陳 春， 高 雪， 滕漢東

(1. 國(guó)家石油天然氣管網(wǎng)集團(tuán)有限公司華東分公司，揚(yáng)州 225002; 2. 南京航空航天大學(xué) 航空學(xué)院，南京 210016)

在航空、航天及石油化工生產(chǎn)應(yīng)用領(lǐng)域，能量采集技術(shù)是一種非常有前途的清潔能源技術(shù)，它是指使用環(huán)境能量向小型和移動(dòng)的電氣或電子設(shè)備提供電[1-2]。通常情況下，這些設(shè)備都是依靠傳統(tǒng)能源來(lái)提供能量，如鎳氫電池、鋰聚合物電池。但是，傳統(tǒng)電池存在的缺點(diǎn)在于：一是相對(duì)于微型傳感器其體積仍然較大，限制了微傳感器的進(jìn)一步小型化；二是供能壽命有限，使用一段時(shí)間后要更換或者充電。對(duì)于放置在惡劣環(huán)境或者埋于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的無(wú)線傳感器而言，這是個(gè)很嚴(yán)重的制約條件。而振動(dòng)能是環(huán)境中最普通的一種能源，以不同的形式、強(qiáng)度和頻率廣泛存在于航空、航天、船舶、石油化工、車輛等工程領(lǐng)域，而且其能量等級(jí)僅次于光能。因此，振動(dòng)能量采集器已成為可自我維持電源研究中的一大熱點(diǎn)，在航空航天等領(lǐng)域中具有較為廣泛的應(yīng)用價(jià)值與前景[3-4]。但由于振動(dòng)能量采集器件的采集效率取決于振動(dòng)幅值及共振頻率兩個(gè)要素，目前振動(dòng)能量采集裝置在100 Hz以上頻率具有較好表現(xiàn)。然而，環(huán)境中的振動(dòng)能以低頻為主，如人體運(yùn)動(dòng)(1～10 Hz)，車輛和機(jī)械設(shè)備(10～100 Hz)[5-6]。當(dāng)前，在低頻振動(dòng)環(huán)境，振動(dòng)能量采集裝置主要存在的問(wèn)題是：①輸出功率和功率密度不高，這主要是因?yàn)檩敵龉β逝c振幅立方成正比，而低頻共振時(shí)的振幅較大也進(jìn)一步加劇了功率密度的降低；②為了實(shí)現(xiàn)低頻共振頻率，彈性結(jié)構(gòu)的破壞極限相對(duì)也更低，因此需要額外空間設(shè)置限位。

非線性振動(dòng)能量采集器相比于線性振動(dòng)能量采集器能夠在寬頻譜范圍上表現(xiàn)出更好的振動(dòng)能量采集性能，且移頻、雙穩(wěn)態(tài)等非線性動(dòng)力學(xué)特性極有利于振動(dòng)能量采集。碰撞是實(shí)現(xiàn)非線性的主要形式之一，利用碰撞實(shí)現(xiàn)能量采集的方案主要有兩種思路：①通過(guò)與彈性約束的碰撞，構(gòu)成分段雙線性能量采集系統(tǒng)，利用分段非線性實(shí)現(xiàn)共振頻率偏移，拓寬采集頻帶[7]。例如，Soliman通過(guò)對(duì)振動(dòng)懸臂梁施加彈性約束，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的分段非線性化，構(gòu)成了分段雙線性系統(tǒng)[8-9]，其研究結(jié)果表明，該設(shè)計(jì)成功拓寬了系統(tǒng)振動(dòng)能量采集的帶寬，而剛度比及接觸速度是影響輸出功率水平的重要參數(shù)，相似的研究結(jié)論可見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。②通過(guò)與高頻結(jié)構(gòu)的碰撞，引起高頻結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)由低頻到高頻的升頻轉(zhuǎn)換，而由于采集效率和振動(dòng)頻率的立方成正比，因此可以提高振動(dòng)能量輸出水平[11-12]。如，Halim針對(duì)低頻運(yùn)動(dòng)的能量采集[13]，設(shè)計(jì)了一種無(wú)約束自由運(yùn)動(dòng)鋼珠與一對(duì)彈簧-質(zhì)量高頻采集振子組成的采集器，鋼珠在圓管內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，通過(guò)撞擊激發(fā)兩個(gè)采集振子的高頻自由振動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)高效人體低頻運(yùn)動(dòng)的能量采集。文獻(xiàn)[14]給出了一種兩自由度懸臂梁構(gòu)成的碰振升頻系統(tǒng)，其中通過(guò)主懸臂梁與止動(dòng)塊的碰撞誘發(fā)次級(jí)懸臂梁的高頻振動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)升頻轉(zhuǎn)換。

