付 饒,李靜宇,熊奉奎

(1.綿陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，四川 綿陽(yáng) 621000； 2.沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué),遼寧 沈陽(yáng) 110000；3.陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710016 )

0 引 言

近年來(lái)，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)和振動(dòng)分析，已經(jīng)成為一個(gè)熱門研究方向，人們對(duì)此進(jìn)行了較為廣泛研究。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是一種自激系統(tǒng)，其中固有因素和外部因素共同激發(fā)了傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)，再加上具有自激機(jī)制的周期性接觸損失，便會(huì)導(dǎo)致包含周期性振動(dòng)和混沌響應(yīng)的高度非線性響應(yīng)的出現(xiàn)[1]。通常認(rèn)為，通過(guò)改善齒輪的制造誤差、接觸齒對(duì)的數(shù)量及接觸位置，以改變嚙合剛度在嚙合循環(huán)中的變化是優(yōu)化傳動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)和振動(dòng)特性的最佳手段[2]。

基于FEA引入的計(jì)算模型，Parker等[3]，首先利用有限元分析來(lái)獲得預(yù)先計(jì)算的齒輪嚙合剛度，再通過(guò)引入一種半分析方法進(jìn)行分析，使計(jì)算效率得到了顯著提高。此種半分析方法使用近場(chǎng)解析方案替代了FEA的遠(yuǎn)場(chǎng)方案，使模型準(zhǔn)確再現(xiàn)了Kahraman和Blankenship[4]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，但計(jì)算精度相對(duì)降低。隨后Byrtus和Zeman[5]在此基礎(chǔ)上提出了包含軸承和軸承座的齒輪箱分析模型，并通過(guò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化和降低自由度，得到了計(jì)算效率更高的模型。Fernandez Del Rincon等[6]，在此基礎(chǔ)上結(jié)合用于計(jì)算彎曲和根部順應(yīng)性的有限元模型和用于計(jì)算嚙合剛度的接觸點(diǎn)近場(chǎng)解析公式，首次將角接觸納入，一定程度上增加了模型分析的準(zhǔn)確度?；谟?jì)算成本考慮，使用預(yù)先計(jì)算的嚙合剛度替換時(shí)變嚙合剛度可被接受，但事實(shí)證明載荷變化對(duì)嚙合剛度的影響較大，故均存在計(jì)算精度不足的問(wèn)題。

基于以上研究的不足，最近人們研究了齒廓形狀優(yōu)化對(duì)時(shí)變嚙合剛度和響應(yīng)特性的影響。Wei等[7]，分別從理論和實(shí)驗(yàn)的角度研究了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的輔助部件對(duì)二者的影響，提出了結(jié)合齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)所有部件動(dòng)態(tài)作用的數(shù)值分析模型，該模型的分析結(jié)果在額定工況下振動(dòng)的幅度和頻率分布與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。Diez-Ibarbia等[8]，研究了齒廓帶齒頂卸載口的齒輪的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，其中重點(diǎn)研究了負(fù)載分配和摩擦系數(shù)的影響。Yu等[9]，分析了齒頂修正對(duì)嚙合剛度的影響，并指出了在輕載或空載條件下齒輪驅(qū)動(dòng)側(cè)和外側(cè)間嚙合剛度的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

盡管相關(guān)研究已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展，但仍有許多問(wèn)題尚待解決。其中，很重要的是如混沌運(yùn)動(dòng)等非線性接觸和傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)及動(dòng)態(tài)響應(yīng)之間因果關(guān)系的模糊。盡管在理論上有許多模型都可以預(yù)測(cè)這種現(xiàn)象，但實(shí)際上，人們?cè)诮５睦碚撋喜](méi)有達(dá)成共識(shí)，從而尚未在計(jì)算成本和計(jì)算精度之間取得平衡。更重要的是迄今為止，大多數(shù)研究人員都忽略了齒輪動(dòng)態(tài)響應(yīng)的潛在重要組成部分，即單齒的本征振動(dòng)和非線性接觸。即使FEA有所考慮，也常因建模計(jì)算成本高忽略它們[10]。

為了解決這些問(wèn)題，文中開(kāi)發(fā)了一種結(jié)合了齒間非線性接觸及齒本征振動(dòng)的高計(jì)算效率的簡(jiǎn)化計(jì)算模型b，并通過(guò)與常規(guī)的全要素模型a對(duì)比驗(yàn)證了其正確性。首先模型b通過(guò)線性化分析，得到系統(tǒng)的本征振動(dòng)頻率和時(shí)變嚙合剛度；然后以此為基礎(chǔ)，通過(guò)非線性仿真檢查各種工作狀態(tài)(如非線性接觸和混沌運(yùn)動(dòng))間的過(guò)渡；最后得到傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性曲線和振動(dòng)特性曲線。因此該模型涵蓋了絕大多數(shù)工況，具備了良好的魯棒性，且在分析成本和精度之間取得了良好的平衡。同時(shí)在線性分析和非線性分析中分別考慮了齒的本征振動(dòng)和非線性接觸，較好彌補(bǔ)了前人工作的不足。

