呂曉磊，劉勤明，葉春明，李冠林

(上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093)

生產(chǎn)企業(yè)為避免設(shè)備發(fā)生故障造成嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失，需要對(duì)設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)。為保證生產(chǎn)的連續(xù)性，考慮在設(shè)備間加入緩沖區(qū)，建立設(shè)備-庫存-設(shè)備的連接方式，減少設(shè)備間的依賴關(guān)系和設(shè)備預(yù)防維護(hù)時(shí)的停機(jī)，為下游設(shè)備繼續(xù)生產(chǎn)提供緩沖時(shí)間。關(guān)于生產(chǎn)企業(yè)廣泛應(yīng)用的多個(gè)設(shè)備組成的并聯(lián)系統(tǒng)，在并聯(lián)系統(tǒng)中加入緩沖區(qū)，提高生產(chǎn)系統(tǒng)的可靠性，降低企業(yè)成本有重要意義。

目前，許多學(xué)者對(duì)生產(chǎn)過程中的非計(jì)劃停機(jī)進(jìn)行了研究，并提出了一些帶有緩沖區(qū)的預(yù)防性維護(hù)模型。金玉蘭等[1]為減少生產(chǎn)設(shè)備故障對(duì)生產(chǎn)的影響，考慮單一設(shè)備維護(hù)計(jì)劃和生產(chǎn)調(diào)度及優(yōu)化，在模型中引入庫存緩沖區(qū)，綜合考慮維護(hù)成本、總完成時(shí)間、總加權(quán)完工時(shí)間和總加權(quán)延遲時(shí)間的多個(gè)目標(biāo)函數(shù)，但沒有考慮緩沖區(qū)數(shù)量的影響。Nahas[2]優(yōu)化了不可靠生產(chǎn)系統(tǒng)中設(shè)備的緩沖和預(yù)防性維護(hù)，減少了整個(gè)生產(chǎn)過程中的計(jì)劃外停機(jī)損失。成國慶等[3]針對(duì)退化系統(tǒng)，對(duì)考慮緩沖區(qū)庫存的最優(yōu)維護(hù)更換策略進(jìn)行了研究。王林等[4]在研究非馬氏串行生產(chǎn)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，提出了緩沖區(qū)與維護(hù)的聯(lián)合優(yōu)化模型。Tambe等[5]為使生產(chǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，通過機(jī)會(huì)策略調(diào)整，減少計(jì)劃外停機(jī)時(shí)間，考慮一系列成本組合問題，并使用3種不同的算法模擬真實(shí)數(shù)據(jù)。劉勤明等[6]針對(duì)帶有庫存緩沖區(qū)的設(shè)備維護(hù)問題，提出了隨機(jī)故障設(shè)備的不完美預(yù)防維護(hù)策略。Khatab等[7]考慮一些重要工業(yè)任務(wù)的評(píng)價(jià)，平衡生產(chǎn)線最大生產(chǎn)率與最小完成任務(wù)成本的關(guān)系。Do等[8]根據(jù)設(shè)備的狀況來討論設(shè)備完美和不完美維護(hù)效果，在設(shè)備的維護(hù)策略模型中考慮到檢測(cè)時(shí)間間隔，其中，檢測(cè)周期由當(dāng)前設(shè)備維護(hù)類型的檢測(cè)結(jié)果來確定。Van Oosterhout等[9]以澳大利亞皇家海軍為研究對(duì)象，通過提高機(jī)隊(duì)維護(hù)人員的維護(hù)知識(shí)，考慮機(jī)隊(duì)的整體生產(chǎn)和維護(hù)管理，優(yōu)化維護(hù)計(jì)劃。Magnanini等[10]根據(jù)緩沖區(qū)容量閾值和閾值對(duì)設(shè)備退化條件的依賴性制定預(yù)防維護(hù)策略。以上研究均針對(duì)串聯(lián)系統(tǒng)，考慮緩沖區(qū)庫存分配與最優(yōu)預(yù)防維護(hù)策略的聯(lián)合優(yōu)化，并沒有考慮并聯(lián)系統(tǒng)的情況。

