邱江洋，梅桂明，王江文，羅 群

(西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031)

列車在高速運(yùn)行時(shí)穩(wěn)定的受流質(zhì)量是高速列車設(shè)計(jì)的一個(gè)重要因素，而直接影響受流質(zhì)量的就是受電弓與接觸網(wǎng)之間的接觸關(guān)系[1?2]。研究弓網(wǎng)系統(tǒng)之間的接觸關(guān)系則需要進(jìn)行弓網(wǎng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模[3]。

在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)計(jì)算之前，動(dòng)力學(xué)模型的初始條件及其重要，它直接影響著動(dòng)力學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果[4?5]。對(duì)于弓網(wǎng)系統(tǒng)也是一樣，接觸網(wǎng)的初始條件表征了接觸網(wǎng)系統(tǒng)在重力場(chǎng)、預(yù)張力和約束條件下的平衡構(gòu)型。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)接觸網(wǎng)系統(tǒng)的平衡構(gòu)型進(jìn)行了計(jì)算，利用懸鏈線方程[6?7]，將接觸網(wǎng)系統(tǒng)離散為懸鏈線單元，忽略結(jié)構(gòu)的抗彎剛度，對(duì)接觸網(wǎng)的平衡構(gòu)型進(jìn)行計(jì)算；類似的采用拋物線單元[8]，對(duì)簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)進(jìn)行離散，然后進(jìn)行平衡構(gòu)型的計(jì)算；意大利學(xué)者Bruni等[9]總結(jié)了全球10家致力于研究弓網(wǎng)關(guān)系的團(tuán)隊(duì)針對(duì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的弓網(wǎng)模型進(jìn)行的動(dòng)力學(xué)計(jì)算，里面也包含了每個(gè)單位對(duì)于接觸網(wǎng)的找形方法。不難看出，從現(xiàn)有的接觸網(wǎng)建模技術(shù)來(lái)看[10?19]，針對(duì)接觸網(wǎng)找形問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者都是針對(duì)接觸網(wǎng)的有限元模型，對(duì)其平衡狀態(tài)下的系統(tǒng)廣義坐標(biāo)(或者還包括單元初始長(zhǎng)度)進(jìn)行計(jì)算，而計(jì)算精度大多都依賴于接觸網(wǎng)離散模型的自由度，這也是傳統(tǒng)有限單元基于小變形假設(shè)所帶來(lái)得一個(gè)不可避免的問(wèn)題。

多柔體動(dòng)力學(xué)理論在經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展后，在工程領(lǐng)域取得廣泛應(yīng)用。其中由Shabana[20]提出的絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法(ANCF)，由于系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)直接采用節(jié)點(diǎn)的絕對(duì)位置矢量和絕對(duì)梯度矢量，由于將節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)中的梯度矢量替換了傳統(tǒng)有限單元的小轉(zhuǎn)動(dòng)矢量，所以沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)幅度的限制，因此在描述鐵路接觸網(wǎng)系統(tǒng)、電梯升降繩以及流體建模等[19,21?23]眾多柔性大變形問(wèn)題具有很多優(yōu)勢(shì)。而基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)[20]的ANCF在描述其有限單元時(shí)，其單元的二階連續(xù)性能夠使系統(tǒng)有限元模型的維度大大降低，因此能更好地進(jìn)行有限元模型的動(dòng)力學(xué)計(jì)算。

