鄭秀麗, 陳明杰, 傅薈璇

(1.河南工學(xué)院 電氣工程與自動化學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453003;2.哈爾濱工程大學(xué) 智能科學(xué)與工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

T-S模糊模型逼近非線性系統(tǒng)模型是解決非線性系統(tǒng)控制問題的一種有效方法。該方法建立起模糊控制系統(tǒng)與線性控制系統(tǒng)之間的聯(lián)系,為系統(tǒng)穩(wěn)定性分析奠定了基礎(chǔ)。近年來,模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究主要是基于T-S模糊系統(tǒng)和Lyapunov函數(shù)的,很多研究人員對模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析[1-5],研究了H∞穩(wěn)定控制器設(shè)計[6-9]。隨著網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)和計算機技術(shù)發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NetworkedControlSystems,NCS)因其成本低、重量和驅(qū)動要求低、結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高[10]等優(yōu)點逐漸成為研究熱點。然而,在NCS中,信號通過通信網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳輸時會存在信號丟失問題,應(yīng)用上述模糊控制方法很難取得較好的控制效果,使得系統(tǒng)分析和設(shè)計更加困難。針對這個問題,已經(jīng)有了很多研究成果,如NCS控制方法的相關(guān)研究[11-13]、具有有限數(shù)據(jù)丟包的NCS穩(wěn)定性分析等[14-15]。

但到目前為止,這些研究成果大都是針對線性系統(tǒng)的。本文針對一類非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NNCS),在控制輸入受限的條件下,為解決系統(tǒng)分布式干擾和非線性問題,進(jìn)行帶約束分布式H∞模糊控制器設(shè)計。首先利用T-S模型建立非線性對象的模型,然后利用分布補償方法設(shè)計一種分布式模糊狀態(tài)反饋控制器,滿足在控制約束條件下閉環(huán)NNCS系統(tǒng)的H∞性能穩(wěn)定。利用有限差方法和線性矩陣不等式(LMI)最優(yōu)化方法解決這種不理想模糊控制設(shè)計問題,通過仿真驗證所提控制方法的有效性。

1 問題描述

利用T-S模糊模型描述非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),則模型規(guī)則i為[16]:

IFθ1(t)ThenMi1,…,IFθl(t)ThenMil,那么:

(1)

式中,Mij是模糊集,x(t)∈Rn是狀態(tài)變量,u(t)∈Rm是輸入變量,w(t)∈Rp是干擾輸入,z(t)∈Rq是控制輸出,Ai,B1i,B2i,Ci,D1i,D2i是已知常數(shù)矩陣,r是IF-Then規(guī)則的個數(shù),θ1(t),…,θl(t)是前提變量,在本文中假設(shè)θi(t)不依賴于輸入變量。任意給定(x(t),u(t)),則模糊系統(tǒng)輸出為:

(2)

(3)

(4)

基于并行分布補償方法,對式(2)和(3)采用模糊控制規(guī)律,則控制規(guī)則j為:

如果θ1(t),…,θl(t),那么

u=Kjx(t)

(5)

式中,Kjx(t)是狀態(tài)反饋控制器的增益矩陣?？偟哪：刂破骺梢员槐硎緸?

(6)

在工程實際中,通常希望設(shè)計一種不但穩(wěn)定而且能保證適當(dāng)性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)。為了減小w(t)的影響,一般采用H∞控制方法處理這類干擾抑制問題。

針對式(2)和(3)的模糊系統(tǒng)設(shè)計H∞控制器,在零初始條件下,需要考慮下面性能:

(7)

式中,P>0是n×n的正定矩陣,γ>0是H∞性能穩(wěn)定準(zhǔn)則。

為得到一個低于指定標(biāo)準(zhǔn)的干擾抑制,要求過程控制輸入有一個較高的量級。但是,在實際工程中這是不可能的,且控制輸入被限制在一定量級,因此,將量級限制引入控制輸入中:

(8)

