夏志浩

(常州市金壇區(qū)測繪地理信息院，江蘇 常州 213200)

隨著社會的發(fā)展，特別是無人機、無人駕駛等一些新興領(lǐng)域都對定位精度提出了更高的要求。無論是GNSS控制網(wǎng)還是精密單點定位的解算，精密星歷的使用都對軌道誤差的減小有著積極的作用[1-2]。為了提高衛(wèi)星的定軌精度，通常采用IGS 提供的精密星歷。精密星歷分為最終星歷(IGF)、快速星歷(IGR)、超快速星歷(IGU)三種星歷[3]。本文采用的是15 min采樣間隔的最終星歷，實際解算中需對其進行插值或者擬合。其中較為常用的方法就是拉格朗日多項式插值法[4-5]和牛頓多項式插值法[6]，有一些學(xué)者也提到了內(nèi)維爾逐次線性插值法[7]和切比雪夫多項式擬合法[8]。

在本文中，筆者使用拉格朗日插值和切比雪夫多項式擬合兩種方法對15 min采樣間隔的最終精密星歷進行了標(biāo)準(zhǔn)化，并進行分析對比。

1 衛(wèi)星軌道標(biāo)準(zhǔn)化模型

1.1 拉格朗日插值法

假設(shè)函數(shù)f(x)在一系列點xi(稱之為節(jié)點)上精確值為已知，用一簡單函數(shù)y(x)逼近f(x),要求在節(jié)點y(x)與f(x)有相同的函數(shù)值，這就是插值。拉格朗日插值函數(shù)如下[9]：

(1)

式中，lj(x)稱為拉格朗日插值基函數(shù)，即：

lj=

(2)

當(dāng)n=1時，L1(x)稱為線性插值，它可以表示為：

(3)

當(dāng)n=2時，L2(x)稱為拋物線插值，它可以表示為：

(4)

在精密星歷內(nèi)插時，xi為精密星歷中的時間參數(shù)，f(x)為相對應(yīng)的衛(wèi)星位置和衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)。因為被插值點位于所有節(jié)點的中間位置精度最高，所以在本文中所有被求解節(jié)點都位于中間位置，即對待求歷元的衛(wèi)星位置和鐘差進行插值時，前后所取的歷元數(shù)據(jù)個數(shù)相等。

1.2 切比雪夫多項式法

切比雪夫多項式擬合就是根據(jù)給定的數(shù)據(jù)擬合出一個函數(shù)，使其在給定點的函數(shù)值與給定值之間的方差和最小[10]。假設(shè)需要在時間間隔[t0,t0+Δt]計算n階切比雪夫多項式系數(shù)：

B=

(5)

(6)

式中，n為切比雪夫多項式的階數(shù)；CXi、CYi、CZi分別為X坐標(biāo)分量、Y坐標(biāo)分量、Z坐標(biāo)分量的切比雪夫多項式系數(shù)。

在切比雪夫多項式中根據(jù)如下遞歸公式確定Ti：

T0(τ)=1,T1(τ)=1，Tn(τ)=2τTn-1(τ)-Tn-2(τ); |τ|≤1,n≥2

(7)

設(shè)Xk為觀測值，則誤差方程為：

(8)

誤差方程的矩陣展開式如下：

(9)

令V=[VX1VX2VX3…VXm]T;

L=[X1X2X3…Xm]T。

2 算例及結(jié)果比較

在本實驗中，筆者使用的數(shù)據(jù)為2012年1月4日的IGS最終精密星歷(esa16693.sp3)，從0 時0 分至23 時45 分，共96 個歷元。首先對G01、G02、G03三顆衛(wèi)星分別進行6～35階拉格朗日插值和9～25階切比雪夫多項式擬合，求取2012年1月4日12時0分0秒衛(wèi)星的坐標(biāo)，再將其與該歷元已知衛(wèi)星坐標(biāo)取差值，以X方向為例，結(jié)果如圖1和圖2所示。

圖1 拉格朗日插值結(jié)果

圖2 切比雪夫多項式擬合結(jié)果

由圖1可知，拉格朗日插值在階數(shù)取到9時，衛(wèi)星插值的結(jié)果趨向穩(wěn)定，與已知的衛(wèi)星坐標(biāo)基本相等，當(dāng)拉格朗日插值階數(shù)取到35時，衛(wèi)星坐標(biāo)的差值也不是很大，沒有見到明顯的龍格現(xiàn)象。由圖2可知，當(dāng)切比雪夫多項式的階數(shù)取到11階時，衛(wèi)星坐標(biāo)的差值趨于穩(wěn)定，直到擬合到第22階多項式時，衛(wèi)星坐標(biāo)的差值開始增大，擬合出的衛(wèi)星坐標(biāo)開始偏離衛(wèi)星坐標(biāo)的真實值，出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。因此在衛(wèi)星軌道標(biāo)準(zhǔn)化時應(yīng)充分考慮衛(wèi)星星歷的數(shù)據(jù)量，在保證精度和效率的情況下，盡量避免使用高次插值或擬合。

通過以上結(jié)果的分析，在該樣本中拉格朗日插值取9～11階，切比雪夫多項式擬合階數(shù)取12～14，計算結(jié)果精度和效率最優(yōu)。下面以10階拉格朗日插值和13階切比雪夫多項式為例，分別計算32號衛(wèi)星于12時0分0秒到12時1分0秒時間間隔的衛(wèi)星坐標(biāo)(采樣間隔為1 s)，結(jié)果如圖3所示。

圖3 兩種方法計算的衛(wèi)星坐標(biāo)差

從結(jié)果可以看出，衛(wèi)星坐標(biāo)之差在X、Y方向基本在30 mm以內(nèi)，在Z方向基本在40 mm以內(nèi)。隨著歷元數(shù)的增加，衛(wèi)星坐標(biāo)之差在0 mm上下擺動。從該時間段中選取前6個歷元，計算結(jié)果如表1所示，從表中可以看出,無論是插值還是擬合方法計算出的衛(wèi)星坐標(biāo)差值都很小，基本在0 mm上下擺動，衛(wèi)星位置坐標(biāo)值穩(wěn)定性相對較高。

表1 兩種方法計算的G32的坐標(biāo)(LGLR：拉格朗日 CBSV：切比雪夫多項式)

3 結(jié) 論

通過對拉格朗日插值和切比雪夫多項式擬合結(jié)果分析：(1)拉格朗日插值法、切比雪夫多項式法只要使用的階數(shù)合適，計算出的衛(wèi)星坐標(biāo)都滿足精度的要求；(2)對于切比雪夫多項式法而言，多項式的階數(shù)對結(jié)果的影響較為明顯，高階容易產(chǎn)生龍格現(xiàn)象；(3)在實際應(yīng)用中，不同計算方法的效率也不一樣。當(dāng)求解衛(wèi)星位置較少時，由于拉格朗日插值法不需要事先擬合衛(wèi)星軌道，所以計算速度優(yōu)勢比較明顯；當(dāng)求解衛(wèi)星位置較多時，由于切比雪夫多項式在每次計算衛(wèi)星坐標(biāo)時只需要代入系數(shù)矩陣，比起拉格朗日插值大量的進行插值計算效率要高很多。