本文采用基于ANCF描述的多柔體動(dòng)力學(xué)理論建立接觸網(wǎng)的有限元模型，接觸網(wǎng)由兩節(jié)點(diǎn)的ANCF索單元進(jìn)行離散，模型考慮了接觸網(wǎng)中的彎曲變形和軸向變形，考慮到接觸網(wǎng)中幾乎不存在扭轉(zhuǎn)變形，所以忽略了接觸網(wǎng)中的扭轉(zhuǎn)變形。由于接觸網(wǎng)系統(tǒng)是一種張緊的工程結(jié)構(gòu)，在找形分析中使單元的初始長(zhǎng)度變化來(lái)滿足接觸網(wǎng)中的張力要求。并根據(jù)拉式方程推導(dǎo)了在索單元長(zhǎng)度未知情況下的動(dòng)力學(xué)模型，針對(duì)平衡構(gòu)型的計(jì)算問(wèn)題，對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行退化處理。在引入未知單元長(zhǎng)度的模型后，需要根據(jù)接觸網(wǎng)中的張力條件進(jìn)行補(bǔ)充方程，得到的接觸網(wǎng)平衡構(gòu)型的計(jì)算模型整體計(jì)算維度非常小，僅與每跨中的吊弦數(shù)量相關(guān)。最后通過(guò)3個(gè)數(shù)值算例，分別從單元穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的計(jì)算、簡(jiǎn)單接觸網(wǎng)穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的計(jì)算以及工程應(yīng)用中的接觸網(wǎng)穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的計(jì)算上驗(yàn)證了本文找形方法的可行性。

1 ANCF基本動(dòng)力學(xué)理論

1.1 單元長(zhǎng)度未知的ANCF索單元理論

兩節(jié)點(diǎn)的ANCF索單元如圖1所示，其中心線上任意點(diǎn)P的絕對(duì)位置矢量可表示為：

圖1 兩節(jié)點(diǎn)索單元變形前后示意圖Fig.1 Deformed and un-deformed two-nodes cable element

式中：L為單元初始長(zhǎng)度；l為任意點(diǎn)P在中心線上的弧長(zhǎng)坐標(biāo)，滿足：

單元初始長(zhǎng)度L為時(shí)變的未知量，定義單元初始長(zhǎng)度L為：

單元的動(dòng)能可表示為[24]：

單元?jiǎng)菽苡蓱?yīng)變能和重力勢(shì)能組成：

1.2 索單元?jiǎng)恿W(xué)方程

在引入約束條件下，由帶約束乘子的第一類拉格朗日方程建立索單元?jiǎng)恿W(xué)方程：

由式(15)可推導(dǎo)得變長(zhǎng)度索動(dòng)力學(xué)模型的另一種表達(dá)形式：

1.3 動(dòng)力學(xué)方程求解方法

式(16)是一組典型的微分-代數(shù)方程(DAEs)，本文采用經(jīng)典的增廣法[26]進(jìn)行求解，為了使解趨于穩(wěn)定，引入閉環(huán)系統(tǒng)：

對(duì)于多單元系統(tǒng)，采用傳統(tǒng)有限元共用節(jié)點(diǎn)組裝的方法，根據(jù)式(20)，即可求出系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)q、廣義速度q˙和廣義加速度q¨。

2 動(dòng)力學(xué)模型退化的找形方法

2.1 平衡狀態(tài)下的動(dòng)力學(xué)模型

第1節(jié)推導(dǎo)了單元長(zhǎng)度未知情況下的索單元?jiǎng)恿W(xué)模型，而平衡狀態(tài)就是動(dòng)力學(xué)模型中一個(gè)特殊情況。對(duì)應(yīng)的條件是與時(shí)間相關(guān)的一階、二階導(dǎo)數(shù)均為0，即：

而式(23)在找形問(wèn)題中需要求解的變量只有單元的廣義坐標(biāo)，所以可以根據(jù)式(23)得到：

式中：DOFs為單元自由度，對(duì)于本模型的ANCF索單元，單元自由度為12；另外定義：

值得注意的是，在式(25)中，未知的只有由動(dòng)能附加項(xiàng)引起的廣義力附加項(xiàng)，動(dòng)能附加項(xiàng)表達(dá)式為：

而在應(yīng)用拉式方程建立索單元?jiǎng)恿W(xué)模型時(shí)，動(dòng)能附加項(xiàng)參與計(jì)算時(shí)，會(huì)引起兩項(xiàng)廣義力附加項(xiàng)：

但當(dāng)單元處于平衡狀態(tài)時(shí)，由于式(28)和式(29)中均含有與時(shí)間相關(guān)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，根據(jù)式(22)可知：

