張金劍， 張雷克， 吳嵌嵌， 馬震岳

(1.太原理工大學(xué) 水利科學(xué)與工程學(xué)院，太原 030024； 2．三江學(xué)院 土木工程學(xué)院，南京 210012；3．大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部水利工程學(xué)院，遼寧 大連 116023)

碰摩是旋轉(zhuǎn)機(jī)械最常見的故障之一，碰摩故障產(chǎn)生的原因多種多樣，例如轉(zhuǎn)子偏心量的增加、熱不均勻引起的轉(zhuǎn)軸局部彎曲以及定轉(zhuǎn)子的變形等。現(xiàn)代設(shè)計(jì)不斷向小間隙、高轉(zhuǎn)速和高負(fù)載的方向發(fā)展，致使轉(zhuǎn)子與定子的碰摩風(fēng)險(xiǎn)大大增加。近四十年來，為了深入了解碰摩轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者開展了廣泛的研究?；谵D(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)和旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷與識(shí)別的需求，Beatty等[1]最早在1982年對(duì)碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究，分析了系統(tǒng)的彎曲振動(dòng)特性，提出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)摩擦識(shí)別的數(shù)學(xué)原理。Muszynska等[2]重新審視了關(guān)于摩擦現(xiàn)象的報(bào)道，討論了摩擦的物理意義和熱效應(yīng)，以及摩擦過程中出現(xiàn)的各種現(xiàn)象。而后，大量學(xué)者陸續(xù)對(duì)碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎曲和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性開展的討論，極大豐富了碰摩系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為的研究成果。

隨著相關(guān)研究的不斷深入，人們逐漸發(fā)現(xiàn)單一方向振動(dòng)已無法充分揭示隱藏在系統(tǒng)內(nèi)部的全部動(dòng)力學(xué)特性，因此，將彎扭結(jié)合考慮彼此之間的相互影響逐步進(jìn)入廣大研究者的視野。自1999年Edwards等[3]率先將扭轉(zhuǎn)自由度引入轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)分析，并強(qiáng)調(diào)旋轉(zhuǎn)機(jī)械中扭轉(zhuǎn)對(duì)轉(zhuǎn)子與定子接觸影響的重要性以來，歷經(jīng)20余年的發(fā)展，轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)碰摩動(dòng)力學(xué)研究已由單一振動(dòng)成功邁向彎扭耦合振動(dòng)，且成果斐然[4-15]。然而，其研究對(duì)象主要集中在單一碰摩故障下的高速、臥式轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)上，對(duì)水輪發(fā)電機(jī)組等低速、立式布置的系統(tǒng)研究相對(duì)較少，尤其是考慮碰摩及其他故障共同引起的非線性動(dòng)力分析更是十分有限。

Zhang等[16]基于Jeffcott轉(zhuǎn)子模型，建立了電磁激勵(lì)下水電機(jī)組碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合振動(dòng)模型，重點(diǎn)討論了有無扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力特性的差異。不過，該研究中作為核心外激勵(lì)之一的不平衡磁拉力(unbalanced magnetic pull, UMP)是基于廣義氣隙概念推導(dǎo)而來，廣義氣隙偏心假設(shè)定轉(zhuǎn)子間沒有初始偏心，偏心只存在于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，是未涉及靜偏心及動(dòng)靜復(fù)合偏心的一種旋轉(zhuǎn)機(jī)械偏心狀態(tài)。對(duì)于水輪發(fā)電機(jī)而言，定轉(zhuǎn)子之間的氣隙經(jīng)常會(huì)存在一定程度的不均勻，即氣隙偏心，按其是否隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)而發(fā)生改變可分為靜偏心、動(dòng)偏心和復(fù)合偏心(動(dòng)、靜偏心同時(shí)存在)三種情況。發(fā)電機(jī)不同氣隙偏心下的氣隙磁場變化不同，引起的UMP亦不相同[17-18]。相關(guān)研究表明[19-22]，不同偏心故障引起不同的UMP將造成電磁激勵(lì)作用下系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的改變。因此，將動(dòng)、靜偏心的作用納入U(xiǎn)MP模型，從而更加細(xì)致地考慮碰摩故障及電磁激勵(lì)共同作用對(duì)水電機(jī)組轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)彎扭耦合動(dòng)態(tài)特性的影響，將能夠更加準(zhǔn)確地為機(jī)組在機(jī)械和電磁荷載激勵(lì)下的故障診斷識(shí)別提供參考。