可執(zhí)行不同操作或生產(chǎn)不同產(chǎn)品的多個(gè)設(shè)備組成的并聯(lián)系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)企業(yè)中。并聯(lián)系統(tǒng)作為一種常用結(jié)構(gòu)，近年來也有大量關(guān)于并聯(lián)系統(tǒng)設(shè)備最優(yōu)預(yù)防維護(hù)策略的研究。Wu等[11]針對(duì)制造訂單生產(chǎn)環(huán)境中容易發(fā)生故障的并聯(lián)設(shè)備建立動(dòng)態(tài)決策模型，以協(xié)調(diào)其調(diào)度與預(yù)防性維護(hù)決策。Guo等[12]提出了經(jīng)濟(jì)依賴下多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)的選擇維護(hù)模型，指出串并聯(lián)系統(tǒng)及其組件具有幾個(gè)有限的性能級(jí)別，討論了不同經(jīng)濟(jì)依賴類型下各部件的維護(hù)費(fèi)用和維護(hù)時(shí)間。Cheng等[13]研究了維護(hù)活動(dòng)不斷惡化的非相關(guān)并行設(shè)備調(diào)度問題。李波等[14]提出了以生產(chǎn)時(shí)間最大化為目標(biāo)函數(shù)，以多產(chǎn)品情況下生產(chǎn)線柔性限度、各產(chǎn)品所需的生產(chǎn)時(shí)間要求、預(yù)防性維護(hù)寬放區(qū)間、維護(hù)班組數(shù)量為約束的多產(chǎn)品半柔性并聯(lián)生產(chǎn)線預(yù)防性維護(hù)調(diào)度的模型。Maatouk等[15]針對(duì)可維護(hù)多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)的預(yù)防性維護(hù)優(yōu)化問題，建立并分析了基于維護(hù)計(jì)劃成本和可用性特征參數(shù)的4種遺傳模型。Shen等[16]將處理時(shí)間和維護(hù)時(shí)間作為模型中的不確定變量，研究2個(gè)相同的并聯(lián)機(jī)器的調(diào)度問題。Diaz等[17]介紹了一種針對(duì)相同的并聯(lián)設(shè)備，最小化最大完工時(shí)間的生產(chǎn)任務(wù)與預(yù)防性維護(hù)策略聯(lián)合規(guī)劃的啟發(fā)式方法。Dong等[18]研究了具有隨機(jī)相依性、結(jié)構(gòu)相依性和經(jīng)濟(jì)相依性3種相依性的并聯(lián)冗余系統(tǒng)的修正周期維護(hù)策略，提出了系統(tǒng)預(yù)防性維護(hù)的方法。Panagiotidou[19]針對(duì)具有多個(gè)相同部件的并聯(lián)系統(tǒng)，提出了一種聯(lián)合優(yōu)化預(yù)防性更換時(shí)間和備件訂購策略的集成模型。Krim等[20]針對(duì)單機(jī)定期預(yù)防性維護(hù)的調(diào)度問題，提出了最小化完工時(shí)間加權(quán)和的方法。但這些研究只針對(duì)并聯(lián)系統(tǒng)設(shè)備提出預(yù)防維護(hù)策略，并沒有考慮緩沖區(qū)庫存的分配。

針對(duì)以上問題，本文綜合分析并聯(lián)系統(tǒng)設(shè)備的性質(zhì)，充分考慮并聯(lián)系統(tǒng)中每臺(tái)設(shè)備的故障率與維護(hù)率，在并聯(lián)系統(tǒng)與下游設(shè)備之間建立緩沖區(qū)，構(gòu)建了一個(gè)3M1B系統(tǒng)。在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，考慮設(shè)備不完美生產(chǎn)的可能性，以成本率最小為目標(biāo)函數(shù)，緩沖區(qū)庫存量與設(shè)備運(yùn)行時(shí)間為決策變量建立優(yōu)化模型，求解最佳的預(yù)防維護(hù)策略與最優(yōu)的緩沖區(qū)庫存量?？偝杀景ㄓ捎谏a(chǎn)缺陷品而產(chǎn)生的成本、庫存持有成本、缺貨成本和設(shè)備維護(hù)成本。同時(shí)考慮并聯(lián)系統(tǒng)中一個(gè)設(shè)備停機(jī)缺貨，另一設(shè)備出現(xiàn)空轉(zhuǎn)的可能性，加上了設(shè)備空轉(zhuǎn)成本。最后求得的預(yù)防維護(hù)策略對(duì)減少并聯(lián)系統(tǒng)的停機(jī)時(shí)間，降低企業(yè)生產(chǎn)成本，提高企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力有非常重要的作用。