由此可知，由動(dòng)能附加項(xiàng)引起的廣義力附加項(xiàng)：

所以，式(25)可改寫為：

2.2 引入張力條件的找形方法

根據(jù)式(24)可知，由動(dòng)力學(xué)模型退化得到一組獨(dú)立的非線性方程組的維度只是單元自由度數(shù)，但還需要求解的還有單元初始長(zhǎng)度，所以需要再添加一個(gè)獨(dú)立的方程，對(duì)于張緊的單元，可根據(jù)張力條件補(bǔ)充方程：

式中，T為給定的張力條件。聯(lián)立式(24)和式(32)可得到一組非線性方程組：

3 接觸網(wǎng)找形問(wèn)題

3.1 接觸網(wǎng)有限元模型

簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)如圖2所示，以3跨簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)為例，吊弦作為連接承力索和接觸線的結(jié)構(gòu)，使得接觸網(wǎng)成為一個(gè)彈性均勻分布的系統(tǒng)，同時(shí)，定位裝置將接觸線和承力索并不是沿軌道呈直線分布，而是呈“之”形分布，如圖2中俯視圖所示，從而使受電弓滑板能夠均勻磨耗。另外，接觸線和承力索的下錨處安裝了棘輪補(bǔ)償裝置，使得接觸線和承力索一直處于張緊狀態(tài)，在圖中用Tcw、Tmw表示。

兩個(gè)吊弦之間的接觸線/承力索、接觸線/承力索與定位裝置之間，還有定位器均采用一個(gè)變長(zhǎng)度索單元。接觸網(wǎng)系統(tǒng)離散為N個(gè)變長(zhǎng)度ANCF索單元：

式中：ns為跨數(shù)；nd為一跨內(nèi)的吊弦數(shù)量。

3.2 接觸網(wǎng)中的約束處理

為了簡(jiǎn)化接觸網(wǎng)中的約束，在接觸網(wǎng)有限元模型中的連接方式均采用球鉸約束[19]，在絕對(duì)坐標(biāo)系下的3單元球鉸連接如圖3所示。其數(shù)學(xué)模型表示為：{

圖3 3個(gè)單元球鉸連接示意圖Fig.3 Schematic diagram of spherical hinge connection of 3 elements

在接觸網(wǎng)中，吊弦與接觸線單元、吊弦與承力索單元均采用這種約束。

另外，接觸網(wǎng)系統(tǒng)的邊界條件也可簡(jiǎn)化為接觸網(wǎng)系統(tǒng)的邊界單元鉸接在固定點(diǎn)：

式中：rb表示邊界處的位置矢量，即包含承力索和接觸線的兩端點(diǎn)的位置矢量；rfix表示邊界點(diǎn)約束的位置矢量。

3.3 接觸網(wǎng)的平衡構(gòu)型

接觸網(wǎng)的找形問(wèn)題就是確定接觸網(wǎng)有限元模型在平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，由于接觸網(wǎng)采用變長(zhǎng)度索單元進(jìn)行有限元?jiǎng)澐?，平衡?gòu)型還需要確定的是單元的初始長(zhǎng)度，用x表示為平衡構(gòu)型：

針對(duì)接觸網(wǎng)的找形問(wèn)題，不僅只是確定接觸網(wǎng)系統(tǒng)在邊界條件下的平衡構(gòu)型，吊弦還有預(yù)分配的約束條件：

式中：rd為吊弦下端的位置矢量；rdesign為吊弦下端點(diǎn)的預(yù)設(shè)條件。

3.4 接觸網(wǎng)找形應(yīng)用

根據(jù)吊弦預(yù)配要求，那么接觸線就可從接觸網(wǎng)系統(tǒng)中分離出來(lái)單獨(dú)求解，再根據(jù)接觸網(wǎng)的離散方式，那么每個(gè)接觸線單元就可處理為兩端鉸接在已知點(diǎn)的張緊懸鏈線模型

3.4.1接觸線找形分析

將接觸線的每個(gè)單元處理為兩端懸掛在已知點(diǎn)的懸鏈線模型，而對(duì)于接觸網(wǎng)中的張力主要分量是水平分量，所以這里簡(jiǎn)化處理為：

