梁 偉，秦開(kāi)宇，高曉東，蔣仁奎

（1.電子科技大學(xué) 航空航天學(xué)院，四川 成都611731；2.中國(guó)科學(xué)院 光電技術(shù)研究所，四川 成都610209）

1 引言

隨著國(guó)際上大口徑、長(zhǎng)焦距空間光學(xué)望遠(yuǎn)鏡的發(fā)展，望遠(yuǎn)鏡的成像分辨率越來(lái)越高，望遠(yuǎn)鏡對(duì)指向精度以及指向穩(wěn)定度的要求越來(lái)越高，對(duì)微振動(dòng)也越來(lái)越敏感［1-2］。多色成像與無(wú)縫光譜巡天相機(jī)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)巡天相機(jī)）是大視場(chǎng)空間天文望遠(yuǎn)鏡最重要的科學(xué)終端載荷之一，將用于開(kāi)展極具科學(xué)競(jìng)爭(zhēng)力的高空間分辨率、大面積天區(qū)的多色成像與無(wú)縫光譜巡天觀測(cè)工作。

機(jī)械快門(mén)安裝在巡天相機(jī)上對(duì)焦平面進(jìn)行曝光控制，是距離焦面組件最近的振動(dòng)源，快門(mén)運(yùn)行時(shí)所帶來(lái)的激振力會(huì)降低成像分辨率，須對(duì)其進(jìn)行抑制。機(jī)械快門(mén)的通光口徑達(dá)到610 mm×590 mm，巡天相機(jī)在軌工作10年，快門(mén)開(kāi)、合次數(shù)約為100萬(wàn)次。鑒于巡天相機(jī)對(duì)機(jī)械快門(mén)的長(zhǎng)壽命、高可靠性要求，快門(mén)采用旋轉(zhuǎn)對(duì)開(kāi)式，由電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)，無(wú)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可靠性高的特點(diǎn)，可滿(mǎn)足壽命長(zhǎng)的要求。因?yàn)榭煽啃愿?，垂直光軸方向占用空間小，這種旋轉(zhuǎn)開(kāi)閉式機(jī)構(gòu)廣泛應(yīng)用于空間望遠(yuǎn)鏡上，如哈勃望遠(yuǎn)鏡（Hubble Space Telescope）［3-4］，錢(qián)德拉X射線(xiàn)太空望 遠(yuǎn) 鏡（Chandra X-ray Observatory）［5-7］，倫 琴X射線(xiàn)天文臺(tái)（ROSAT）［8-9］和XMM-牛頓衛(wèi)星（Xray Multi-Mirror Mission）［10-11］等，但 多 用 于 望 遠(yuǎn)鏡光學(xué)前端的遮光系統(tǒng)。這些遮光系統(tǒng)的功能主要是避免望遠(yuǎn)鏡內(nèi)部器件收到強(qiáng)光照射，在望遠(yuǎn)鏡工作時(shí)打開(kāi)遮光蓋，在望遠(yuǎn)鏡不工作時(shí)關(guān)閉遮光蓋，打開(kāi)和關(guān)閉時(shí)間一般較長(zhǎng)。遮光系統(tǒng)遠(yuǎn)離焦面組件，且工作過(guò)程中望遠(yuǎn)鏡焦面組件并未工作，對(duì)成像質(zhì)量的影響小，與巡天相機(jī)的機(jī)械快門(mén)區(qū)別較大。

為了降低旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)運(yùn)行產(chǎn)生的激振力對(duì)焦平面的影響，通常使用靜動(dòng)平衡方法抑制其激振力。歐幾里得空間望遠(yuǎn)鏡（Euclid space mis?sion）［12-13］中可見(jiàn)光成像儀（Euclid-VIS）采用的快門(mén)形式與巡天相機(jī)的機(jī)械快門(mén)類(lèi)似，通過(guò)嚴(yán)格的靜平衡與動(dòng)平衡措施［14］抑制振動(dòng)，取得了很好的效果。而巡天相機(jī)的機(jī)械快門(mén)受空間和質(zhì)量等約束難以采取靜動(dòng)平衡措施，由于快門(mén)的運(yùn)行頻率f小于1 Hz，若采用傳統(tǒng)的隔振措施，隔振器隔振頻率小于0.707f時(shí)才會(huì)發(fā)揮隔振效果［15-16］，這會(huì)大大削弱機(jī)械快門(mén)的支撐剛度，穩(wěn)定性差。

