朱錦翊，張春燕，盧晨暉

（上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院,上海 201620）

機(jī)構(gòu)奇異位形通常指機(jī)構(gòu)失穩(wěn)、其運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)性能發(fā)生瞬時(shí)突變或傳遞運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力的能力失常時(shí)機(jī)構(gòu)的位形［1］。多年來(lái)許多學(xué)者對(duì)機(jī)構(gòu)奇異進(jìn)行了大量研究，其中典型的研究方法有Gosselin等［2］提出的基于機(jī)構(gòu)輸入輸出速度的分析法、Kumar［3］提出的基于對(duì)偶螺旋的概念法、Ma 等［4］提出的機(jī)構(gòu)特征法和Collins 等［5］提出的代數(shù)法。另外，針對(duì)不同類型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，Joshi等［6］討論了少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，并分析了3-RPS 和3-UPU 機(jī)構(gòu)的奇異位形；Wu等［7］提出了可以避免密集的雅可比矩陣計(jì)算和方程求解的方法來(lái)得到機(jī)構(gòu)奇異位形。上述的分析方法普遍基于代數(shù)理論對(duì)機(jī)構(gòu)奇異位形進(jìn)行分類和定義，或基于機(jī)構(gòu)的一些特殊性質(zhì)對(duì)其奇異位形進(jìn)行求解。由于代數(shù)法自身的復(fù)雜性及機(jī)構(gòu)的多樣性，有些學(xué)者采用空間幾何解析方法來(lái)快速分析機(jī)構(gòu)奇異位形。如：Merlet［8］在并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究中引入線幾何法；Zhang等［9］采用線幾何法來(lái)分析3-RSR多模式移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的奇異問(wèn)題；Alamdar等［10］提出在不求解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的基礎(chǔ)上采用幾何解析方法求解5R球形并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形。

輸流或傳質(zhì)管道是工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中重要的物質(zhì)輸送工具，近年來(lái)得到大量應(yīng)用。輸送管道在使用過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生管道堵塞、管道泄漏等問(wèn)題，需要配套的巡檢和清理裝備［11］。管道機(jī)器人正是隨著輸送管道的大量應(yīng)用而得以快速推廣和應(yīng)用的。研發(fā)性能優(yōu)良的管道機(jī)器人具有工程迫切性［12］。本文提出一種可在管道內(nèi)進(jìn)行監(jiān)測(cè)和探傷的管道蠕動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并研究其在移動(dòng)過(guò)程中的奇異問(wèn)題。奇異是機(jī)構(gòu)的固有特性，處于奇異位置的機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)與力學(xué)特性均會(huì)改變［13］，因此分析機(jī)構(gòu)尤其是移動(dòng)機(jī)構(gòu)的奇異性具有重要意義［14］。并且，管道蠕動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在結(jié)構(gòu)及蠕動(dòng)方式上的特殊性使得其一旦發(fā)生奇異就會(huì)使管道和機(jī)構(gòu)本身不可避免地受到損傷和破壞，尤其是在彎管中，奇異可能會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)堵塞或卡死在管道內(nèi)。因此，采取措施預(yù)防機(jī)構(gòu)在管道內(nèi)移動(dòng)時(shí)發(fā)生奇異是十分必要的。由于管道蠕動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在移動(dòng)過(guò)程中的雅可比矩陣十分復(fù)雜且求解效率較低，用代數(shù)方法求解并不適合。故本文主要通過(guò)螺旋理論結(jié)合線幾何方法，在Fang 等［15］提出的奇異分類的基礎(chǔ)上提出并聯(lián)機(jī)構(gòu)在移動(dòng)過(guò)程中的奇異分析方法。首先分析機(jī)構(gòu)自身支鏈間的關(guān)系，得到其相應(yīng)的奇異幾何關(guān)系，再進(jìn)一步分析機(jī)構(gòu)在移動(dòng)時(shí)發(fā)生奇異的約束情況，從而得出相應(yīng)的機(jī)構(gòu)奇異位形和奇異軌跡，以期為后續(xù)機(jī)構(gòu)軌跡的規(guī)劃提供參考，為樣機(jī)制作提供理論依據(jù)。