式中：Tcw為接觸線的張力條件：上標(biāo)“x”為張力的水平分量。

利用水平張力作為張力補(bǔ)充條件，那么應(yīng)用式(33)對(duì)每個(gè)接觸線單元進(jìn)行找形分析時(shí)，則需要改寫為：

式中，Ec、Ac分別為接觸線的彈性模量和截面積。

完成接觸線的平衡構(gòu)型求解之后，根據(jù)相應(yīng)接觸線單元的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型，提取在定位點(diǎn)處的合力作為定位器單元的張力補(bǔ)充條件，可以得到定位器穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的求解方程：

式中：i=[0,1,0]T；EcAc分別為定位器的彈性模量和截面積；Ts為反求得到的定位器所受張力。

3.4.2吊弦承力索系統(tǒng)的找形應(yīng)用

在確定了接觸線的平衡構(gòu)型后，與定位器類似的，每根吊弦單元的下端張力也可由相應(yīng)的接觸線單元的平衡構(gòu)型條件反求出：

式中，j=[0,1,0]T，補(bǔ)充了吊弦的張力方程，對(duì)于承力索，張力補(bǔ)充方程與接觸線的張力處理方式一致：式中：Tmw為承力索的張力條件；上標(biāo)“x”表示承力索張力的水平分量。

則對(duì)于承力索與吊弦組成的系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程由經(jīng)典的有限元填裝方法可得到，相應(yīng)的，對(duì)于由多單元組成的承力索吊弦系統(tǒng)，需要補(bǔ)充相應(yīng)單元數(shù)的張力條件。利用式(42)可補(bǔ)充吊弦單元的張力條件，再由承力索的水平張力條件，那么可以得到吊弦承力索系統(tǒng)的平衡構(gòu)型求解方程：

式中：n=nd+1；Em、Am、Ed、Ad分別為承力索和吊弦的彈性模量和截面積。張力補(bǔ)充方程的前n=nd+1個(gè)方程由各個(gè)承力索單元提供，而最后nd個(gè)方程由吊弦補(bǔ)充方程提供；對(duì)應(yīng)了每個(gè)單元的補(bǔ)充方程。

3.4.3小結(jié)

總結(jié)前兩部分的找形應(yīng)用過(guò)程，可以看出本文的方法是基于分模法[27]的思路，先將接觸網(wǎng)進(jìn)行分模處理，將接觸線的平衡構(gòu)型求出后，利用其平衡構(gòu)型求出相應(yīng)吊弦點(diǎn)處的吊弦力，以此補(bǔ)充相應(yīng)缺失的張力控制方程，最后完成整個(gè)接觸網(wǎng)的找形分析；整個(gè)流程如圖4所示。

圖4 接觸網(wǎng)找形流程示意圖Fig.4 Schematic diagram of form-finding steps of the railway catenary

4 算例驗(yàn)證

本節(jié)用3個(gè)算例對(duì)本文提出的找形方法進(jìn)行驗(yàn)證，包括懸鏈線模型、兩吊弦簡(jiǎn)單接觸網(wǎng)模型和EN50318中的簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)模型。本文在針對(duì)接觸網(wǎng)進(jìn)行找形分析時(shí)，針對(duì)接觸線的找形時(shí)是將每個(gè)接觸線單元視作一個(gè)懸鏈線模型(包含等高與不等高懸鏈線模型)，所以引入了懸鏈線模型進(jìn)行初步驗(yàn)證本文提出方法的可行性。

4.1 懸鏈線模型

懸鏈線示意圖如圖5所示，兩端鉸接在固定點(diǎn)處，同時(shí)端部還滿足張力控制要求。懸鏈線的密度為ρ=7800 kg/m3，截面直徑D=0.01 m，彈性模量為E=2.01 GPa，端部張力控制為T=15 kN。

圖5 懸鏈線示意圖Fig.5 Schematic diagram of catenary

對(duì)該模型進(jìn)行找形分析，跨距d=20 m，懸掛高度差分別取h=0 m、0.1 m、0.2 m、0.3 m、0.4 m、0.5 m。找形結(jié)果如下圖6所示。

圖6 不同懸掛高度的懸鏈線找形結(jié)果Fig.6 Form-finding resultsof catenary at different suspension height