1 建模及計(jì)算

1.1 齒輪級(jí)理論計(jì)算建模

對(duì)單個(gè)齒輪級(jí)進(jìn)行建模，可以表征其旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)特性。建模中，齒輪的慣性特性由每個(gè)齒輪的慣性矩(Iti)及等效齒輪慣性矩(Ii)通過(guò)扭力彈簧(kti)耦合表示，其中扭力彈簧(kti)對(duì)應(yīng)于每個(gè)齒的彎曲、剪切、壓縮和齒根順應(yīng)性，當(dāng)指代主動(dòng)齒輪時(shí)，i的索引值為1，當(dāng)指代從動(dòng)齒輪時(shí)，i的索引值為2。且該彈簧帶有扭轉(zhuǎn)阻尼(cti)，它代表與上述參數(shù)相關(guān)的固有材料阻尼。同時(shí)接觸齒對(duì)通過(guò)非線性接觸力彼此耦合，用彈簧(kh)表示，齒輪級(jí)模型示意圖如圖1所示。

圖1 單齒輪級(jí)的簡(jiǎn)化集總元素模型

在組成傳動(dòng)系統(tǒng)的n個(gè)齒輪級(jí)模型中，每個(gè)齒輪級(jí)模型都包括齒輪輪轂的一對(duì)自由度(φ1和φ2)，以及每個(gè)嚙合齒對(duì)的另外一對(duì)自由度(φt1和φt2)。φi表征每個(gè)齒輪轂繞其軸線的旋轉(zhuǎn)，而φt表征每個(gè)齒輪齒繞其根部的等效旋轉(zhuǎn)。

模型中涉及的許多幾何因素，例如杠桿(Li和Lti)都是可變的，并取決于嚙合位置。為了提高計(jì)算速度，可以用主動(dòng)齒輪齒的角位置(φmp)為參考變量，檢索并使用預(yù)先計(jì)算好后儲(chǔ)存在查詢表中因子的瞬時(shí)值。而查詢表中，存儲(chǔ)了從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)嚙合位置的全部幾何數(shù)據(jù)。在總共z個(gè)齒的齒輪中，第i齒的φmp=φ1+2πi-z1(從-π轉(zhuǎn)換到π)，其中單齒計(jì)算中涉及的幾何元素如圖2所示。

圖2 計(jì)算中涉及的幾何元素

最后使用C. Spitas[11]提出的數(shù)值方法確定接觸點(diǎn)，此方法的原理是利用二維嚙合方程的一維公式和牛頓-拉夫森迭代方案來(lái)定位兩個(gè)任意齒輪輪廓間的接觸點(diǎn)，并且考慮了角接觸的情況。因?yàn)槿绻l(fā)生明顯的齒變形，角接觸的作用則不可忽略。通過(guò)用恒定半徑條件(分別等于主動(dòng)齒輪或從動(dòng)齒輪的齒尖半徑)替換齒廓之間的相切條件，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)此類情況的估算分析，以提高計(jì)算效率。

1.1.1 嚙合剛度分析計(jì)算

嚙合剛度是指齒輪嚙合時(shí)輪齒抵抗變形的能力。其基本前提是有效區(qū)分單個(gè)齒的順應(yīng)性和源自齒間嚙合界面的影響因素。

自由度φti則可作為一個(gè)區(qū)分量，根據(jù)φti得到的模型，能以簡(jiǎn)化方式合并先前的成分。各成分中，特別需考慮到每個(gè)齒的彎曲度(Cb)、剪切力(Cs)、壓縮性(Cc)、無(wú)量綱反剛度(C)和齒根順應(yīng)性(Cf)。對(duì)于C的計(jì)算公式如下：

C=Ebδ/W

(1)

式中：E為彈性模量；b為齒寬；δ為沿作用線的相對(duì)位移；W為法向載荷。

根據(jù)ISO 6336-1標(biāo)準(zhǔn)，可使用勢(shì)能法估算每個(gè)單獨(dú)嚙合位置的Cb，Cs和Cc。而對(duì)于Cf，則可使用O'Donnel提出的分析解決方案計(jì)算[12]。

如上節(jié)所述，可將各個(gè)量組合在一個(gè)等效的扭轉(zhuǎn)彈簧kti中，該彈簧通過(guò)可變且同時(shí)與嚙合位置相關(guān)的杠桿Lti加載(如圖1)。選擇kti是為了使齒的順應(yīng)性的單自由度模型解，最接近于所有嚙合位置的解析解。對(duì)于每個(gè)單獨(dú)的嚙合位置，則可使用以下公式計(jì)算kti的等效瞬時(shí)值：

(2)

將kti與Iti結(jié)合使用既可以簡(jiǎn)化對(duì)單齒順應(yīng)性的建模，又不會(huì)影響加載時(shí)對(duì)可變嚙合剛度特性的表達(dá)。計(jì)算結(jié)果表明，這樣既可在加載時(shí)表征時(shí)變嚙合剛度，又可在空載時(shí)表征單齒的順應(yīng)性。

對(duì)于接觸順應(yīng)性，可通過(guò)Weber和Banascheck[13]提出的分析解決方案計(jì)算。此方案不僅考慮了接觸順應(yīng)性對(duì)嚙合位置的依賴性，還考慮了運(yùn)行負(fù)載，分析計(jì)算公式如下：

(3)

式中：ri(i=1,2)為嚙合齒在接觸點(diǎn)處的局部曲率半徑；E、v為材料的彈性特性；δ為壓痕；hi(i=1,2)為小齒輪和大齒輪齒的深度。

壓痕δ是指沿兩點(diǎn)之間作用線的相對(duì)位移，其分別位于小齒輪和大齒輪齒的深度hi(i=1,2)中，可以通過(guò)φmp查表確定。

對(duì)于給定的φmp，可以用空載時(shí)的預(yù)計(jì)算值為基礎(chǔ)，并根據(jù)空載接觸位置的所有角度的微小擾動(dòng)來(lái)計(jì)算。將接觸位置設(shè)置為：