本文所研究的電磁式碰振升頻能量采集系統(tǒng)由低頻驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與高頻采集系統(tǒng)兩部分組成，兩系統(tǒng)的感應(yīng)線圈置于同一磁場(chǎng)，當(dāng)振動(dòng)發(fā)生時(shí)，基礎(chǔ)激勵(lì)驅(qū)使低頻系統(tǒng)產(chǎn)生大幅運(yùn)動(dòng)，并與高頻系統(tǒng)碰撞，從而引起高頻系統(tǒng)的高頻運(yùn)動(dòng)。其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)主要取決環(huán)境激勵(lì)條件和系統(tǒng)參數(shù)，主要存在以下兩種運(yùn)動(dòng)情形：①若振動(dòng)水平較低(或者間隙較大)，低頻驅(qū)動(dòng)振子與高頻采集振子的碰撞，此后，由于高頻與低頻驅(qū)動(dòng)振子固有頻率相差較大(可至數(shù)十倍)，即具備兩個(gè)不同量級(jí)的時(shí)間尺度，在低頻驅(qū)動(dòng)振子的一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，高頻采集振子則會(huì)以其固有頻率自由振動(dòng)。②若振動(dòng)水平足夠(或者間隙較小)，低頻驅(qū)動(dòng)振子的振動(dòng)通過(guò)碰撞周期性的能量輸入，驅(qū)動(dòng)高頻采集振子處于高頻周期振動(dòng)狀態(tài)。在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，碰振升頻振動(dòng)能量采集器升頻動(dòng)力學(xué)原理及采集性能也完全不同。

本文主要探討情形1狀態(tài)下碰振升頻振動(dòng)能量采集器的動(dòng)力學(xué)及其電學(xué)輸出性能。在該情形下，對(duì)低頻驅(qū)動(dòng)振子而言，與高頻采集振子的周期性的碰撞可近似為振動(dòng)能量損失的硬碰撞過(guò)程，因此其共振頻率會(huì)往高頻方向偏移，拓寬能量采集的頻率帶；在碰撞發(fā)生以后，高頻采集振子也會(huì)以較高的初始能量狀態(tài)開(kāi)始高頻振蕩。

1 動(dòng)力學(xué)建模

1.1 物理模型

圖1是電磁式碰振升頻振動(dòng)能量采集器的結(jié)構(gòu)原理圖。該裝置由低頻驅(qū)動(dòng)振子和高頻采集振子兩子系統(tǒng)組成，二者均為單自由度的動(dòng)鐵型電磁式振動(dòng)能量采集，低頻驅(qū)動(dòng)振子的“低頻”主要是指其固有頻率較小，在設(shè)計(jì)上約為高頻采集振子固有頻率的十分之一。低頻驅(qū)動(dòng)振子和高頻采集振子共同內(nèi)嵌于圓柱殼內(nèi)部，而為了弱化低頻驅(qū)動(dòng)振子和高頻采集振子永磁體之間的磁力相互作用，磁鐵的端部粘結(jié)有PVC有機(jī)材質(zhì)制成的圓柱頭以增加磁鐵間的有效距離，降低磁力耦合。也因此在本文后續(xù)推導(dǎo)中，假定磁鐵間的耦合較弱而忽略不計(jì)。銅線圈纏繞于支撐圓柱殼體的外表面，采集電路部分直接由銅線圈連接單一負(fù)載電阻，本文著重考慮采集裝置的動(dòng)力學(xué)特性對(duì)電能輸出的影響，所以電路部分采用這種最簡(jiǎn)單電阻形式。這對(duì)本文所進(jìn)行的相關(guān)結(jié)論推導(dǎo)以及定性設(shè)計(jì)結(jié)論無(wú)實(shí)質(zhì)影響。

