角坐標(biāo)系A(chǔ)i-XiYiZ i為體坐標(biāo)系{Li}，其坐標(biāo)系原點(diǎn)為Ai。Ai為主動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)軸的中心點(diǎn)。直角坐標(biāo)系{Li}中Zi軸與坐標(biāo)系{W}中Z軸平行，Xi軸沿直線OAi，Yi為轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向。B1i和C1i分別為支路i中空間平行四邊形機(jī)構(gòu)同一側(cè)球鉸中心，B2i和C2i分別為支路i中空間平行四邊形機(jī)構(gòu)另一側(cè)球鉸中心。Bi為B1i與B2i連線的中心點(diǎn)。Ci為C1i與C2i連線的中心點(diǎn)。作如下規(guī)定：在慣性坐標(biāo)系{W}中表示時(shí)左上角不用標(biāo)示上標(biāo)；在其它坐標(biāo)系中表示時(shí)，則在左上角標(biāo)示。Gi表示主動(dòng)臂AiBi的重心，假設(shè)它在直線AiBi上，并且AiGi的長度為lG。設(shè)定Xi軸與X軸的夾角為φi（i=1，2，3），Xi軸與直線AiBi的夾角為θi（i=1，2，3）。則當(dāng)整個(gè)并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)出來后φi（i=1，2，3）為一個(gè)已知量。θi（i=1，2，3）為主動(dòng)副轉(zhuǎn)角大小，選擇它們?yōu)閺V義坐標(biāo)。

圖2 坐標(biāo)示意圖

2 動(dòng)力學(xué)反解

在支路i中，根據(jù)位置矢量關(guān)系（如圖2所示），可得到

量在慣性坐標(biāo)系{W}中的表示為動(dòng)平臺(tái)上中心點(diǎn)P在坐標(biāo)系｛W｝中的位置矢量，pX、pY和pZ分別為p沿X、Y、Z三個(gè)坐標(biāo)軸的分量；pCi為動(dòng)平臺(tái)上從點(diǎn)P到點(diǎn)Ci的位置矢量在慣性坐標(biāo)系｛W｝中的表示；pAi為靜平臺(tái)上從點(diǎn)O到點(diǎn)Ai的位置矢量在慣性坐標(biāo)系｛W｝中的表示；p1i為主動(dòng)臂上從點(diǎn)Ai到點(diǎn)Bi的位置矢量在慣性坐標(biāo)系｛W｝中的表示。

在支路i中，假設(shè)空間平行四邊形機(jī)構(gòu)中從點(diǎn)Bi到點(diǎn)Ci的長度為l2；主動(dòng)臂上從點(diǎn)Ai到點(diǎn)Bi的長度為l1。

根據(jù)圖2，有

式中：RZ（φi）表示繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)φi角的旋轉(zhuǎn)矩陣；rp表示動(dòng)平臺(tái)上從點(diǎn)P到點(diǎn)Ci的長度。

式中，rb表示靜平臺(tái)上從點(diǎn)O到點(diǎn)Ai的長度。

式中：cθi表示cos（θi）；sθi表示sin（θi）。

式（1）兩邊左乘RZ（φi）T（即為RZ（φi）的逆），把各個(gè)位置矢量轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系｛Li｝中表示，有

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣的定義得到

式中：cφi表示cos（φi）；sφi表示sin（φi）。

上式展開后整理得

式中：

由上式得到θi的值為

式中：

式（7）對時(shí)間求導(dǎo)得

式中：

設(shè)定Ii′、Ji′、Ki′分別為

把式（17）～式（19）分別代入（15），整理后得

把三個(gè)支路的關(guān)系式（20）合成一個(gè)矩陣，得

式中：

式（15）對時(shí)間求導(dǎo)得

式中：

設(shè)定L1i′、L2i′、L3i′分別為：

則式（24）可寫成

從上式可得到主動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副的角加速度θi為

式中L4i′定義為

為了后面動(dòng)力學(xué)建模的需要，現(xiàn)在對主動(dòng)臂上重心Gi和末端點(diǎn)Bi的速度和加速度進(jìn)行分析。在支路i中，根據(jù)位置矢量關(guān)系（如圖2），可得到

式中：pGi為靜平臺(tái)上從點(diǎn)O到主動(dòng)臂重心Gi的位置矢量在慣性坐標(biāo)系｛W｝中的表示；p1Gi為主動(dòng)臂上從點(diǎn)Ai到點(diǎn)Gi的位置矢量在慣性坐標(biāo)系｛W｝中的表示。

根據(jù)圖2，有

把式（3）和式（33）代入式（32）中得

上式對時(shí)間求導(dǎo)，得到點(diǎn)Gi的平移速度vGi為

上式對時(shí)間求導(dǎo)，得到點(diǎn)Gi的平移加速度aGi為

在支路i中，根據(jù)位置矢量關(guān)系（如圖2所示），可得到

式中，pBi為靜平臺(tái)上從點(diǎn)O到主動(dòng)臂末端Bi的位置矢量在慣性坐標(biāo)系｛W｝中的表示。

把式（3）和式（4）代入式（37）中得

上式對時(shí)間求導(dǎo)，得到點(diǎn)Bi的平移速度vBi為

上式對時(shí)間求導(dǎo)，得到點(diǎn)Bi的平移加速度aBi為

當(dāng)選擇θi（i=1，2，3）為廣義坐標(biāo)時(shí)，在坐標(biāo)系｛W｝中，根據(jù)凱恩方程[9,12]得到

空間平行四邊形機(jī)構(gòu)中桿B1iC1i和B2iC2i的質(zhì)量都為m2。因?yàn)闂UB1iC1i和B2iC2i都是輕質(zhì)桿，采用文獻(xiàn)[13]中對Par4并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模時(shí)采用的處理方法：忽略桿B1iC1i和B2iC2i轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，然后把桿B1iC1i和B2iC2i的質(zhì)量等效為質(zhì)量為m2的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)—點(diǎn)Bi和Ci。其中廣義主動(dòng)力Fi為

式中：aP=［aPXaPYaPZ］T表示動(dòng)平臺(tái)的平移加速度；Im表示電動(dòng)機(jī)等效到電動(dòng)機(jī)主軸上繞主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；I1表示主動(dòng)臂AiiB在重心Gi處繞平行于軸Yj的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

由式（20）得到

其中列向量jPi為

由式（35）得到

由式（39）得到

從而有：

把式（42）和式（43）代入式（41）得

把式（44）、式（46）～式（50）代入上式，得

由上式得到第i（i=1，2，3）個(gè)支路中電機(jī)驅(qū)動(dòng)力τi的大小為

其中：

3 結(jié)論

本文忽略桿B1iC1i和B2iC2i轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，然后把桿B1iC1i和B2iC2i的質(zhì)量等效為質(zhì)量為m2的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)—點(diǎn)Bi和Ci。然后利用凱恩方程對三自由度Delta并聯(lián)機(jī)器人建立了動(dòng)力學(xué)反解模型。在整個(gè)推導(dǎo)過程中，只是用到了動(dòng)平臺(tái)的位置、速度和角速度參數(shù)和主動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角、角速度及角加速度，不需要求出被動(dòng)臂（即空間平行四邊形機(jī)構(gòu)）的位姿參數(shù)、（角）速度和（角）加速度。也不像拉格朗日方程需要引入拉格朗日算子等額外參數(shù)進(jìn)行求解。本文建立的動(dòng)力學(xué)反解模型結(jié)構(gòu)緊湊，方便用于基于模型控制策略的設(shè)計(jì)中。