在靜動(dòng)平衡和被動(dòng)隔振措施等都無(wú)法實(shí)施的情況下，本文通過(guò)優(yōu)化快門(mén)驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)從源頭上抑制它對(duì)安裝面的Z向激振力。建立機(jī)械快門(mén)的激振力數(shù)學(xué)模型，以豎向激振力絕對(duì)值的峰值最小為優(yōu)化目標(biāo)，選擇單純形法對(duì)快門(mén)驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化，并通過(guò)有限元仿真對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行修正和優(yōu)化，使快門(mén)組件的Z向激振力得到了抑制。

2 快門(mén)微振動(dòng)建模

巡天相機(jī)機(jī)械快門(mén)由功能相同的正Y側(cè)快門(mén)、負(fù)Y側(cè)快門(mén)和支撐座構(gòu)成。建立坐標(biāo)系OXYZ，在兩轉(zhuǎn)軸軸線(xiàn)形成的平面內(nèi)，軸線(xiàn)方向?yàn)閄方向，兩轉(zhuǎn)軸平面法向向上為+Z方向，Y方向由右手原則確定，如圖1所示。其中，單側(cè)快門(mén)是指單軸系的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)（即指正Y側(cè)快門(mén)或負(fù)Y側(cè)快門(mén)），機(jī)械快門(mén)指巡天相機(jī)中兩組單側(cè)快門(mén)（正Y側(cè)快門(mén)和負(fù)Y側(cè)快門(mén)）組合實(shí)現(xiàn)的功能組件。

圖1 巡天相機(jī)及機(jī)械快門(mén)布局Fig.1 Layout of mechanical shutter of survey Camera

兩側(cè)快門(mén)葉片同時(shí)反方向轉(zhuǎn)動(dòng)，即可實(shí)現(xiàn)快門(mén)的打開(kāi)和關(guān)閉功能。在快門(mén)打開(kāi)和關(guān)閉的過(guò)程中，由于葉片質(zhì)量偏心將產(chǎn)生激振力，兩組單側(cè)快門(mén)對(duì)稱(chēng)布置，Y向激振力被抵消，而Z向激振力卻疊加。激振力會(huì)造成焦平面的微振動(dòng)，此時(shí)焦平面處于積分狀態(tài)，因此快門(mén)打開(kāi)和關(guān)閉產(chǎn)生的振動(dòng)均對(duì)成像有影響，需要采取相應(yīng)措施來(lái)抑制激振力。

2.1 快門(mén)簡(jiǎn)化模型

單側(cè)快門(mén)簡(jiǎn)化模型如圖2所示。規(guī)定快門(mén)葉片與水平面夾角θ為葉片轉(zhuǎn)角，當(dāng)θ=0°時(shí)，快門(mén)完全關(guān)閉；當(dāng)θ=90°時(shí)，快門(mén)完全打開(kāi)。將快門(mén)葉片簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，質(zhì)心與轉(zhuǎn)軸的距離為r。

圖2 單側(cè)快門(mén)簡(jiǎn)化模型Fig.2 Simplified single-sided shutter model

假設(shè)葉片轉(zhuǎn)角θ與時(shí)間t的曲線(xiàn)為θ（t）。如圖2左所示，在t時(shí)刻葉片偏心產(chǎn)生的離心力Fr為：

其Z向分量為：

如圖2右所示，在t時(shí)刻葉片加速或減速對(duì)轉(zhuǎn)軸的作用力為：

其Z向分量為：

在t時(shí)刻單側(cè)快門(mén)Z向合激振力為：

根據(jù)任務(wù)規(guī)劃，典型的快門(mén)運(yùn)行過(guò)程如下：快門(mén)打開(kāi)和關(guān)閉的時(shí)間為0～1.3 s；快門(mén)保持打開(kāi)狀態(tài)，持續(xù)時(shí)間為150～200 s。

2.2 建立優(yōu)化目標(biāo)與約束

機(jī)械快門(mén)對(duì)安裝面的Z向激振力為正Y側(cè)快門(mén)與負(fù)Y側(cè)快門(mén)Z向激振力之和，且兩側(cè)快門(mén)的葉片慣量一致，即機(jī)械快門(mén)Z向激振力為單側(cè)快門(mén)Z向激振力的兩倍，優(yōu)化目標(biāo)可轉(zhuǎn)換為單側(cè)快門(mén)Z向激振力峰值的絕對(duì)值最小。優(yōu)化目標(biāo)為：

