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        基于撓度分析的等截面連續(xù)梁合理邊中跨跨徑比

        2021-07-12 09:39:58
        鐵道建筑技術(shù) 2021年6期
        關(guān)鍵詞:變形影響

        楊 毅

        (中鐵二十三局集團(tuán)第三工程有限公司 四川成都 611130)

        1 引言

        在房屋建筑和橋梁工程中,常遇到多跨連續(xù)梁的情況。與簡(jiǎn)支梁相比,連續(xù)梁在中間支座處承受負(fù)彎矩,跨中正彎矩和撓度顯著減小,因此,相同跨徑下,采用連續(xù)梁可減小跨中梁截面尺寸[1- 2]。連續(xù)梁的跨徑布置有等跨和不等跨兩種形式[3]。雖然等跨連續(xù)梁施工較為方便,但由于其邊跨缺少轉(zhuǎn)動(dòng)約束,邊跨支座的負(fù)彎矩(指邊跨內(nèi)支座處)大于中間跨支座[4]。以滿跨均布荷載作用下的四跨等截面連續(xù)梁為例,邊跨支座的負(fù)彎矩約為中間跨支座的1.5倍,邊跨的最大正彎矩為中間跨的2.1倍,邊跨的向下?lián)隙葮O值為中間跨的3.4倍[5]。

        采用不等跨布置時(shí),邊中跨跨徑比一般為0.6~0.8[6-7],主要是為減小第1跨跨中彎矩和支座負(fù)彎矩。近年來(lái),對(duì)連續(xù)梁橋的研究主要偏向于受力方面,而對(duì)撓度的研究較少,一般認(rèn)為在滿足受力前提下,跨中最大撓度滿足相關(guān)規(guī)范要求的撓度限值即可。通過設(shè)置預(yù)拱度的方法可以抵消恒載的短期撓度,但考慮長(zhǎng)期作用,恒載的長(zhǎng)期撓度還會(huì)繼續(xù)增大,公路相關(guān)規(guī)范規(guī)定長(zhǎng)期撓度為短期撓度的1.35~2.0倍[8],而大跨徑預(yù)應(yīng)力混凝土梁橋的病害之一為主梁跨中的長(zhǎng)期撓度過大[9-11]。若能在設(shè)計(jì)之初,最大限度地減小主梁跨中最大撓度值,則長(zhǎng)期撓度也會(huì)相應(yīng)減小。從行車平順性考慮,連續(xù)梁的撓曲線越小越平緩,車輛行駛則更為舒適。

        由文獻(xiàn)[12]可知,當(dāng)邊中跨跨徑比接近0.8時(shí),各支座負(fù)彎矩、各跨中最大正彎矩和各支反力值整體最小。本文以等截面連續(xù)梁在荷載作用下的撓曲變形值為研究對(duì)象,用奇異函數(shù)法推導(dǎo)出連續(xù)梁在均布荷載和集中荷載作用下的撓曲線方程,得出在不同總跨數(shù)和邊中跨跨徑比條件下,連續(xù)梁的撓曲變形隨跨數(shù)和邊中跨跨徑比的變化關(guān)系;以結(jié)構(gòu)在均布荷載和集中荷載作用下各跨向上撓度極值和向下?lián)隙葮O值整體最小為目標(biāo),綜合得出不等跨連續(xù)梁的合理邊中跨跨徑比,為連續(xù)梁的變形設(shè)計(jì)提供參考。

        2 連續(xù)梁撓度求解

        連續(xù)梁在荷載作用下的撓曲變形可采用初參數(shù)法、拉普拉斯變換、奇異函數(shù)法等方法求解。其中初參數(shù)法適用于一般情況,但對(duì)于有突變荷載情況,撓度計(jì)算公式在荷載突變處要分段表達(dá)而顯得較為繁瑣。奇異函數(shù)法可以得出任意荷載作用下?lián)锨€的統(tǒng)一表達(dá)式。將拉普拉斯變換與奇異函數(shù)相結(jié)合,使復(fù)雜加載條件下連續(xù)梁的變形求解更為簡(jiǎn)單,本文采用奇異函數(shù)法求解連續(xù)梁的變形。