1 管道蠕動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作原理

本文提出的可折展的管道蠕動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖分別如圖1 和圖2 所示。其中：機(jī)器人主體為3-（P）URU（P）并聯(lián)機(jī)構(gòu)，3 根連桿通過(guò)3 個(gè)移動(dòng)副P(pán) 連接成自由度為1 的等邊三角形，構(gòu)成并聯(lián)機(jī)構(gòu)的上下平臺(tái)。3 條URU 支鏈分別通過(guò)兩等邊三角形頂點(diǎn)對(duì)稱相連，形成一個(gè)上下結(jié)構(gòu)對(duì)稱的3-URU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中連接支鏈與平臺(tái)的是2 個(gè)其軸線相互垂直的U 副。6 個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)分別安裝在與上下平臺(tái)平行的UB，i2、UA，i2軸線上，通過(guò)對(duì)電機(jī)的協(xié)調(diào)控制，可實(shí)現(xiàn)上平臺(tái)（或下平臺(tái)）在X、Y向的轉(zhuǎn)動(dòng)和Z向的移動(dòng)共3 個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)位姿的變化。調(diào)節(jié)上下平臺(tái)內(nèi)的移動(dòng)副可改變平臺(tái)的大小。機(jī)構(gòu)整體為具有5 個(gè)自由度的3-（P）URU（P）并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

圖1 管道蠕動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of pipeline creeping parallel mechanism

圖2 管道蠕動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic diagram of pipeline creeping parallel mechanism

機(jī)構(gòu)在管道內(nèi)工作時(shí)，通過(guò)上下平臺(tái)的縮放，使平臺(tái)頂點(diǎn)交替與管道內(nèi)壁接觸從而實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的蠕動(dòng)。其蠕動(dòng)過(guò)程如圖3 所示。其中：坐標(biāo)系O-XYZ的原點(diǎn)O為下平臺(tái)的中心點(diǎn)，X向平行于A1A3，Y向指向A2點(diǎn)，Z向由右手定則確定。上下平臺(tái)通過(guò)移動(dòng)副放大尺寸并與管道內(nèi)壁接觸，利用摩擦力使接觸平臺(tái)成為定平臺(tái)，則另一平臺(tái)利用移動(dòng)副縮小后成為動(dòng)平臺(tái)；確定動(dòng)定平臺(tái)后，機(jī)構(gòu)的蠕動(dòng)則依靠支鏈的運(yùn)動(dòng)。驅(qū)動(dòng)定平臺(tái)一側(cè)的電機(jī)使得動(dòng)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)沿X、Y向的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿Z向的移動(dòng)，因此可以滿足機(jī)構(gòu)在管道內(nèi)蠕動(dòng)的自由度變化的要求［16］。

圖3 管道蠕動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的蠕動(dòng)過(guò)程Fig.3 Creeping process of pipeline creeping parallel mechanism

機(jī)構(gòu)的奇異性會(huì)對(duì)其蠕動(dòng)過(guò)程造成重要影響，故須分析該機(jī)構(gòu)在蠕動(dòng)過(guò)程中的奇異性問(wèn)題。機(jī)構(gòu)的奇異主要是由于受到了支鏈的約束影響且在一次運(yùn)動(dòng)周期中動(dòng)定平臺(tái)發(fā)生了轉(zhuǎn)換，為此須先分析3-（P）URU（P）機(jī)構(gòu)自身支鏈產(chǎn)生奇異時(shí)的幾何關(guān)系，再分析機(jī)構(gòu)在管道內(nèi)蠕動(dòng)時(shí)的奇異性。

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異分析流程

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異可分為支鏈奇異、約束奇異和驅(qū)動(dòng)奇異［15］。通常在機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)部發(fā)生約束奇異或驅(qū)動(dòng)奇異，且其對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能產(chǎn)生較大的影響，而支鏈奇異一般發(fā)生在機(jī)構(gòu)工作空間的邊界區(qū)域，對(duì)其運(yùn)動(dòng)性能影響較?。?7］。若機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)情況特殊，則支鏈奇異造成的影響并不可忽略。

