賈對(duì)紅

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治046000）

0 引言

泛函微分方程的振動(dòng)性理論近年來(lái)備受關(guān)注，并取得了許多優(yōu)秀成果［1-7］.文獻(xiàn)［8］研究了方程

的振動(dòng)性.文獻(xiàn)［9］給出了方程

的幾個(gè)振動(dòng)準(zhǔn)則.文獻(xiàn)［10，11］研究了方程

的振動(dòng)性.在此基礎(chǔ)上給出了方程

假設(shè)下列條件成立：

（H1）a（t）∈C1（［t0，∞），R+），且是正奇數(shù)之商；

（H2）ψ（t）∈C1（［t0，∞），R+），且存在L＞0使得

（H3）p（t，μ）∈C（［t0，∞）×［a，b］，R+），且

（H4）τ（t，μ）∈C（［t0，∞）×［a，b］，R+），關(guān) 于μ在 區(qū) 間［a，b］內(nèi) 單 調(diào) 遞 減，且 滿(mǎn) 足τ（t，μ）≤t，

（H5）g（t，ξ）∈C（［t0，∞）×［c，d］，R+）；關(guān)于ξ在區(qū)間［c，d］內(nèi)單調(diào)遞減，且滿(mǎn)足

（H6）f（x）∈C（R，R+），且存在常數(shù)δ＞0，使得是正奇數(shù)之商；

函數(shù)x（t）稱(chēng)為方程（1）的一個(gè)解，如果函數(shù)z（t）和a（t）ψ（x（t））（z″（t））γ連續(xù)可微且在［t0，∞）上x(chóng)（t）滿(mǎn)足方程（1）.方程（1）的一個(gè)非平凡解稱(chēng)為振動(dòng)的，如果它有任意大的零點(diǎn)，否則稱(chēng)為非振動(dòng)的.若方程（1）的一切解均振動(dòng)，則方程（1）是振動(dòng)的.

1 預(yù)備知識(shí)

引理1［10］若函數(shù)x（t）滿(mǎn)足x（i）（t）＞0，i=0，1…n，且x（n+1）（t）＜0，則有

引理2［11］若存在m＞0，U＞0，V＞0，則有

引理3假設(shè)（H1）-（H7）成立，x（t）是方程（1）的一個(gè)最終正解，z（t）有如下情形：

證明 設(shè)x（t）是方程（1）的一個(gè)最終正解，由假設(shè)當(dāng)t充分大時(shí)

可知a（t）ψ（x（t））（z″（t））α是單調(diào)遞減的，即存在一個(gè)t1＞t0，當(dāng)t＞t1時(shí)，a（t）ψ（x（t））（z″（t））α定號(hào)，由a（t）＞0，ψ（t）＞0，有z″（t）＞0或z″（t）＜0.

若z″（t）＜0，則z′（t）單調(diào)遞減，即存在一個(gè)t2＞t1，當(dāng)t＞t2時(shí)z′（t）定號(hào)，則z′（t）＞0或z′（t）＜0.下面證明當(dāng)t充分大時(shí)z′（t）＞0.事實(shí)上，若不然，則z′（t）＜0，而z″（t）＜0，當(dāng)t充分大時(shí)z（t）＜0，矛盾.

因此，當(dāng)t充分大時(shí)，z（t）有情形（a），（b），（c）.

引理4若假設(shè)（H1）—（H7）成立，x（t）是方程（1）的一個(gè)最終正解，z（t）有引理3中的情形（b），且假設(shè)

證明 設(shè)x（t）是方程（1）的一個(gè)最終正解，z（t）滿(mǎn)足情形（b），即z（t）＞0，z′（t）＜0，z″（t）＞0，由于當(dāng)t充分大時(shí)z′（t）＜0，所以z（t）是單調(diào)遞減的非負(fù)函數(shù)，則單調(diào)有下界，即存在0≤l＜∞，有l(wèi)，下面證明l=0.

若不然，則l＞0，對(duì)于任意的ε＞0，當(dāng)t充分大時(shí)有l(wèi)＜z（t）＜l+ε，l＜z（τ（t，μ））＜l+ε成立，令可得

由（H6），（H7）和式（3）可得

從而有

由z（t）的定義及x（t）為最終正解，當(dāng)t充分大時(shí)，z（t）≥x（t）＞0，最終可得

引理5假設(shè)條件H1-H7成立，若x（t）是方程（1）的最終正解，且滿(mǎn)足情形（a）（c），則有

證明：若x（t）是方程（1）的最終正解，則存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時(shí)，由z（t）的定義有

由方程（1）得

2 主要結(jié)果

設(shè)D=｛（t，s）：t0≤s≤t＜∞｝；D0=｛（t，s）：t0≤s＜t＜∞｝；，稱(chēng)函數(shù)H∈C1（D，R）屬于X類(lèi)函數(shù)，如果H滿(mǎn)足：

定理1若條件H1-H7成立，且：

其中A（t）=δ（1-p）βq（t），則方程（1）的解或振動(dòng)或趨于0.