        連續(xù)梁上作用有一段均布荷載和集中荷載(見圖1),其中q為均布荷載,Pj為作用在第j跨內(nèi)的集中荷載,連續(xù)梁第i跨跨徑為li,坐標(biāo)系統(tǒng)以梁的受力方向向上為正,以梁的變形(y)向上為正,用奇異函數(shù)表達(dá)距第1支座為x的點(diǎn)的連續(xù)梁跨內(nèi)荷載分布 q(x)表達(dá)式:

        圖1 連續(xù)梁計(jì)算模型

        式中:a0和a1分別為均布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)至第1支座的距離;di為第i+1支座至第1支座的距離;Ri為第i支座的支反力;bj為第j跨內(nèi)集中荷載至第1支座的距離。對(duì)(1)式進(jìn)行兩次積分,可得到連續(xù)梁的彎矩表達(dá)式:

        小變形情況下,梁的撓曲線近似微分方程為:

        式中:EI為連續(xù)梁截面的抗彎剛度。對(duì)式(3)進(jìn)行兩次積分,可得連續(xù)梁撓曲線方程:

        本文研究滿跨均布荷載和單個(gè)集中荷載作用下連續(xù)梁的受力情況,有a0=0,a1=dn,在第j跨上作用有集中荷載Pj,則式(4)變?yōu)椋?/p>

        令連續(xù)梁的兩邊跨跨徑相等,則l1=ln,其余中間跨的跨徑相等,其值為l,則邊中跨跨徑比為:α=l1/l。根據(jù)其余n-1個(gè)支承處豎向位移等于0的條件,可得出如下n-1個(gè)方程:

        式中:k=2,3,…,n-1,n-1+α;s=α+k-1;βj=bj/lj。

        再補(bǔ)充力的平衡條件和力矩的平衡條件,可得矩陣方程:

        求解矩陣方程可得各支座支反力,代入式(5)就可得到連續(xù)梁在荷載作用下的撓曲線方程表達(dá)式,從而求出每跨連續(xù)梁的向上撓度極值(各跨最大值)和向下?lián)隙葮O值(各跨最小值)。

        3 均布荷載下不同邊中跨跨徑比連續(xù)梁撓度

        3.1 均布荷載下連續(xù)梁撓度特征

        選取4~5跨連續(xù)梁在均布荷載作用時(shí)不同邊中跨跨徑比情況下的變形特征為對(duì)象,梁的撓曲變形采用無(wú)量綱化處理,表示為yEI/ql4,如圖2所示。當(dāng)邊中跨跨徑比小于1時(shí),為方便比較圖中邊跨按跨長(zhǎng)為1繪制。

        圖2 連續(xù)梁撓度特征曲線

        由圖2可知,邊中跨跨徑比對(duì)第1~3跨撓度有明顯影響,當(dāng)邊中跨跨徑小于0.8時(shí),邊跨會(huì)出現(xiàn)向上的撓度,當(dāng)邊中跨跨徑比大于等于0.8時(shí),第2跨靠近支座處出現(xiàn)向上撓度,究其原因由于連續(xù)梁在支座處左右兩側(cè)剪力值不等所造成。較為合理的邊中跨跨徑比可使梁在均布荷載作用下各跨向下?lián)隙葮O值趨于一致。對(duì)3~7跨連續(xù)梁在均布荷載作用下的分析表明,第3跨以后的撓度基本不隨邊中跨跨徑比的變化而變化。

