于 浩，董 江，左思佳，文 敏

(中國飛行試驗(yàn)研究院，陜西 西安 710089)

0 引 言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)在工作的過程中其內(nèi)部結(jié)構(gòu)長時(shí)間的暴露在振動(dòng)環(huán)境中，部件的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和使用壽命考核必須要考慮振動(dòng)環(huán)境[1-2]。當(dāng)部件的固有頻率落在發(fā)動(dòng)機(jī)的工作轉(zhuǎn)速內(nèi)時(shí)會(huì)引發(fā)部件的共振，在發(fā)生共振時(shí)，部件的振動(dòng)應(yīng)力往往是非共振狀態(tài)的數(shù)倍甚至數(shù)十倍，部件會(huì)在短時(shí)間內(nèi)失效，造成嚴(yán)重的事故[3-4]。在發(fā)動(dòng)機(jī)試飛過程中需要在發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部加裝測(cè)量耙等測(cè)試裝置[5]，這些改裝測(cè)試裝置需要嚴(yán)格控制在振動(dòng)環(huán)境下的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，獲取結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確的固有頻率至關(guān)重要[6]。在實(shí)驗(yàn)過程中對(duì)結(jié)構(gòu)件的測(cè)量往往采用掃頻振動(dòng)的方式來確定。而外加的振動(dòng)傳感器相當(dāng)于額外的集中質(zhì)量，會(huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生影響，特別是在試驗(yàn)件的質(zhì)量較輕時(shí)，其影響不可忽略[7]。

筆者通過帶有集中質(zhì)量的懸臂梁模型分析了傳感器質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)1階固有頻率測(cè)量結(jié)果的影響規(guī)律，并以試驗(yàn)及仿真分析進(jìn)行了驗(yàn)證，在此基礎(chǔ)上給出了傳感器質(zhì)量對(duì)懸臂系統(tǒng)1階固有頻率影響的估算公式。解決了試驗(yàn)中由于傳感器質(zhì)量帶來的測(cè)量誤差問題，提高的對(duì)懸臂試件一階固有頻率的測(cè)量精度。

1 理論分析

為了獲取一般情況下附加傳感器對(duì)系統(tǒng)固有頻率測(cè)量影響規(guī)律，從理想狀態(tài)下帶有集中質(zhì)量的懸臂梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程入手，利用數(shù)值方法計(jì)算了其特征方程的解，研究了集中質(zhì)量和試件質(zhì)量相對(duì)大小以及集中質(zhì)量在試件上的相對(duì)位置對(duì)固有頻率測(cè)量結(jié)果的影響。

加裝了傳感器的實(shí)驗(yàn)件可以看作是一個(gè)帶有集中質(zhì)量的懸臂梁[8]，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 附帶集中質(zhì)量的等截面懸臂梁示意圖

圖中M是集中質(zhì)量，l為梁的長度，ρA為梁的線密度，EI為梁的抗彎剛度，a為質(zhì)量塊在梁長度方向的位置(0

(0≤x≤l)

(1)

式中：δ為Diracδ函數(shù)。根據(jù)系統(tǒng)的固有振型與時(shí)間的無關(guān)性，設(shè)固有振動(dòng)的解為：

w(x,t)=Y(x)sin(ωnt+φ)

(2)

帶入(1)得：

(3)

公式(3)為振型函數(shù)所滿足的微分方程。

由文獻(xiàn)[10]可知其振型函數(shù)的表達(dá)式為：

MY(a)[shk(x-a)-sink(x-a)]H(x-a)

(4)

由振型函數(shù)和梁的邊界條件可得特征方程, 求解特征方程可得各階特征值,代入公式(4)可得各階振型函數(shù)。對(duì)于圖中所示懸臂結(jié)構(gòu)來說，其邊界條件為：Y(0)=0,Y′(0)=0,Y″(l)=0,Y?(l)=0，帶入公式(4)可得其特征方程為：

(5)

圖2 λ數(shù)值計(jì)算結(jié)果示意圖

為更加清晰表示α和β對(duì)λ的影響，分別作出當(dāng)α=0.3和β=1時(shí)λ隨β和α變化關(guān)系曲線如圖3、4所示，圖中可知，集中質(zhì)量的相對(duì)大小和相對(duì)位置隨系統(tǒng)1階固有頻率的變化規(guī)律不同，系統(tǒng)的固有頻率隨集中質(zhì)量的相對(duì)位置的增大在位置比小于0.3時(shí)基本不變，當(dāng)相對(duì)位置大于0.3時(shí)成比例降低；隨集中質(zhì)量的相對(duì)大小的增加逐漸降低且變化率在0時(shí)最高并逐漸減小。

圖3 λ隨β的變化關(guān)系

圖4 λ隨α的變化關(guān)系

2 實(shí)驗(yàn)及仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證理論計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，設(shè)計(jì)了如下驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)件為測(cè)量耙模擬試件，結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 試驗(yàn)件結(jié)構(gòu)示意圖

實(shí)驗(yàn)件的質(zhì)量為65.2 g，傳感器的質(zhì)量為18.7 g考慮到試驗(yàn)件的安裝方式，在計(jì)算時(shí)去除固定部分的質(zhì)量為55.4 g，質(zhì)量比α為0.34；1階固有頻率為80.21 Hz。

