楊長生, 李杭波, 胡麗萍, 梁紅

(西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院, 陜西 西安 710072)

從“適者生存”的生物進(jìn)化角度來看,蝙蝠的超聲探測(cè)系統(tǒng)是最優(yōu)的,它能夠在雜亂無章的回聲中分辨出獵物的具體位置,并具有驚人的抗干擾性。研究表明,大棕蝙蝠能夠利用間距僅為1.4 cm的雙耳達(dá)到1.5°的目標(biāo)分辨率[1]。一直以來,眾多科研人員致力于蝙蝠回聲定位機(jī)理的研究。1993年,James A Simmons提出了譜相關(guān)及變換(SCAT)模型[2],但當(dāng)目標(biāo)個(gè)數(shù)多于3個(gè)時(shí),該模型會(huì)失效。2012年,Buck使用時(shí)延波形字典提出了動(dòng)物聲吶壓縮感知模型[3],但僅可進(jìn)行距離估計(jì)。

本文提出了一種基于距離-方位聯(lián)合字典的目標(biāo)定位方法,利用仿生探測(cè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了小孔徑高精度的目標(biāo)定位,可同時(shí)估計(jì)出3個(gè)及以上的相鄰目標(biāo)的距離及方位信息。

1 回波信號(hào)的稀疏表達(dá)

1.1 距離-方位聯(lián)合字典

設(shè)定字典D是M×N維的矩陣,其列向量dr稱為字典的原子,則字典D={dr∈R,‖dr‖=1,1≤r≤N},考慮有限維空間中的一個(gè)信號(hào)x=[x1,x2,…,xM],x在某個(gè)字典D下可以表示為

x=Dα

(1)

式中:向量α為信號(hào)x在字典D下的稀疏表達(dá)系數(shù);而α中僅存在K個(gè)元素的絕對(duì)值遠(yuǎn)大于0且K?M,則稱信號(hào)x是可稀疏的或者在字典D下是K-稀疏的,α稱為稀疏向量。

在復(fù)雜環(huán)境下,引入稀疏性假設(shè),即主動(dòng)探測(cè)系統(tǒng)接收到的回波信號(hào)可表示為不同距離及方位上接收到的回波線性疊加[4],即

(2)

式中：回波時(shí)延ti=2ri/v;ri表示距離;v為聲速;Aij表示回波的幅值;θj表示方位;s(ri,θj)表示距離ri,方位θj處的歸一化回波。

利用不同距離及方位上接收到的目標(biāo)回波構(gòu)建距離-方位聯(lián)合字典D,即

(3)

式中：L為陣元個(gè)數(shù),N為方位個(gè)數(shù)；sl(i,θj)為第l個(gè)陣元(1≤l≤L)在距離r,方位θj處接收到的目標(biāo)回波sl(r,θj)的第i個(gè)數(shù)據(jù)(1≤i≤n)。將不同陣元接收到的回波sl(r,θj)首尾相連并做歸一化處理即為s(r,θj)。在每個(gè)方位θj下,通過將s(r,θj)前端補(bǔ)零來體現(xiàn)距離的變化,每補(bǔ)一個(gè)零代表距離往后延長c/fs(c為聲速,fs為采樣頻率),當(dāng)補(bǔ)k個(gè)零時(shí),該列回波即為方位θj,距離(r+k×c/fs)處的目標(biāo)回波。

由(1)式及(2)式可知,目標(biāo)回波可表示為

(4)

式中：α為回波E(t)在字典D中的稀疏表達(dá)系數(shù)；而求解出的Aij即為α的元素；通過求解出的α可推出目標(biāo)的距離和方位信息。

1.2 距離-方位聯(lián)合字典的構(gòu)建

研究表明,大棕蝙蝠回聲定位信號(hào)[5]是由非線性的調(diào)頻諧波信號(hào)組成,可以表示為

(5)

式中,fi(t)為基波或高次諧波信號(hào)。本文使用的仿生信號(hào)只包含基波和二次諧波信號(hào),選擇用雙曲調(diào)頻信號(hào)對(duì)大棕蝙蝠發(fā)射信號(hào)進(jìn)行模擬,如圖1所示。

圖1 仿生信號(hào)