2.1 支鏈奇異

建立機(jī)構(gòu)支鏈i的運(yùn)動(dòng)螺旋系{$i}，并將其轉(zhuǎn)化為矩陣形式Ai，即：

式中：n為支鏈i中運(yùn)動(dòng)螺旋的個(gè)數(shù)。

Ai降秩時(shí)，支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋間線性相關(guān)，此時(shí)支鏈間的幾何關(guān)系導(dǎo)致機(jī)構(gòu)自由度減少，機(jī)構(gòu)發(fā)生支鏈奇異［18］。

2.2 約束奇異

根據(jù)螺旋理論得出機(jī)構(gòu)支鏈i的所有運(yùn)動(dòng)螺旋系{$i}，運(yùn)用互易積運(yùn)算求出支鏈i的約束螺旋系{$ri}，則機(jī)構(gòu)所有的約束螺旋系構(gòu)成機(jī)構(gòu)的約束雅可比矩陣Jr，即：

式中：t為支鏈i的約束螺旋個(gè)數(shù)。

Jr降秩時(shí)，約束螺旋間線性相關(guān)，動(dòng)平臺(tái)的約束減少，此時(shí)支鏈間的幾何關(guān)系導(dǎo)致機(jī)構(gòu)自由度增多，機(jī)構(gòu)發(fā)生約束奇異［19］。

2.3 驅(qū)動(dòng)奇異

Jq降秩時(shí)，支鏈間的幾何關(guān)系導(dǎo)致機(jī)構(gòu)仍存在自由度，機(jī)構(gòu)發(fā)生驅(qū)動(dòng)奇異［20］。

由Jr與Jq組合可得機(jī)構(gòu)的完整雅可比矩陣J［9］：

綜上可知，并聯(lián)機(jī)構(gòu)在移動(dòng)過(guò)程中的奇異分析流程如圖4所示。

3 3-(P)URU(P)并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異位形分析

3-（P）URU（P）關(guān)聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的自由度主要由URU支鏈決定，上下平臺(tái)的P副只改變平臺(tái)的大小，對(duì)機(jī)構(gòu)的約束沒(méi)有影響。分析機(jī)構(gòu)奇異位形時(shí)先分析3條支鏈間的幾何關(guān)系。并聯(lián)機(jī)構(gòu)在管道內(nèi)的蠕動(dòng)是一個(gè)連續(xù)過(guò)程，即使在蠕動(dòng)剛開(kāi)始時(shí)機(jī)構(gòu)奇異對(duì)其運(yùn)動(dòng)性能影響較小，但在后續(xù)的蠕動(dòng)中該影響會(huì)累加，因此須分析機(jī)構(gòu)的3種奇異位形。

3.1 支鏈奇異位形分析

3-（P）URU（P）機(jī)構(gòu)的支鏈螺旋如圖5 所示。建立支鏈坐標(biāo)系oi-xiyizi，支鏈軸線交匯點(diǎn)為原點(diǎn)oi，xi向平行于$i2軸線方向，zi向?yàn)?i1軸線方向，yi向按右手定則選取。

機(jī)構(gòu)支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

圖4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異分析流程Fig.4 Singularity analysis process of parallel mechanism

圖5 3-(P)URU(P)并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈螺旋示意Fig.5 Schematic diagram of branched chain helix of 3-(P)URU(P)parallel mechanism

式中：b2、b3、b4、c3、c4、m5、n5為不等于0的螺旋參數(shù)。

URU 支鏈軸線上的特殊性導(dǎo)致式（5）中第4 列元素全部為零，所以Ai就簡(jiǎn)化為5×5 的矩陣M，其秩r(Ai)的變化就可以通過(guò)detM來(lái)求解。

則：

根據(jù)式（7），可知detM=0有2種情況。

情況1：當(dāng)m5=0時(shí)，$i5=( 0 0n5；0 0 0 )，可以看出$i1與$i5線性相關(guān)，支鏈幾何關(guān)系為$i1與$i5的軸線重合，如圖6（a）所示。

圖6 3-(P)URU(P)并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈奇異位形Fig.6 Branch chain singularity configuration of 3-(P)URU(P)parallel mechanism

3.2 約束奇異位形分析

以機(jī)構(gòu)定平臺(tái)為下平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)為上平臺(tái)為例分析機(jī)構(gòu)約束奇異位形。機(jī)構(gòu)約束力方向?yàn)閳D7中約束螺旋方向，代表支鏈i所受的約束力，平面S為約束力平面。根據(jù)式（2）建立機(jī)構(gòu)的約束雅可比矩陣：

