王宇航 袁猛 明平劍

1) (哈爾濱工程大學動力與能源工程學院, 哈爾濱 150001)

2) (中山大學中法核工程與技術(shù)學院, 珠海 519082)

1 引 言

在滴狀凝結(jié)過程中, 具有較低的固-液黏附力的超疏水表面上微尺度的液滴能因聚并誘導而發(fā)生自推進式的跳離表面行為[1-5].液滴聚并后釋放的過剩表面能可以轉(zhuǎn)化為彈跳所需的動能, 促使聚并后的液滴在不借助外力(甚至可以忽略重力影響)的條件下能自發(fā)地跳離冷凝表面.近年來的研究發(fā)現(xiàn), 聚并后液滴自彈跳行為在強化滴狀冷凝換熱[6-8]、自清潔[9-11]、防冰[12]和熱點冷卻[13]等方面具有巨大的潛在應用前景, 因此相關(guān)問題受到了廣泛的關(guān)注.

Boreyko和Chen[1]在具有微納米二級結(jié)構(gòu)的超疏水表面上進行冷凝實驗時, 首次發(fā)現(xiàn)微米尺度的兩個液滴在聚并后可以跳離表面這一現(xiàn)象.他們將這一過程分為初始成核、固定聚并和移動聚并這三個階段, 并從能量守恒的角度解釋了液滴聚并自彈跳這一行為: 聚并后釋放的過剩表面能可以轉(zhuǎn)化為彈跳所需的動能.實驗結(jié)果表明, 豎直的真實彈跳速度(有量綱的物理量)隨著液滴半徑的增大而先增大后減小, 而基于毛細-慣性尺度定律(capillary-inertial scaling law)下的無量綱彈跳速度的變化趨勢則是先增大后保持穩(wěn)定.隨后, Liu等[14,15]利用萊登弗羅斯特表面, 實驗測量了接觸角為180°的液滴的聚并自彈跳行為, 確定了其基于毛細-慣性尺度定律下的無量綱彈跳速度約為0.2.同時, 利用相場方法的數(shù)值模擬研究得到的彈跳速度結(jié)果與實驗結(jié)果相符合.他們依據(jù)質(zhì)心處的彈跳速度的變化趨勢而將整個過程細分為四個階段, 并且解釋了聚并后液滴能跳起的關(guān)鍵: 擴展的液橋必須撞擊到超疏水表面上.除了相場方法外,格子玻爾茲曼方法[16-19]和流體體積法(volume of fluid method, VOF)[20-25]均可被應用于模擬液滴的聚并自彈跳行為.另外, 許多學者利用分子動力學方法[26,27]證明納米尺度的兩個液滴在聚并后也能跳起.

相對于兩個半徑相等的液滴, 非等徑的兩個液滴的初始表面能更小[21], 并且質(zhì)量的非對稱分布也會導致液滴在聚并后具有明顯的旋轉(zhuǎn)運動[19,20-22], 因此半徑比的存在會降低彈跳速度.除了尺寸和半徑比外, 其他因素如表面結(jié)構(gòu)[18,25,27]、液滴數(shù)量[24,28]和接觸角[21-23,29]等也會對液滴的自彈跳速度有一定的影響.

由于液滴的自彈跳行為存在于氣-液兩相系統(tǒng)中, 因此流體的物性參數(shù)是不可忽視的.空氣物性參數(shù)的數(shù)值要遠小于液滴物性參數(shù)的值, 所以空氣的黏度和密度對液滴的彈跳速度的影響極小[16].然而, 目前與液滴有關(guān)的物性參數(shù)的影響的研究仍鮮有報道, 沒有引起重視, 甚至在一些文獻中都無提及氣液的相關(guān)物性值.在考慮數(shù)值方法的有效性、廣泛性及物性參數(shù)的值可大范圍變化等因素后, 本文選用VOF方法數(shù)值模擬兩個液滴之間的聚并自彈跳行為.此項工作不僅揭示了液滴的不同物性參數(shù)對其聚并自彈跳特性的影響, 更利用灰色關(guān)聯(lián)方法首次給出物性參數(shù)的變化分別與液滴跳離表面時的真實彈跳速度及液滴與表面之間的真實接觸時間的遠近關(guān)聯(lián)程度, 為后續(xù)的相關(guān)研究提供思路和理論基礎.