圖1 碰振升頻振動(dòng)能量采集的原理和結(jié)構(gòu)

對(duì)于安裝在板、梁等結(jié)構(gòu)的采集裝置而言，在結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)激勵(lì)振動(dòng)下，低頻子系統(tǒng)的固有頻率等于外激勵(lì)頻率，所以低頻驅(qū)動(dòng)振子將處于共振狀態(tài)，低頻驅(qū)動(dòng)振子響應(yīng)振幅達(dá)到最大。進(jìn)而通過(guò)碰撞耦合，低頻驅(qū)動(dòng)振子驅(qū)使高頻采集振子處于初始能量較大新的初始條件狀態(tài)，然后高頻采集振子將以自身固有頻率高頻自由振蕩。而根據(jù)線性振動(dòng)能量采集原理的結(jié)論，輸出電能與響應(yīng)頻率成立方正比例關(guān)系，因此采集系統(tǒng)的高頻振動(dòng)有利于最終的能量輸出。而從物理角度來(lái)看，高頻采集振子的剛度遠(yuǎn)高于低頻驅(qū)動(dòng)振子約10倍以上，近乎于剛性約束。因此，高頻采集振子的作用體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：①可以限制低頻驅(qū)動(dòng)振子的極端情況下的共振位移；②與剛性約束相，高頻采集振子的高頻自由振蕩可彌補(bǔ)剛性約束下，低頻驅(qū)動(dòng)振子因響應(yīng)受限所造成的捕獲振動(dòng)能量的損失；③高頻采集振子的采集頻率高、響應(yīng)幅值低，有利于功率輸出密度的提升。

1.2 動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)于圖1所示的碰振升頻振動(dòng)能量采集系統(tǒng)，根據(jù)牛頓第二定律和基爾霍夫定律，得到低頻和高頻采集系統(tǒng)的機(jī)電耦合方程分別為

(1)

進(jìn)而

(2)

對(duì)于采集系統(tǒng)，碰振發(fā)生條件為

x1-x2=d

(3)

同時(shí)在碰撞發(fā)生前后，碰撞質(zhì)量還滿足非完全彈性碰撞的恢復(fù)條件和質(zhì)量守恒定理：

(4)

影響碰振升頻振動(dòng)能量采集裝置能量輸出的參數(shù)很多，如碰撞間隙、激勵(lì)加速度幅值等，有些系統(tǒng)參數(shù)數(shù)值上的改變對(duì)系統(tǒng)的影響實(shí)質(zhì)上是相同的，如碰撞間隙和激勵(lì)幅值。因此為了更為全面研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，避免參數(shù)研究的重復(fù)性，這里對(duì)動(dòng)力學(xué)方程式(2)首先進(jìn)行無(wú)量綱化處理：

按照以上對(duì)方程式(2)進(jìn)行無(wú)量綱化處理以后得到無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)方程為：

(5)

當(dāng)碰撞發(fā)生時(shí)：

X1-X2=D

(6)

當(dāng)振動(dòng)發(fā)生時(shí)，除碰撞時(shí)刻以外，低頻驅(qū)動(dòng)振子和高頻采集振子均以各自初始狀態(tài)開(kāi)始受迫振動(dòng)，方程式(5)的時(shí)間歷程為

