莫東鳴，裴江紅

(重慶工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，重慶 401120)

0 引 言

液封提拉法能夠抑制界面熱毛細(xì)對流，防止晶體生長過程中可揮發(fā)性成分的揮發(fā)、改善結(jié)晶過程中的熱傳遞條件，在晶體生長領(lǐng)域中表現(xiàn)了極大的前景[1]。對于液封生長技術(shù)中的雙層液體系統(tǒng)而言，由于兩層流體界面處的熱耦合和力耦合的復(fù)雜性，使得雙層流體系統(tǒng)內(nèi)的熱對流過程變得非常復(fù)雜。近年來，越來越多的學(xué)者對雙液層流體的熱毛細(xì)對流不穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。Li等[2-3]對有上自由表面的B2O3/GaAs、5cSt硅油/H20環(huán)形雙液層系統(tǒng)進(jìn)行了二維數(shù)值模擬，并且，他們還對環(huán)形雙液層系統(tǒng)求解了漸進(jìn)解[4-5]。結(jié)果表明，液封層可以大大增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，雙層流體的臨界Marangoni數(shù)比同等條件的單液層大約兩個數(shù)量級。其他學(xué)者對矩形雙液層系統(tǒng)的流動穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，Simanovski等[6-8]對垂直加熱、固壁施加周期邊界條件、并且界面有熱源的矩形雙層系統(tǒng)進(jìn)行了二維數(shù)值模擬，結(jié)果發(fā)現(xiàn)界面處足夠強(qiáng)的熱源會導(dǎo)致流動分岔的產(chǎn)生。

Mo等采用線性穩(wěn)定性分析[9-11]對上自由表面、上固壁條件下的環(huán)形雙液層的5cSt硅油/HT-70的流動穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)了在不同的半徑比、深寬比、下液層與總液層厚度比條件下，系統(tǒng)出現(xiàn)了三種流動失穩(wěn)現(xiàn)象，即輪輻狀的熱流體波、輪輻狀和熱壁處同波數(shù)流胞疊加的熱流體波，以及三維穩(wěn)態(tài)流動。

綜上，以上的研究多針對于矩形池內(nèi)雙液層系統(tǒng)，較少研究環(huán)形液池的雙液層系統(tǒng)；從研究工質(zhì)對上看，則多有關(guān)于硅單晶、砷化鎵晶體的生長，對于藍(lán)寶石晶體——廣泛應(yīng)用于國防、電子技術(shù)、科學(xué)技術(shù)的重要技術(shù)晶體生長過程中的流動穩(wěn)定性研究還鮮少報道。學(xué)者們對單液層、提拉法晶體生長過程中的藍(lán)寶石熔體流動進(jìn)行了數(shù)值模擬[12-14]，但涉及到液封提拉法生長藍(lán)寶石晶體的雙液層系統(tǒng)流動數(shù)值模擬研究還未見報道。為此，本文以微重力條件下、上自由表面的環(huán)形液池中B2O3/藍(lán)寶石熔體的熱毛細(xì)對流為研究對象，可以豐富雙液層流動系統(tǒng)非平衡熱力學(xué)理論，更可獲得液封提拉法生長藍(lán)寶石晶體的工程指導(dǎo)建議。

1 物理模型及求解方法

雙層液體施以水平溫度梯度，內(nèi)壁為低溫Tc，外壁為高溫Th(Tc

圖1 物理模型

在模型中引入如下假設(shè)：(1)熔體和液封均為不可壓縮的牛頓流體，滿足Boussinesq近似；(2)流速較低，流動為軸對稱二維層流；(3)兩相界面平整無變形，在自由表面、液液界面考慮熱毛細(xì)力的作用，固-液界面滿足無滑移條件；(4)底部邊界絕熱；(5)表面張力是溫度的線性函數(shù)。

對控制方程進(jìn)行無量綱化，時間、長度、速度、壓力無量綱尺寸如下： (ro-ri)2/n1，ro-ri，n1/(ro-ri)和r1n12/(ro-ri)2，則無量綱方程可寫為：

?·Vi=0

(1)

(2)

(3)