2 模型及方法

2.1 模型介紹

兩個半徑r= 40 μm的液滴靜止位于接觸角為180°的超疏水表面上, 彼此相切.計算域是一個長寬高分別為8r, 8r和6r的長方體, 底部的超疏水表面為無滑移壁面, 其他邊界被指定為壓力出口條件, 如圖1所示.為了減少收斂時間和節(jié)省計算資源,在液滴內(nèi)部和周圍的核心區(qū)域采用細的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格, 遠離液滴的其余區(qū)域采用非均勻的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格.利用開源軟件包OpenFOAM中的VOF方法[21],數(shù)值模擬了超疏水表面上液滴的聚并自彈跳行為.

圖1 計算域的邊界條件與網(wǎng)格Fig.1.Boundary conditions and grids of computational domain.

在VOF方法中, 相分數(shù)α用于表示體積分數(shù),取值在0到1之間.例如,α= 0時代表氣體,α=1時代表液體, 當α在0和1之間時, 表示氣-液界面.流體性質(zhì)由下式給出:

其中ρ是密度,μ是動力黏度, 下標l和g分別是指液體和氣體.連續(xù)性和Navier-Stokes方程為

其中U是速度矢量,p是壓力場,g是重力加速度.表面張力的計算如下所示:

其中σ是表面張力系數(shù);k是自由表面的平均曲率,其計算公式為

另外, 界面法向向量n可以近似為

在求解過程中, 加入了人工壓縮項α(1－α), 使得兩相的界面可以保持尖銳.相方程為

式中Ur是兩相的相對速度,

其中Cα是一個可調(diào)整的系數(shù), 在我們的算例中默認值為1.

2.2 無量綱分析

液滴的真實彈跳速度取質(zhì)心處垂直于平面的法向速度的加權(quán)平均值:

其中v是垂直于平面的法向速度,θ為整個計算域.定義的無量綱彈跳速度U*和無量綱時間t*如下所示:

其中依據(jù)毛細-慣性尺度定律而定義的特征速度Uci和特征時間尺度τci分別為[1]

此外, 影響液滴動力學特性的參數(shù)有很多, 包括Bond數(shù)、Ohnesorge數(shù)、Weber數(shù)、氣液黏度比和密度比, 分別為

取溫度為20 ℃時對應的液滴的物性參數(shù)[21,25],具體詳見表1.液滴的尺寸非常小[16,22], 可以忽略重力的影響, 即Bo= 0.在參考速度選取為特征速度后We= 1, 毛細效應和慣性效應的影響等同,因此不必考慮表面張力變化帶來的影響.本文中所有算例的Oh值都很小(最大不超過0.04), 滿足液滴跳起的要求[14,22].最后, 重點考慮了黏性效應和慣性效應對液滴的聚并自彈跳行為的影響.

表1 流體物性參數(shù)Table 1.Physical parameters of fluids.

由于液滴的質(zhì)量分布對稱, 故質(zhì)心是在豎直方向上發(fā)生變化, 因此動能可由真實彈跳速度計算得到:

聚并過程中釋放的過剩表面能ΔEs可由液滴的表面積計算得到:

其中E0為初始時刻兩個液滴的表面能,Es是跳起時刻的液滴表面能,A為跳起時刻的液滴表面積.由于基底為超疏水表面且接觸角為180°, 故黏附功的影響可忽略.根據(jù)能量守恒定律, 黏性耗散能Evis可近似等于過剩表面能ΔEs與動能ΔEk之差:

其中黏性耗散函數(shù)φ為

最后對能量項進行無量綱化, 即:

2.3 結(jié)果驗證

使用多套網(wǎng)格(核心區(qū)域的網(wǎng)格尺寸分別為1,1.25, 1.5, 2, 2.5和3 μm)模擬了文獻[25]中的相同算例(液滴半徑為40 μm), 得到的最大彈跳速度的結(jié)果如圖2所示.當網(wǎng)格尺寸為1, 1.25和1.5 μm時, 最大真實彈跳速度分別為0.2648, 0.2661和0.2573 m/s (對應的最大無量綱彈跳速度U*分別為0.197, 0.198和0.192).這3個結(jié)果全部與文獻[25]的模擬結(jié)果0.2686 m/s非常吻合, 同時也均符合毛細-慣性尺度定律[14,15]的相關(guān)結(jié)論(無量綱值約為0.2).因此, 為了節(jié)省計算資源且具有良好的界面分辨率, 所有算例選取了核心區(qū)域尺寸為1.25 μm的這套網(wǎng)格(網(wǎng)格總數(shù)約為450萬).