稀疏隨機(jī)陣列在陣元大量減少的前提下,仍能有效地避免出現(xiàn)柵瓣,同時(shí)還能保持主瓣寬度與滿陣時(shí)基本相同[6],所以本文采用雙稀疏隨機(jī)陣列模仿蝙蝠雙耳。但陣元數(shù)目大量減少會(huì)導(dǎo)致最大旁瓣級(jí)和平均旁瓣級(jí)的明顯增高,因此選用遺傳算法[7]對(duì)稀疏隨機(jī)陣列進(jìn)行優(yōu)化。對(duì)于一個(gè)15×15的滿陣,選用8個(gè)陣元組成稀疏隨機(jī)陣列,遺傳算法優(yōu)化后的稀疏隨機(jī)陣列如圖2a)所示,同時(shí),利用如圖2b)所示的稀疏均勻陣列進(jìn)行比較。

圖2 陣列設(shè)計(jì)

1.3 字典的相干特性分析

在求解公式(4)所示的欠定方程組時(shí),能否求出唯一的稀疏解,不僅僅取決于信號(hào)的稀疏度,還依賴于冗余字典中原子之間的相干特性[8]。字典相干特性可以用格拉姆矩陣G表示,即

(6)

式中，μij=|〈di,dj〉|表示字典中不同原子間內(nèi)積的絕對(duì)值。

考慮到回波歸一化,μ取值范圍為0≤μ≤1。字典的相干特性最理想的情況是字典中所有原子都為兩兩正交,則i≠j時(shí),μij=0,即格拉姆矩陣G為單位矩陣。

基于雙稀疏隨機(jī)陣列和雙稀疏均勻陣列的水池實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，所構(gòu)建的距離-方位聯(lián)合字典的相干特性圖,分別如圖3和圖4所示。可以看出,相比于基于雙稀疏隨機(jī)陣列的字典,基于雙稀疏均勻陣列的字典相干特性主瓣更寬且旁瓣更高。

圖3 雙稀疏隨機(jī)陣列

圖4 雙稀疏均勻陣列

2 距離-方位聯(lián)合估計(jì)

2.1 算法描述

求解信號(hào)x在字典D中的稀疏表達(dá)系數(shù)α?xí)r,可以通過從所有可能的稀疏向量α中找到包含非零項(xiàng)最少的α來解決,即找到以下0-范數(shù)最小化問題的解

min‖α‖0subject tox=Dα,α≥0

(7)

式中，‖α‖0表示α中非零元素的個(gè)數(shù)。

研究表明,在適當(dāng)?shù)臈l件下,0-范數(shù)最小化問題可以重新描述為與原始問題具有相同唯一解的l1-范數(shù)最小化問題[9]

min‖α‖1subject tox=Dα,α≥0

(8)

為了更接近實(shí)際情況,在信號(hào)中加入高斯白噪聲

x=Dα+η

(9)

因此上述問題可轉(zhuǎn)化為

(10)

這是一個(gè)凸二次優(yōu)化問題,可以使用特定的內(nèi)點(diǎn)法來解決該問題,稱為l1-范數(shù)最小化方法[10],求解出的α包含目標(biāo)的距離及方位信息。式中,γ>0為正則化參數(shù),它實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)擬合質(zhì)量和原子向量稀疏度的平衡和折中,并直接影響著后文的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)效果。γ的取值范圍為0<γ<γmax=‖DTx‖∞,并有經(jīng)驗(yàn)公式[7]

(11)

式中：σ為噪聲方差；p為字典的勢(shì)。

γ值的選擇與信噪比有關(guān),在高信噪比條件下,γ值應(yīng)當(dāng)小,并且隨著噪聲的增加,γ值也應(yīng)該相應(yīng)地變大。

2.2 陣列對(duì)估計(jì)性能的影響

利用基于雙稀疏隨機(jī)陣列以及雙稀疏均勻陣列所構(gòu)建的距離-方位聯(lián)合字典,分別在信噪比為-5 dB和-15 dB的條件下,完成(0°,2.394 4 m)處單個(gè)目標(biāo)的距離-方位聯(lián)合估計(jì)(c=146 0 m/s,采樣頻率fs=500 kHz,距離步長為10×c/fs=0.029 2 m,目標(biāo)的距離為第83個(gè)距離,即82×0.029 2 m=2.394 4 m),結(jié)果如圖5和圖6所示,其中圖5a)和圖5b)的輸出信噪比分別為25.2 dB和13.4 dB,圖6a)和圖6b)的輸出信噪比分別為19.6 dB和3.8 dB。

