廖月婷 岑辰玥 歐澤賢 沈沁怡 薛佳欣 上海工程技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院 季佳梁 上海工程技術(shù)大學(xué)數(shù)理與統(tǒng)計學(xué)院

在當(dāng)今社會中，大學(xué)生通過對財富的管理從而提高其效能成為一種普遍選擇。大學(xué)生對于自己手上閑錢進行合理的理財規(guī)劃并付諸行動，不僅可以使自己的金錢得到更好的規(guī)劃，更可以培養(yǎng)自身良好的金錢觀念和財富思維。在選擇理財投資的平臺方面，由于一些基金平臺使用操作方便，安全性高的特點，大學(xué)生更加青睞使用這些平臺。在投資的項目選擇上，相較于風(fēng)險過高的股票，絕大部分較為保守以及資金不充足的大學(xué)生群體都更傾向選擇基金投資。

如何在將風(fēng)險程度控制于盡可能低的情況下，取得更豐厚的回報？如何能夠幫助大學(xué)生進行更有效率的投資？這正是本文主要探討的問題。

一、問題的提出與分析

一般來說，投資理財分類非常多。在基金方面，大體分為四種：股票型基金、混合型基金、債券型基金以及貨幣基金，這些基金都存在著一定的投資風(fēng)險。當(dāng)然，也有銀行理財這類幾乎沒有任何風(fēng)險的投資產(chǎn)品。假設(shè)大學(xué)生有一筆M金額的資金可用作一段時間的基金投資，通過模型的建立和計算，結(jié)合大學(xué)生基金投資力、以最低風(fēng)險獲得最高回報率的特點，為這一特定群體投資設(shè)計一套基金組合方案，找出最適合大學(xué)生的基金投資優(yōu)化方案。

大學(xué)生群體由于還沒有步入社會，手上的資金有限，且大多數(shù)的大學(xué)生對于基金的風(fēng)險承受能力都較弱。所以，本文假設(shè)大學(xué)生群體目標(biāo)既希望能夠盡可能多地拿到投資的凈收益率，又希望承受最低的投資風(fēng)險。此時，進行科學(xué)的基金投資組合不失為一個最佳解決方案。優(yōu)秀的基金投資組合既可以分散投資的風(fēng)險，又可以盡可能多的獲得收益率。本文中數(shù)學(xué)模型的建立就是為了尋找此類適合大學(xué)生的最優(yōu)基金投資組合。因為每個人的風(fēng)險承擔(dān)能力不盡相同，所以最優(yōu)投資組合要依賴于個人的風(fēng)險、收益偏好程度，但兩者之間的關(guān)系也是本文需要探尋和解決的重要問題。

二、數(shù)據(jù)的選取挖掘和處理

在數(shù)據(jù)的選取收集方面，我們選取了2020年6月15日某基金平臺上的所有基金信息，并以收集到的基金的相關(guān)信息為依據(jù)計算出所需要的數(shù)據(jù)。相關(guān)信息如表1所示。

表1 基金信息表（%）

三、模型的建立

進行基金投資，得到的凈收益是：購買各種基金以及銀行理財產(chǎn)品所有期望收益減去投資基金期間產(chǎn)生的交易費。

在對基金種類Si進行投資時，所投入的資金額xi不同，所產(chǎn)生的交易費用也就不同。假設(shè)基金種類Si的交易費率為pi，定義φi如下：

那么投資Si種類基金的交易費用是 ，因此總交易費是

大學(xué)生的風(fēng)險承受能力比較小，一般青睞于選擇風(fēng)險小的或者適中的基金類型。風(fēng)險小的投資對整體風(fēng)險損失值影響較小。此時，風(fēng)險損失主要產(chǎn)生來源是中風(fēng)險類型的基金。所以，我們?nèi)?的最大值作為風(fēng)險損失金額：

（一）模型一：多目標(biāo)投資決策模型

本文主要解決的問題是幫助大學(xué)生選取基金投資組合，在盡可能降低投資風(fēng)險的情況下，取得最大的投資收益。結(jié)合上述分析，建立存在無風(fēng)險投資情況下的基金組合投資多目標(biāo)決策數(shù)學(xué)模型：

