杜運(yùn)興 程鵬 周芬

摘 ? 要：基于梁物理中面的概念，使用哈密頓原理，推導(dǎo)得出軸向力作用下材料性質(zhì)沿梁高變化的功能梯度材料（FGM）梁自由振動(dòng)的控制微分方程組，然后求得該微分方程組的冪級(jí)數(shù)解. 再基于彈性約束表示的一般邊界條件得到頻率方程. 分析了長(zhǎng)高比、梯度指數(shù)、軸向力以及截面變化系數(shù)等參數(shù)對(duì)FGM梁固有振動(dòng)特性的影響. 結(jié)果表明，剪切變形不僅會(huì)影響彎曲振動(dòng)，對(duì)軸向振動(dòng)也有影響.

關(guān)鍵詞：Timoshenko梁;FGM梁;物理中面;自由振動(dòng);冪級(jí)數(shù)解

中圖分類(lèi)號(hào)：O326 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：Based on the concept of physical neutral surface， the governing differential equations of free vibration of an axial-loaded functionally graded material （FGM） beam with the material properties varying along the beam height are derived by using Hamilton principle， and then the power series solutions of the differential equations are obtained. Then， the frequency equation is obtained based on the general boundary conditions expressed by elastic constraints. The effects of the parameters such as the length-height ratio， the gradient index， the axial force， and the section variation coefficient on the natural vibration characteristics of functionally graded beams are analyzed. The results show that the shear deformation affects not only the flexural vibration but also the axial vibration.

Key words：Timoshenko beam;FGM beams;physical neutral surface;free vibration;power series solution

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，各種高性能材料相繼出現(xiàn)，比如功能梯度材料（FGM），F(xiàn)GM是一種微觀上不均勻的空間復(fù)合材料，通常由兩種或多種不同的材料組成. FGM因性能優(yōu)異而廣泛應(yīng)用于土木、機(jī)械和航空航天等領(lǐng)域. 一些學(xué)者對(duì)FGM[1]或FGM結(jié)構(gòu)[2]進(jìn)行了研究. 而FGM梁通常作為單獨(dú)的結(jié)構(gòu)或者作為FGM結(jié)構(gòu)的構(gòu)件應(yīng)用于工程中，對(duì)于一些受到動(dòng)荷載作用的FGM梁，求解其固有振動(dòng)特性從而避免共振具有重要意義. 目前，對(duì)于軸力作用下的變截面FGM梁的自由振動(dòng)問(wèn)題的研究仍不完善，需深入研究.

對(duì)于材料性質(zhì)沿梁高分布的FGM梁的自振問(wèn)題已有大量研究. 基于Euler-Bernoulli梁理論，Yang等[3]分析了帶有裂縫的FGM梁的自由振動(dòng)和穩(wěn)定問(wèn)題. imek等[4]分析了FGM梁在集中移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下的自由和受迫振動(dòng). 最近Lee等[5]提出了一種精確傳遞矩陣法來(lái)分析FGM梁的自由振動(dòng)特性. 盡管基于Euler-Bernoulli梁理論計(jì)算較為簡(jiǎn)單，但是在長(zhǎng)細(xì)比較小時(shí)結(jié)果誤差較大. 龔云[6]分別基于Euler-Bernoulli梁理論與Timoshenko 梁理論分析了FGM梁自由振動(dòng)和彎曲問(wèn)題，結(jié)果表明長(zhǎng)細(xì)比對(duì)固有頻率影響顯著. 基于一階剪切變形理論，Lee等[7]研究了材料沿截面高度分布的FGM梁的軸向-彎曲耦合振動(dòng). 他還分析了FGM梁法向應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能固有頻率貢獻(xiàn)率的影響. 該方法能準(zhǔn)確地評(píng)估剪切變形的影響，蒲育等[8]也提出一種改進(jìn)型廣義微分求積法來(lái)求解FGM梁的自由振動(dòng)問(wèn)題. 也有一些學(xué)者基于高階梁理論分析該問(wèn)題，比如，Pradhan等[9]研究了不同邊界條件下FGM梁的自由振動(dòng)問(wèn)題. 基于不同的剪切變形梁理論以及經(jīng)典梁理論進(jìn)行了分析. ?imek[10]使用不同高階梁理論對(duì)FGM梁的基頻進(jìn)行分析，結(jié)果表明使用各種高階梁理論所得結(jié)果差異很小. Karamanli[11]基于三階剪切變形理論研究了在多種邊界條件下，雙向FGM梁的自由振動(dòng)特性.