(φ1o,φ2o,φt1o,φt2o)=(φ1,δφ2(φmp)-rφ1,0,0)

(4)

由于φ1和φmp彼此成正比，且兩者間的相互作用已包含在預(yù)計(jì)算中，因此不必考慮φ1的擾動(dòng)。故δ的瞬時(shí)值為：

δ=-{[rφ1+φ2-δφ2(φmp)]L2(φmp)+

φt1Lt1(φmp)+φt2Lt2(φmp)}

(5)

式中：r為傳動(dòng)比，且r=z2/z1。

此外，δφ2表征無(wú)負(fù)載時(shí)的靜態(tài)傳動(dòng)誤差，并被計(jì)算為從動(dòng)齒輪的實(shí)際接觸位置與標(biāo)稱接觸位置的偏差。

1.1.2 慣性特性分析計(jì)算

慣性特性可以通過(guò)兩個(gè)不同的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Ii和Iti)表示，每個(gè)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ii都表示包括齒輪輪轂和所有齒輪齒的慣性，而每個(gè)齒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iti都表示單齒相對(duì)于齒根的慣性。計(jì)算兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)的重疊，使得次級(jí)慣性效應(yīng)(例如離心效應(yīng))可以忽略[14]。同時(shí)，簡(jiǎn)化模型合并了與齒本征振動(dòng)有關(guān)的影響因素，并將運(yùn)動(dòng)方程以簡(jiǎn)化形式表示，即：

(6)

1.1.3 嚙合接觸分析計(jì)算

每一個(gè)齒都存在內(nèi)外兩側(cè)邊緣，故應(yīng)該對(duì)式(6)進(jìn)行修正，以分別考慮兩側(cè)的不同接觸狀態(tài)。而修正方法是對(duì)相應(yīng)項(xiàng)求和，并為每個(gè)額外的齒對(duì)添加更多方程。此外，由于外側(cè)嚙合位置和等效驅(qū)動(dòng)側(cè)嚙合位置之間具有軸向?qū)ΨQ性，故將外側(cè)接觸納入模型中，且其參數(shù)已預(yù)先計(jì)算?？梢酝ㄟ^(guò)檢查傳輸符號(hào)s的正負(fù)進(jìn)行切換,相關(guān)因子s的定義為：

(7)

對(duì)于大多數(shù)齒輪級(jí)而言，因?yàn)橹丿B系數(shù)很少超過(guò)2，所以僅需考慮已經(jīng)嚙合或最接近嚙合位置的三個(gè)齒對(duì)；同理所考慮的主動(dòng)齒輪的齒角位置(φmp)也應(yīng)是嚙合齒對(duì)的左右相鄰齒對(duì)預(yù)計(jì)算出的接觸位置與輪心連線的夾角。其中兩齒對(duì)間接觸線對(duì)應(yīng)的變槳點(diǎn)(φ1p)，可以通過(guò)比較sφmp和φ1p來(lái)判斷，即可確定接觸位置。綜上所述，接觸位置可使用以下運(yùn)動(dòng)方程組簡(jiǎn)化計(jì)算：

(8)

主動(dòng)齒輪齒與從動(dòng)齒輪齒是根據(jù)它們相互接觸的接近程度來(lái)配對(duì)，故式(8)可進(jìn)一步用下式表示：

(9)

基于以上定義可以表征齒輪的嚙合齒對(duì)隨齒輪級(jí)的旋轉(zhuǎn)而變化，而這種變化的實(shí)質(zhì)是：

(1) 從一個(gè)齒對(duì)緊密嚙合，到另一對(duì)代替它。

(2) 開(kāi)關(guān)量s變化，使嚙合齒對(duì)的嚙合側(cè)(接觸位置)發(fā)生的轉(zhuǎn)變。

1.1.4 單齒的本征振動(dòng)及阻尼分析

齒的本征振動(dòng)表征齒在受到外界持續(xù)傳動(dòng)力作用產(chǎn)生的瞬態(tài)自由振動(dòng)，齒在正?；虍惓顟B(tài)下都會(huì)產(chǎn)生本征振動(dòng)。齒的本征振動(dòng)與齒的材料、嚙合剛度、慣性特性及形狀尺寸密切相關(guān)，其中受齒材料特性的影響最大，常用材料的阻尼予以表征。

材料的阻尼往往以兩種機(jī)制出現(xiàn)。一種阻尼機(jī)制通常被模擬為旋轉(zhuǎn)阻尼元件cti與旋轉(zhuǎn)彈簧kti的串聯(lián)放置，該機(jī)制表征單齒本征振動(dòng)中固有的材料阻尼。其中阻尼比可由下式計(jì)算：

(10)

對(duì)于鋼齒輪可以查表得阻尼比ζ=10-4[15]。

另一種阻尼機(jī)制則表征每當(dāng)一個(gè)新齒對(duì)進(jìn)入潛在的嚙合區(qū)域時(shí)，雖然沒(méi)有開(kāi)始振動(dòng)，但仍被賦予振動(dòng)初始條件的現(xiàn)象。

式(10)反映了一個(gè)物理事實(shí)，即僅在高速齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，單齒的本征振動(dòng)才會(huì)被覆蓋，而在中低速齒輪系統(tǒng)中則不可忽略。在新模型中，阻尼應(yīng)該被限制在允許穩(wěn)態(tài)響應(yīng)發(fā)生的范圍內(nèi)，以避免系統(tǒng)阻尼過(guò)大，掩蓋非線性接觸和混沌行為。