隨著懸掛高度的增大，懸鏈線穩(wěn)態(tài)構(gòu)型的最大靜撓度逐漸變小，穩(wěn)態(tài)懸鏈線構(gòu)型也逐漸逼近其對(duì)應(yīng)懸掛點(diǎn)之間的連線。通過(guò)提取施加張力段的豎直張力分量分別為54.88 N、129.88 N、204.87 N、279.85 N、354.81 N、429.75 N，而張力的主要分力是水平分量，所以在端部或者懸鏈線中任意點(diǎn)偏置水平位置角度是逐漸增大的。

為了驗(yàn)證找形結(jié)果的正確性，建立相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型，再代入找形結(jié)果進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，不進(jìn)行重復(fù)性的工作，只做圖6中高度為h=0 m,0.3 m的驗(yàn)證，提取端部張力控制時(shí)程曲線如圖7所示。由張力的時(shí)程曲線可以看出，在使用本文中的方法進(jìn)行找形的結(jié)果在代入到動(dòng)力學(xué)模型中時(shí)，懸鏈線的端部張力的幾乎是不變的，盡管圖7(b)不等高懸鏈線的端部張力最后的穩(wěn)態(tài)值與目標(biāo)張力在數(shù)值上有一點(diǎn)差異(20 N)，但是其相對(duì)誤差僅為0.13%，這完全可以認(rèn)為模型是穩(wěn)定的。

圖7 懸鏈線端部張力時(shí)程曲線Fig.7 Time history of tension at the tip of catenary

4.2 兩吊弦簡(jiǎn)單接觸網(wǎng)模型

文獻(xiàn)[28]提出的兩吊弦單跨簡(jiǎn)單接觸網(wǎng)如圖8所示，用于驗(yàn)證弓網(wǎng)接觸的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。材料參數(shù)由表1給出，幾何參數(shù)由表2給出。作為一個(gè)經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)模型(benchmark catenary)，文獻(xiàn)[6,29]也對(duì)該模型進(jìn)行了找形分析，也不乏基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的找形方法[29]。

圖8 兩吊弦接觸網(wǎng)示意圖Fig.8 Schematic diagram of two dropperscatenary

表1接觸網(wǎng)材料參數(shù)Table 1 Material parameters for the benchmark catenary

應(yīng)用動(dòng)力學(xué)退化方法進(jìn)行找形分析，得到接觸網(wǎng)的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型如圖9所示。

圖9 兩吊弦接觸網(wǎng)找形結(jié)果Fig.9 Form-finding result of the benchmark catenary

提取吊弦點(diǎn)處的吊弦力均為75.69 N，吊弦長(zhǎng)度均為0.9552 m；從仿真結(jié)果也體現(xiàn)出了結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性；另外對(duì)于吊弦長(zhǎng)度的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，與文獻(xiàn)中給出的計(jì)算結(jié)果分別為：0.9579 m[6]、0.95 m[28]及0.9540 m[29]非常接近，相對(duì)誤差分別為0.55%、0.13%、0.28%。而在文獻(xiàn)[6]的模型中，接觸網(wǎng)的穩(wěn)態(tài)構(gòu)型是通過(guò)懸鏈線方程推導(dǎo)得到的解析形式，并沒(méi)有考慮接觸網(wǎng)的彎曲和軸向變形，但其他兩個(gè)模型以及本文中的模型均是將接觸網(wǎng)離散為有限單元模型，同時(shí)考慮了單元的軸向剛度和抗彎剛度，這說(shuō)明針對(duì)該模型的軸向和彎曲變形在找形分析中是可以忽略的。另外值得注意的是，本文中接觸網(wǎng)的有限元模型僅采用8個(gè)ANCF索單元，但應(yīng)用本文的找形方法得到的結(jié)果精度卻沒(méi)有降低，這是由于ANCF單元的插值函數(shù)是基于三次多項(xiàng)式插值推導(dǎo)得到的，具有二階連續(xù)性。

表2接觸網(wǎng)幾何參數(shù)Table 2 Geometrical parameters for the benchmark catenary

同樣的，將求解到的平衡構(gòu)型代入到相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型中進(jìn)行驗(yàn)證，提取控制端張力時(shí)程曲線如下：