上述研究的材料性質(zhì)沿厚度方向變化的FGM梁均是等截面梁. 對(duì)于變截面梁的研究較少. Maganti等[12]分析了FGM旋轉(zhuǎn)楔形梁的彎曲振動(dòng)，但并未考慮剪切變形的影響. Li等[13]研究了變厚度FGM梁在流體中的自由振動(dòng).

對(duì)于某些材料性質(zhì)沿厚度方向變化的FGM梁，其物理中面可能與幾何中面不重合. 一些學(xué)者[14-16]的研究表明，如果選擇合適的參考面即物理中面，就可以消除板振動(dòng)方程中的拉伸-彎曲耦合，這可以大大減小計(jì)算量. 基于物理中面的概念，賈金政等[17]分析了FGM梁的彎曲和過(guò)屈曲問(wèn)題，Larbi等[18]基于高階梁理論分析了等截面FGM梁的靜力和自由振動(dòng)問(wèn)題. 但對(duì)于軸向力作用下的變截面FGM梁的自由振動(dòng)問(wèn)題，還缺乏研究. 因此本文基于物理中面的概念，對(duì)于變截面FGM梁自由振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行研究.

在文獻(xiàn)[9-10]中，基于高階剪切變形梁理論所得的結(jié)果與基于一階剪切變形梁理論所得結(jié)果差異不大，因此，本文擬基于Timoshenko梁理論對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行研究，并考慮軸向力的作用. 由于變截面FGM梁的自由振動(dòng)方程為變系數(shù)微分方程組，無(wú)法用常規(guī)方法求解，故本文使用一種冪級(jí)數(shù)法對(duì)該變系數(shù)微分方程組進(jìn)行求解. 通過(guò)本文方法容易求得變截面FGM梁的固有頻率、振型以及臨界荷載，可為變截面FGM梁的設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供理論支持.

1 ? 理論分析

2 ? 結(jié)果與討論

本文研究的FGM梁的上表面的材料為純陶瓷（彈性模量為Et = 380 GPa，密度為ρt = 3 960 kg/m3，泊松比為0.3）;梁的下表面的材料為純鋁（彈性模量為Eb=70 GPa，密度為ρb=2 702 kg/m3，泊松比為0.3）.

2.1 ? 結(jié)果驗(yàn)證與分析

由于本文振動(dòng)微分方程的解為冪級(jí)數(shù)解，實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常采用近似解代替級(jí)數(shù)解，近似解選取級(jí)數(shù)解前N項(xiàng)計(jì)算. 理論上，N越大，無(wú)量綱固有頻率近似解的精確度越高. 為了探討近似解所取項(xiàng)數(shù)N對(duì)無(wú)量綱固有頻率精度的影響，以文獻(xiàn)[10]中的一個(gè)等截面簡(jiǎn)支FGM梁（取α=0來(lái)分析等截面梁）為例，梁長(zhǎng)與梁高之比1/μ取5和20，梯度指數(shù)k取0、1、2，無(wú)量綱軸力τ取0. 由表1中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)本方法所得的頻率方程式（33）的解是收斂的，且近似級(jí)數(shù)解并不需要取太多項(xiàng).

計(jì)算所得結(jié)果與文獻(xiàn)[10]中經(jīng)典邊界條件下FGM梁的無(wú)量綱基頻進(jìn)行比較，驗(yàn)證了所提出方法的有效性. 且無(wú)量綱固有頻率隨梯度指數(shù)k增大而減小. 當(dāng)長(zhǎng)高比較大時(shí)所得的無(wú)量綱固有頻率大于相應(yīng)的長(zhǎng)高比較小時(shí)所得的數(shù)據(jù)，這反映了，長(zhǎng)高比較小時(shí)，剪切變形對(duì)無(wú)量綱固有頻率的影響較大，不可忽略. 此外，結(jié)果還表明：通過(guò)調(diào)整邊界約束彈簧的剛度來(lái)求解經(jīng)典邊界條件下FGM梁的固有頻率是可行的.

當(dāng)1/μ取5和10，梯度指數(shù)k取1時(shí)，簡(jiǎn)支FGM梁的前四階振型函數(shù)U（X）和W（X）對(duì)比如圖3所示. 由圖可知，梁長(zhǎng)與梁高之比對(duì)梁的自振特性有顯著影響，當(dāng) 1/μ取5時(shí)，第三階模態(tài)由軸向振動(dòng)主導(dǎo)，而當(dāng) 1/μ取10時(shí)，第四階模態(tài)由軸向振動(dòng)主導(dǎo)，其他階模態(tài)均由彎曲振動(dòng)主導(dǎo). 由于1/μ值的大小反映了剪切變形的影響程度，1/μ值越小，剪切變形影響越大，因此，剪切變形不僅會(huì)影響彎曲振動(dòng)，對(duì)軸向振動(dòng)也有影響.

