時學(xué)軍

(中鐵第四勘察設(shè)計院集團有限公司,武漢 430063)

1 概述

隨著橋梁施工技術(shù)的發(fā)展，短線法橋梁節(jié)段預(yù)制拼裝施工具有預(yù)制用地少、自動化程度高、運輸方便、工期短等優(yōu)點，在橋梁建設(shè)中的應(yīng)用越來越廣泛[1-4]。在基于短線法的橋梁節(jié)段預(yù)制施工過程中，需根據(jù)設(shè)計線形控制每個節(jié)段在匹配位置的空間位置和姿態(tài)，從而保證拼裝后的線形滿足設(shè)計和施工要求[5-6]。然而，在節(jié)段預(yù)制施工過程中，受到測量誤差、模板誤差、溫度變化等多種因素綜合影響，節(jié)段的實際位置與理論位置不可避免地存在偏差[7-9]。由于節(jié)段預(yù)制完成后線形將不可調(diào)，因此，高精度幾何線形控制是短線法節(jié)段預(yù)制橋梁施工過程中的一項重要工作[10-12]。

在短線法節(jié)段預(yù)制橋梁幾何線形控制過程中，通過測量澆筑在節(jié)段上的控制點坐標來計算節(jié)段從澆筑位置移動到匹配位置的幾何變換關(guān)系，然后評定節(jié)段在匹配位置與理論設(shè)計位置的偏差，進而對下一節(jié)段進行相應(yīng)的修正，控制誤差的累積，保持線形的準確性[13-14]。由此可知，控制點坐標準確的空間變化方法尤為重要，是節(jié)段預(yù)制幾何線形控制的關(guān)鍵因素[15]。侍剛和周凌宇等[16-17]在節(jié)段預(yù)制過程中利用6個轉(zhuǎn)換參數(shù)(3個平移參數(shù)、3個旋轉(zhuǎn)參數(shù))實現(xiàn)2個坐標系間的空間轉(zhuǎn)換，忽略了尺度參數(shù)。黃躍等[18]考慮了尺度參數(shù)，利用基于7參數(shù)的Bursa模型[19]進行節(jié)段坐標變換，然而Bursa模型是一個近似的簡化線性模型，只適用于微小旋轉(zhuǎn)角的坐標系變換[20]，不適用于角度較大的曲線型橋梁。

從節(jié)段不同階段間坐標空間變換的原理出發(fā)，同時考慮3個平移參數(shù)、3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)和1個尺度參數(shù)，詳細推導(dǎo)非線性最小二乘平差計算轉(zhuǎn)換參數(shù)的方法，該轉(zhuǎn)換方法適用于任意旋轉(zhuǎn)角度間的坐標轉(zhuǎn)換。同時，將該方法在鄭許市域鐵路許昌段項目中進行實際應(yīng)用，驗證該方法的有效性。

2 幾何線形控制方法

圖1 短線法節(jié)段預(yù)制平面示意

將已澆筑好的節(jié)段n移動到其理論設(shè)計位置時，由于受到測量誤差、人工操作、溫度等各種因素綜合影響，節(jié)段n無法精確移動到理論位置，不可避免地存在偏差。為保證橋梁整體線形符合設(shè)計要求，需對節(jié)段n進行誤差分析，然后對待澆節(jié)段n+1進行糾偏處理，防止誤差累積，短線法幾何線形控制流程如圖2所示。

圖2 短線法幾何線形控制流程

3 空間坐標變換方法

3.1 空間坐標轉(zhuǎn)換模型

短線法橋梁節(jié)段預(yù)制過程中關(guān)鍵是控制點坐標的空間變換，是進行后續(xù)誤差分析與糾偏處理的基礎(chǔ)。對空間坐標變換采用7參數(shù)模型：3個平移參數(shù)(ΔX，ΔY，ΔZ)、3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)(εx，εy，εz)和1個尺度參數(shù)K。ΔX，ΔY，ΔZ分別為X，Y，Z方向上的平移量，εx，εy，εz分別為繞X，Y，Z軸的旋轉(zhuǎn)角度。由于節(jié)段從澆筑位置移動到匹配位置后，受到混凝土硬化與溫度等因素影響，節(jié)段尺寸也會發(fā)生微小的變化，因此，尺度參數(shù)K也納入坐標變換模型?；?參數(shù)的空間坐標轉(zhuǎn)換模型如式(1)所示