由端部張力時(shí)程曲線圖10(a)接觸線端部和圖10(b)承力索端部，可以看出，由本文提出的找形方法得到的平衡構(gòu)型代入到動(dòng)力學(xué)模型中，動(dòng)力學(xué)模型幾乎是不震蕩的，端部的張力的穩(wěn)態(tài)值與設(shè)計(jì)張力的相對(duì)誤差分別為：接觸線0.0023%，承力索0.067%?？梢钥闯?，對(duì)于該模型，本文提出的找形方法能夠精確的求解到其平衡構(gòu)型。

圖10 接觸網(wǎng)端部張力時(shí)程曲線Fig.10 Time history of tension of the benchmark catenary

4.3 鐵路接觸網(wǎng)系統(tǒng)

在工程應(yīng)用上，本文采用歐洲標(biāo)準(zhǔn)EN50318[30]中的簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)為例，分別進(jìn)行單跨和多跨接觸網(wǎng)找形分析。單跨接觸網(wǎng)如圖11所示。

圖11 簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)示意圖Fig.11 Schematic diagram of a samplecatenary in EN50318

這個(gè)模型也在文獻(xiàn)[9]中作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型進(jìn)行研究，有全球10個(gè)致力于弓網(wǎng)研究的團(tuán)隊(duì)針對(duì)本模型進(jìn)行找形分析和弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)性能評(píng)估。這種簡(jiǎn)單鏈型懸掛結(jié)構(gòu)應(yīng)用在法國(guó)的LN2和意大利的C270接觸網(wǎng)系統(tǒng)中。接觸網(wǎng)的材料參數(shù)如表3所示，幾何參數(shù)如表4所示；另外由于存在吊弦的預(yù)分配條件，吊弦的預(yù)分配位置如表5所示。

表5 吊弦預(yù)配參數(shù)Table 5 Pre-allocated parametersfor droppers

應(yīng)用本文的動(dòng)力學(xué)方程退化方法進(jìn)行找形分析，得到單跨接觸網(wǎng)的平衡構(gòu)型如圖12所示。

圖12 簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)平衡構(gòu)型Fig.12 Equilibrium configuration of thesample catenary

10家單位都做過(guò)該模型的找形研究，由于方法的不同和模型約束考慮的不同，每家單位得到的結(jié)果都有差異，但大體上近似[9]。這里采用西班牙的一家單位PACDIN[19]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，提取接觸線的平衡構(gòu)型對(duì)比如圖13所示。

表3接觸網(wǎng)材料參數(shù)Table 3 Material parameters for the EN50318 catenary

表4接觸網(wǎng)幾何參數(shù)Table 4 Geometrical parametersfor the EN50318 catenary

圖13 接觸線平衡構(gòu)型的對(duì)比結(jié)果Fig.13 Comparison of equilibrium configuration of contact wire

吊弦是接觸網(wǎng)的重要部件，對(duì)于吊弦長(zhǎng)度和吊弦力的計(jì)算，也與參考文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比，如表6所示。

從表6可以看出，在量化之后的找形結(jié)果對(duì)比中，對(duì)于吊弦長(zhǎng)度的計(jì)算，兩種方法得到的結(jié)果相對(duì)誤差不大于1%，雖然吊弦力的計(jì)算上相對(duì)

表6 吊弦長(zhǎng)度與吊弦力計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 6 Comparison of the dropper's length and force by different methods

誤差較大，但也沒(méi)有超過(guò)2%。這也說(shuō)明了本文找形方法的正確性，但本文中接觸網(wǎng)有限元模型的自由度卻非常小，相比于文獻(xiàn)[9]中10家單位的接觸網(wǎng)模型的自由度具有極大的優(yōu)勢(shì)。

除此之外，從動(dòng)力學(xué)的角度進(jìn)行驗(yàn)證，將得到的平衡構(gòu)型代入到動(dòng)力學(xué)模型中，驗(yàn)證模型是否震蕩，提取得到的接觸線和承力索的端部張力如圖14所示。