證明：若x（t）是方程（1）的一個(gè)非振動(dòng)解，不妨設(shè)x（t）是最終正解，則存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時(shí)有x（t）＞0，x（τ（t，μ））＞0，x（g（t，ξ））＞0.

當(dāng)z（t）滿(mǎn)足情形（b）時(shí)，由引理4知結(jié)論成立.

當(dāng)z（t）滿(mǎn)足情形（a）（c）時(shí)，由引理5知式（5）成立，令

上式兩端同時(shí)求導(dǎo)得：

由于z（t）＞0，z′（t）＞0，從而得：

對(duì)上式從［t1，t］積分得：

當(dāng)t→∞時(shí)得w（t）＜0，矛盾，可知假設(shè)不成立，方程（1）的解是振動(dòng)的.

定理2若條件H1-H7成立，z（t）滿(mǎn)足情形（a）且存在函數(shù)ρ（t）∈C1（［t0，∞），R+）使得：

其中

則方程（1）的解是振動(dòng)的.

證明 若x（t）是方程（1）的非振動(dòng)解，不妨假設(shè)x（t）是最終正解，則存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時(shí)有x（t）＞0，x（τ（t，μ））＞0，x（g（t，ξ））＞0.令：

對(duì)式（8）兩端求導(dǎo)，并利用式（5）得：

得：

由式（9）（10）得：

由于z′（t）單調(diào)遞增，故存在常數(shù)A1＞0，當(dāng)t≥t1時(shí)有即：

故由式（11）得：

對(duì)（12）式兩端從［t1，t］積分得：

當(dāng)t→∞時(shí)，w（t）＜0，與式（8）矛盾，故假設(shè)不成立，x（t）是方程（1）的振動(dòng)解.

定理3若條件H1-H7成立，z（t）滿(mǎn)足情形（c），且存在函數(shù)θ（t）∈C1（［t0，∞），R+）使：

其中：

則方程（1）的解振動(dòng).

證明 若方程（1）存在非振動(dòng)解x（t），不妨假設(shè)x（t）為最終正解，即存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時(shí)有x（t＞0，x（τ（t，μ））＞0，x（g（t，ξ））＞0，由引理5知式（5）成立，從［t1，t］積分式（5）得：

由引理1得z（t）≥tz′（t），因此：

由（14）（15）式得：

令

上式求導(dǎo)得：

由引理2，令

得：

由于z′（t）＞0，故存在t2＞t1及常數(shù)B，當(dāng)t＞t2時(shí)，z（t）＞z（t2）＞z（t1）＞B，由（17）式得：

對(duì)上式從［t2，t］積分得：

當(dāng)t→∞時(shí)，φ（t）＜0，矛盾，故假設(shè)不成立，方程（1）的解振動(dòng).

定理4若條件H1-H7成立，z（t）滿(mǎn)足情形（a），且存在函數(shù)H1（t，s）∈X和函數(shù)ρ∈C1（［t0，∞），R+）使得：

成立，則方程（1）的解振動(dòng).

證明 若方程（1）有非振動(dòng)解x（t），不妨設(shè)x（t）為最終正解，即存在t1≥t0，當(dāng)t≥t0時(shí)有x（t＞0.x（τ（t，μ））＞0，x（g（t，ξ））＞0，因z（t）滿(mǎn)足情形（a），則式（10）成立.對(duì)式（10）兩邊同時(shí)乘以H1（t，s），并從［t1，t］積分得：

由引理2，取

由（19）式得：

這與（18）矛盾，故假設(shè)不成立，即方程（1）的解是振動(dòng)的.

定理5若條件H1-H7成立，z（t）滿(mǎn)足情形（c），且存在函數(shù)H2（t，s）∈X和函數(shù)θ（t）∈C1（［t0，∞），R+）使得：

成立，則方程（1）的解是振動(dòng)的.

證明 若方程（1）有非振動(dòng)解x（t），不妨設(shè)x（t）為最終正解，即存在t1≥t0，當(dāng)t≥t1時(shí)有x（t）＞0，x（τ（t，μ））＞0，x（g（t，ξ））＞0，又因z（t）滿(mǎn)足情形（c），則式（17）成立，將（17）式兩端同時(shí)乘以H2（t，s），并從［t1，t］上積分并利用引理2得：

即

這與（20）矛盾，故假設(shè)不成立，方程（1）的解是振動(dòng)的.

3 應(yīng)用舉例

考慮方程

由定理4得：

可知，此方程是振動(dòng)的.