(1)

式中，(X1，Y1，Z1)為節(jié)段在澆筑位置時控制點的坐標；(X2，Y2，Z2)為節(jié)段移動到匹配位置后對應(yīng)的控制點坐標；R(ε)為旋轉(zhuǎn)矩陣。R(ε)的構(gòu)建過程如下：首先將坐標軸繞X軸逆時針旋轉(zhuǎn)εx，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣R(εx)；再將坐標軸繞新的Y軸逆時針旋轉(zhuǎn)εy，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣R(εy)；最后將坐標軸繞新的Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)εz，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣R(εz)。3次旋轉(zhuǎn)變換合并得到旋轉(zhuǎn)矩陣R(ε)

R(ε)=R(εz)R(εy)R(εx)

(2)

其中

(3)

(4)

(5)

因此

(6)

顯然，式(6)代入式(1)是一個非線性方程，對于Bursa模型，認為εx，εy，εz的值很小，利用sinεx≈εx，sinεy≈εy，sinεz≈εz，cosεx≈1，cosεy≈1，cosεz≈1，sinεxsinεy≈0，sinεxsinεz≈0，sinεysinεz≈0進行近似替代，所以式(6)可以簡化為

(7)

Bursa模型將簡化后的旋轉(zhuǎn)矩陣R(ε)代入式(1)則轉(zhuǎn)換為線性方程，方便利用最小二乘進行間接平差求解計算轉(zhuǎn)換7參數(shù)。

3.2 非線性最小二乘法平差

(8)

式中，dX，dY，dZ為平移參數(shù)的改正數(shù)；dK為尺度參數(shù)的改正數(shù)；dεx，dεy，dεz為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的改正數(shù)，dR為旋轉(zhuǎn)矩陣的微分，其中

(9)

r11=-sinεycosεzdεy-cosεysinεzdεz

(10)

r12=(-sinεxsinεz+cosεxsinεycosεz)dεx+

sinεxcosεycosεzdεy+

(cosεxcosεz-sinεxsinεysinεz)dεz

(11)

r13=(cosεxsinεz+sinεxsinεycosεz)dεx-

cosεxcosεycosεzdεy+

(sinεxcosεz+cosεxsinεysinεz)dεz

(12)

r21=sinεysinεzdεy-cosεycosεzdεz

(13)

r22=-(sinεxcosεz+cosεxsinεysinεz)dεx-

sinεxcosεysinεzdεy-

(cosεxsinεz+sinεxsinεycosεz)dεz

(14)

r23=(cosεxcosεz-sinεxsinεysinεz)dεx+

cosεxcosεysinεzdεy-

(sinεxsinεz-cosεxsinεycosεz)dεz

(15)

r31=cosεydεy

(16)

r32=-cosεxcosεydεx+sinεxsinεydεy

(17)

r33=-sinεxcosεydεx-cosεxsinεydεy

(18)

式(8)依據(jù)間接平差方法可列誤差方程如下

(19)

(20)

其中

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

z33=0

(31)

在式(19)中，li為自由項矩陣，表示為

(32)

間接法平差得到參數(shù)改正數(shù)結(jié)果

(33)

式中，P為權(quán)系數(shù)矩陣，默認P=E，另外有

(34)

3.3 轉(zhuǎn)換參數(shù)計算過程

利用最小二乘法直接平差計算得到7參數(shù)X=[ΔX，ΔY，ΔZ，K，εx，εy，εz]T的步驟如下：

(1)給定參數(shù)初值X0=[0，0，0，1，0，0，0]T；

(5)計算各控制點的轉(zhuǎn)換殘差，判斷是否有粗差點，如果有粗差點則剔除粗差點后返回步驟(1)重新迭代計算轉(zhuǎn)換參數(shù)。

平差得到轉(zhuǎn)換參數(shù)值后根據(jù)轉(zhuǎn)換參數(shù)計算匹配節(jié)段實際位置與理論位置的偏差，然后根據(jù)設(shè)計線形對下一節(jié)段進行糾偏處理，坐標轉(zhuǎn)換計算流程如圖3所示。