1 問題描述

一帶緩沖區(qū)的并聯(lián)生產(chǎn)單元(3M1B)如圖1所示。設(shè)備M1和M2為上游的不同設(shè)備，以生產(chǎn)速率β為設(shè)備M3提供不同的半成品m1和m2；設(shè)備M3以m1、m2為原材料，以速率 β生產(chǎn)產(chǎn)品m3。上下游設(shè)備之間設(shè)立緩沖區(qū)B，m1和m2經(jīng)過緩沖區(qū)后到達(dá)下游設(shè)備。設(shè)備在進(jìn)行維護(hù)活動(dòng)之前進(jìn)行緩沖區(qū)庫存的累計(jì)，以確保上游設(shè)備維護(hù)時(shí)生產(chǎn)過程的連續(xù)性。

圖1 3M1B系統(tǒng)Figure 1 3M1B system

與以往2M1B串聯(lián)系統(tǒng)不同，3M1B并聯(lián)生產(chǎn)單元中并聯(lián)的2臺(tái)設(shè)備M1和M2互相影響，一臺(tái)設(shè)備進(jìn)行停機(jī)維護(hù)或者缺貨，另一臺(tái)設(shè)備也會(huì)空轉(zhuǎn)，整個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)停止生產(chǎn)。本文要解決的問題為并聯(lián)生產(chǎn)單元中并聯(lián)設(shè)備M1和M2最佳預(yù)防維護(hù)周期以及緩沖區(qū)B最優(yōu)庫存分配量。

設(shè)備M1、M2從上一次維護(hù)結(jié)束到下一次維護(hù)開始為一個(gè)運(yùn)行周期Ti(i=1,2)，在設(shè)備運(yùn)行后的某個(gè)隨機(jī)時(shí)間ti，設(shè)備將失去完好狀態(tài)。若ti≤Ti，從時(shí)間t到運(yùn)行周期T結(jié)束，每個(gè)設(shè)備生產(chǎn)出來的產(chǎn)品為缺陷品的概率為q。在每一個(gè)周期運(yùn)行一定時(shí)間后，設(shè)備以最大速率 α累計(jì)緩沖庫存，直至達(dá)到累計(jì)庫存量Si(i=1,2)，開始進(jìn)行預(yù)防維護(hù)或者故障維護(hù)，在每次維護(hù)行動(dòng)開始時(shí)，可診斷出生產(chǎn)設(shè)備的狀態(tài)。如果生產(chǎn)設(shè)備是非完好狀態(tài)，則故障維護(hù)，否則進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)。如果在生產(chǎn)周期內(nèi)沒有不完美生產(chǎn)，則維護(hù)行動(dòng)的預(yù)期成本為c1，維護(hù)行動(dòng)的持續(xù)時(shí)間為隨機(jī)變量Y1，分布函數(shù)為G1(z)，均值E(Y1)＞0。否則，如果存在不完美生產(chǎn)，則維護(hù)行動(dòng)的預(yù)期成本為c2，維持行動(dòng)的持續(xù)時(shí)間為隨機(jī)變量Y2，分布函數(shù)為G2(z)，均值為E(Y2)＞0。維護(hù)活動(dòng)結(jié)束之后，開始新一輪的周期。該庫存量Si需要確保設(shè)備在維護(hù)活動(dòng)停機(jī)時(shí)，滿足下游設(shè)備的生產(chǎn)需求，使得生產(chǎn)系統(tǒng)依然以速率 β進(jìn)行生產(chǎn)。圖2為一個(gè)運(yùn)行周期內(nèi)緩沖區(qū)庫存變化示意圖。

圖2 一個(gè)周期內(nèi)緩沖區(qū)庫存變化示意圖Figure 2 Buffer inventory change in one cycle

其中，S1為設(shè)備M1維護(hù)時(shí)需要累計(jì)的緩沖區(qū)庫存量；S2為設(shè)備M2維護(hù)時(shí)需要累計(jì)的緩沖區(qū)庫存量；T1為設(shè)備M1的運(yùn)行周期；T2為設(shè)備M2的運(yùn)行周期。當(dāng)Ti減少時(shí)，庫存持有成本增加，若在建立緩沖庫存后進(jìn)行維護(hù)操作，缺陷品的預(yù)期數(shù)量隨Ti增加而增加。同樣，當(dāng)Si減少時(shí)，預(yù)期短缺增加，當(dāng)Si增加時(shí)，庫存持有成本增加。因此，需要確定Ti和Si的最優(yōu)值。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 符號(hào)描述