(7)

式中：A1，B1，A2和B2由初始條件決定的積分常數(shù);g1，g2，g3和g4決定穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)部分。

當(dāng)碰撞發(fā)生以后，則以由式(4)所決定的新的初始條件按照式(7)的形式振動(dòng)。

2 電學(xué)數(shù)值仿真與分析

2.1 系統(tǒng)參數(shù)

在方程式(1)中，高頻采集振子和低頻驅(qū)動(dòng)振子的機(jī)械阻尼系數(shù)主要來(lái)自于彈性材料的內(nèi)阻尼及振子質(zhì)量在相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與圓柱筒內(nèi)壁的摩擦。機(jī)電耦合系數(shù)θi=NiBili，Ni為線圈圈數(shù)，圈數(shù)越多，電磁耦合系數(shù)越大，但線圈內(nèi)阻也越大。Bi為磁場(chǎng)強(qiáng)度，li為線圈有效長(zhǎng)度。輸出總電壓為

(8)

輸出電壓直接取決于電磁耦合系數(shù)和振動(dòng)速度，當(dāng)電磁耦合系數(shù)一定時(shí)，振動(dòng)速度越大，輸出電壓也就越大。負(fù)載的有效電壓則為

(9)

因此，負(fù)載的輸出功率則為

(10)

本文所考慮的電路未將兩部分進(jìn)行串/并聯(lián)處理，而是相互獨(dú)立連接不同負(fù)載電阻。振動(dòng)能量采集裝置的最佳采集一般均處于共振狀態(tài)，因此設(shè)計(jì)碰振升頻振動(dòng)能量采集裝置的低頻驅(qū)動(dòng)振子的固有頻率與環(huán)境頻率一致。

對(duì)上述能量采集系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

2.2 碰撞間隙對(duì)輸出電壓和輸出功率的影響

2.2.1 低頻驅(qū)動(dòng)振子的采集性能

圖2給出了不同碰撞間隙下低頻驅(qū)動(dòng)振子的位移頻率響應(yīng)特性曲線。由于在建模過(guò)程中，采用了無(wú)量綱化處理，因此這里得到的輸出電壓和輸出功率均為無(wú)量綱值。明顯地，與未發(fā)生碰撞的線性情形相比，碰撞間隙越小，低頻驅(qū)動(dòng)振子的響應(yīng)幅值也就越受到限制，這比較符合物理上的認(rèn)識(shí)，與文獻(xiàn)[9-10]的研究結(jié)論也是一致的，但輸出電壓和輸出功率是否也受到限制仍待考察。

圖2 低頻驅(qū)動(dòng)振子位移頻率響應(yīng)特性曲線

圖3給出了不同碰撞間隙下，低頻驅(qū)動(dòng)振子的輸出電壓和輸出功率的頻率特性曲線?？傻玫揭韵陆Y(jié)論：不同間隙下，輸出電壓和輸出功率的峰值基本保持不變；但對(duì)應(yīng)頻率往高頻方向偏移，間隙越小，偏移程度越大；半功率采集帶寬基本一致，并無(wú)明顯優(yōu)劣。從非線性動(dòng)力學(xué)角度來(lái)看，由于碰撞耦合的緣故，低頻驅(qū)動(dòng)振子呈漸硬非線性剛度特性，且碰撞間隙越小，即非線性體現(xiàn)的也就越強(qiáng)，這是進(jìn)一步造成電能輸出往高頻方向偏移的動(dòng)力學(xué)機(jī)理解釋。