在開(kāi)關(guān)打開(kāi)或關(guān)閉的過(guò)程中，t=0～1.3 s內(nèi)峰值最小，其中快門(mén)的葉片質(zhì)量m=1.476 kg，r=0.17 m。優(yōu)化的約束條件如下：

式中：θ(0)為快門(mén)葉片在初始時(shí)刻0對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角；θ?(0)對(duì)應(yīng)開(kāi)閉初始時(shí)刻的角速度；θ(1.3)為快門(mén)葉片在結(jié)束時(shí)刻1.3 s對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角；θ?(1.3)對(duì)應(yīng)開(kāi)閉結(jié)束時(shí)刻的角速度。

根據(jù)建立的模型，選取了方波、三角波與正弦波等工程廣泛應(yīng)用的波形作為快門(mén)的驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)，不同波形的角加速度、角速度和角度曲線(xiàn)如圖3～圖5所示。

圖3 方波驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)Fig.3 Square wave driving curves

圖4 三角波驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)Fig.4 Triangle wave driving curve

圖5 正弦波驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)Fig.5 Sine wave driving curves

3種驅(qū)動(dòng)方式下單側(cè)快門(mén)的Z向激振力曲線(xiàn)如圖6所示。方波、三角波與正弦波驅(qū)動(dòng)方式下單側(cè)快門(mén)Z向激振力的峰值絕對(duì)值分別為1.68，1.80與1.46 N。在不同驅(qū)動(dòng)方式下，激振力的響應(yīng)峰值和響應(yīng)曲線(xiàn)均有所不同，方波驅(qū)動(dòng)響應(yīng)曲線(xiàn)的局部處得到了改善，因此改變快門(mén)驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)可以改變激振力響應(yīng)，通過(guò)驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)優(yōu)化來(lái)抑制激振力。

圖6 方波、三角波與正弦波驅(qū)動(dòng)方式下單側(cè)快門(mén)Z向激振力曲線(xiàn)Fig.6 Vertical excitation force curve of single-side shut?ter under square wave，triangle wave and sine wave driving modes

3 驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)優(yōu)化

由于優(yōu)化目標(biāo)的特殊性，即F z(t)在t的一定取值范圍內(nèi)的函數(shù)絕對(duì)值峰值最小，目標(biāo)值無(wú)法求導(dǎo)，常規(guī)的梯度優(yōu)化方法如坐標(biāo)輪換法、最速下降法、牛頓法、共軛梯度法和變尺度法均不適用［17］。單純形法作為非梯度優(yōu)化方法［18］，其收斂速度快、穩(wěn)定性好，變量個(gè)數(shù)不受限，還可通過(guò)變換初始頂點(diǎn)避免局部最優(yōu)，適用于優(yōu)化巡天相機(jī)機(jī)械快門(mén)的驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)，因此本文采用單純形法優(yōu)化目標(biāo)。為了避免陷入局部最優(yōu)解，在可行域內(nèi)隨機(jī)取初始頂點(diǎn)，并多次計(jì)算，選擇所有計(jì)算結(jié)果中的最優(yōu)值。

將快門(mén)葉片角度曲線(xiàn)表示為傅里葉級(jí)數(shù)，即有：

由于式（7）約束的存在，n≥2，實(shí)際變量個(gè)數(shù)k=2n-3，T設(shè)置為2.6，將θ(t)延長(zhǎng)為周期函數(shù)。將θ(t)帶入式（6），利用單純形法優(yōu)化傅里葉級(jí)數(shù)的參數(shù)，使它在滿(mǎn)足工程約束的條件下，Z向激振力的絕對(duì)值最大值最小。通過(guò)多次優(yōu)化嘗試，將優(yōu)化參數(shù)α，β，γ和ε分別設(shè)置為2，0.7，0.7和0.00001，能較好地兼顧算法的穩(wěn)定性和效率。