1.1.5 線性化分析計(jì)算

即使提出的模型為高度非線性化模型，但通過(guò)導(dǎo)出等效的線性系統(tǒng)，對(duì)于檢查系統(tǒng)的本征振動(dòng)特性并確定與非線性分析相關(guān)的許多因素(例如采樣率或總模擬時(shí)間)都不可或缺[16]。運(yùn)動(dòng)方程的線性化是基于以下假設(shè)進(jìn)行的：

(1) 在嚙合側(cè)持續(xù)接觸。

(2) 假定額定載荷恒定，用于計(jì)算接觸順應(yīng)量。

(3) 只考慮了兩對(duì)齒，其中一對(duì)在變槳點(diǎn)接觸，而另一對(duì)不接觸。這兩對(duì)分別說(shuō)明了齒輪齒的加載和卸載行為，因此整個(gè)齒輪級(jí)可由6自由度線性系統(tǒng)表示。

基于這些假設(shè)，可以將運(yùn)動(dòng)方程式(9)簡(jiǎn)化為：

(i=1,2)

(11)

(12)

在計(jì)算非接觸齒對(duì)時(shí)，將f(δ)=W0= 0且kh=0代入δ并減少等價(jià)項(xiàng)后，獲得6×6的剛度、阻尼和質(zhì)量矩陣，并將運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化為線性形式為：

(13)

式中：x=[φ1φt11φt21φt12φt22φ2]T

1.2 傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

除了完整的齒輪級(jí)模型外，還應(yīng)考慮其他零部件因素的影響，從而保證建成能夠預(yù)測(cè)包含所有對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)特性有影響因子的分析計(jì)算模型。因此，還需對(duì)軸和飛輪的扭轉(zhuǎn)動(dòng)力特性進(jìn)行了建模。對(duì)于軸，可以用單軸的單因素扭轉(zhuǎn)有限元分析來(lái)表征，并在其中結(jié)合質(zhì)量、阻尼和彈性特性。就阻尼而言，對(duì)于每根軸的本征量，通常選擇2%的阻尼比[17]。此值是指一個(gè)隔離的軸(即未考慮附加到其上的其他建模元素，如齒輪級(jí)和飛輪等)的阻尼比。對(duì)于飛輪則使用其慣性矩進(jìn)行建模即可。

2 分析結(jié)果

所建立的集總元素模型，可用于預(yù)測(cè)圖3中描述的典型中等功率傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性。

圖3 仿真系統(tǒng)的示意圖

該系統(tǒng)的電機(jī)被建模為施加在輸入軸、齒輪級(jí)、輸出軸和飛輪上的角速度源，并在其上施加了反向扭矩。為了進(jìn)一步研究單齒本征振動(dòng)對(duì)其響應(yīng)特性的影響，則提出了原系統(tǒng)的兩種變體。在第一個(gè)變體中，使用具有大量小尺寸齒的齒輪(多齒傳動(dòng)系統(tǒng)A)，而在第二個(gè)變體中，將齒輪齒數(shù)減少而齒的尺寸增大(少齒傳動(dòng)系統(tǒng)B)。但兩個(gè)變體所選擇的齒輪都必須符合下列4個(gè)條件：

(1) 兩種變體傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)比相同。

(2) 在兩種情況下，等效齒輪的齒輪慣性實(shí)際上都相同，且齒端半徑在2%的誤差范圍內(nèi)相同。

(3) B的輸入齒輪的齒數(shù)應(yīng)在17～20之間。

(4) A的模數(shù)范圍為1.5～2.5 mm，B的模數(shù)范圍為3.5～5 mm。

這組條件既保證兩個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)具有明顯不同的輪齒動(dòng)力學(xué)特性，又保證了兩個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)等效性。兩系統(tǒng)齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)如表1～4所列。

表1 齒輪參數(shù)

表2 齒輪共有的材料屬性

表3 飛輪參數(shù)

表4 軸的通用參數(shù)

2.1 靜態(tài)分析

對(duì)結(jié)果的靜態(tài)分析是為了驗(yàn)證為網(wǎng)格劃分一致性而提出的分析公式的正確性。

盡管在參考文獻(xiàn)中廣泛使用了文中使用的方程式，但幾乎沒(méi)有文獻(xiàn)研究類似于少齒傳動(dòng)系統(tǒng)B的，具有低齒數(shù)齒輪的齒輪級(jí)。在這種情況下，將少齒傳動(dòng)系統(tǒng)B的順應(yīng)性分析結(jié)果與從有限元模型獲得的結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證對(duì)其進(jìn)行理論分析公式的正確性。

為了直接與分析結(jié)果進(jìn)行比較，有限元模型是基于平面應(yīng)變建立的二維模型，且假設(shè)系統(tǒng)僅有齒對(duì)之間發(fā)生接觸，并使用節(jié)點(diǎn)到邊緣檢測(cè)算法來(lái)模擬齒接觸。同時(shí)檢查了整個(gè)嚙合位置范圍內(nèi)施加在齒輪上的支撐和負(fù)載，其中包括在主動(dòng)齒輪內(nèi)表面上的固定支撐以及在從動(dòng)齒輪的內(nèi)表面上的圓柱支撐和扭矩。圖4展示了典型嚙合位置的幾何形狀、網(wǎng)格和支撐。并分別對(duì)接觸齒對(duì)(左下)和接觸區(qū)域(右下)的網(wǎng)格進(jìn)行了細(xì)化。