圖5 雙稀疏隨機(jī)陣列的距離-方位聯(lián)合估計(jì) 圖6 雙稀疏均勻陣列的距離-方位聯(lián)合估計(jì)

從圖5及圖6可知,信噪比降低,目標(biāo)的距離-方位聯(lián)合估計(jì)結(jié)果隨之變差,表現(xiàn)為干擾逐漸增多,同時(shí),在相同信噪比下,相比于雙稀疏隨機(jī)陣列,雙稀疏均勻陣列的目標(biāo)估計(jì)輸出信噪比更低且噪聲干擾更大,由此驗(yàn)證了雙稀疏隨機(jī)陣列的優(yōu)越性。

2.3 抗噪性

為了驗(yàn)證字典的抗噪性,在信噪比范圍為-25～-5 dB的條件下對(duì)單個(gè)目標(biāo)做蒙特卡洛實(shí)驗(yàn),均值和方差如圖7所示。

圖7 不同信噪比下距離-方位聯(lián)合估計(jì)

結(jié)果表明,在信噪比大于等于-18 dB時(shí),距離和方位估計(jì)均值與真實(shí)目標(biāo)位置一致,同時(shí)距離和方位估計(jì)的方差均為0。這說明雙稀疏隨機(jī)陣列的距離-方位聯(lián)合字典可精確估計(jì)目標(biāo)的距離和方位。

為驗(yàn)證字典方位遍歷性,在信噪比為-10 dB及-15 dB的條件下,取方位范圍為-30°～30°,步長為5°的目標(biāo)進(jìn)行距離-方位估計(jì),結(jié)果如圖8所示?？芍?在低信噪比時(shí),目標(biāo)距離和方位估計(jì)的均值與真實(shí)位置一致,表明了該算法在所用方位上都具有較好的抗噪性,也驗(yàn)證了該字典的相干特性接近單位矩陣的優(yōu)越性。

圖8 不同角度下距離-方位聯(lián)合估計(jì)

2.4 多目標(biāo)估計(jì)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證字典的估計(jì)效果,在信噪比為-10 dB的條件下,用基于雙稀疏隨機(jī)陣的字典對(duì)多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行距離-方位聯(lián)合估計(jì)。假設(shè)3個(gè)目標(biāo)均在中心左側(cè),中心右側(cè)及中心處,估計(jì)結(jié)果如圖9及表1所示。假設(shè)4個(gè)目標(biāo)均在中心左側(cè),中心右側(cè)及中心處,估計(jì)結(jié)果如圖10及表2所示。

綜合圖9、圖10、表1及表2可知,用水池實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)建的距離-方位聯(lián)合字典在信噪比為-10 dB的情況下,能對(duì)相鄰的3個(gè)目標(biāo)及4個(gè)目標(biāo)進(jìn)行準(zhǔn)確的距離-方位聯(lián)合估計(jì),體現(xiàn)出該算法的優(yōu)越性。

圖9 3個(gè)目標(biāo)距離-方位聯(lián)合估計(jì) 圖10 4個(gè)目標(biāo)距離-方位聯(lián)合估計(jì)

表1 三目標(biāo)距離-方位聯(lián)合估計(jì)

表2 四目標(biāo)距離-方位聯(lián)合估計(jì)

3 結(jié) 論

借鑒蝙蝠的回聲定位機(jī)制,本文用雙稀疏隨機(jī)陣模擬蝙蝠雙耳接收,并使用仿生多諧波信號(hào),提出了一種基于距離-方位字典的仿生目標(biāo)定位方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明基于雙稀疏隨機(jī)陣列的距離-方位聯(lián)合字典能夠準(zhǔn)確估計(jì)出目標(biāo)的距離和方位信息,并具有較好的抗噪性和穩(wěn)健性,同時(shí),對(duì)于相鄰的3個(gè)或4個(gè)目標(biāo),該方法也能進(jìn)行準(zhǔn)確的距離-方位聯(lián)合估計(jì)。