張璐丹， 張永勝

(洛陽理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理教學(xué)部， 河南 洛陽 471023)

本文針對帶有自由邊界及變系數(shù)和Bedding-DeAngelis響應(yīng)函數(shù)的捕食模型(1)進行研究。

(1)

在本文中，假設(shè)存在正常數(shù)κ1≤κ2使得

0<κ1≤m1(r),m2(r),c(r)≤κ2,kκ1≥λ>0。

(2)

初值函數(shù)u0(r),v0(r)滿足

u0(h0)=v0(h0)=0,u0,v0>0,r∈[0,h0)。

(3)

1 解的局部存在唯一性

定理1 對任意給定的滿足條件(3)的初值函數(shù)u0(r),v0(r)以及任意常數(shù)γ∈(0,1)，都存在T>0使得問題(1)有唯一解

(u,v,h)∈[C(1+γ)/2,1+γ(DT)]2×C1+γ/2([0,T]);

其中：DT={(t,r)∈R2:t∈[0,T],r∈[0,h(t)]}。T只依賴h0,γ,‖u0‖C2([0,h0])以及‖v0‖C2([0,h0])。

證明：類似于文獻[1]，首先引入變量變換將問題(1)化為固定邊界條件的初邊值問題。令ξ(s)∈C3[0,∞)并且滿足

考慮變換

(t,y)→(t,x),x=y+ξ(|y|)(h(t)-h0)y/|y|,y∈Rn。

從而有變換

(t,s)→(t,r),r=s+ξ(s)(h(t)-h0),0≤s<∞。

對于任意t≥0，如果

那么變換x→y是從Rn到Rn上的一個微分同胚映射，從而變換s→r也是一個從[0,∞)到[0,∞)上的一個微分同胚映射。另外，上述變換將自由邊界r=h(t)變成固定邊界s=h0。

直接計算得

記

u(t,r)=u(t,s+ξ(s)(h(t)-h0)):=U(t,s),

v(t,r)=v(t,s+ξ(s)(h(t)-h0)):=V(t,s),

則自由邊界問題(1)化為關(guān)于U(t,s)以及V(t,s)的非線性拋物型方程組的初邊值問題

(4)

X1T={U∈C([0,T]×[0,h0]):U(0,s)=u0(s),‖U-u0‖C(ΔT)≤1},

X2T={V∈C([0,T]×[0,h0]):V(0,s)=v0(s),‖V-v0‖C(ΔT)≤1},

記XT:=X1T×X2T×X3T，則XT是一個完備的度量空間，其度量為

注意到對于任意h1,h2∈X3T，因為h1(0)=h2(0)=h0，從而有

下面利用壓縮映像原理證明問題(1)解的局部存在性和唯一性。對任意(U,V,h)∈XT，考慮線性拋物型方程的初邊值問題

(5)

又u0(s)∈C2([0,h0])，由Lp理論以及Sobolev嵌入定理知，問題(5)存在唯一解

(6)

而且

(7)

其中：K1是一個依賴于h0,γ,‖u0‖C2([0,h0])以及‖v0‖C2([0,h0])的正常數(shù)。同樣地，對任意(U,V,h)∈XT,線性拋物型方程

(8)

存在唯一解

(9)

而且

(10)

其中：K2是一個依賴于h0,γ,‖u0‖C2([0,h0])以及‖v0‖C2([0,h0])的正常數(shù)。

定義

(11)

定義如下一個映射F:XT→[C(ΔT)]2×C1([0,T])使得

而且

其中：

由LP理論以及Sobolev嵌入定理知

其中：K4僅與h0,‖u0‖C2([0,h0])以及‖v0‖C2([0,h0])有關(guān)。同理可得

其中K5，K6僅與h0,‖u0‖C2([0,h0])以及‖v0‖C2([0,h0])有關(guān)，又因為

從而當(dāng)T≤1時有

由壓縮映像原理知，在XT中存在唯一的不動點(U(t,s),V(t,s),h(t))，即(U(t,s),V(t,s),h(t))是問題(4)的唯一解，從而(u(t,r),v(t,r),h(t))是問題(1)的唯一解。

2 結(jié) 語

帶有Bedding-DeAngelis響應(yīng)函數(shù)的捕食模型很好地反映了捕食者之間的相互影響。它不僅包含捕食者尋找和處理獵物的時間分配，而且也反映了捕食者之間相互影響的程度。本文利用線性方程理論和壓縮映像原理對解的局部存在唯一性進行了精細的分析，這對捕食者與被捕食者的生存與蔓延的研究具有重要的理論意義。