圖3 坐標轉(zhuǎn)換計算流程

4 工程應(yīng)用實例

鄭許市域鐵路許昌段與鄭州機場至許昌市域鐵路工程鄭州段接軌，線路總長33.78 km，其中，地上線長29.76 km，地下線長4.02 km，線路最小曲線半徑800 m。該段線路橋梁采用后張法預(yù)應(yīng)力混凝土雙線簡支箱梁，采用節(jié)段預(yù)制拼裝法施工。簡支箱梁分為12個節(jié)段進行拼接，首尾節(jié)段長度2.45 m，中間10個節(jié)段每段長度2.5 m。為進行自動化測量、數(shù)據(jù)分析計算、線形調(diào)整等工作，開發(fā)了基于安卓手機的應(yīng)用程序，如圖4所示。每個節(jié)段上布設(shè)6個控制點，測量操作通過手機藍牙連接徠卡TS60全站儀進行測量。

圖4 手機控制程序界面

(35)

利用均方根誤差RMSE(Root Mean Square Error)，來評定坐標轉(zhuǎn)換算法的精度，節(jié)段n的RMSE值計算方式如下

(36)

式中，m為節(jié)段上控制點數(shù)量，本文m=6。對于鄭許市域鐵路許昌段某一直線橋梁，計算各節(jié)段RMSE值，將該方法與Bursa模型方法對比結(jié)果見表1。

表1 直線橋梁各節(jié)段RMSE mm

從表1可以看出，在直線段橋梁上，利用本文轉(zhuǎn)換算法各節(jié)段RMSE值均小于Bursa模型方法。該算法的節(jié)段RMSE平均值為1.39 mm，比Bursa模型小0.14 mm，精度提高了9%。對于某一曲線橋梁，同樣計算各節(jié)段RMSE值，將該方法與Bursa模型方法對比結(jié)果見表2。

表2 曲線橋梁各節(jié)段RMSE mm

從表2可以看出，在曲線段橋梁上，本算法的節(jié)段RMSE平均值為1.76 mm，Bursa模型方法平均值RMSE為2.12 mm，本算法平均RMSE減少0.36 mm，精度提高17%，提升效果明顯。本算法在曲線段上精度明顯高于Bursa模型算法，主要是由于曲線橋梁上節(jié)段從澆筑位置移動到匹配位置后的偏轉(zhuǎn)角度略大于直線橋梁，Bursa模型對小偏轉(zhuǎn)角的計算進行了簡化，而本算法采用嚴密的轉(zhuǎn)換處理，因此在曲線段橋梁節(jié)段預(yù)制過程中坐標轉(zhuǎn)換方法精度更高。

5 結(jié)語

常規(guī)基于Bursa模型的坐標轉(zhuǎn)換算法只適用于微小旋轉(zhuǎn)角的坐標轉(zhuǎn)換，在短線法節(jié)段預(yù)制橋梁的幾何線形控制過程中對于曲線形橋梁的坐標轉(zhuǎn)換處理存在較大的誤差。通過構(gòu)建7參數(shù)坐標轉(zhuǎn)換模型，詳細推導(dǎo)了基于非線性最小二乘平差的參數(shù)求解過程，該方法適用于任意旋轉(zhuǎn)角度的坐標變換，能夠準確地對節(jié)段進行坐標變換，為節(jié)段誤差分析和糾偏處理奠定了基礎(chǔ)。該方法已經(jīng)成功應(yīng)用于鄭許市域鐵路許昌段的幾何線形控制項目中，結(jié)果表明：該方法在短線法節(jié)段預(yù)制橋梁幾何線形控制的坐標變換中具有高精度、高可靠性優(yōu)勢，適用于各種線形類型的橋梁線形控制，尤其在曲線段橋梁上具有更高的轉(zhuǎn)換精度，能夠滿足實際生產(chǎn)過程中線形控制的精度要求。