Mi：生產(chǎn)設(shè)備，i=1,2；

λi：設(shè)備Mi的故障率，i=1,2；

μi：設(shè)備Mi的維護(hù)率，i=1,2；

α：緩沖區(qū)補(bǔ)貨率；

β：并聯(lián)系統(tǒng)生產(chǎn)率；

c1：每次預(yù)防性維護(hù)的固定費(fèi)用；

c2：每次故障維護(hù)的固定費(fèi)用；

d：殘次品單位費(fèi)用；

EC(T)：運(yùn)行時(shí)間為T時(shí)，一個(gè)周期的期望；

E(X)：隨機(jī)變量X的期望；

η：設(shè)備空轉(zhuǎn)費(fèi)用；

Cd(T)：1個(gè)運(yùn)行周期內(nèi)因生產(chǎn)缺陷品產(chǎn)生的費(fèi)用；

Ch(S)：1個(gè)運(yùn)行周期內(nèi)庫存持有費(fèi)用；

Cs(S,T)：1個(gè)運(yùn)行周期內(nèi)的缺貨費(fèi)用；

qi：設(shè)備Mi失控狀態(tài)下產(chǎn)生缺陷產(chǎn)品的概率，i=1,2；

ρ：?jiǎn)挝蝗必涃M(fèi)用；

Si：設(shè)備Mi維護(hù)時(shí)緩沖區(qū)庫存量水平，i=1,2；

ti：隨機(jī)變量，生產(chǎn)設(shè)備Mi恢復(fù)生產(chǎn)后進(jìn)入失控狀態(tài)的時(shí)間，i=1,2；

f(t)：t的概率密度函數(shù)；

F(t)：t的概率分布函數(shù)；

Ti：Mi運(yùn)行時(shí)間，上一次維護(hù)活動(dòng)后到下一次維護(hù)活動(dòng)開始時(shí)的生產(chǎn)周期，i=1,2；

C(S,T)：一個(gè)運(yùn)行周期的總費(fèi)用；

TCR(S,T)：一個(gè)運(yùn)行周期的費(fèi)用率；

Y：隨機(jī)變量，維護(hù)時(shí)間；

h：緩沖區(qū)庫存單位費(fèi)用；

Yi1：隨機(jī)變量，設(shè)備Mi處于正常狀態(tài)下的維護(hù)時(shí)間；

Yi2：隨機(jī)變量，設(shè)備Mi失控狀態(tài)下的維護(hù)時(shí)間；

gi(t)：Yij的概率密度函數(shù)，i,j=1,2；

Gi(t)：Yij的概率分布函數(shù)，i,j=1,2。

2.2 假設(shè)

1) 生產(chǎn)設(shè)備正常運(yùn)行T單元時(shí)間后開始進(jìn)行維護(hù)工作。一旦維護(hù)工作完成，立即恢復(fù)生產(chǎn)。

2) 為了生產(chǎn)緩沖庫存，額外的生產(chǎn)能力總是可用的。對(duì)于這種額外的生產(chǎn)能力，產(chǎn)生缺陷產(chǎn)品的可能性可以忽略不計(jì)。

3) 設(shè)備進(jìn)行維護(hù)活動(dòng)發(fā)生缺貨時(shí)，并聯(lián)系統(tǒng)中另一臺(tái)設(shè)備以及下游設(shè)備空轉(zhuǎn)運(yùn)行。當(dāng)設(shè)備恢復(fù)運(yùn)行時(shí)，立即恢復(fù)生產(chǎn)[21]。

2.3 故障率模型

針對(duì)并聯(lián)系統(tǒng)中的每一臺(tái)設(shè)備，以生產(chǎn)成本率最低為優(yōu)化目標(biāo)制定預(yù)防維護(hù)模型，求得在成本率最低情況下的最佳運(yùn)行周期和緩沖區(qū)庫存分配量。本文假設(shè)設(shè)備故障率服從參數(shù)為 λ的指數(shù)分布，維護(hù)率服從均勻分布。

在每個(gè)運(yùn)行周期T內(nèi)，設(shè)備在運(yùn)行后的某個(gè)隨機(jī)時(shí)間t將發(fā)生故障。如果t≤T，那么從時(shí)間t到運(yùn)行周期結(jié)束T，每個(gè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品為缺陷品的概率為q。其中，設(shè)備發(fā)生故障的時(shí)刻t服從參數(shù)為λ 的指數(shù)分布。