式中,umax是給定正定標(biāo)量。

當(dāng)u(t)≡0時,式(2)的系統(tǒng)被稱為自然模糊系統(tǒng);當(dāng)w(t)≡0時,則被稱為無干擾模糊系統(tǒng),引入下面的定義。

定義1 假設(shè)ρ>0,當(dāng)u(t)≡0,w(t)≡0時,式(2)所示的無干擾模糊系統(tǒng)以指數(shù)ρ漸近穩(wěn)定的充分條件是存在一個常數(shù)σ>0使下式成立[16]:

(9)

將式(6)帶入式(2)和式(3)得:

(10)

(11)

因此,針對如式(2)和式(3)所示的模糊系統(tǒng),需要設(shè)計一個分布式H∞模糊控制器,使得如式(10)和式(11)所示的閉環(huán)系統(tǒng)也是帶γ干擾抑制的ρ指數(shù)穩(wěn)定。

2 帶約束分布式H∞模糊控制器設(shè)計

選擇李雅普諾夫函數(shù)為:

V(x(t))=xT(t)Px(t)

(12)

式中,P>0,則V(x(t))沿如式(10)和式(11)所示的閉環(huán)系統(tǒng)對時間微分,因此:

dV(t)/dt=[Ax(t)+B1w(t)]TPx(t)+xT(t)P[Ax(t)+B1w(t)]=xT(t)[PA+*]x(t)+Γ1

(13)

式中,Γ1=2x(t)PB1w(t),*是對應(yīng)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。

根據(jù)定義1和定義2,由式(13)得:

(14)

因此,由定理1給出線性矩陣不等式形式的NNCS系統(tǒng)指數(shù)漸進(jìn)穩(wěn)定充分條件。

定理1 如式(2)和式(3)所示的模糊系統(tǒng),對給定標(biāo)量ρ>0和r>0,存在如式(6)形式的模糊控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)是帶γ干擾抑制的ρ-ES,如果存在一個對角陣Q=diag{q1,q2,…,qn}>0,且存在m×n維矩陣Ri,i=1,2…,r,滿足下面的微分線性矩陣不等式(DLMI),則NNCS系統(tǒng)以ρ指數(shù)漸進(jìn)穩(wěn)定。

(15)

(16)

式中,Δij=[AiQ+B2jRi+*],R(x)=2ρQ。

因此,模糊控制器的增益矩陣為:

Ki=RiQ-1,i=1,2…,r

(17)

證明:設(shè)P=Q-1,Ri=KiQ,i=1,2…,r,利用文獻(xiàn)[1]中的定理2,我們可以推斷如果對于一些對角陣Q>0和一些矩陣Ri,i=1,2…,r,如式(15)所示DLMI成立,那么下面的不等式成立:

(18)

通過舒爾茨補,式(18)可等價為:

(19)

由式(11)、(14)和式(19),我們可以得到:

(20)

對式(20)從t=0到t=∞積分得:

(21)

整理得:

(22)

因為t≥0時,V(t)≥0,從式(22)可得:

現(xiàn)在證明如式(14)所示的無干擾系統(tǒng)是ρ-ES的。當(dāng)w(t)=0時,式(20)可被簡化為:

(23)

dV(t)/dt+2ρV(t)<0,?t≥0

(24)

利用文獻(xiàn)[2]中的引理1,由式(24)得出式(10)和式(11)的無干擾系統(tǒng)在希爾伯特空間是ρ-ES的。由P=Q-1,Ri=KiQ,可以得到式(17)。

注釋1 很明顯,如式(1)所示的模型包含一類特殊情況B2j(·)=B2,D2j(·)=D2。在這種情況下,定理1中如式(15)所示的DLMI可簡化為:

(25)

式中,Δij=[AiQ+B2Ri+*]。

從定理1的證明過程中可知, 若存在一個對角陣Q>0, 矩陣Ri,i=1,2…,r, 滿足如式(15)所示的DLMI,則式(20)成立。當(dāng)t>0,對式(20)從0到t進(jìn)行積分:

(26)