試件通過四個(gè)螺栓固定在振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)上如圖6所示，傳感器通過膠水粘貼在實(shí)驗(yàn)件的劃線處，以正弦掃頻的方式獲取試驗(yàn)件的固有頻率，掃頻范圍為5～2 000 Hz峰值加速度為1g。實(shí)驗(yàn)時(shí)通過改變傳感器軸向位置獲取不同位置處的系統(tǒng)固有頻率，共選擇8個(gè)測(cè)量點(diǎn)，測(cè)量間隔為10 mm。以圖中位置測(cè)量結(jié)果為例，掃頻結(jié)果如圖7所示。

圖6 試件的安裝方式和傳感器位置

圖7 掃頻實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖

移動(dòng)傳感器的位置，測(cè)量了不同位置下系統(tǒng)的固有頻率，統(tǒng)計(jì)了系統(tǒng)1階固有頻率的相對(duì)值與傳感器相對(duì)位置的關(guān)系如表1所列。

表1 傳感器不同位置時(shí)系統(tǒng)1階固有頻率

將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖8所示，從圖中可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果基本一致，總體誤差不超過1.9%。

圖8 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算值的對(duì)比

為了進(jìn)一步研究傳感器質(zhì)量對(duì)試件固有頻率的影響建立了如圖9所示的有限元模型。

圖9 有限元分析模型

試件模型與實(shí)驗(yàn)件相同，約束條件為端部四個(gè)螺栓孔固定約束。振動(dòng)加速度傳感器用一等質(zhì)量的圓柱體代替，在與實(shí)驗(yàn)相同的條件下進(jìn)行了仿真分析，計(jì)算獲得了試驗(yàn)件與傳感器組合系統(tǒng)的固有頻率，其1階振型圖如圖10所示，圖中為傳感器距離固定端部105 mm時(shí)的1階固有頻率振型圖。

圖10 1階固有頻率振型圖

1階固有頻率隨傳感器位置變化的關(guān)系曲線并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖11所示?？傮w上實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果吻合良好，實(shí)驗(yàn)結(jié)果比仿真結(jié)果頻率略低，最大誤差為1.3%，驗(yàn)證了仿真模型的有效性。

圖11 仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

在此模型的基礎(chǔ)上，以傳感器相對(duì)位置β=0.88的條件為例，通過仿真研究了傳感器質(zhì)量對(duì)試件1階固有頻率測(cè)量結(jié)果的影響。仿真結(jié)果如表2所示。

表2 不同傳感器質(zhì)量時(shí)系統(tǒng)1階固有頻率

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以作出系統(tǒng)1階固有頻率和傳感器質(zhì)量的關(guān)系曲線，與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖12所示，由圖中可知，仿真計(jì)算結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果基本一致，最大誤差不超過1.4%。

圖12 傳感器質(zhì)量隨系統(tǒng)1階固有頻率變化曲線

結(jié)合實(shí)驗(yàn)和仿真計(jì)算的驗(yàn)證，證明了本文中針對(duì)傳感器附加集中質(zhì)量的理論計(jì)算方法合理有效，能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)在附加集中質(zhì)量后被測(cè)試件的1階固有頻率變化情況。

3 擬合經(jīng)驗(yàn)公式

為了解決在實(shí)驗(yàn)室條件下估算傳感器對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響大小，通過函數(shù)擬合的方式給出了λ與α和β的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式：

λ=1-1.2α0.6765β2.236

(6)

圖13給出了經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的頻率比λ和原函數(shù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。

圖13 經(jīng)驗(yàn)公式與原函數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比

如圖中所示經(jīng)驗(yàn)公式與原函數(shù)計(jì)算結(jié)果有較好的一致性，R-square=0.993，因此在實(shí)驗(yàn)室條件下利用經(jīng)驗(yàn)公式即可較準(zhǔn)確的評(píng)估傳感器質(zhì)量對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，提高試驗(yàn)件1階固有頻率測(cè)量的準(zhǔn)確性。

4 結(jié) 論

為研究傳感器質(zhì)量對(duì)測(cè)量耙1階固有頻率測(cè)量結(jié)果的影響，文中通過對(duì)帶有集中質(zhì)量的懸臂梁的固有頻率的理論分析，并經(jīng)過實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證，得到了如下結(jié)論：

(1) 加裝傳感器所附加的集中質(zhì)量會(huì)對(duì)試件的1階固有頻率測(cè)量產(chǎn)生一定的影響，這種影響在傳感器質(zhì)量相對(duì)于被測(cè)試驗(yàn)件質(zhì)量較小時(shí)可以忽略，但是當(dāng)傳感器的質(zhì)量相對(duì)于試驗(yàn)件質(zhì)量的較大時(shí)則會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生較大影響。

(2) 通過理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)及仿真驗(yàn)證總結(jié)了附加集中質(zhì)量對(duì)懸臂梁系統(tǒng)1階固有頻率的影響規(guī)律，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)傳感器加裝位置靠近固定端市對(duì)系統(tǒng)1階固有頻率影響較小，當(dāng)安裝位置超過懸臂結(jié)構(gòu)的30%時(shí)系統(tǒng)的1階固有頻率迅速下降。

(3) 當(dāng)集中質(zhì)量位于試件的自由端時(shí)，系統(tǒng)的1階固有頻率對(duì)集中質(zhì)量的大小更為敏感，計(jì)算發(fā)現(xiàn)當(dāng)傳感器的質(zhì)量為試驗(yàn)件質(zhì)量的1%時(shí)其1階固有頻率就會(huì)降低2%。

(4) 給出了λ與α和β的經(jīng)驗(yàn)擬合公式?？梢杂糜谠趯?shí)驗(yàn)時(shí)估算傳感器對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。