圖3 低頻驅(qū)動(dòng)振子的電能輸出的頻率特性曲線

2.2.2 與線性采集振子的比較

作為比對(duì)，圖4給出了與低頻驅(qū)動(dòng)振子具有同一固有頻率的線性采集器的位移與電壓輸出特性對(duì)數(shù)曲線。由圖4(a)可以看出，低頻驅(qū)動(dòng)振子共振區(qū)的響應(yīng)峰值被“削平”，這是因?yàn)楦哳l采集振子的剛度大于低頻驅(qū)動(dòng)振子的十倍左右，起到了剛性約束的效果。而與此同時(shí)，由于電能輸出正比于響應(yīng)幅值，所以低頻驅(qū)動(dòng)振子在共振區(qū)的電壓輸出峰值也被有所降低。

圖4 本文提議采集裝置于純線性采集裝置的比對(duì)

2.2.3高頻采集振子的采集性能

根據(jù)以上分析，高頻采集振子的限位作用比較明顯，但其振動(dòng)能量采集能效仍需進(jìn)一步驗(yàn)證。圖5～圖7分別考察不同碰撞間隙時(shí)，低頻驅(qū)動(dòng)振子和高頻采集振子各自的功率輸出及對(duì)總功率輸出的貢獻(xiàn)。主要結(jié)論是：仍以低頻驅(qū)動(dòng)振子的采集電能輸出占主要部分；當(dāng)碰撞間隙比較小時(shí)或低頻驅(qū)動(dòng)振子響應(yīng)幅值較大(處于共振狀態(tài)Ω=1.2,1.3)時(shí)，高頻采集振子的能量輸出貢獻(xiàn)占總輸出的比重較大；隨著碰撞間隙的增大，高頻采集振子對(duì)總的能量水平的比重也就越來(lái)越??；未發(fā)生碰撞時(shí)，高頻采集振子的貢獻(xiàn)極少。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的關(guān)鍵原因在于：在共振區(qū)范圍內(nèi)，低頻驅(qū)動(dòng)振子的位移幅值響應(yīng)和速度幅值均處于較高幅值狀態(tài)。所以，在碰撞發(fā)生時(shí)低頻驅(qū)動(dòng)振子撞擊高頻采集振子使其具備更大的初始動(dòng)量。也因此，在其后續(xù)自由衰減振動(dòng)過(guò)程中，高頻采集振子也就具備比其他頻帶內(nèi)更高的位移響應(yīng)水平，所以其電能輸出在共振附近更為突出。而當(dāng)碰撞未發(fā)生時(shí)，低頻驅(qū)動(dòng)振子盡管處于共振狀態(tài)，但此時(shí)高頻采集振子并未獲得額外的能量輸入，因此其電能輸出貢獻(xiàn)比也就較小。

圖5 D=1時(shí)，輸出功率RMS的頻率特性曲線

圖6 D=2時(shí)，輸出功率RMS的頻率特性曲線

圖7 D=4時(shí)，輸出功率RMS的頻率特性曲線

綜合以上，得到以下對(duì)于電磁式碰振升頻振動(dòng)能量采集系統(tǒng)設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義的結(jié)論：

(1)高頻采集振子對(duì)低頻驅(qū)動(dòng)振子起到限位作用，由于高頻采集振子剛度較大，與低頻驅(qū)動(dòng)振子的振動(dòng)幅值相比幾乎為零，低頻驅(qū)動(dòng)振子的最大幅值基本限制約為碰撞間隙的取值；

(2)隨碰撞間隙的減小，輸出電壓的均方根峰值往高頻方向移動(dòng)，但峰值基本保持不變。這意味著碰撞間隙只起到移頻作用，并不明顯影響最大的輸出電壓。因此低頻驅(qū)動(dòng)振子的固有頻率選取并不能直接等于外激勵(lì)頻率，為了獲取最優(yōu)的能量輸出，需根據(jù)輸出電壓峰值所對(duì)應(yīng)的頻率比進(jìn)行選取。

(3)在碰撞發(fā)生頻帶，高頻采集振子對(duì)總功率輸出的貢獻(xiàn)比例也明顯提升，如在碰撞間隙D=1時(shí)，Ω=1.1～1.3頻率區(qū)間，貢獻(xiàn)比約在30%。因此，與絕對(duì)剛性約束相比，高頻采集振子一定程度上補(bǔ)償了總的功率輸出。