圖2 不同網(wǎng)格尺寸條件下的最大真實彈跳速度Fig.2.Maximum real jumping velocity with different mesh sizes of core region.

3 物性參數(shù)對液滴的自彈跳特性的影響

3.1 黏性效應對聚并自彈跳行為的影響

在保持空氣黏度和氣-液密度比不變、只改變液滴的黏度的情況下, 不同黏度比時液滴的聚并自彈跳過程如圖3所示.在聚并開始階段, 在表面張力的作用下兩個液滴之間會形成液橋(見圖3(a)、圖3(f)和圖3(k)), 之后液橋快速擴張(見圖3(b)、圖3(g)和圖3(l)).隨后, 表面張力迫使兩個液滴的外側(cè)具有較大曲率的部分逐漸收縮(見圖3(c)、圖3(h)和圖3(m)); 與此同時, 仍在快速擴張的液橋?qū)矒粝路降某杷砻?由于液橋的擴展會對表面進行撞擊, 表面提供的反作用力迫使液滴向下運動的部分轉(zhuǎn)而向上運動, 在此情況下液滴具有向上運動所需的動能(見圖3(d)、圖3(i)和圖3(n)).當液滴底部的三相接觸線(在液橋撞擊平面的過程中產(chǎn)生的)減小為0時, 才發(fā)生彈跳行為.但是從圖3(e)、圖3(j)和圖3(o)可以看出, 具有較小黏度的液滴更容易跳起.跳起的液滴在空中振蕩, 做減速運動.在液滴界面的曲率變化程度較小時(如圖3中t*= 1.309之前), 改變液滴黏性對液滴界面的動力學演變影響較小.但隨著界面變化程度的增大, 黏性效應的影響也越來越強, 具有較大黏度的液滴的界面更為光滑.

圖3 不同黏度比條件下液滴的聚并和自彈跳過程 (a), (f), (k) t* = 0.168; (b), (g), (l) t* = 0.604; (c), (h), (m) t* = 1.309;(d), (i), (n) t* = 2.686; (e), (j), (o) t* = 3.257Fig.3.Coalescence and jumping process of droplets with different viscosity ratios: (a), (f), (k) t* = 0.168; (b), (g), (l) t* = 0.604;(c), (h), (m) t* = 1.309; (d), (i), (n) t* = 2.686; (e), (j), (o) t* = 3.257.

依據(jù)液滴質(zhì)心處的真實彈跳速度的變化趨勢[14], 整個彈跳過程可以分為4個階段, 如圖4(a)所示: 1) 彈跳速度從先下降后上升恢復至0; 2) 彈跳速度快速上升, 達到最大值; 3) 彈跳速度開始下降, 液滴跳離表面; 4) 跳起的液滴在空中做減速運動.相鄰兩個階段所間隔的時間在本文中被定義為這個階段的持續(xù)時間.例如, 第1個階段的持續(xù)時間是指彈跳速度恢復至0的時刻與t*= 0之差,第2個階段的持續(xù)時間是彈跳速度為最大值的時刻與前1個階段(彈跳速度恢復至0)的時刻之差,以此類推, 第3個階段的持續(xù)時間為液滴跳起的時刻與前一個階段(彈跳速度達到最大值)的時間節(jié)點之差.由圖4(b)可知, 黏性的變化基本不會改變兩個液滴之間聚并所需的時間, 但增大液滴的黏度會顯著增加第3個階段(跳離表面階段)所經(jīng)歷的持續(xù)時間.圖5中流場的矢量圖也表明了這一點:在圖5(a)、圖5(c)和圖5(e)中, 隨著黏度比的增大, 三相接觸線收縮變緩慢了, 并且這也直接導致了黏度較小的液滴的三相接觸線先收縮為0先跳起, 而黏度大的液滴三相接觸線收縮慢后跳起, 如圖5(b)、圖5(d)和圖5(f)所示.