圖7 3-(P)URU(P)并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈約束螺旋Fig.7 Constraint screw of each branch chain of 3-(P)URU(P)parallel mechanism

由螺旋理論可知，3條力線矢只有共軸或共面交匯或共面平行時(shí)才線性相關(guān)［21］，如圖8所示。而機(jī)構(gòu)的$ri1一旦發(fā)生線性相關(guān)，Jr一定發(fā)生降秩，此時(shí)機(jī)構(gòu)支鏈間的幾何關(guān)系如圖9所示。

圖8 3條力線矢線性相關(guān)的幾何條件Fig.8 Geometric conditions for linear correlation of three force line vectors

圖9 3-(P)URU(P)并聯(lián)機(jī)構(gòu)約束奇異位形Fig.9 Constraint singular configuration of 3-(P)URU(P) parallel mechanism

3.3 驅(qū)動(dòng)奇異分析

如上所述，鋼化支鏈i的驅(qū)動(dòng)副$i2。鋼化后機(jī)構(gòu)支鏈約束如圖10所示。

圖10 鋼化后支鏈約束Fig.10 Branch chain constraint after toughening

如圖10所示，設(shè)驅(qū)動(dòng)副的輸入角度為θi，連桿長(zhǎng)度為d，則支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

約束螺旋系為：

一旦Jq降秩，則會(huì)發(fā)生驅(qū)動(dòng)奇異。根據(jù)式（8），可得機(jī)構(gòu)6×6的完整雅可比矩陣J：

由螺旋的空間幾何性質(zhì)可得機(jī)構(gòu)雅可比矩陣中螺旋空間位置，如圖11所示。由此可得Jq中所有約束螺旋的空間位置，如圖12所示，表明各螺旋的方向均垂直于約束力平面S，其相互平行。

圖11 螺旋的空間位置Fig.11 Spatial position of the screw

圖12 約束螺旋$r,2i 的空間位置Fig.12 Space position of constraint screw

由螺旋理論可知［22］，此時(shí)最大線性無(wú)關(guān)組數(shù)為3。對(duì)機(jī)構(gòu)而言，X、Y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)和Z方向的移動(dòng)都受到限制。Jq不存在降秩情況，機(jī)構(gòu)支鏈不存在發(fā)生驅(qū)動(dòng)奇異的位置關(guān)系。

4 3-(P)URU(P)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在管道蠕動(dòng)過(guò)程中的奇異分析

3-（P）URU（P）并聯(lián)機(jī)構(gòu)在管道內(nèi)的一次蠕動(dòng)通過(guò)交替放大、縮小動(dòng)定平臺(tái)，用其頂點(diǎn)與管道內(nèi)壁接觸產(chǎn)生的摩擦力將定平臺(tái)固定，動(dòng)平臺(tái)在3條支鏈的共同驅(qū)動(dòng)下向前運(yùn)動(dòng)而得以實(shí)現(xiàn)。其中動(dòng)定平臺(tái)發(fā)生了1次轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后其自身結(jié)構(gòu)沒(méi)有發(fā)生變化，動(dòng)平臺(tái)的移動(dòng)依然由在定平臺(tái)一側(cè)的電機(jī)驅(qū)動(dòng)，機(jī)構(gòu)支鏈間的奇異性質(zhì)沒(méi)有隨著平臺(tái)的轉(zhuǎn)換而發(fā)生變化，機(jī)構(gòu)依然等效為3-URU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，驅(qū)動(dòng)副在定平臺(tái)上。

機(jī)構(gòu)在蠕動(dòng)過(guò)程中的奇異情況會(huì)隨著管道環(huán)境的不同而不同，因此分在直管和彎管內(nèi)蠕動(dòng)兩種情況分析機(jī)構(gòu)的奇異位形。建立3-（P）URU（P）并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖，如圖13 所示。其中：K為A2A3的中點(diǎn)，B為上平臺(tái)的中心點(diǎn)；RA，RB分別為AA2、BB2的長(zhǎng)度；Ai、Ci的坐標(biāo)分別為(xAi，yAi，zAi)和(xCi，yCi，zCi)。