        3.2 邊中跨跨徑比對(duì)撓度極值的影響

        選取4~5跨連續(xù)梁在均布荷載作用下各跨向上撓度極值和向下?lián)隙葮O值為例,說明隨邊中跨跨徑比的變化情況,如圖3、圖4所示。

        圖3中,當(dāng)α小于等于0.81時(shí),第1跨向上撓度極值隨α的增加呈先增加后減小趨勢(shì),在α值為0.4時(shí)向上撓度極值最大。第2跨的向上撓度極值在α小于0.83時(shí)為零;當(dāng)α大于0.83時(shí),隨α的增加而增加。第3跨的向上撓度極值變化趨勢(shì)與第1跨相似,只是向上撓度極值遠(yuǎn)小于第1跨,其余跨向上撓度極值基本趨于零。綜合各跨撓度情況,當(dāng)α值在0.81~0.83時(shí),連續(xù)梁向上撓度極值接近于零。

        圖3 向上撓度極值隨邊中跨跨徑比變化曲線

        圖4中,當(dāng)α小于等于0.5時(shí),第1跨向下?lián)隙葮O值為零,當(dāng)α大于0.5時(shí),向下?lián)隙葮O值隨著α的增加而增加。第2跨的向下?lián)隙葮O值隨α的變化趨勢(shì)呈先增加后減小趨勢(shì),在α值為0.4時(shí),向下?lián)隙葮O值最大。第3跨的向下?lián)隙葮O值隨α的變化趨勢(shì)呈先減小后增加趨勢(shì),在α值為0.4時(shí),向下?lián)隙葮O值最小。要各跨向下?lián)隙葮O值均取較小值,應(yīng)取圖4曲線交點(diǎn)處位置,此時(shí)α值為0.82。

        圖4 向下?lián)隙葮O值隨邊中跨跨徑比變化曲線

        3.3 跨數(shù)對(duì)連續(xù)梁撓度的影響

        選取3~7跨連續(xù)梁向上撓度最大值和向下?lián)隙茸畲笾翟诓煌呏锌缈鐝奖认碌挠?jì)算結(jié)果,如圖5所示。

        圖5 撓度隨跨數(shù)變化曲線

        連續(xù)梁向上撓度最大值和向下?lián)隙茸畲笾惦S跨數(shù)的增加呈波動(dòng)變化關(guān)系,跨數(shù)越小波動(dòng)幅度越大。當(dāng)跨數(shù)大于5跨時(shí),向上撓度最大值和向下?lián)隙茸畲笾祷沮呌诜€(wěn)定值,只有邊中跨跨徑比α接近0.82時(shí),向上撓度最大值和向下?lián)隙茸畲笾挡▌?dòng)幅度最小,基本不隨跨數(shù)的增加而變化。

        4 集中荷載下不同邊中跨跨徑比連續(xù)梁撓度

        當(dāng)有移動(dòng)集中荷載(P=1)作用在連續(xù)梁上時(shí),位移也采用無(wú)量綱化表示,則集中荷載作用下的位移表示為yEI/Pl3,可用位移影響線表示移動(dòng)荷載作用下連續(xù)梁某位置的變形[19],將所有位置繪制的位移影響線曲線疊加,得到一個(gè)填充區(qū)域,這個(gè)區(qū)域的上、下邊界線就是結(jié)構(gòu)的位移影響線包絡(luò)圖。位移影響線包絡(luò)圖反映了移動(dòng)荷載在連續(xù)梁上作用時(shí),所產(chǎn)生的最大和最小撓度。

        4.1 集中荷載下連續(xù)梁撓度影響線包絡(luò)圖特征

        以4~5跨連續(xù)梁為例,在集中荷載作用下不同邊中跨跨徑比的位移影響線包絡(luò)圖特征如圖6所示。當(dāng)邊中跨跨徑比小于1時(shí),為方便比較圖中邊跨按跨長(zhǎng)為1繪制。邊中跨跨徑比的變化對(duì)第1跨和第2跨的撓度包絡(luò)圖極值影響最為明顯,第3跨及以后的影響可忽略不計(jì)。對(duì)3~7跨連續(xù)梁在集中荷載作用的分析結(jié)果表明,第3跨以后的撓度包絡(luò)圖極值基本不隨邊中跨跨徑比的變化而變化。