圖4 (a) 不同黏度比時液滴質(zhì)心處的無量綱彈跳速度; (b) 黏度變化對液滴跳離表面前所經(jīng)歷的各個階段的無量綱持續(xù)時間的影響Fig.4.(a) Dimensionless jumping velocity of droplet with different viscosity ratios; (b) effects of the change of viscosity on the dimensionless duration of each stage prior to droplet jumping.

圖5 不同黏度比條件下流場的速度矢量圖 (a), (d), (g) t* = 1.309; (b), (e), (h) t* = 2.686; (c), (f), (i) t* = 3.257Fig.5.Vectors of flow field with different viscosity ratios: (a), (d), (g) t* = 1.309; (b), (e), (h) t* = 2.686; (c), (f), (i) t* = 3.257.

從圖5可以看出, 黏度較小的液滴內(nèi)部, 流動劇烈, 黏度的增大必然會帶更大的內(nèi)部流動阻力以及更多的能量損失.由Oh數(shù)的定義可知, 其反映了黏性效應、慣性效應和毛細效應之間的影響程度.增大黏度比會導致Oh數(shù)變大, 黏性效應越發(fā)明顯, 不利于液滴的跳起, 甚至于當液滴的黏度過大時, 液滴完全可能因沒有足夠的動能而無法跳起.

無量綱彈跳速度隨著液滴黏度的增大而逐漸減小.從能量的角度來說, 雖然黏度的增大會讓液滴的界面更為光滑, 從而有利于表面能的釋放(圖6(a)); 但這也會大大增加黏性耗散能(圖6(b)).由于總能量來源(過剩表面能)和能量損耗(黏性耗散能)同屬一個數(shù)量級[17], 最后支持液滴跳起的有效能量(動能)會隨著黏性的增大而減少, 動能結(jié)果如圖6(c)所示.

圖6 (a) 不同黏度比時聚并自彈跳過程中表面能的變化; (b) 不同黏度比的液滴在跳起時具有的黏性耗散能; (c) 不同黏度比的液滴在跳起時刻具有的動能Fig.6.(a) Surface energy variation with different viscosity ratios during the coalescence and jumping process; (b) viscous dissipation energy of jumping droplets with different viscosity ratios at departure time; (c) kinetic energy of jumping droplets with different viscosity ratios at departure time.

3.2 慣性效應對聚并自彈跳行為的影響

雖然圖3和圖7對應的分別是改變了黏性效應和慣性效應的結(jié)果, 但當Oh數(shù)保持相同時, 這意味著兩者共同作用的綜合效應也是不變的, 因此在相同的無量綱時間下液滴界面的動力學變化也相同, 這說明其變化特性由Oh數(shù)決定.然而, 在有量綱的真實時間中, 慣性效應和黏性效應卻有很大的不同之處, 主要體現(xiàn)為黏度對液滴的聚并時間無影響, 而密度卻與聚并所需時間τ緊密相關(guān)[30]:

圖7 不同密度比條件下液滴的聚并和自彈跳過程 (a), (f), (k) t* = 0.168; (b), (g), (l) t* = 0.604; (c), (h), (m) t* = 1.309;(d), (i), (n) t* = 2.686; (e), (j), (o) t* = 3.257Fig.7.Coalescence and jumping process of droplets with different density ratios: (a), (f), (k) t* = 0.168; (b), (g), (l) t* = 0.604;(c), (h), (m) t* = 1.309; (d), (i), (n) t* = 2.686; (e), (j), (o) t* = 3.257.

由于(19)式中聚并的真實時間τ與(12)式中時間尺度τci是線性關(guān)系, 所以改變密度會改變聚并的真實時間, 但不會改變其所需的無量綱時間.另外,由此可知, 隨著密度的減小, 事實上液滴聚并的真實時間會減小, 相應地也會更早地跳離表面.在本節(jié)中, 雖然無量綱時間相同, 但是圖7(k)—(o)過程中所需的真實時間卻是圖7(a)—(e)所需真實時間的4倍.