其中，ρi，ai，bi和νi分別為i(i=1，2)層液體的密度,熱擴(kuò)散系數(shù)，體積膨脹系數(shù)，動力粘度；Vi代表無量綱速度矢量；Qi=(Ti-Tc)/(Th-Tc))為無因次溫度；Pi為無量綱壓力；t為無量綱時間；ez為垂直方向的速度矢量；Pr=n1/a1為熔體的普朗特數(shù)。

在Z=H1=h1/(ro-ri)的液液界面邊界條件為：

(4a-c)

液封頂部，ri≤r≤ro，z=h的自由表面邊界條件為：

(5a-c)

其中，R與Z為無量綱坐標(biāo),Ma是Marangoni數(shù)，其定義式為Ma=g2-1(Th-Tc)(ro-ri)/(m1a1),m為動力粘度,k為導(dǎo)熱率,g2-1=-?g/?T是流體的界面張力梯度。

徑向與縱向速度用無量綱流函數(shù)y定義如下：

(6)

2 結(jié)果與分析

在微重力環(huán)境下，由于浮力引起的自然對流的消失，熱毛細(xì)對流將占據(jù)主導(dǎo)作用，這將可以獲得一個相對理想的靜態(tài)生長體系，熱量和質(zhì)量運(yùn)輸均被抑制，生長過程變成受限于擴(kuò)散過程，這樣的體系非常適合研究晶體生長、缺陷形成和溶質(zhì)分凝，并且適合驗證有關(guān)晶體生長機(jī)理的理論模型。為了認(rèn)清熔體熱毛細(xì)對流的溫度場和流場的基本特性，本節(jié)將通過數(shù)值模擬的方法，以獲取系統(tǒng)流動的流動特征、流動失穩(wěn)的臨界參數(shù)，以及失穩(wěn)后的流動振蕩流型。

液封提拉法生長藍(lán)寶石晶體多采用B2O3作為液封流體，藍(lán)寶石熔體與B2O3的物性參數(shù)同文獻(xiàn)[2，15]，見表1。

表1 B2O3與藍(lán)寶石熔體的物性參數(shù)

當(dāng)給雙液層系統(tǒng)施加水平溫度梯度，且Marangoni數(shù)低于臨界值時，雙液層系統(tǒng)中的熱對流為軸對稱流動。在上部為自由表面的環(huán)形池中，雙液層系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)流動表現(xiàn)為在R-Z截面上熔體層中流體逆時針旋轉(zhuǎn)的單胞穩(wěn)態(tài)運(yùn)動，液封層中兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的穩(wěn)態(tài)流胞?？拷阂航缑娴牧靼琼槙r針旋轉(zhuǎn)，靠近自由界面的流胞是逆時針旋轉(zhuǎn)，這是因為它們都受到液液界面與自由界面處的熱毛細(xì)力的拽引，而產(chǎn)生了熱毛細(xì)對流。圖2為微重力條件下，Ma=8.0×104時，Γ=0.2，ε=0.5,η=0.10時的流函數(shù)分布與溫度分布。值得注意的是，從溫度分布圖上看，在靠近冷壁處的液封層，在近液液界面處，出現(xiàn)了一個長度約為徑向總長度1/8長的高溫區(qū)域，這是因為液液界面拽引的熱壁處的高溫流體在冷壁處回流，流速降低，形成了一個小區(qū)域的高溫段。而當(dāng)冷熱壁溫度進(jìn)一步增大，即熱壁處的溫度進(jìn)一步增大時，則此區(qū)域的溫度就會越高，當(dāng)溫差達(dá)到一定程度時，則在液封層與熔體層出現(xiàn)了Marangoni對流，其對流強(qiáng)度高于徑向的熱毛細(xì)對流，就會出現(xiàn)從冷壁處向熱壁處涌動的與液液界面熱毛細(xì)對流方向相反的“逆向流”，如圖3(j)、圖3 (k)所示。

圖2 穩(wěn)態(tài)流動的流函數(shù)(上)與溫度分布(下)，Γ=0.2，ε =0.5，η=0.1，Ma=8.0×104， δψ=ψmax/10,Ψ(+)=0.015，Ψ(-)= -0.010，δΘ=0.1