圖4 傳動(dòng)系統(tǒng)B的有限元幾何形狀和網(wǎng)格

有限元分析的結(jié)果可通過(guò)下式提取等效值：

(14)

式中：ut為輸出齒輪嚙合表面上點(diǎn)的切向變形。

由于接觸順應(yīng)性存在非線性行為，所以總順應(yīng)性隨施加負(fù)載變化而變化，該變化遵循對(duì)數(shù)趨勢(shì)，如圖5所示。由圖5可得，有限元分析與理論分析結(jié)果之間的偏差有限，對(duì)于1 Nm曲線中最右邊的點(diǎn)，最大值為8.3%。除這些點(diǎn)外，所有三個(gè)曲線均遵循相似的偏差模式，由有限元結(jié)果可預(yù)測(cè)到，在靠近變槳點(diǎn)的嚙合位置處的順應(yīng)性值略微升高，而在靠近嚙合區(qū)域的邊緣處的順應(yīng)性值略微降低。此外，在提高輸出轉(zhuǎn)矩時(shí)，兩種方法都收斂且得到更相近的結(jié)果。這表明，產(chǎn)生這種差異的潛在原因是接觸剛度公式在兩種方法中不同。在非線性有限元分析中可得，接觸剛度受接觸區(qū)域網(wǎng)格密度的影響?？傮w而言，理論計(jì)算分析的結(jié)果與有限元分析結(jié)果之間的偏差較小，這表明即使對(duì)于低載少齒傳動(dòng)系統(tǒng)B，使用理論分析公式進(jìn)行建模分析也合理。

圖5 三種輸出扭矩下動(dòng)力總成B的理論分析和有限元分析結(jié)果對(duì)比圖

2.2 線性動(dòng)態(tài)分析

動(dòng)態(tài)分析是圍繞系統(tǒng)的本征行為進(jìn)行。通過(guò)將描述軸的線性矩陣與描述系統(tǒng)行為的線性矩陣相結(jié)合，可以創(chuàng)建等效的剛度和質(zhì)量矩陣。所得的阻尼本征值和未阻尼本征向量以圖形形式表示。圖6是當(dāng)施加載荷為100 Nm(非線性分析中檢查的最大負(fù)載)時(shí)傳動(dòng)系統(tǒng)A的圖形形式表示。

圖6 傳動(dòng)系統(tǒng)A的線性化系統(tǒng)的無(wú)阻尼特征向量矩陣圖

圖6中，每條線的長(zhǎng)度代表等效的元素大小，而深淺不同的線顏色代表相反的元素符號(hào)。線長(zhǎng)通過(guò)平方根函數(shù)進(jìn)行了歸一化處理，因此可以表征影響較小的因素，且本征振動(dòng)頻率值對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)阻尼比。

在傳動(dòng)系統(tǒng)A的線性化系統(tǒng)無(wú)阻尼特征向量矩陣的基礎(chǔ)上，使用式(15)進(jìn)行減少自由度優(yōu)化，并再次進(jìn)行分析后，得到動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)B的線性化系統(tǒng)的無(wú)阻尼特征向量矩陣如圖7所示。

圖7 傳動(dòng)系統(tǒng)B的線性化系統(tǒng)的無(wú)阻尼特征向量矩陣圖

(15)

2.3 非線性動(dòng)力學(xué)仿真分析

非線性分析是通過(guò)使用二次開(kāi)發(fā)的Matlab和Simulink代碼，并模擬各種情況下的傳輸響應(yīng)來(lái)進(jìn)行。其過(guò)程首先是使用帶有Matlab函數(shù)的功能塊根據(jù)理論分析公式進(jìn)行非線性運(yùn)算，例如求解式(3)。然后分別將運(yùn)動(dòng)方程式(9)和(11)進(jìn)行重構(gòu)，并在Simulink中實(shí)現(xiàn)，最終用ode45求解器集成。整個(gè)分析檢查了包括線性分布在600～6 000 r/min之間的10個(gè)隨機(jī)輸入轉(zhuǎn)速值和對(duì)數(shù)分布在1～100 Nm之間的10個(gè)隨機(jī)輸出扭矩值組合得到的100種不同的情況。在兩種模型中檢查了所有情況，一種使用了完整的非線性運(yùn)動(dòng)方程組(9)(模型a)，另一種使用簡(jiǎn)化的非線性運(yùn)動(dòng)方程組(11)(模型b)。在簡(jiǎn)化模型b中使用了線性化分析得到的時(shí)變嚙合剛度值，并簡(jiǎn)化分析了齒的慣性特性。同時(shí)其根據(jù)靜力分析和φ2的值從靜態(tài)平衡條件得出齒角值，最終使齒角值成為因變量而非自由度。該簡(jiǎn)化模型b普遍適用于確定齒慣性建模對(duì)模擬響應(yīng)的影響。

2.3.1 仿真分析參數(shù)

利用線性動(dòng)態(tài)分析可以估算用于非線性分析的數(shù)值參數(shù)，如采樣率、采樣時(shí)間和總模擬時(shí)間等。

首先根據(jù)Nyquist-Shannon定理，并考慮到基于線性分析，則最大本征振動(dòng)頻率為200 kHz，采樣率為1000 kHz。

再根據(jù)線性化系統(tǒng)特征頻率值，選擇數(shù)據(jù)輸出的采樣時(shí)間。最低本征振動(dòng)頻率為500 Hz，最低激勵(lì)頻率是最低轉(zhuǎn)速時(shí)的嚙合頻率fmes·hmin=140 Hz。由于獲得了10 Hz的分辨率，因此采樣時(shí)間取0.1 s就足夠用于光譜分析了。