（二）模型二：偏好系數(shù)加權(quán)模型

在進行基金投資時，大學(xué)生最關(guān)注投資的風(fēng)險和預(yù)期的投資收益情況。事實上，基金投資的風(fēng)險與預(yù)期收益率是呈正相關(guān)的，預(yù)期收益越高其投資風(fēng)險也越高。找到一個最適合的基金投資組合就是最優(yōu)投資組合。

分別將目標(biāo)函數(shù)R和Q賦予權(quán)重，1-λ和是權(quán)因子。并將上述多目標(biāo)模型化為單目標(biāo)規(guī)劃模型：

其中λ被稱為投資偏好系數(shù)，是指投資者對于投資風(fēng)險的厭惡程度。它是由投資者自己決定的。當(dāng)λ=1時，就表示這個投資者不能接受風(fēng)險損失的存在，其投資方式就是全部投到無風(fēng)險的銀行理財。

上述單目標(biāo)規(guī)劃模型是非線性的，這是由于基金投資交易費的分段性所造成的。這樣的非線性規(guī)劃模型對于求解較為困難，我們需要將其轉(zhuǎn)換成線性規(guī)劃模型，再進行求解。

（三）模型三：線性規(guī)劃模型

要將非線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃模型，首要考慮的是描述投資額與交易費的關(guān)系函數(shù)是不連續(xù)的。在這里，我們認為大學(xué)生有限地進行基金Si投資的金額只有不投和投資金額大于ui，并且不考慮ui對于交易費用的影響。于是將上述非線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為線性模型：

四、結(jié)果和建議

對線性規(guī)劃模型（4）進行求解，給定投資偏好λ的數(shù)值，通過運用數(shù)學(xué)軟件MAPLE進行計算。由于大學(xué)生進行基金投資時，所能承受投資風(fēng)險的程度相對較差，所以上述的計算中，投資偏好λ的數(shù)值是從0.7開始設(shè)定的。于是，我們得到如圖1結(jié)果。

圖1

由上述結(jié)果分析得到的基金最優(yōu)組合表中可以看出，在λ=1時，也就是完全不能承受風(fēng)險損失的情況下，資金就只能投到風(fēng)險損失為0的理財產(chǎn)品上，但得到的凈收益也是最低的，不太建議。而在λ=0.7時，得到的凈收益是最高的達到了0.2732，但同時，所要承受的風(fēng)險也是最大的0.0423。對于投資相對于保守型的大學(xué)生來說也不建議。從計算結(jié)果中我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng) 0.8≤λ≤ 0.9 時，風(fēng)險損失維持在 0.01 左右，處于一個相對較低的水平，而且凈收益達到0.2左右。對比于 0.7≤λ≤ 0.8的情況，0.8≤λ≤ 0.9 時的風(fēng)險損失更低，更能被大學(xué)生群體接受。再對比于 0.9≤λ≤ 1的情況，0.8≤λ≤ 0.9 時獲得的凈收益更高。因此，可認為最優(yōu)解存在于 0.8≤λ≤ 0.9。通過進一步計算，當(dāng)λ=0.872時，凈收益為0.2101，近似達到 0.8≤λ≤ 0.9 中的最大收益，風(fēng)險損失是0.0074。我們認為這是目前結(jié)果中最適合大學(xué)生進行基金投資的最優(yōu)基金投資組合。

五、總結(jié)與展望

在本文中，我們研究了大學(xué)生的資金分散在四種不同類型基金以及無風(fēng)險銀行理財項目上的投資風(fēng)險和收益。通過線性規(guī)劃模型的計算，我們認為當(dāng)偏好系數(shù)λ=0.872時，最適合當(dāng)下大學(xué)生投資理財?shù)倪x擇策略。而實際生活中，基金由于受行業(yè)以及其他風(fēng)險因素的制約，其風(fēng)險和收益實際上是會隨時間波動的。我們的模型還缺乏對未來的預(yù)測能力。另外，由于大學(xué)生所選擇基金的行業(yè)不同，那么他所面臨的風(fēng)險和收益可能遠大于我們的計算結(jié)果，這是由于某些資產(chǎn)之間存在一定的相互關(guān)系，而我們的計算結(jié)果是建立在所有行業(yè)綜合分析起來的可能，只考慮了整體的系統(tǒng)性風(fēng)險，而未考慮到細分的非系統(tǒng)性風(fēng)險。在以后的研究中，我們會進一步考慮這一問題。