鑒于此，本文基于定轉(zhuǎn)子間的幾何關(guān)系，推導(dǎo)出考慮復(fù)合偏心時(shí)氣隙長度的統(tǒng)一表達(dá)式，利用電機(jī)磁場分析原理和Maxwell應(yīng)力積分建立了復(fù)合偏心下的UMP模型。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建了電磁激勵(lì)下水輪發(fā)電機(jī)組碰摩轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的彎扭耦合振動(dòng)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程，采用非線性數(shù)值分析方法研究了勵(lì)磁電流、氣隙動(dòng)、靜偏心參數(shù)對(duì)系統(tǒng)彎扭耦合動(dòng)態(tài)特性的影響。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

1.1 動(dòng)、靜偏心下不平衡磁拉力

轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型如圖1所示，在直角坐標(biāo)系O-xyz內(nèi)，O為定子內(nèi)圓中心，S為軸頸初始中心，由于加工、裝配等原因系統(tǒng)在靜止時(shí)O與S不同心，O1為軸頸變形之后的中心，當(dāng)轉(zhuǎn)軸無變形時(shí)，O1與S重合，G為轉(zhuǎn)子重心，(x1，yl)、(x2，y2)分別為轉(zhuǎn)子和軸頸的形心坐標(biāo)。

圖1 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)回旋振動(dòng)示意圖

為了方便分析系統(tǒng)，對(duì)模型假設(shè)為：

(1)機(jī)組轉(zhuǎn)子可簡化為質(zhì)量為m的輪盤，上、下導(dǎo)軸承距轉(zhuǎn)子的z方向距離均為a；

(2)定子假設(shè)為剛體，僅分析轉(zhuǎn)子振動(dòng)，轉(zhuǎn)子和定子的軸平行，只考慮平移偏心率；

(3)大軸簡化為柔性無質(zhì)量軸，轉(zhuǎn)軸兩端剛度均為Ke；

(4)忽略轉(zhuǎn)子重心回旋體的極慣性矩；

(5)不考慮陀螺效應(yīng)以及弓狀回旋效應(yīng)的影響；

(6)忽略漏磁和磁飽和影響。

本文采用集總參數(shù)法建模將大軸質(zhì)量集中在轉(zhuǎn)子質(zhì)點(diǎn)上，可視為忽略大軸質(zhì)量。同時(shí)，由于油膜力是影響軸系運(yùn)動(dòng)特性的重要因素之一，需考慮軸頸運(yùn)動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，故文中在推導(dǎo)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)計(jì)及軸承軸頸作用。

圖2(a)表示發(fā)電機(jī)定轉(zhuǎn)子間的動(dòng)、靜氣隙偏心示意圖，圖2(b)為坐標(biāo)局部放大示意圖，其中O2為轉(zhuǎn)子幾何中心，e0=GO2為質(zhì)量偏心，e1=SO1為轉(zhuǎn)子振動(dòng)形成的偏心，OS為靜偏心，O1O2為動(dòng)偏心，是因轉(zhuǎn)子軸頸中心與轉(zhuǎn)子中心不同形成的偏心，δ為任意時(shí)刻定轉(zhuǎn)子的氣隙長度，α為氣隙處與x軸夾角，γ為轉(zhuǎn)子中心旋轉(zhuǎn)角度。φ=ωt+θ+φ0為轉(zhuǎn)子質(zhì)量中心隨轉(zhuǎn)子幾何中心的旋轉(zhuǎn)角度，ω為旋轉(zhuǎn)角速度，θ是扭轉(zhuǎn)角度，φ0是初始旋轉(zhuǎn)相位角。大型水輪發(fā)電機(jī)主要采用凸極電機(jī)，氣隙隨凸極磁極的空間分布而變化?，F(xiàn)有分析中一般假定轉(zhuǎn)子表面光滑，忽略凸極磁極分布對(duì)氣隙磁導(dǎo)的影響。為簡化計(jì)算并便于比較，本文忽略了凸極磁極分布的影響，利用氣隙磁導(dǎo)率法對(duì)UMP進(jìn)行推導(dǎo)。

