劉慧賢，隨歲寒

(1.商丘工學院 基礎教學部， 河南 商丘 476000； 2.商丘工學院 機械工程學院，河南 商丘 476000)

微機電系統(tǒng)因其能耗低、體積小和智能化程度高等優(yōu)點，已被廣泛應用于汽車、通信、自動控制和軍事等領域[1]。梁是微納米材料的常用結構形式，當梁的厚度達到微米量級時，便會出現所謂的尺寸效應。Mindlin等[2-3]提出的偶應力理論克服了經典理論不能準確表達微納米結構力學性能的不足，采用了2個材料內秉特征尺寸參數。由于材料內秉特征尺寸的確定存在困難，故減少內秉特征尺寸參數的個數對實驗研究和理論分析具有實際意義。Yang等[4]提出的修正偶應力理論只包含1個材料內秉特征尺寸參數。

考慮到一些工程應用如傳動帶、帶鋸等模型化為軸向運動系統(tǒng)并可應用于微機電系統(tǒng)，而這些結構的橫向振動往往對其正常工作產生不利影響，所以研究軸向運動微梁的橫向振動對工程設計有重要意義。目前，軸向微結構研究主要集中在利用非局部理論方面[5-7]，如Marynowski[8]利用修正偶應力理論研究了軸向運動微尺度面板的橫向振動。在工程應用中，梁類連續(xù)體系統(tǒng)往往受到集中質量或彈簧等的作用[9-12]，故研究軸向運動微梁在彈簧支撐作用下的動力學特性對工程設計具有指導意義。

本研究利用修正偶應力理論，通過虛功原理導出中間支撐軸向運動微梁橫向自由振動控制方程，采用有限差分法作為求解工具，分析了軸向速度、梁厚度、彈簧剛度和預應力對前兩階固有頻率的影響，并將部分結果與經典理論所得結果進行了對比。本研究也探討了臨界速度與預應力和彈簧剛度的關系，在軸向運動系統(tǒng)中，軸向運動速度超過臨界值便會發(fā)生失穩(wěn)，對結構造成破壞。

1 物理模型

采用虛功原理推導軸向運動微梁的控制方程，應用有限差分法求解系統(tǒng)固有頻率。

1.1 控制方程

建立軸向運動微梁坐標系，速度v沿x軸正向，梁寬為b，厚為h，兩支撐間的長度為L，如圖1所示。

圖1 軸向運動微梁示意圖Fig.1 Schematic of an axially moving microbeam

根據Yang等[4]提出的修正偶應力理論，采用Euler梁模型，則梁的應變能變分為

(1)

彈簧勢能變分為

(2)

式中：δ(x)是狄拉克函數。

(3)

慣性力做功的變分為

(4)

結合式(1)、(2)、(4)，代入如下虛功原理表達式：

δU+δU1=δV。

(5)

分步積分后得到

(6)

對于式(6)，由于δw的任意性，并忽略邊界條件項，可得到軸向運動微梁系統(tǒng)控制方程：

(7)

若式(7)中的材料內秉特征尺寸l為0，則修正偶應力模型退化為經典的Euler梁理論模型。

微梁兩端簡支的邊界條件為

(8)

(9)

設控制方程(7)的解為

w(x，t)=W(x)eωt，

(10)

式中：W(x)是模態(tài)函數；ω是固有頻率，rad/s。將式(10)代入式(7)，得

(11)

1.2 有限差分法[14]的應用

沿梁長度等間距劃分節(jié)點并編號為1～n，其中編號1和n位于邊界上。 為便于運算，將彈簧支撐點設置在一個節(jié)點上，i0為彈簧支撐點對應的節(jié)點編號。 式(11)中各階偏微分用相應節(jié)點值表達如下：

(12)

(13)

(14)

將式(12)至(14)代入式(11)，得到

(15)

式中：i=1，2，3，…，n-1。

類似地，對邊界條件式(8)和式(9)的處理如下：

W0=Wn=0，

(16)

W-1=-W1；Wn+1=-Wn-1。

(17)

將式(15)結合式(16)、(17)整理成矩陣形式：

Mω2+Cω+K=0。

(18)

式(18)是一個廣義復特征方程，其中M、C和K分別稱為質量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣，這3個矩陣均為(n-2)×(n-2)方陣。 求解式(18)即可得到固有頻率ω，為便于工程參考，將其轉化為以Hz為單位的固有頻率，即

(19)