圖13 3-(P)URU(P)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.13 Schematic diagram of the structure of 3-(P)URU(P)parallel mechanism

4.1 機(jī)構(gòu)在彎管內(nèi)蠕動(dòng)

當(dāng)機(jī)構(gòu)在彎管內(nèi)蠕動(dòng)時(shí)，協(xié)調(diào)控制定平臺(tái)一側(cè)的電機(jī)，使得動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)可有效地沿彎管中心軸線移動(dòng)。在機(jī)構(gòu)蠕動(dòng)過(guò)程中動(dòng)平臺(tái)位姿發(fā)生變化，而且由于彎管存在X、Y兩個(gè)方向的空間變化，機(jī)構(gòu)在沿彎管中心軸線移動(dòng)時(shí)只可能發(fā)生支鏈奇異。其奇異位形如圖14所示。

由上述分析可得，當(dāng)機(jī)構(gòu)支鏈位形如圖6（a）所示而Jr降秩時(shí)，支鏈運(yùn)動(dòng)的反螺旋系為式（13），其奇異位形如圖14（a）所示。

按照?qǐng)D6（a）所示的幾何約束，則圖13 中A1、C1、B1三點(diǎn)形成一條直線。動(dòng)平臺(tái)中心B所能形成的幾何約束方程是以B1為球心、半徑為RB的球面f(B1，RB)與動(dòng)平面SB1B2B3相交所得的方程f（B1）。依據(jù)d、RB和θ1=60°可得B1的坐標(biāo)。A1A′1為SB1B2B3的法向量，A1的坐標(biāo)已知，A1在SB1B2B3上的投影點(diǎn)A′1可通過(guò)式（14）求得。在得知A′1坐標(biāo)后，可求得平面方程f(B1，B2，B3)。

圖14 機(jī)構(gòu)在彎管內(nèi)蠕動(dòng)時(shí)的支鏈奇異位形Fig.14 Branched chain singular configuration of mechanism creeping in elbow

式中：n為平面SA1B1K的法向量。

由此可得f（B1）的方程式，結(jié)合式（16），求解f(B1)即得此時(shí)機(jī)構(gòu)奇異位形的奇異軌跡。

當(dāng)機(jī)構(gòu)支鏈位形如圖6（b）所示而Jr降秩時(shí)，支鏈運(yùn)動(dòng)的反螺旋系為式（17），其奇異位形如圖14（b）所示。

按照?qǐng)D6（b）所示的幾何約束，則圖13中A1、B1兩點(diǎn)重合，而由于2個(gè)U副的間隙導(dǎo)致只能$2與$4重合。動(dòng)平臺(tái)中心B所能形成的幾何約束方程是以B1為球心、半徑為RB的球面f(B1，RB)與平面SA1B1K相交所得的方程f(B2)。已知Ai的坐標(biāo)且SA1B1K為過(guò)A1的中垂面，得平面SA1B1K的方程f(A1，B1，K)。由此可得f(B2)的方程式，結(jié)合式（19），求解f(B2)即得此時(shí)機(jī)構(gòu)奇異位形的奇異軌跡。

式中：T1、T2、T3分別為RA、RB、d的任意值。

由式（13）和式（17）可知，在該支鏈奇異下，支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)的約束增加，機(jī)構(gòu)的自由度將減少。機(jī)構(gòu)在彎管內(nèi)蠕動(dòng)時(shí)，一旦平臺(tái)處于上述奇異位形，則彎管轉(zhuǎn)向與奇異所增加的約束一致會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)處于卡死位置，極大影響機(jī)構(gòu)后續(xù)的蠕動(dòng)。

4.2 機(jī)構(gòu)在直管內(nèi)蠕動(dòng)

當(dāng)機(jī)構(gòu)在直管內(nèi)蠕動(dòng)時(shí)，同步驅(qū)動(dòng)定平臺(tái)一側(cè)的電機(jī)，使得動(dòng)平臺(tái)可以沿直管方向移動(dòng)。同理，在確定動(dòng)定平臺(tái)后機(jī)構(gòu)在蠕動(dòng)過(guò)程中同樣存在奇異問(wèn)題，會(huì)影響后續(xù)的蠕動(dòng)。由于機(jī)構(gòu)在直管內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其在X，Y方向都將受到約束，因此不會(huì)發(fā)生支鏈奇異，只可能發(fā)生約束奇異。其約束奇異位形如圖15所示。