最后確定總的仿真時(shí)間，以保證所有瞬態(tài)響應(yīng)現(xiàn)象在輸出數(shù)據(jù)導(dǎo)出之前都完全發(fā)生，并被記錄。盡管已對(duì)初始條件進(jìn)行了校準(zhǔn)，以使齒對(duì)處于接觸狀態(tài)，并且所有組件的角速度都已同步，但即使穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是周期性的，也沒(méi)有確定標(biāo)準(zhǔn)來(lái)確定瞬態(tài)響應(yīng)的結(jié)束。因此，必須增加間隔時(shí)間以保證能將輸出數(shù)據(jù)中觀察到的所有非周期性現(xiàn)象都表征出來(lái)。根據(jù)通過(guò)線性分析計(jì)算出的穩(wěn)定時(shí)間，設(shè)定總時(shí)間為所有特征值的最大穩(wěn)定時(shí)間的10倍，即10 s。

2.3.2 仿真分析結(jié)果

考慮到在大量不同場(chǎng)景的普適性，則主要通過(guò)使用彩色圖形來(lái)檢查仿真結(jié)果，以便更容易識(shí)別各區(qū)域中的不同響應(yīng)和特征。該分析的主要目標(biāo)是根據(jù)常見(jiàn)響應(yīng)特征，將響應(yīng)分為多個(gè)類別，并進(jìn)行分布分析。因?yàn)橄到y(tǒng)長(zhǎng)期的接觸磨損與混沌響應(yīng)的出現(xiàn)息息相關(guān)，所以輪副的齒之間存在的不間斷接觸成為了檢測(cè)最頻繁的特征項(xiàng)。將工作區(qū)域劃分為恒定接觸區(qū)和間歇接觸區(qū)，僅能粗略地表示傳動(dòng)系統(tǒng)的工作狀態(tài)；為了進(jìn)一步了解傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，則需檢查更多有代表性的響應(yīng)，這時(shí)便通過(guò)使用相位圖表述來(lái)解決。相位圖是根據(jù)輸出齒輪的旋轉(zhuǎn)相對(duì)角度定義的，即te=rφ1+φ2，其本質(zhì)上描述了主動(dòng)齒輪和從動(dòng)齒輪齒的相對(duì)位置。本次仿真總共確定了6種不同的響應(yīng)類型，且每種響應(yīng)類型表現(xiàn)出的特征及其分布如下所述。

(1) 類型1：連續(xù)接觸，呈邊界清晰的橢圓形凸瓣?duì)?，振?dòng)不明顯，接觸損耗小。

類型1的響應(yīng)特征是齒輪之間僅存在連續(xù)接觸，且在相位圖中收斂得到一個(gè)具有兩個(gè)不同區(qū)域的極限循環(huán)，而這兩個(gè)區(qū)域分別表示單齒和雙齒接觸，如圖8和9所示。圖8的運(yùn)行條件為21.5 Nm,600 r/min。圖9的運(yùn)行條件 59.9 Nm,600 r/min。

圖8 傳動(dòng)系統(tǒng)A的a型1類響應(yīng)特性

圖9 傳動(dòng)系統(tǒng)B的b型1類響應(yīng)特性

由相位圖上可觀察可得：兩個(gè)區(qū)域通常都是具有清晰邊界的橢圓形凸瓣?duì)睿瑫r(shí)還存在相當(dāng)細(xì)微的形狀細(xì)節(jié)。由于較低的嚙合剛度允許較高的齒變形值，因此會(huì)產(chǎn)生傳動(dòng)誤差，所以用于單齒接觸的區(qū)域應(yīng)位于等效的雙齒接觸區(qū)域的右側(cè)。對(duì)于此類響應(yīng)，其極端情況則常出現(xiàn)在單齒接觸區(qū)域的左邊界和雙齒接觸區(qū)域的右邊界。由接觸振動(dòng)圖觀察可得：振動(dòng)模式較為有序且微弱。

(2) 類型2：連續(xù)接觸，邊界存在明顯干擾的成花瓣?duì)?，振?dòng)不明顯，接觸損耗小。

類型2的是類型1的變體，主要區(qū)別是單齒和雙齒接觸凸角的相對(duì)位置，如圖10和11所示。圖10的運(yùn)行條件 21.5 Nm,1200 r/min。圖11的運(yùn)行條件為： 59.9 Nm,1800 r/min。

圖10 傳動(dòng)系統(tǒng)A的a型2類響應(yīng)特性

圖11 傳動(dòng)系統(tǒng)B的b型2類響應(yīng)特性

在類型2中，凸角靠得更近，它們的邊界之間存在明顯干擾，以至于在傳動(dòng)誤差值與單齒或雙齒接觸之間不存在一對(duì)一的等價(jià)關(guān)系。但是單齒接觸凸角的位置比雙齒接觸凸角更靠右。其余與類型1保持一致。

(3) 類型3：以連續(xù)接觸為主，夾雜間歇接觸，振動(dòng)不明顯，接觸損耗較小。

類型3的響應(yīng)是類型2的極端情況，其相位圖呈交叉的雙環(huán)狀，且邊界處存在明顯干擾。類型3在B中出現(xiàn)幾率更高且更具代表性，因此針對(duì)性以傳動(dòng)系統(tǒng)B的相位圖予以表征。如圖12所示。圖12的運(yùn)行條件 32 Nm,2800 r/min。