2.3 碰撞速度和碰撞次數(shù)的影響分析

以下我們通過(guò)考察系統(tǒng)的時(shí)間歷程來(lái)分析碰撞耦合是怎樣影響系統(tǒng)的能量輸出水平的。給定系統(tǒng)參數(shù)D=2，Ω=1，圖8分別給出了瞬時(shí)電壓和瞬時(shí)功率的時(shí)間歷程。如圖8(a)所示，低頻驅(qū)動(dòng)振子輸出電壓周期等于外激勵(lì)的周期為2π。而在一個(gè)激勵(lì)周期內(nèi)，低頻驅(qū)動(dòng)振子與高頻采集振子發(fā)生了兩次碰撞，第一次碰撞通過(guò)動(dòng)量交換使得高頻采集振子獲得一個(gè)較大的初始速度，然后自由衰減。但緊隨其后的第二次碰撞又使得高頻采集振子以一個(gè)低水平的速度開(kāi)始高頻自由衰減。因其速度幅值過(guò)低，因此并未得到高水平的電能輸出。根據(jù)瞬時(shí)功率圖8(c)可以看出，在兩次碰撞之間的短時(shí)程內(nèi)存在功率脈沖，但在除此之外的時(shí)段內(nèi)，高頻采集振子的功率輸出極低。

圖8 輸出電壓的時(shí)間歷程(D=2,Ω=1)

而在給定系統(tǒng)參數(shù)D=6，Ω=1情形，在一個(gè)激勵(lì)周期內(nèi)，僅發(fā)生一次碰撞。碰撞使得高頻采集振子得獲一個(gè)幅值較大的初始速度，并按自身高頻固有頻率衰減，電壓輸出和功率輸出相對(duì)也較高，如圖9。

圖9 輸出電壓的時(shí)間歷程(D=6,Ω=1)

至此可以得到一個(gè)結(jié)論：高頻采集振子的電能輸出水平?jīng)Q定于碰撞發(fā)生后的速度；在獲得高水平速度時(shí)，一個(gè)激勵(lì)周期內(nèi)的單次碰撞有利于保證高頻采集振子得獲高水平的電能輸出，這是動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)需要考量的一點(diǎn)。

3 結(jié) 論

針對(duì)電磁式碰振升頻振動(dòng)能量采集裝置，本文建立了其碰撞動(dòng)力學(xué)模型，為了避免參數(shù)研究的重復(fù)性，對(duì)模型進(jìn)行了無(wú)量綱化處理，進(jìn)而數(shù)值仿真研究了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性和電學(xué)輸出性能，得到以下有益于設(shè)計(jì)的結(jié)論：

(1)由于高頻采集振子剛度較大，與低頻驅(qū)動(dòng)振子的振動(dòng)幅值相比幾乎為零，低頻驅(qū)動(dòng)振子的最大幅值基本限制約為碰撞間隙的取值，所以高頻采集振子對(duì)低頻驅(qū)動(dòng)振子起到限位作用。

(2)碰撞間隙只起到移頻作用，因此低頻驅(qū)動(dòng)振子的固有頻率選取并不能直接等于外激勵(lì)頻率，為了獲取最優(yōu)的能量輸出，需根據(jù)輸出電壓峰值所對(duì)應(yīng)的頻率比進(jìn)行選??；在碰撞發(fā)生頻帶，高頻采集振子對(duì)總功率輸出的貢獻(xiàn)比例明顯提升，在共振頻帶貢獻(xiàn)比約在30%左右。

(3)高頻采集振子的電能輸出水平?jīng)Q定于碰撞發(fā)生后的速度；在獲得高水平速度時(shí)，一個(gè)激勵(lì)周期內(nèi)的單次碰撞有利于保證高頻采集振子得獲高水平的電能輸出。