肖宇宇 何斯日古楞 楊凱麗

(1.內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特 010021;2.呼和浩特民族學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特 010051)

§1 引言

時(shí)間間斷時(shí)空有限元方法的研究發(fā)展于20世紀(jì)70年代后期.文獻(xiàn)[1]用時(shí)間間斷的時(shí)空有限元方法求解非線性薛定諤方程時(shí)提出了有限元與拉格朗日插值相結(jié)合的技術(shù),即在理論分析時(shí)引入由時(shí)間剖分單元In上的Radau點(diǎn)確定的拉格朗日插值多項(xiàng)式及相應(yīng)的高斯Radau積分準(zhǔn)則,并應(yīng)用有限元技術(shù),插值多項(xiàng)式的基本性質(zhì)及高斯積分準(zhǔn)則的高精度性在弱的時(shí)空網(wǎng)格限制條件下給出了數(shù)值解的最優(yōu)L∞(L2)模誤差估計(jì).隨后,文獻(xiàn)[2-6]利用這一技術(shù),分別研究了拋物型方程,奇異微分方程,Sobolev方程等發(fā)展型方程的時(shí)間間斷時(shí)空有限元方法,進(jìn)行了收斂性分析.文獻(xiàn)[7]針對(duì)一維拋物型方程提出了時(shí)間間斷的有限體積元格式,并利用有限體積元和有限差分結(jié)合的技巧證明了數(shù)值解的最優(yōu)L∞(L2)模誤差估計(jì).文獻(xiàn)[7]中數(shù)值格式采用分片線性多項(xiàng)式為時(shí)空試探函數(shù)空間,只具有二階收斂精度.

本文將時(shí)間間斷Galerkin思想與基于等距節(jié)點(diǎn)下三次Lagrange插值的超收斂有限體積元方法[8]相結(jié)合,以三次Lagrange插值導(dǎo)數(shù)超收斂點(diǎn)為對(duì)偶剖分節(jié)點(diǎn),引入插值投影算子,構(gòu)造一種高精度時(shí)空有限體積元格式求解對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題

其中已知函數(shù)p,q,r,f充分光滑,且p(x)≥pmin＞0,r-q′ ≥0.

相比于文獻(xiàn)[1-6]的方法,本文所構(gòu)造的時(shí)空有限體積元格式不僅繼承了有限體積元方法[8-9]的高精度,計(jì)算簡(jiǎn)單等特點(diǎn),而且能保持物理量的局部守恒性.相對(duì)于文獻(xiàn)[7]的方法,這種方法將時(shí)間變量和空間變量統(tǒng)一考慮,在時(shí)間和空間兩個(gè)方向分別發(fā)揮有限元方法和有限體積元方法的優(yōu)勢(shì),從而達(dá)到時(shí)間和空間變量的高精度,并且在時(shí)間剖分節(jié)點(diǎn)處具有超收斂性.

本文結(jié)構(gòu)如下:§1簡(jiǎn)單介紹了時(shí)空有限元法的發(fā)展歷史及對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題;§2構(gòu)造了一種高精度時(shí)空有限體積元格式;§3分析了所構(gòu)造格式的最優(yōu)收斂性;§4給出數(shù)值算例驗(yàn)證了所提格式的可行性和有效性.

本文使用標(biāo)準(zhǔn)Sobolev空間Hm([a,b]),范數(shù)||v||m,半范數(shù)|v|m以及L2([a,b])空間及其相應(yīng)的內(nèi)積(v,w).本文中所有的c,ci都是與時(shí)間和空間步長(zhǎng)無(wú)關(guān)的正常數(shù),并且不同地方可能取值不相同.

§2 時(shí)間間斷時(shí)空有限體積元格式

為構(gòu)建高精度時(shí)空體積元格式,首先分析三次Lagrange插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)超收斂節(jié)點(diǎn).在[-h,h]上,用等距節(jié)點(diǎn)(-h,u(-h)),,(h,u(h))對(duì)未知函數(shù)u作Lagrange插值,插值函數(shù)記為Πhu,令,則

將u(-h),,u(h)均在x0處作Taylor展開(kāi),可得

建立試探函數(shù)空間.在時(shí)空片In×Tnh內(nèi),設(shè)Snh ?H10([a,b])是分片三次Lagrange 有限元空間,即

下面給出收斂性分析所需一些定義和引理.引入Radau積分公式[1]

使得對(duì)所有次數(shù)不高于2q-2次的多項(xiàng)式精確成立.