2.2 ? 截面變化系數(shù)對(duì)變截面FGM梁自振特性的

影響

使用本文方法計(jì)算簡(jiǎn)支FGM梁無(wú)量綱固有頻率，取梯度指數(shù)k=1，梁長(zhǎng)與梁高之比1/μ取100，截面變化系數(shù) α取不同的值時(shí)，梁前五階無(wú)量綱固有頻率計(jì)算值見(jiàn)表2. 由表2中的計(jì)算結(jié)果可知，隨著截面變化系數(shù)α增大，梁的無(wú)量綱固有頻率逐漸減小. 另外，還討論了截面變化系數(shù)α對(duì)簡(jiǎn)支梁前四階振型函數(shù)W（X）的影響，如圖4所示，可以看出：隨著截面變化系數(shù) α的增大，振型函數(shù)W（X）之間的差異逐漸增大. 此外，右端差異較大，這是因?yàn)榱航孛鎻淖蟮接叶酥饾u變小從而使得剛度變小，于是變形就更大，但其形狀基本相同.

2.3 ? 軸向荷載對(duì)FGM梁自振特性的影響

當(dāng)軸向荷載作用于簡(jiǎn)支FGM梁時(shí)，其固有振動(dòng)特性會(huì)隨軸向荷載的改變而改變，因此，對(duì)于軸向荷載作用下的FGM梁需進(jìn)行進(jìn)一步研究. 梯度指數(shù)k取1，截面變化系數(shù) α取0，梁長(zhǎng)與梁高之比1/μ取100. 不同軸向荷載作用下FGM梁的前五階無(wú)量綱固有頻率見(jiàn)表3. 由表中數(shù)據(jù)可以看出：軸向荷載對(duì)基頻影響較大而對(duì)高階頻率影響較小，這是因?yàn)楫?dāng)軸向壓力快達(dá)到臨界荷載時(shí)，無(wú)量綱固有頻率才會(huì)大幅減小，而軸向壓力達(dá)到一階臨界荷載時(shí)，還遠(yuǎn)不到二階臨界荷載，因此對(duì)高階頻率影響較小. 軸向壓力接近一階臨界荷載時(shí)，基頻會(huì)逐漸接近于0.

基于上述結(jié)論，在本節(jié)進(jìn)一步分析了對(duì)于不同截面變化系數(shù)α和梯度指數(shù) k，基頻和軸向壓力之間的關(guān)系，同時(shí)分析k和α對(duì)FGM梁的臨界荷載的影響. 對(duì)于簡(jiǎn)支梁，選擇不同的k和α值，梁的基頻與軸向載荷之間的關(guān)系如圖5所示. 從圖中可以看出，隨著k值的增大，F(xiàn)GM梁的無(wú)量綱固有頻率都有所減小. 此外，隨著k值的增大，臨界荷載也大幅減小，這是因?yàn)?，隨著k值的增大，梁中鋁的含量增加從而使得梁的彈性模量和密度都減小，而密度的減小對(duì)臨界荷載沒(méi)有影響，因此k值的增大會(huì)導(dǎo)致一階臨界荷載的減小. 另外截面變化系數(shù)α也會(huì)導(dǎo)致一階臨界荷載的減小.

3 ? 結(jié) ? 論

本文基于Timoshenko梁理論，建立了變截面FGM梁的自由振動(dòng)方程，采用冪級(jí)數(shù)法求解變截面梁振動(dòng)微分方程組. 隨后以上表面為陶瓷、下表面為鋁的FGM梁為例，研究了該方法的收斂性，并分析了長(zhǎng)高比、梯度指數(shù)、截面變化系數(shù)以及軸向力對(duì)固有振動(dòng)特性的影響，主要結(jié)論如下：

1）本文提出的方法收斂性良好，且具有較高的準(zhǔn)確性. 結(jié)果表明，剪切變形不僅會(huì)影響彎曲振動(dòng)，對(duì)軸向振動(dòng)也有影響.

2）對(duì)于簡(jiǎn)支功能梯度梁，截面變化系數(shù)α和梯度指數(shù) k的增加會(huì)使得其固有頻率和臨界荷載減小，另外，截面變化系數(shù)對(duì)振型函數(shù)也有一定影響，但大致形狀不會(huì)改變.

3）可以通過(guò)改變邊界約束彈簧的剛度來(lái)實(shí)現(xiàn)經(jīng)典邊界條件下梁的固有頻率求解.

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