        圖6 連續(xù)梁撓度影響線包絡(luò)圖

        4.2 邊中跨跨徑比對(duì)撓度影響線極值的影響

        分別將4~5跨連續(xù)梁前3跨的撓度影響線包絡(luò)圖極值在不同邊中跨跨徑比下的變化情況用圖7表示??梢姛o(wú)論向上撓度極值還是向下?lián)隙葮O值都隨著邊中跨跨徑比的增加而增加,第1跨隨邊中跨跨徑比的增加變化幅度最為明顯,其他跨增幅逐漸趨于平緩。

        圖7 連續(xù)梁各跨撓度影響線包絡(luò)圖極值特征曲線

        將3~7跨連續(xù)梁在集中荷載作用下位移影響線包絡(luò)圖的向上和向下最大值隨邊中跨跨徑比的變化情況用圖8表示??梢娤蛏蠐隙扔绊懢€包絡(luò)圖和向下?lián)隙扔绊懢€包絡(luò)圖的最大值隨α的增加而增加,向上撓度影響線包絡(luò)圖的最大值當(dāng)α大于0.88后增幅更為明顯,而向下?lián)隙扔绊懢€包絡(luò)圖的最大值當(dāng)α大于0.9后增幅明顯??紤]到在集中荷載下連續(xù)梁撓度增幅不要過大,則應(yīng)使邊中跨跨徑比小于等于0.88。

        圖8 撓度影響線包絡(luò)圖最大值

        4.3 跨數(shù)對(duì)連續(xù)梁撓度影響線極值的影響

        選取3~7跨連續(xù)梁向上撓度影響線包絡(luò)圖最大值和向下?lián)隙扔绊懢€包絡(luò)圖最大值在不同邊中跨跨徑比下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析。

        連續(xù)梁向上位移影響線包絡(luò)圖最大值和向下位移影響線包絡(luò)圖最大值隨跨數(shù)的增加基本呈逐漸增加的趨勢(shì),當(dāng)跨數(shù)大于7時(shí)位移影響線包絡(luò)圖最大值基本趨于恒定。當(dāng)邊中跨跨徑比大于等于0.88時(shí),向上位移影響線包絡(luò)圖最大值不隨跨數(shù)的增加而變化;當(dāng)邊中跨跨徑比大于等于0.90時(shí),向下位移影響線包絡(luò)圖最大值也不隨跨數(shù)的增加而變化。

        5 結(jié)論

        通過對(duì)不同跨數(shù)和不同邊中跨跨徑比情況下等截面連續(xù)梁的撓度分析,得出以下結(jié)論:

        (1)均布荷載作用下,當(dāng)邊中跨跨徑比接近0.82時(shí),各跨向下?lián)隙葮O值取較小值,各跨向上撓度值為零。

        (2)均布荷載作用下,當(dāng)邊中跨跨徑比接近0.82時(shí),各跨撓度最大值基本不隨連續(xù)梁跨數(shù)的增加而變化。

        (3)集中荷載作用下,當(dāng)邊中跨跨徑比小于等于0.88時(shí),各跨向上、向下?lián)隙扔绊懢€包絡(luò)圖的最大值取值較為合理。

        (4)綜合考慮均布荷載和集中荷載兩種作用情況,當(dāng)邊中跨跨徑比為0.82時(shí),連續(xù)梁撓度整體較小,撓度最大值基本不隨連續(xù)梁跨數(shù)的增加而變化。

        雖然確定等截面連續(xù)梁橋的跨徑布置受地形地貌、跨越障礙等因素的限制,但對(duì)多跨布置的連續(xù)梁橋,當(dāng)橋下凈空無(wú)要求時(shí)可采用邊跨和中跨不等跨布置。此時(shí),為了使連續(xù)梁在荷載作用下?lián)锨冃慰傮w最小,邊中跨跨徑比建議取值為0.82。

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