使用線性變換t=tn+sΔtn,可將區(qū)間映射到[0,1],從而有如下記號(hào)

設(shè)M,N是q×q矩陣,使得

顯然,M和N不依賴于Δtn,且當(dāng)YT=(yn,1,yn,2……·yn,q)∈Rq時(shí),有

引理1[1]設(shè)矩陣,D=diag{s1,s2,……,sq},則有

定義2時(shí)空范數(shù)定義為

引理2(參見(jiàn)[8,9]) 對(duì)于任意的uh,vh ∈Snh,有

引理3(參見(jiàn)[8]) 對(duì)充分小的h,存在正常數(shù)c3,c4和c5,λ ＜∞,使得

其中常數(shù)β滿足rmin ＞β ＞0,,并

證為分析,首先將其分解成

由于v ∈Sh是三次多項(xiàng)式,并用分部求和公式及不等式-ab ≥-(a2+b2)/2,得

定義3在時(shí)間單元In=(tn,tn+1]上定義以Radau點(diǎn)tn,j為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值算子:C()→Pq-1(In)滿足

Si基諧振式光學(xué)微腔陀螺的核心技術(shù)指標(biāo)為極限靈敏度,其主要取決于微腔結(jié)構(gòu)的質(zhì)量均勻性、表面粗糙度以及微腔直徑(D)等結(jié)構(gòu)參數(shù)。目前Si基微腔結(jié)構(gòu)在微米級(jí)時(shí),表面粗糙度能達(dá)到1 nm以下,已接近材料表面粗糙度的極限,Q值到107左右[8-9],此時(shí),微腔陀螺的極限靈敏度就主要取決于微腔直徑D值[10]。

進(jìn)一步,定義W:[0,T]([a,b])使得

為簡(jiǎn)單起見(jiàn),仍用W表示W(wǎng)|In.

引理4(參見(jiàn)[1]) 由插值逼近性質(zhì),函數(shù)u和函數(shù)W(x,t)的誤差具有如下估計(jì)

§3 收斂性分析及誤差估計(jì)

定理1設(shè)u和U分別為(1)和(3)的解,則滿足

其中Nc表示(j=1,……,N -1)的總數(shù).

證利用前面定義的W,將誤差項(xiàng)分裂為e=U -u=(U -W)+(W -u)=θ+ρ.對(duì)ρ有引理5 的估計(jì)結(jié)果,因此下面只需對(duì)θ進(jìn)行估計(jì).首先,由時(shí)間間斷時(shí)空有限體積元格式(3) 得基本誤差方程

代入(6)式得

其中記號(hào)δq,i=ln,i(tn+1)=ln,i(tn,q)=1 (i=q),否則δq,i=0,(i/=q),

在(7)式中取φ=θn,i,然后關(guān)于i從1到q求和,并用引理3可得

對(duì)于上式中的Σ1,Σ2,Σ3有如下估計(jì)[1]

由于?x ∈[a,b],是關(guān)于時(shí)間變量t的2q-2次多項(xiàng)式,因此

于是用Cauchy-Schwarz不等式得

其中,Mn是與n無(wú)關(guān)的常數(shù),其具體取值參見(jiàn)后面步驟.

因此利用引理3,有

把上式代入(11)式的右端,再對(duì)n進(jìn)行迭代,經(jīng)整理得

現(xiàn)對(duì)于固定的n,取Mm=M=Nc(n)(m=1,……,n).這里Nc(n)表示的總數(shù),并且當(dāng)Nc(n)=0或1時(shí),取M=2.于是,當(dāng).因此,有不等式

其中M=Nc(n).于是利用(13)式和(4),對(duì)n=0,……,N -1,有

設(shè)?m(s)表示單元E=(-1,1)上的m次Legendre多項(xiàng)式.進(jìn)一步,在E上定義多項(xiàng)式

則當(dāng)m ≥0時(shí)φm+1(s)在E內(nèi)有m+1個(gè)實(shí)根,sα,α=0,1,……,m.特別地sm=1是根.

設(shè)是L2([a,b])投影算子,即對(duì)任意的u ∈L2([a,b])有

則當(dāng)u ∈H4([a,b])([a,b])時(shí),滿足如下估計(jì)式[11-12]:

定理2設(shè)u是問(wèn)題(1)的解,U是格式(3)的解,并且初始值U0=u0,則存在不依賴Δt和h的正常數(shù)c使得對(duì)0≤n ≤N,

由Legendre正交展開(kāi)知

進(jìn)一步,構(gòu)造q-1次多項(xiàng)式W(x,s)使得W(x,1)=ω(x,1),且其余項(xiàng)為

其中是待定系數(shù),而bj是(5) 中的已給系數(shù).顯然R(1)=0.令ρ=u-W,用分部積分,余項(xiàng)R和投影的定義,有

現(xiàn)在要求滿足q-1階線性方程組

它的系數(shù)矩陣有如下結(jié)構(gòu)