V(t)≤φ,t>0

(27)

式中,φ>0是標(biāo)量。

基于定理1,?t>0,如式(8)所示的控制約束能加入如式(6)所示的分布式H∞模糊控制器中,因此得到定理2。

定理2 假設(shè)存在一個對角陣Q>0,一個矩陣Ri,i=1,2…,r,滿足如式(15)所示的DLMI。如果式(28)和式(29)的代數(shù)線性矩陣不等式(ALMI)成立,則?t>0,如式(8)所示的控制約束能被引入如式(6)所示的分布式模糊控制器中。

(28)

(29)

證明:通過舒爾茨補并基于定理的假設(shè)條件,式(28)和式(29)可以分別表示如下:

(30)

(31)

由式(30)可得到式(31)。在式(31)兩邊前后分別乘φumaxP,可得:

(32)

(33)

由式(6)和式(33),?t>0,可得:

(34)

由式(32)和式(4),式(34)可表示為:

(35)

由式(27)和式(35),?t>0,則如式(8)所示的控制約束可以實現(xiàn)。

為使衰減標(biāo)準(zhǔn)γ盡可能小,對一些給定標(biāo)量ρ>0,在式(15)或式(25)、式(28)和式(29)的D/ALMI的條件下,研究下面的最優(yōu)化問題:

(36)

很明顯解決上式最優(yōu)化問題很困難。然而,利用有限微分方法和現(xiàn)有的線性矩陣不等式最優(yōu)化技巧,式(36)中的最優(yōu)化問題能被近似解決。

首先進(jìn)行離散化,在單位時間內(nèi)認(rèn)為時間導(dǎo)數(shù)反演微分存在,即dQ(t)/dt≈Q(k)-Q(k-1)。但是,對于給定標(biāo)量ρ>0,式(15)和式(25)所示的DLMI可被下面的離散線性矩陣不等式近似為:

(37)

(38)

(39)

式(28)和式(29)所示的ALMI可被下面的離散線性矩陣不等式近似為:

(40)

(41)

對于給定標(biāo)量ρ>0,在式(37)或式(38)、式(40)和式(41)的線性矩陣不等式的條件下,一種不理想的帶約束的分布式H∞模糊控制器設(shè)計問題可以轉(zhuǎn)化為近似線性矩陣不等式最優(yōu)化問題:

(42)

注釋2 注意由反向微分(即dQ(t)/dt≈Q(k)-Q(k-1))得出式(15)和式(16)的DLMI時間變量近似值誤差。基于標(biāo)準(zhǔn)的歐拉方法的分析結(jié)果,誤差被表示為:e0.5φE,E=max‖dQ(t)/dt2‖F(xiàn)是已知常數(shù),φ是離散化的時間單位量,很明顯,當(dāng)φ→0時,誤差收斂于0。

3 仿真驗證

基于T-S模糊模型的非線性系統(tǒng):

規(guī)則1:如果x(1)是h1(x(1)),那么

規(guī)則2:如果x(2)是h2(x(2)),那么

分布式H∞模糊控制器如下:

控制規(guī)則1:

如果x(1)是h1(x(1)),那么u=K1x(t)

控制規(guī)則2:

如果x(1)是h2(x(1))(x(1)),那么u=K2x(t)

式中,K1=[-0.57 0.5],K2=[-0.86 0.15]。

圖1 無外界干擾的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng) 圖2 干擾不為0的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)

圖3 輸出信號

4 結(jié)束語

本文針對一類NNCS分布式干擾抑制控制問題進(jìn)行了研究。重點在于設(shè)計帶約束的分布式H∞模糊控制器,以DLMI和ALMI形式給出了保證系統(tǒng)魯棒性能的充分條件是使衰減標(biāo)準(zhǔn)γ最小化,利用有限微分方法和LMI最優(yōu)化技巧設(shè)計帶約束的模糊控制器。這種帶約束的模糊控制器便于工程實現(xiàn),在實踐中具有很高的應(yīng)用價值。