對于無量綱時間而言, 與黏性效應相同的是,慣性效應也是僅改變液滴跳離表面的第3個階段,如圖8(a)所示.由于慣性的存在可以抵抗液滴的形變, 慣性較大的大液滴的“被動”抵抗變形的能力要大于小液滴, 因此從真實時間的角度來看, 改變密度會影響前3個階段的真實持續(xù)時間, 隨著密度的減小, 前3個階段所需的真實時間也會減小, 如圖8(b)所示.

圖8 (a) 密度變化對液滴跳離表面前所經(jīng)歷的各個階段的無量綱持續(xù)時間的影響; (b) 密度變化對液滴跳離表面前所經(jīng)歷的各個階段的真實持續(xù)時間的影響; (c)不同密度比時液滴質(zhì)心處的無量綱彈跳速度Fig.8.(a) Effect of the change of density on the dimensionless duration of each stage prior to droplet jumping; (b) effect of the change of density on the real time of each stage prior to droplet jumping; (c) dimensionless jumping velocity of droplet with different density ratios.

從彈跳速度的變化曲線圖8(c)可知, 密度較小的液滴的Oh數(shù)較大, 此時黏度效應占主導地位,所以無量綱彈跳速度較小.但是密度的改變也會改變(12)式中的特征速度, 由于本算例中密度比較小的液滴的特征速度要大于1, 而密度比較大的液滴的特征速度小于1, 因此實際上質(zhì)量較小的液滴的真實彈跳速度要比質(zhì)量大的液滴的真實彈跳速度更大一些, 這一變化趨勢與其對應的無量綱速度的大小趨勢正好相反.

當Oh相同時, 圖6(a)和圖9(a)的表面能的變化曲線是基本一樣的, 這也證明了之前的結(jié)論:液滴在聚并自彈跳過程中的動力學變化由Oh數(shù)決定.密度較小的液滴的慣性效應小且黏性效應大, 在聚并后界面更光滑, 雖然可以釋放較多的過剩表面能(圖9(a)), 但其跳起時黏性耗散能更大(圖9(b)), 過剩表面能的增量不能抵消黏性耗散能的增量所來帶的負面影響, 因此質(zhì)量大的液滴具有更大的動能(圖9(c)).從圖10的流場速度矢量也可以看出, 密度比較大的液滴內(nèi)部的流動劇烈.這一結(jié)果也意味著即使密度小的液滴跳離表面所需的真實時間少并且真實彈跳速度大, 但減小密度比仍不利于液滴的自彈跳.

圖9 (a) 不同密度比時聚并自彈跳過程中表面能的變化;(b) 不同密度比的液滴在跳起時具有的黏性耗散能; (c) 不同密度比的液滴在跳起時具有的動能Fig.9.(a) Surface energy variation with different density ratios during the coalescence and jumping process; (b) viscous dissipation energy of jumping droplets with different density ratios at departure time; (c) kinetic energy of jumping droplets with different density ratios at departure time.

圖10 不同密度比條件下流場的速度矢量圖 (a), (d), (g) t* = 1.309; (b), (e), (h) t* = 2.686; (c), (f), (i) t* = 3.257Fig.10.Vectors of flow field with different density ratios: (a), (d), (g) t* = 1.309; (b), (e), (h) t* = 2.686; (c), (f), (i) t* = 3.257.

4 物性參數(shù)變化與液滴自彈跳動力學特性變化的關(guān)聯(lián)分析

4.1 灰色關(guān)聯(lián)度的計算

液滴跳離表面時的彈跳速度和液滴與表面的接觸時間這兩個參數(shù)一直是評價液滴自彈跳及超疏水表面性能優(yōu)劣的依據(jù)之一.由前文的研究內(nèi)容可知, 物性參數(shù)的改變對彈跳速度及接觸時間均有影響, 但目前還無人給出這些物性參數(shù)與二者之間的遠近程度.因此本文應用灰色關(guān)聯(lián)法[31], 計算了物性參數(shù)(黏度和密度)變化分別與有量綱的真實彈跳速度和有量綱的真實接觸時間之間的灰色關(guān)聯(lián)度.