圖12 傳動(dòng)系統(tǒng)B的a型3類響應(yīng)特性

就連續(xù)接觸間隔的數(shù)量和每個(gè)單獨(dú)間隔的持續(xù)時(shí)間而言，接觸損失的程度仍然受到限制。從質(zhì)量上講，與類型2相比，具有接觸損耗區(qū)域的傳動(dòng)誤差值范圍更小的特點(diǎn)。就單齒和雙齒接觸凸角而言，它們的相對(duì)位置更加偏移，在極端情況下，兩個(gè)凸角均在其左端接觸，出現(xiàn)了失去接觸的情況。就振動(dòng)而言，相比于響應(yīng)類型1和2更小。

(4)類型4 以間歇接觸為主，夾雜連續(xù)接觸，振動(dòng)明顯，接觸損耗大。

因?yàn)榇罅康慕佑|損耗會(huì)導(dǎo)致振動(dòng)模式和整體行為的混亂，所以此類型的響應(yīng)很少出現(xiàn)。而在本研究中，這種響應(yīng)類型也僅在動(dòng)力總成B輸入轉(zhuǎn)速為2 400 r/min左右時(shí)出現(xiàn)，如圖13所示。圖13的運(yùn)行條件為12.9 Nm,2400 r/min。

圖13 傳動(dòng)系統(tǒng)B的b型4類響應(yīng)特性

該類響應(yīng)的特點(diǎn)為：雖振動(dòng)模式明顯，但在較大的區(qū)域里嚙合方式為間歇接觸嚙合。在仔細(xì)分析振動(dòng)模式時(shí)發(fā)現(xiàn)，只要激勵(lì)頻率不變，則該振動(dòng)模式則不會(huì)隨載荷而變化；又因?yàn)辇X的本征振動(dòng)頻率也不會(huì)隨負(fù)載而變化，所以可推得響應(yīng)類型4的振動(dòng)頻率與齒的本征振動(dòng)頻率存在諧振。受接觸損耗和恢復(fù)時(shí)間的影響，在加載和未加載的系統(tǒng)中，各齒的本征振動(dòng)頻率之間都存在特定的耦合關(guān)系。

(5) 類型5：間歇性接觸，沒(méi)有兩側(cè)接觸，振動(dòng)不明顯，接觸損耗大。

類型5是最常見(jiàn)的喀噠聲狀反應(yīng)類型，通常表現(xiàn)為接觸力的明顯減少和混沌反應(yīng)的充分發(fā)展，如下圖14和15所示。圖14的運(yùn)行條件為 4.64 Nm，1 800 r/min；且為了表達(dá)清楚，僅描繪了有限數(shù)量的嚙合循環(huán)。圖15的運(yùn)行條件為 7.74 Nm，5 400 r/min；且為了表達(dá)清楚，僅描繪了有限數(shù)量的嚙合循環(huán)。

圖14 傳動(dòng)系統(tǒng)A的a型5類響應(yīng)特性

圖15 傳動(dòng)系統(tǒng)B的b型5類響應(yīng)特性

接觸損耗的特性是大多數(shù)接觸損耗間隔都很短。通常，因?yàn)閮蓚€(gè)齒輪的這種不規(guī)則的解耦和重新耦合阻止了有序振動(dòng)模式的發(fā)展，傳動(dòng)誤差值的區(qū)域比發(fā)生接觸的區(qū)域小得多，所以非接觸間隔的這種不規(guī)則分布表征了混沌響應(yīng)。

(6) 類型6：間歇性接觸，有兩側(cè)接觸，接觸損耗大，振動(dòng)模式不明顯，

類型6是類型5的變體，相比于類型5，其只是發(fā)生了雙側(cè)接觸現(xiàn)象，如圖16所示。圖16的運(yùn)行條件為 12.9 Nm,2 400 r/min。

圖16 傳動(dòng)系統(tǒng)A的a型6類響應(yīng)特性

外側(cè)接觸出現(xiàn)表明，系統(tǒng)的振動(dòng)幅度增大。由于在傳動(dòng)系統(tǒng)B中，待嚙合的齒之間存在較大的間隙，所以只能在齒數(shù)大到存在三個(gè)齒對(duì)同時(shí)接觸時(shí)，兩側(cè)側(cè)接觸這種持續(xù)時(shí)間不會(huì)超過(guò)總接觸時(shí)間5%的現(xiàn)象才可能出現(xiàn)，因此通常認(rèn)為兩側(cè)接觸僅出現(xiàn)在傳動(dòng)系統(tǒng)A中。

綜上所述，上述分析已經(jīng)以一種特定的相位定義了6種常見(jiàn)響應(yīng)類型，以便寬泛對(duì)應(yīng)于從有序的連續(xù)接觸響應(yīng)到混亂的間歇接觸響應(yīng)的逐漸過(guò)渡。通過(guò)這些響應(yīng)類型在操作方面的分布，可以更好地看到這種過(guò)渡，如圖17、18所示。