圖15 機(jī)構(gòu)在直管內(nèi)蠕動(dòng)時(shí)的約束奇異位形Fig.15 Constrained singular configuration of mechanism creeping in straight pipe

按照?qǐng)D9所示的幾何約束，則圖13中C1、C2、C3三點(diǎn)重合為一點(diǎn)Q。已知|AiBi|=|BiCi|，可得如下約束方程：

d已知，則Ci點(diǎn)坐標(biāo)就能確定，且Ci點(diǎn)坐標(biāo)就是Q點(diǎn)坐標(biāo)，代入式（16）得其幾何約束方程f（B3）。結(jié)合式（22），求解f(B3)即得此時(shí)機(jī)構(gòu)奇異位形的奇異軌跡。根據(jù)尺寸條件，可求得輸入角度θi=arccos。

4.3 奇異軌跡仿真

圖16 機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)的3種奇異軌跡Fig.16 Three kinds of singular trajectories in mechanism workspace

當(dāng)機(jī)構(gòu)在彎管中發(fā)生支鏈奇異時(shí)，盡管由式（15）和式（18）可知奇異軌跡呈圓形，但是受到式（16）和式（19）所示的尺寸約束限制，其軌跡只能為圓的一部分，即為弧線，如圖16 中處于工作空間邊緣的f（B1）、f（B2）方程軌跡。當(dāng)機(jī)構(gòu)在直管中發(fā)生約束奇異時(shí)，圖7中原先轉(zhuǎn)化為一個(gè)垂直于約束平面的約束力偶和2個(gè)約束力［23］會(huì)發(fā)生變化，此時(shí)機(jī)構(gòu)的約束力偶會(huì)消失，機(jī)構(gòu)將增加一個(gè)沿Z向轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度，并產(chǎn)生繞X、Y、Z三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心會(huì)形成球面軌跡，即圖16 中f（B3）方程軌跡，其處于工作空間的中心位置。

5 結(jié) 論

1）依據(jù)螺旋理論，提出了一種管道蠕動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異分析方法，并將此方法應(yīng)用于3-（P）URU（P）并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異分析中。分析了機(jī)構(gòu)支鏈間的約束關(guān)系，求解了支鏈矩陣的行列式，從而得到2種矩陣降秩情況，依此得到了機(jī)構(gòu)支鏈奇異的2種幾何位置關(guān)系。

2）根據(jù)所提出的方法，建立了機(jī)構(gòu)約束雅可比矩陣Jr，并通過(guò)線幾何的相關(guān)性得到發(fā)生約束奇異的一種機(jī)構(gòu)幾何位形。建立機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)雅可比矩陣Jq，并通過(guò)分析得出Jq不會(huì)降秩，該機(jī)構(gòu)支鏈不存在發(fā)生驅(qū)動(dòng)奇異的幾何位形。依據(jù)Jr和Jq建立了該移動(dòng)機(jī)構(gòu)螺旋形式的完整雅可比矩陣J。

3）在分析了機(jī)構(gòu)支鏈存在的奇異幾何位形后，結(jié)合其在管道內(nèi)的蠕動(dòng)過(guò)程，分析了在蠕動(dòng)過(guò)程中機(jī)構(gòu)的奇異問(wèn)題。判斷出機(jī)構(gòu)在彎管內(nèi)會(huì)發(fā)生支鏈奇異，而在直管內(nèi)會(huì)發(fā)生約束奇異，并根據(jù)幾何約束關(guān)系求得奇異約束方程及其軌跡。支鏈奇異軌跡為位于工作空間邊緣的弧線，支鏈奇異會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)自由度減少，如果位置特殊，會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)卡死。約束奇異軌跡為位于機(jī)構(gòu)工作中心的球面，會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)蠕動(dòng)的不確定性，也須避免。研究為后續(xù)機(jī)構(gòu)在管道中蠕動(dòng)步態(tài)的規(guī)劃奠定了理論基礎(chǔ)。