隨著優(yōu)化變量個(gè)數(shù)的增多，θ(t)的自由度增加，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解越來(lái)越小，每次優(yōu)化的迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間的增加。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解趨于穩(wěn)定后停止優(yōu)化迭代，如圖7所示。優(yōu)化后單側(cè)快門(mén)的激振力曲線(xiàn)如圖8所示，最大絕對(duì)值為0.77 N，較正弦驅(qū)動(dòng)方式減小47%；而兩組單側(cè)快門(mén)組合而成的機(jī)械快門(mén)激振力為1.54 N。優(yōu)化后傅里葉級(jí)數(shù)各個(gè)變量值如表1所示。快門(mén)驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)如圖9所示。

圖7 傅里葉級(jí)數(shù)變量?jī)?yōu)化過(guò)程Fig.7 Fourier series variable optimization process

圖8 優(yōu)化后單側(cè)快門(mén)的Z向激振力曲線(xiàn)Fig.8 Optimized vertical excitation force curve of singleside shutter

表1 優(yōu)化后傅里葉級(jí)數(shù)各個(gè)變量的值Tab.1 Value of each variable of optimized Fourier series

圖9 優(yōu)化后的快門(mén)驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)Fig.9 Optimized shutter driving curves

4 有限元分析及驗(yàn)證

為了獲取機(jī)械快門(mén)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，建立機(jī)械快門(mén)的有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析。采用RBE2單元模擬快門(mén)軸承，并限制RBE2單元轉(zhuǎn)軸方向自由度，以對(duì)葉片進(jìn)行鎖緊，其余零件之間為綁定約束，快門(mén)支撐座底面為固定面，計(jì)算坐標(biāo)如圖10所示。

圖10 機(jī)械快門(mén)的有限元模型Fig.10 Finite element model of mechanical shutter

快門(mén)的一階模態(tài)頻率為51 Hz，表現(xiàn)為葉片的X軸轉(zhuǎn)動(dòng)振型，如圖11所示?？扉T(mén)的二階模態(tài)頻率為54 Hz，表現(xiàn)為葉片的Y軸扭轉(zhuǎn)振型，如圖12所示?？扉T(mén)的三階模態(tài)頻率為111 Hz，表現(xiàn)為葉片的呼吸振型，如圖13所示。

圖11 機(jī)械快門(mén)的一階振型Fig.11 First-order mode shape of mechanical shutter at 51 Hz

圖12 機(jī)械快門(mén)的二階振型Fig.12 Second-order mode shape of mechanical shutter at 54 Hz

圖13 機(jī)械快門(mén)的三階振型Fig.13 Third-order mode shape of mechanical shutter at 111 Hz

為驗(yàn)證所建立的微振動(dòng)激振力數(shù)學(xué)模型和單純性法的優(yōu)化結(jié)果，以?xún)?yōu)化后的快門(mén)葉片角度曲線(xiàn)θ(t)作為輸入，對(duì)機(jī)械快門(mén)進(jìn)行瞬態(tài)分析，模擬機(jī)械快門(mén)打開(kāi)動(dòng)作。有限元分析結(jié)果如圖14所示，在啟動(dòng)和停止時(shí)刻，機(jī)械快門(mén)突變的驅(qū)動(dòng)力造成快門(mén)的零狀態(tài)響應(yīng)，最大幅值為1.86 N，該響應(yīng)在阻尼作用下迅速衰減。其原因是激振力數(shù)學(xué)模型未考慮快門(mén)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，忽略了快門(mén)在啟動(dòng)和停止時(shí)刻的響應(yīng)，而在其他時(shí)刻的有限元分析結(jié)果與理論曲線(xiàn)一致，還需要進(jìn)一步修正數(shù)學(xué)模型。

圖14 驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)優(yōu)化后機(jī)械快門(mén)的Z向激振力響應(yīng)Fig.14 Response of vertical excitation force of mechani?cal shutter with optimized driving curve

機(jī)械快門(mén)突變的驅(qū)動(dòng)力矩還造成了其他兩個(gè)方向的激振力，在X向激振力幅值達(dá)到0.73 N，如圖15所示。對(duì)X向激振力進(jìn)行頻譜分析，結(jié)果表明激振力頻率主要集中在48 Hz和108 Hz。如圖16所示，它們分別對(duì)應(yīng)快門(mén)的一階和三階模態(tài)頻率，即快門(mén)突變的驅(qū)動(dòng)力矩激起了葉片的X軸轉(zhuǎn)動(dòng)和呼吸振型，葉片的共振加劇了快門(mén)的激振力。