圖14 簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)端部張力時(shí)程曲線Fig.14 Time history of tension at thesample catenary’s tips

通過(guò)提取接觸線張力時(shí)程圖14(a)和承力索端部張力時(shí)程圖14(b)曲線可以看出，動(dòng)力學(xué)模型在該初始條件下是基本處于穩(wěn)態(tài)的，雖然一開始會(huì)有輕微的震蕩，但是可以看出張力的振幅并不是很大(20 N左右)，并且最終趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定的端部張力數(shù)值與控制張力的相對(duì)誤差均小于1%。通過(guò)驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型是否震蕩，更加直接地證明了平衡構(gòu)型的正確性，進(jìn)一步證明了本文提出的找形方法的可行性。

最后，對(duì)于該模型，進(jìn)行多跨建模，需要考慮定位器的影響，得到找形結(jié)果如圖15所示。

圖15 10跨簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)平衡構(gòu)型Fig.15 Equilibrium configuration of the sample catenary with ten spans

同樣的，建立多跨接觸網(wǎng)動(dòng)力學(xué)模型，將找形結(jié)果代入動(dòng)力學(xué)模型中作為仿真初始條件，提取接觸線和承力索的端部張力時(shí)程曲線如圖16所示。

與單跨接觸網(wǎng)的驗(yàn)證結(jié)果一致，根據(jù)接觸線張力時(shí)程圖16(a)和承力索的端部張力時(shí)程圖16(b)曲線可以說(shuō)明系統(tǒng)是基本處于穩(wěn)定的，開始震蕩的賦值相比也設(shè)計(jì)張力來(lái)說(shuō)非常小,最后收斂的張力數(shù)值與設(shè)計(jì)張力的相對(duì)誤差不超過(guò)1%。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于動(dòng)力學(xué)退化模型的接觸網(wǎng)找形方法，根據(jù)平衡條件將未知單元長(zhǎng)度的索單元?jiǎng)恿W(xué)模型退化，再補(bǔ)充求解單元的初始長(zhǎng)度的張力控制方程，推導(dǎo)了張緊索單元的找形方程?；诜帜７ǖ乃枷?，將接觸線的平衡構(gòu)型預(yù)先求出，進(jìn)而得到吊弦單元的張力補(bǔ)充方程，再根據(jù)有限元填裝技術(shù)，推導(dǎo)了承力索吊弦系統(tǒng)平衡構(gòu)型的計(jì)算方程，最后根據(jù)三個(gè)算例驗(yàn)證，可以得到以下結(jié)論：

(1)基于ANCF理論和未知單元初始長(zhǎng)度條件，根據(jù)平衡條件對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行退化處理，推導(dǎo)了張緊單元的靜態(tài)構(gòu)型的計(jì)算模型；該模型適用于長(zhǎng)大張緊結(jié)構(gòu)的靜態(tài)構(gòu)型的計(jì)算，如鐵路接觸網(wǎng)，輸電線等。

(2)應(yīng)用該模型進(jìn)行EN50318中的簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)的找形分析，對(duì)比Benchmark中的某單位的計(jì)算結(jié)果，得到的接觸線的靜態(tài)構(gòu)型幾乎一致，并且在吊弦長(zhǎng)度的計(jì)算上，相對(duì)誤差均小于1%，吊弦力的計(jì)算上，相對(duì)誤差小于2%。滿足工程應(yīng)用的要求。并且通過(guò)動(dòng)力學(xué)模型的驗(yàn)證，得到的張力控制的相對(duì)誤差小于1‰，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

(3)由于模型中能夠考慮穩(wěn)態(tài)構(gòu)型下的吊弦預(yù)分配條件，所以該模型適用于所有簡(jiǎn)單鏈型懸掛接觸網(wǎng)的找形計(jì)算，能夠指導(dǎo)接觸網(wǎng)的設(shè)計(jì)和施工。

(4)由于該找形方法是基于動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)得到的，所以找形結(jié)果可應(yīng)用于接觸網(wǎng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)計(jì)算，動(dòng)力學(xué)模型能夠快速地趨于穩(wěn)定。