灰色關(guān)聯(lián)法具有統(tǒng)計的樣本少, 且樣本無需具有經(jīng)典分布等特點, 通過計算系統(tǒng)中的比較序列(物性參數(shù))與參考序列(分別是真實彈跳速度和真實脫離時間)之間的關(guān)聯(lián)度(即關(guān)聯(lián)性大小)來度量數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)強度情況.為了得到比較序列的更為精確的變化趨勢, 本文中比較序列的結(jié)果取自于9組算例(1/2μ, 2μ,1/4ρ, 4ρ,1/2ρ, 2ρ和20 ℃對應的標準值), 考慮到參考序列有兩列, 故分別做兩次灰色關(guān)聯(lián)度的計算.灰色關(guān)聯(lián)分析通常包括以下4步:

2)選用均值法對原始數(shù)據(jù)進行變換, 消除量級和量綱的影響:1,···,m;

3)計算參考序列和比較序列之間的灰色關(guān)聯(lián) 系 數(shù):ξi(k)=(a+εb)/(|x0(k)-xi(k)|+εb) , 其中兩級最小差a與兩級最大差b分別為a=和分辨率為ε(0＜ε＜1) , 通常取0.5;

4.2 關(guān)聯(lián)度結(jié)果分析

物性參數(shù)變化(黏度和密度)分別與真實彈跳速度和真實接觸時間的關(guān)聯(lián)結(jié)果由表2給出.當黏度和密度變化同等倍數(shù)時, 黏度引起的Oh數(shù)的變化范圍更大; 另一方面, 黏度的改變直接地影響了黏性耗散能的多少, 而黏性耗散能在數(shù)值大小方面比跟密度相關(guān)的動能的數(shù)值高一個量級, 因此比較序列中黏度的變化與參考序列中的真實彈跳速度的關(guān)聯(lián)性更高.

表2 物性參數(shù)變化分別與真實彈跳速度和真實接觸時間的關(guān)聯(lián)度Table 2.Relational degree of the change of physical parameters to the real jumping velocity and the real contact time, respectively, at droplet departure time.

由于黏度變化對液滴聚并的真實時間基本無影響, 而密度的變化不僅會改變聚并的真實時間,甚至于對前3個階段的真實持續(xù)時間均有影響, 故密度的變化與參考序列中的真實接觸時間關(guān)聯(lián)性更高.

5 結(jié) 論

本文采用三維VOF方法對液滴的聚并自彈跳行為進行了數(shù)值模擬, 不僅關(guān)注了黏度效應和慣性效應對液滴的聚并自彈跳特性的影響, 同時對所有能量項進行了計算, 最后根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)法得到的結(jié)果, 給出了物性參數(shù)(黏度和密度)變化分別與液滴跳離表面時的真實彈跳速度和真實接觸時間的關(guān)聯(lián)程度.

根據(jù)彈跳速度的變化趨勢, 液滴的聚并自彈跳運動可分為4個階段, 即液橋擴張、液橋撞擊表面、液滴跳離表面和空中減速振蕩.在無量綱的時間條件下, 液滴的聚并自彈跳的動力學特性僅受Oh數(shù)的影響, 與黏度比或密度比無關(guān), 并且Oh數(shù)的改變只影響液滴跳離表面的第3個運動階段.在真實的時間條件下, 黏度的改變不會影響液滴聚并所需的真實時間, 只會改變跳離表面這一階段所需的真實時間; 而各個運動階段所需的真實時間都會隨著密度比的增大而增加.另外, 無量綱的彈跳速度隨著Oh數(shù)的增大而減小, 增大黏度和密度都會減少液滴跳起時的真實彈跳速度.根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度的計算結(jié)果可知, 黏度的變化與真實彈跳速度的關(guān)聯(lián)性更高, 而密度的變化與真實接觸時間關(guān)聯(lián)性更高.

感謝亞琛工業(yè)大學(RWTH Aachen University)傳熱傳質(zhì)研究所(WSA)的Wilko Rohlfs博士提供寶貴的意見和建議.