2 數值算例

采用環(huán)氧樹脂材料，彈性模量E=1.44 GPa，泊松比υ=0.38，l=17.6 μm，彈簧支撐點坐標x0=L/2，梁厚度h=20 μm，b=2h，L/h=20，σ0=1 MPa，k= 3×106N/m。

圖2和圖3為前兩階固有頻率與軸向運動速度的關系，并給出了經典理論下相應的固有頻率。兩種理論下，軸向運動微梁的振動特性規(guī)律類似，即速度越大、固有頻率越小。第1階和第2階頻率在修正偶應力理論下的解約為經典理論解的2倍，尺寸效應明顯。

圖2 第1階固有頻率與軸向運動速度的關系Fig.2 First mode frequencies vs axial velocity

圖3 第2階固有頻率與軸向運動速度的關系Fig.3 Second mode frequencies vs axial velocity

表1和表2分別為前兩階固有頻率解隨梁厚度變化的規(guī)律，梁厚度在20 μm時最接近材料內秉特征尺寸l，所以梁厚度在20 μm時前兩階頻率在兩種理論下結果的差值百分比最大。隨著厚度的增大，這一差值逐漸變小，即厚度大于內秉特征尺寸參數的條件下，厚度越大則尺寸效應越不明顯。

表1 第1階固有頻率與梁厚度的關系(v=40 m/s)Tab.1 First mode frequencies vs beam thickness(v=40 m/s)

表2 第2階固有頻率與梁厚度的關系(v=40 m/s)Tab.2 Second mode frequencies vs beam thickness(v=40 m/s)

圖4和圖5給出了預應力對前兩階固有頻率的影響，在應力從1 MPa增至20 MPa的過程中，前兩階固有頻率分別增加了約50%和17%。圖6給出了前兩階模態(tài)函數，可見第1階模態(tài)在x=L/2時幅值最大，而第2階模態(tài)在x=L/2時幅值為0。由于彈簧支撐點坐標x0=L/2，所以彈簧支撐對第2階固有頻率的影響可忽略，但對第1階固有頻率有一定影響，彈簧剛度變化時第1階固有頻率增幅約為10%，而第2階固有頻率不變，如表3所示。

圖4 預應力對第1階固有頻率的影響Fig.4 First mode frequencies vs pre-stress

圖5 預應力對第2階固有頻率的影響Fig.5 Second mode frequencies vs pre-stress

表3 彈簧剛度對前兩階固有頻率的影響(v=40 m/s)Tab.3 First 2 mode frequencies vs spring stiffness(v=40 m/s)

圖6 前兩階模態(tài)函數(v=40 m/s)Fig.6 First 2 mode functions(v=40 m/s)

為求得臨界速度，可略去式(15)中與頻率相關的量，得

(20)

式中：i=1，2，3，…，n-1；vc代表臨界速度。結合邊界條件式(16)和式(17)，整理式(20)可得

(21)

式(21)是一個標準特征值問題，求解可得各階臨界速度。圖7給出了前兩階臨界速度與預應力的關系，可見預應力越大則臨界速度越大。在應力從1 MPa增至20 MPa的過程中，前3階固有頻率分別增加了約50%和17%，與圖4和圖5反映的預應力對固有頻率的影響規(guī)律類似。表4給出了臨界速度與彈簧剛度的關系，彈簧剛度從3×106N/m增至9×106N/m時第1階臨界速度增加7.7%，而第2階臨界速度不變，這里同樣可以理解為彈簧支撐在梁中點位置對第2階模態(tài)振動的影響可忽略。

圖7 臨界速度與預應力的關系Fig.7 Critical velocity vs prestress

表4 彈簧剛度對臨界速度的影響Tab.4 Critical velocity vs spring stiffness

3 結論

基于Euler梁模型和修正偶應力理論，結合虛功原理導出中間支撐軸向運動微梁橫向自由振動控制方程，利用有限差分法離散控制方程，分析了軸向速度、梁厚度、彈簧剛度等參數對前兩階固有頻率的影響，并將部分結果與經典理論所得結果進行了對比，探討了臨界速度與預應力和彈簧剛度的關系。結論如下：軸向速度增大則固有頻率降低；材料內秉特征尺寸參數對梁的振動特性影響顯著；各階固有頻率隨著軸向預應力的增大而增大；預應力增大導致臨界速度增大；彈簧對固有頻率和臨界速度的影響不僅與彈簧剛度有關，而且與布置位置有關。