圖15 驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)優(yōu)化后快門(mén)的X，Y向激振力響應(yīng)Fig.15 Response of excitation forces in X and Y direc?tions of mechanical shutter with optimized driv?ing curve

圖16 X向激振力的頻譜曲線(xiàn)Fig.16 Spectrum curve of X-direction excitation force

5 數(shù)學(xué)模型修正

根據(jù)有限元分析結(jié)果，在啟動(dòng)和停止時(shí)刻，快門(mén)突變的驅(qū)動(dòng)力矩會(huì)帶來(lái)較大的沖擊，造成快門(mén)共振，加劇各方向的激振力，且激振力中的中頻成分與結(jié)構(gòu)耦合產(chǎn)生響應(yīng)。所以還需修正數(shù)學(xué)模型，消除突變力矩，增加數(shù)學(xué)約束如下：

同樣將θ(t)表示成式（8）中的傅里葉級(jí)數(shù)，利用單純形法優(yōu)化傅里葉級(jí)數(shù)的參數(shù)，優(yōu)化變量個(gè)數(shù)達(dá)到13時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的變化率趨近于零，目標(biāo)函數(shù)收斂于0.86 N，如圖17所示。

圖17 修正后單側(cè)快門(mén)的Z向激振力曲線(xiàn)Fig.17 Modified vertical excitation force curve of singleside shutter

修正后傅里葉級(jí)數(shù)各個(gè)變量值如表2所示，傅里葉級(jí)數(shù)快門(mén)驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)如圖18所示。

圖18 修正后的快門(mén)驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)Fig.18 Modified shutter driving curves

有限元瞬態(tài)分析結(jié)果表明：修正后的驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)在機(jī)械快門(mén)啟動(dòng)和停止時(shí)刻對(duì)快門(mén)的沖擊較小，機(jī)械快門(mén)的Z向激振力與數(shù)學(xué)模型分析值一致，最大幅值均為1.72 N，如圖19所示，由此驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的正確性及優(yōu)化方法的有效性。

圖19 驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)修正后機(jī)械快門(mén)的Z向激振力響應(yīng)Fig.19 Response of vertical excitation force of shutter with modified driving curve

驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)修正后，機(jī)械快門(mén)其他兩個(gè)方向的激振力也得到抑制，如圖20所示。X向激振力幅值由0.73 N降低至0.018 N，降低97.5%；Y向激振力幅值為0.006 N。耦合共振響應(yīng)得到顯著抑制。

圖20 驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)修正后快門(mén)的X、Y向激振力響應(yīng)Fig.20 Response of excitation force in X and Y direction of shutter with modified driving curve

對(duì)機(jī)械快門(mén)3個(gè)方向的激振力進(jìn)行合成，結(jié)果如圖21所示。修正后機(jī)械快門(mén)激振力合力為1.72 N，優(yōu)于修正前的1.87 N，且激振力曲線(xiàn)更加平滑，中頻成分得到抑制，不會(huì)與結(jié)構(gòu)耦合共振，激振力的抑制效果更好。

圖21 驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)修正前后機(jī)械快門(mén)的三向激振力合力曲線(xiàn)Fig.21 Resultant force curves of shutter excitation force before and after modification of driving curve

6 結(jié)論

本文提出的大口徑機(jī)械快門(mén)為旋轉(zhuǎn)對(duì)開(kāi)式結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)形式實(shí)現(xiàn)了兩轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)的激振力對(duì)消，兩轉(zhuǎn)軸平面法向的激振力加倍，采用驅(qū)動(dòng)曲線(xiàn)優(yōu)化方式進(jìn)行了激振力抑制。建模及優(yōu)化結(jié)果表明，與結(jié)構(gòu)耦合產(chǎn)生的微振動(dòng)的中高頻成分得到充分抑制，轉(zhuǎn)軸的軸向激振力幅值由0.73 N降低至0.018 N；兩轉(zhuǎn)軸平面法向激振力由2.92 N降低至1.72 N，降低了41%。數(shù)學(xué)建模優(yōu)化結(jié)果與有限元瞬態(tài)分析結(jié)果是一致的，從而驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的正確和優(yōu)化方法的有效。該激振力抑制方法也適用于旋轉(zhuǎn)類(lèi)機(jī)構(gòu)的減振設(shè)計(jì)與優(yōu)化。