2.4 運(yùn)行周期時(shí)間模型

設(shè)備運(yùn)行周期包括設(shè)備維護(hù)活動(dòng)所花費(fèi)的時(shí)間和設(shè)備運(yùn)行時(shí)間。

其中，F(xiàn)(T)=1-e-λT，表示設(shè)備在運(yùn)行周期T內(nèi)發(fā)生故障的可能性；E(Y1)為設(shè)備預(yù)防維護(hù)的期望時(shí)間；E(Y2)為設(shè)備故障維護(hù)的期望時(shí)間。因此，運(yùn)行周期時(shí)間為

2.5 生產(chǎn)成本率模型

2.5.1 生產(chǎn)缺陷品產(chǎn)生的成本

若設(shè)備在一個(gè)運(yùn)行周期T內(nèi)的某個(gè)時(shí)刻t會(huì)進(jìn)入非完好狀態(tài)，那么從時(shí)刻t到運(yùn)行周期結(jié)束T，每個(gè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品為缺陷品的概率為q。生產(chǎn)周期內(nèi)非完好狀態(tài)的時(shí)間期望為因此，因生產(chǎn)缺陷品而產(chǎn)生的成本為

2.5.2 運(yùn)行周期內(nèi)的庫存持有成本

建立緩沖區(qū)庫存的目的是為了減少由于設(shè)備故障停機(jī)而導(dǎo)致的生產(chǎn)活動(dòng)中斷。然而緩沖區(qū)庫存過多，將會(huì)給企業(yè)帶來更多的庫存持有成本。因此，在一個(gè)運(yùn)行周期內(nèi)的庫存持有成本表達(dá)式為

2.5.3 運(yùn)行周期內(nèi)的缺貨成本

假設(shè)當(dāng)設(shè)備M1在維護(hù)，緩沖區(qū)庫存耗盡，會(huì)產(chǎn)生缺貨，此時(shí)，設(shè)備M2、M3雖然不停機(jī)但處于空轉(zhuǎn)狀態(tài)，會(huì)產(chǎn)生一定的費(fèi)用。同理，設(shè)備M2在維護(hù)，緩沖區(qū)庫存耗盡，此時(shí)，設(shè)備M1、M3雖然不停機(jī)但處于空轉(zhuǎn)狀態(tài)，會(huì)產(chǎn)生一定的費(fèi)用。因此一個(gè)運(yùn)行周期內(nèi)的缺貨成本為

2.5.4 運(yùn)行周期內(nèi)的維護(hù)成本

維護(hù)成本是預(yù)防維護(hù)成本和故障維護(hù)成本的期望值。在一個(gè)運(yùn)行周期內(nèi)的維護(hù)成本為

運(yùn)行周期內(nèi)的總成本為

綜上，一個(gè)運(yùn)行周期內(nèi)的費(fèi)用率為

針對(duì)3M1B中的每臺(tái)設(shè)備，分別以一個(gè)周期內(nèi)的最小費(fèi)用率為目標(biāo)函數(shù)，設(shè)備運(yùn)行時(shí)間T與緩沖區(qū)庫存量S為決策變量，求解每臺(tái)設(shè)備使得費(fèi)用率最低時(shí)的最優(yōu)維護(hù)周期T*與最佳緩沖區(qū)庫存量S*。同時(shí)模型也能得到緩沖區(qū)最佳緩沖庫存量和設(shè)備預(yù)防性維護(hù)周期的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而在實(shí)際生產(chǎn)中，更好地對(duì)設(shè)備進(jìn)行預(yù)防維護(hù)。

3 模型求解

附錄中詳細(xì)證明了此模型存在最優(yōu)解。

由于模型的復(fù)雜性，通過求解得到最優(yōu)解是非常困難的。因此，在證明的基礎(chǔ)上，本文分別采用離散迭代算法和遺傳算法求解數(shù)值最優(yōu)解，最后通過Matlab編程求解。