現(xiàn)令θ=W -U,又由于問(wèn)題(1) 的解u滿足(14),有

首先,取φ=θ,積分并用Young不等式和引理2后有

假設(shè)h=O(Δt),則對(duì)所有時(shí)間單元求和并用有限元空間的逆性質(zhì)和Gronwall引理,得

其次,取φ=(t-tn)θt,則φn+=0并有限元空間的逆性質(zhì)和引理2有

利用局部逆性質(zhì),上式變?yōu)?/p>

于是結(jié)合(18)式,(19)式和(20)式,得

上式利用Gronwall 不等式,再求和后代入(18)式有

最后利用L2(Ω)投影的性質(zhì)和余項(xiàng)R的定義,可得對(duì)0≤n ≤N,

§4 數(shù)值算例

為驗(yàn)證本文所提格式的可行性以及理論分析結(jié)果的合理性,考慮一維對(duì)流擴(kuò)散方程[13]

其精確解u(x,t)=exp(5x-(0.25+0.01π2)t)sin(πx).在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中,試探函數(shù)空間取時(shí)間線性,空間三次Lagrange插值為基函數(shù),檢驗(yàn)函數(shù)空間取時(shí)間線性,空間分片常數(shù)為基函數(shù).

表1.1分別給出固定時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.001,而空間步長(zhǎng)分別取h=1/2,1/4,1/8,1/16時(shí),時(shí)空誤差||u-U||L∞(L2)和時(shí)間節(jié)點(diǎn)誤差‖uN -UN‖L2的計(jì)算值和收斂階.從表中數(shù)據(jù)可以看出,當(dāng)步長(zhǎng)h折半遞減時(shí),兩種誤差數(shù)據(jù)的收斂階接近四階,吻合理論分析結(jié)果.

表1.1 當(dāng)固定時(shí)間剖分Δt=0.001時(shí),空間方向的誤差及收斂階

表1.2中分別給出固定空間步長(zhǎng)h=0.001時(shí),而時(shí)間步長(zhǎng)分別取k=1/5,1/10,1/20,1/40時(shí),時(shí)空誤差||u-U||L∞(L2)和時(shí)間節(jié)點(diǎn)誤差‖uN -UN‖L2的計(jì)算值和收斂階.從表中數(shù)據(jù)可以看出,當(dāng)步長(zhǎng)Δt折半遞減時(shí),時(shí)空誤差數(shù)據(jù)的收斂階接近二階最優(yōu)收斂,而時(shí)間節(jié)點(diǎn)處誤差數(shù)據(jù)的收斂階接近三階,呈現(xiàn)超收斂性,符合理論分析結(jié)果.

表1.2 當(dāng)固定空間剖分h=0.001時(shí),時(shí)間方向的誤差及收斂階

表1.3分別給出了固定時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.002,而空間步長(zhǎng)分別取h=1/20,1/40,1/80,1/160時(shí),t=tN時(shí)刻對(duì)偶剖分節(jié)點(diǎn)處空間導(dǎo)數(shù)模誤差和原始剖分節(jié)點(diǎn)處空間導(dǎo)數(shù)Eorigi-nodes:=模誤差.從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)原始剖分節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的收斂階為三階,而對(duì)偶剖分節(jié)點(diǎn),即最佳應(yīng)力節(jié)點(diǎn)處收斂階為四階,具有超收斂性.這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)說(shuō)明時(shí)間間斷時(shí)空體積元格式能夠有效求解對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題,且實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論分析結(jié)果吻合.

表1.3 當(dāng)固定時(shí)間剖分Δt=0.002時(shí),導(dǎo)數(shù)在空間方向的誤差及收斂階

§5 結(jié)論

本文針對(duì)一維對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題提出了時(shí)間間斷時(shí)空有限體積元格式,利用有限差分和有限體積元法相結(jié)合的技巧證明了格式的L∞(L2)-模最優(yōu)收斂誤差估計(jì),用單元正交分解法證明了格式在時(shí)間節(jié)點(diǎn)處的超收斂估計(jì).最后為了說(shuō)明文中所提格式的可行性,給出了數(shù)值算例.從理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知,本文所提出的時(shí)間間斷時(shí)空有限體積元方法在時(shí)間剖分節(jié)點(diǎn)處具有超收斂性,高于文獻(xiàn)[8]中有限體積元法的收斂階.本文所提出的時(shí)空方法有別于此前的時(shí)間間斷時(shí)空有限元法(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-7]),文獻(xiàn)[1-6]所涉及方法是時(shí)間間斷而空間連續(xù)的時(shí)空格式,文獻(xiàn)[7]的方法是時(shí)間間斷有限元,空間一次有限體積元的時(shí)空格式,而本文所提出的方法時(shí)間間斷有限元,空間三次有限體積元的時(shí)空格式,具有計(jì)算精度高且能保持物理量的局部守恒性等優(yōu)點(diǎn),并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在最佳應(yīng)力點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的最大絕對(duì)誤差收斂階高于其他節(jié)點(diǎn)處的收斂階.為此,后續(xù)工作中將分析導(dǎo)數(shù)超收斂估計(jì).