圖3 失穩(wěn)流動的等流函數(shù)線Γ=0.2，ε =0.5，η=0.1，Ma =8.0×105，δψ=ψmax/10

圖3為二維數(shù)值模擬獲得的流動失穩(wěn)后的R-Z截面流函數(shù)分布，可以看出，當(dāng)Ma=8.0×105時，在近熱壁處逐漸出現(xiàn)了振動流動，由于有液液界面處的熱毛細(xì)力的拽引，流動從熱壁處向冷壁處發(fā)生，表現(xiàn)為液封層有雙層、順逆時針交替滾動的流胞，隨著流動的進(jìn)行，這些液封層近熱壁處的小流胞逐漸在垂直方向擴(kuò)大流動范圍，并由熱壁處向冷壁處徑向流動大概約2/3徑向長度，如圖3(a)-圖3(i)。之后，由于高溫回流在冷壁處聚集，在冷壁處產(chǎn)生垂直方向的溫差，故在液封層與熔體層發(fā)生Marangoni流動，表現(xiàn)為從冷壁處向熱壁處快速流動的單個流胞，如圖3(j)、圖3(k)所示。隨著這些大流胞流向熱壁處，冷壁處的高溫流體也被帶離冷壁處，垂向溫差減小，Marangoni流動減弱，熱毛細(xì)對流又占據(jù)上風(fēng)，則再一次出現(xiàn)熱毛細(xì)對流，形成周期流動。

為了解流動速度與溫度的周期性變化，探尋流動失穩(wěn)機(jī)制，本文監(jiān)測了液-液界面、R=0.5處的監(jiān)測點(diǎn)A，自由界面、R=0.5處的監(jiān)測點(diǎn)B的徑向速度與溫度，如圖4所示。從圖上可以看到，徑向速度波動和溫度波動是不同步的，兩者之間的相位差與熱流體波運(yùn)動方向有關(guān)。速度波動早于溫度波動。從圖4(a)與圖4(b)的徑向速度波動規(guī)律來看，兩者的波動是呈相反趨勢的，這是因為液液界面和自由界面都有熱毛細(xì)力，它們驅(qū)動了液封層兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的流胞在液封層旋轉(zhuǎn)。但是，它們并不像5cSt硅油/HT-70的周期失穩(wěn)呈現(xiàn)為周期性的等幅波動，而是出現(xiàn)一個速度比較大的類余弦波動后，又有一段較低速的徑向流動，徑向速度表現(xiàn)為負(fù)值，則為熱壁向冷壁的流動，說明在這個階段是熱毛細(xì)對流階段，當(dāng)自由界面出現(xiàn)正向徑向速度值、液液界面出現(xiàn)負(fù)向徑向速度大值時，則對應(yīng)冷壁處產(chǎn)生的Marangoni流動，向熱壁處以單胞流動。

圖4 Γ=0.2、ε=0.5和η=0.1,Ma=4.0×106時,不同監(jiān)測點(diǎn)A、B處徑向速度(實線)和溫度(虛線)

3 結(jié)束語

本文研究了微重力條件，水平溫度梯度作用下，上部為自由表面的環(huán)形雙液層B2O3/藍(lán)寶石熔體系統(tǒng)的熱毛細(xì)對流流動穩(wěn)定性，獲得了以下結(jié)論。

(1)當(dāng)Marangoni數(shù)較小時，流動為穩(wěn)態(tài)流動，其表現(xiàn)為液封層有兩個旋向相反的流胞，熔體層表現(xiàn)為一個逆時針旋轉(zhuǎn)的流胞。

(2)隨著Marangoni數(shù)超過流動穩(wěn)定臨界值，穩(wěn)態(tài)流動變?yōu)橹芷谡袷幜鲃?，表現(xiàn)為從熱壁處向冷壁處擴(kuò)展的多個旋向相反的小流胞，當(dāng)擴(kuò)展到徑向長度2/3R處時，近冷壁處上、下液層產(chǎn)生單個流胞，并向熱壁處逆向流動。

(3)振蕩流動時，徑向速度波動先于溫度振蕩波動。在一個周期流動中，先產(chǎn)生熱毛細(xì)對流，再產(chǎn)生近冷壁處的Marangoni對流。