離散迭代算法的算法流程如圖3所示，具體步驟如下。

圖3 算法流程圖Figure 3 Algorithm flow chart

步驟1賦值S=Smin。1)T=Tmin。2) 求解TCR(T,S)，賦值TCR(T*,S)=TCR(T,S)。3)T=T+ΔT，求解TCR(T,S)。4) 判斷T＜Tmax。若成立，轉(zhuǎn)到5)；否則，轉(zhuǎn)到6)。5) 判斷TCR(T*,S)＞TCR(T,S)。若成立，則賦值TCR(T*,S)=TCR(T,S)、T*=T，轉(zhuǎn)到3)；否則，記錄TCR(T*,S)、T*，轉(zhuǎn)到(5)。6) 令S=S+ΔS，若S＜Smax，則轉(zhuǎn)到1)；否則程序結(jié)束。

步驟2通過步驟1可求得不同庫存分配量S下的最優(yōu)運(yùn)行周期T*，以及所有的成本率TCR(T*,S)。記錄所有TCR(T*,S)，經(jīng)過排序容易找到系統(tǒng)最小平均成本率和最優(yōu)聯(lián)合策略(T*,S*)。

遺傳算法具體步驟如下。

步驟1設(shè)置初始值。1) 初始化。設(shè)置T、S最大取值，設(shè)置迭代次數(shù)，種群數(shù)，變量維數(shù)，交叉概率，變異概率，初始化種群。2) 個(gè)體評(píng)價(jià)。計(jì)算初始種群的目標(biāo)函數(shù)值T CR(T,S)。

步驟2迭代。1) 選擇算子；2) 交叉算子；3) 變異；4) 個(gè)體評(píng)價(jià)。計(jì)算子代目標(biāo)函數(shù)值TCR(T,S)。

步驟3尋優(yōu)。尋找TCR(T*,S*)最小值及其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解(T*,S*)。

4 算例分析

4.1 案例求解

假設(shè)一并聯(lián)生產(chǎn)單元由3臺(tái)設(shè)備和1個(gè)緩沖區(qū)組成，如圖1所示。生產(chǎn)率β=30 000個(gè)/a，緩沖區(qū)補(bǔ)貨率α=6 000個(gè)/a，單位缺貨費(fèi)用為10元，設(shè)備空轉(zhuǎn)成本為300 000元/a，殘次品的單位費(fèi)用d=10元，生產(chǎn)設(shè)備M1失控狀態(tài)下產(chǎn)生缺陷產(chǎn)品的概率q1=0.1，生產(chǎn)設(shè)備M2失控狀態(tài)下產(chǎn)生缺陷產(chǎn)品的概率q2=0.2，每臺(tái)設(shè)備的單次預(yù)防維護(hù)費(fèi)用為150元，固定維護(hù)費(fèi)用為450元。每臺(tái)設(shè)備無故障下的維護(hù)時(shí)間服從0.5～1 d的均勻分布，出現(xiàn)故障后維護(hù)時(shí)間服從2～5 d的均勻分布。緩沖區(qū)的單位庫存費(fèi)用為20元/(件·a)，緩沖區(qū)可以存放零件量為0～411件，周期T的范圍為0～105 d。設(shè)備M1、M2、M3的故障率參數(shù)λ1、λ2、λ3分別為1.0、1.5、1.2。

通過費(fèi)用率函數(shù)，求得使得其費(fèi)用率最小時(shí)的周期T以及緩沖區(qū)庫存S。首先以離散迭代算法求解，利用Matlab編程求解，得到M1、M2的運(yùn)行時(shí)間T1、T2分別為61d、34 d，緩沖區(qū)B的庫存分配量S1、S2分別為339件、328件。圖4為設(shè)備M1費(fèi)用率隨S、T的變化圖；圖5為設(shè)備M2費(fèi)用率隨S、T的變化圖。通過圖5可以看出，隨著緩沖區(qū)庫存和維護(hù)周期的變大，成本率先減小后增大，與實(shí)際相符。

圖4 設(shè)備 M1費(fèi)用率隨S、T的變化圖Figure 4 The change diagram of the expense ratio of equipment M1 with S, T

圖5 設(shè)備 M2費(fèi)用率隨S、T的變化圖Figure 5 The change diagram of the expense ratio of equipment M2 with S, T

生產(chǎn)單元中M1、M2的運(yùn)行周期以及緩沖區(qū)庫存分配量和與之對(duì)應(yīng)的最低費(fèi)用率見表1。

表1 設(shè)備運(yùn)行周期及緩沖區(qū)庫存分配量Table 1 Equipment running cycle and buffer stock distribution