圖17 傳動(dòng)系統(tǒng)A在理論計(jì)算模型的響應(yīng)類型分布

圖18 傳動(dòng)系統(tǒng)B在理論計(jì)算模型的響應(yīng)類型分布

針對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)A，在低速重載時(shí)，類型1和2相連且類型3廣泛的分布在其周圍，組成了一個(gè)較大的連續(xù)接觸區(qū)域1；在高速或低載時(shí)，類型5和6連續(xù)且相互穿插的分布在剩余區(qū)域形成間歇性接觸區(qū)域2；整個(gè)圖中沒(méi)有出現(xiàn)響應(yīng)類型4；且非線性化建模確定了原本模糊的區(qū)域1和2之間的邊界。同時(shí)結(jié)合圖8～17進(jìn)行分析可推得：一方面，在非超高速時(shí)，連續(xù)接觸仍為主要的接觸方式，接觸損耗極小。另一方面，由于系統(tǒng)本征振動(dòng)頻率對(duì)外部負(fù)載沒(méi)有依賴性，所以輸入轉(zhuǎn)速和邊界載荷之間沒(méi)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

和傳動(dòng)系統(tǒng)A相比，傳動(dòng)系統(tǒng)B的特征是：由于嚙合參數(shù)的改變，例如重疊系數(shù)的降低，導(dǎo)致間歇接觸增多且接觸損耗增大，雖然類型3響應(yīng)數(shù)量少量增加，補(bǔ)償了連續(xù)接觸區(qū)域1的減小，但隨著類型1和2的大量減少，連續(xù)接觸區(qū)域1的尺寸總體上還是趨于減小。此外，傳動(dòng)系統(tǒng)B在2 400 r/min的負(fù)載范圍內(nèi)產(chǎn)生了罕見(jiàn)的響應(yīng)類型4。這些間歇接觸和高接觸損耗響應(yīng)類型的大量出現(xiàn)表明，傳輸?shù)呐R界頻率不僅與混亂的響應(yīng)相關(guān)，而且與單齒的本征振動(dòng)頻率相關(guān)。

比較傳動(dòng)系統(tǒng)A和傳動(dòng)系統(tǒng)B的分析結(jié)果可推得：在這兩種情況下，如果不考慮齒的慣性，連續(xù)接觸區(qū)域1的面積都會(huì)因響應(yīng)類型3的少量增加而增大。但是在傳動(dòng)系統(tǒng)A中的增加量微乎其微，而在傳動(dòng)系統(tǒng)B中的增加量則比較明顯。該結(jié)果表明：齒輪級(jí)中齒輪的單齒尺寸和慣性越大，則本征振動(dòng)頻率和其他相關(guān)振動(dòng)對(duì)齒輪級(jí)的接觸響應(yīng)特性和能耗影響越大。

2.4 計(jì)算模型對(duì)比驗(yàn)證

如圖17、18所示，以多齒傳動(dòng)系統(tǒng)A和少齒傳動(dòng)系統(tǒng)B為載體，分別使用全要素理論計(jì)算模型a和簡(jiǎn)化計(jì)算模型b進(jìn)行分析計(jì)算，經(jīng)過(guò)對(duì)比可得：兩個(gè)計(jì)算模型響應(yīng)類型分布結(jié)果相近，差異主要零星的出現(xiàn)在特定的高速重載區(qū)域；而全要素計(jì)算模型a是引用參考文獻(xiàn)[7]的數(shù)值計(jì)算模型，并增加非線性仿真得到，其正確性既已經(jīng)被前人驗(yàn)證，又在本文2.1中進(jìn)行了再次驗(yàn)證，因此可以間接證明簡(jiǎn)化計(jì)算模型b的正確性。

3 結(jié) 論

文中創(chuàng)新性的建立了一種對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)及接觸振動(dòng)特性進(jìn)行分析的簡(jiǎn)化計(jì)算模型。新模型首先通過(guò)對(duì)齒對(duì)嚙合的接觸特性、嚙合剛度、接觸位置、阻尼和慣性特性進(jìn)行綜合性的線性化和非線性化優(yōu)化分析，得到了嚙合齒對(duì)間的相位和接觸特性，再根據(jù)嚙合齒對(duì)間的相位和接觸特性，對(duì)響應(yīng)類型進(jìn)行了分類，并對(duì)各響應(yīng)類型的特點(diǎn)和分布進(jìn)行了詳盡的闡述。其中所有響應(yīng)類型都充分考慮到了單齒本征振動(dòng)的影響。

新模型創(chuàng)新性的研究了具有低齒數(shù)的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)B，并與常規(guī)多齒數(shù)傳動(dòng)系統(tǒng)A進(jìn)行了對(duì)比。此外，還在使用了完整運(yùn)動(dòng)方程式的全要素計(jì)算模型a的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化得到了使用不包含齒的慣性和動(dòng)力學(xué)方程式的簡(jiǎn)化計(jì)算模型b，并最終通過(guò)對(duì)a和b的線性和非線性建模分析對(duì)比，證明了簡(jiǎn)化計(jì)算模型b的正確性。并且在分析過(guò)程中證明，簡(jiǎn)化計(jì)算模型b的計(jì)算速度相比于全要素計(jì)算模型a提升了6.8%，即計(jì)算成本下降6.8%。

前人的線性化仿真模型并未充分考慮非線性情況。而新模型包含非線性仿真，并顯示出了豐富的非線性響應(yīng)特性，即連續(xù)接觸區(qū)域和間歇接觸區(qū)域間的邊界幾何形狀。且其因?yàn)槭軉锡X本征振動(dòng)的影響而變得極其復(fù)雜，致使傳動(dòng)系統(tǒng)在輸入轉(zhuǎn)速和邊界載荷之間沒(méi)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。