針對(duì)遺傳算法，本文設(shè)置種群規(guī)模為200，迭代次數(shù)為500，交叉概率為0.9，變異概率為0.02，先后通過選擇算子，交叉算子，變異算子求得最優(yōu)解。圖6為設(shè)備M1求解迭代過程圖；圖7為設(shè)備M2迭代過程圖。

圖6 設(shè)備 M1求解迭代過程圖Figure 6 The iterative process of solving device M1

圖7 設(shè)備 M2求解迭代過程圖Figure 7 The iterative process of solving device M2

通過遺傳算法計(jì)算得到的結(jié)果與離散迭代算法所得結(jié)果相同。但遺傳算法求解運(yùn)行時(shí)間是所提出離散迭代算法求解時(shí)間的3倍，因此本文模型的求解適合采用離散迭代算法。

4.2 結(jié)果分析

設(shè)備M1失效率λ1=1.0，設(shè)備M2失效率λ2=1.5，設(shè)備M1維護(hù)周期為61 d，設(shè)備M2維護(hù)周期為34 d，符合實(shí)際。因此，該生產(chǎn)系統(tǒng)正常運(yùn)行34 d后對(duì)設(shè)備M2進(jìn)行維護(hù)，且需緩沖區(qū)庫存328個(gè)，再運(yùn)行27 d對(duì)設(shè)備M1進(jìn)行維護(hù)，且需累計(jì)的緩沖區(qū)庫存為339個(gè)。運(yùn)行周期及緩沖區(qū)庫存的變化如圖8所示。

圖8 運(yùn)行周期及緩沖區(qū)庫存的變化圖Figure 8 Change diagram of running cycle and buffer stock

針對(duì)設(shè)備M1與M2，求解得到不同運(yùn)行周期T下最優(yōu)庫存及最小成本率，見表2。從表2可以看出，運(yùn)行周期T值過小或者過大都會(huì)導(dǎo)致成本率增大。T值過小，維護(hù)次數(shù)過多，將會(huì)導(dǎo)致維護(hù)成本增加，停機(jī)次數(shù)增加；T值過大，設(shè)備在周期內(nèi)產(chǎn)生故障的概率越大，產(chǎn)生的缺陷品成本增加。

表2 不同T 值下最優(yōu)庫存以及最小成本率Table 2 Optimal inventory and minimum cost rate under different T

4.3 結(jié)果比較

為說明模型的有效性，表3比較了考慮和不考慮緩沖區(qū)庫存時(shí)最優(yōu)運(yùn)行周期與最小成本率。當(dāng)不考慮緩沖區(qū)庫存時(shí)，總的生產(chǎn)成本不包括庫存持有成本。表3顯示，在考慮緩沖庫存的情況下，成本率最小，說明本文提出的考慮緩沖區(qū)庫存的預(yù)防維護(hù)策略最優(yōu)是有效和可行的。

表3 考慮與不考慮緩沖區(qū)庫存時(shí)2種維護(hù)策略比較Table 3 Comparison of two maintenance strategies with and without buffer inventory

5 結(jié)論

本文針對(duì)帶有緩沖區(qū)的并聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)，充分分析并聯(lián)設(shè)備間的關(guān)系，構(gòu)建每臺(tái)設(shè)備的維護(hù)費(fèi)用率模型。通過案例分析分別采用離散迭代算法和遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解，發(fā)現(xiàn)離散迭代算法優(yōu)于遺傳算法。通過算例分析比較得出，帶有緩沖區(qū)的預(yù)防維護(hù)策略優(yōu)于沒有緩沖區(qū)得預(yù)防維護(hù)策略。在接下來的研究中可以擴(kuò)展到考慮緩沖區(qū)庫存分配的串并聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)的預(yù)防維護(hù)中。

附錄

針對(duì)費(fèi)用率函數(shù)，首先固定T，對(duì)S求導(dǎo)，得

繼續(xù)求二階導(dǎo)，得

可以看出，二階導(dǎo)函數(shù)是非負(fù)的，且

因此，存在唯一解，使得

綜上可得，固定T，費(fèi)用率函數(shù)是關(guān)于S的凸函數(shù)，且存在唯一最優(yōu)解S*使得費(fèi)用率函數(shù)最小。

同理，固定S，對(duì)T求導(dǎo)，可得

假設(shè)式(9)在固定S=S0時(shí)存在最優(yōu)解T*。若?f(T)/?T≤0且

對(duì)于所有的T＞0，TCR(S0,T)在T*處達(dá)到全局最優(yōu)解。