圖2 轉(zhuǎn)子動(dòng)、靜氣隙偏心示意圖

以定轉(zhuǎn)子最小氣隙處為原點(diǎn)，氣隙長度表示為：

δ(α,t)=δ0[1-δscosα-δdcos(α-ωt)]

(1)

式中：δ0為平均氣隙長度，δs為氣隙靜偏心，數(shù)值上等于定轉(zhuǎn)子間初始偏心OS，δd為氣隙動(dòng)偏心，數(shù)值上即為O1O2。

忽略式(1)中的高階分量，將氣隙磁導(dǎo)展開為級(jí)數(shù)形式：

式中：μ0為空氣磁導(dǎo)率；Λ0=μ0/δ0為氣隙磁導(dǎo)的常值分量；Λs=Λ0δs和Λd=Λ0δd分別為動(dòng)、靜偏心引起的磁導(dǎo)分量。

根據(jù)電機(jī)學(xué)原理，定轉(zhuǎn)子合成基波磁動(dòng)勢為：

ψ-pΦ)=F1cos(ωt-α-β)

(3)

式中：

式中:Fsm為定子基波磁動(dòng)勢幅值；Frm=kjIj為轉(zhuǎn)子基波勵(lì)磁磁動(dòng)勢幅值；F1為氣隙合成磁勢幅值；ω為轉(zhuǎn)子機(jī)械角頻率；β為主磁勢與合成磁勢間夾角；ψ為內(nèi)功率角；Φ為轉(zhuǎn)子扭振角；α為定子機(jī)械角度；p為磁極對(duì)數(shù)。

相應(yīng)地，氣隙磁密可表示為：

B(α，t)=Λ(α，t)F(α，t)

(4)

在此基礎(chǔ)上，可求得轉(zhuǎn)子表面單位面積徑向磁拉力：

ΛsΛdcos(2α+2β-ωt)+ΛsΛdcos(4α+2β-3ωt)+ΛsΛdcos(3ωt-2α-2β)+

(5)

根據(jù)Maxwell應(yīng)力積分，可推求UMP的表達(dá)式：

(6)

式中：L和R分別為轉(zhuǎn)子長度和半徑。

根據(jù)文獻(xiàn)[23]，電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為：

(7)

式中：

1.2 碰摩力及摩擦力矩

假定不考慮摩擦熱效應(yīng)，并認(rèn)為定子變形為線性，則定、轉(zhuǎn)子之間的摩擦力符合庫侖摩擦定律，即摩擦力和接觸面上施加的正壓力成正比關(guān)系。當(dāng)碰摩發(fā)生時(shí)，碰摩力表達(dá)式為：

(8)

圖3 定轉(zhuǎn)子碰摩示意圖

(9)

當(dāng)碰摩發(fā)生時(shí)，切向摩擦力Ft會(huì)對(duì)轉(zhuǎn)子質(zhì)心產(chǎn)生一個(gè)力矩，即摩擦力矩，其表達(dá)式為：

M_rub=-H(e-δ0)FtRr

(10)

1.3 軸承油膜力

本文采用文獻(xiàn)[16]中的Capone非線性油膜力模型，其在x、y方向的表達(dá)式fx、fy為：

(11)

式中：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

1.4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程

本文采用Lagrange公式推導(dǎo)水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。為便于計(jì)算和分析，給出如下無量綱變換：

則系統(tǒng)無量綱形式的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

2 數(shù)值分析與結(jié)果

機(jī)組運(yùn)行過程中由于種種原因致使系統(tǒng)特性參數(shù)發(fā)生改變，進(jìn)而引起異常振動(dòng)乃至碰摩的惡性事故時(shí)有發(fā)生，造成十分嚴(yán)重的后果，必須引起重視。本文對(duì)于控制參數(shù)的選取一方面考慮了機(jī)組的特點(diǎn)，另一方面則著眼于故障仿真，研究旨在預(yù)測并識(shí)別由于機(jī)械、電磁等原因造成系統(tǒng)參數(shù)改變而可能引發(fā)的擬周期、混沌等特殊動(dòng)力學(xué)行為，以期為低速、立式水電機(jī)組的振動(dòng)故障診斷、識(shí)別提供依據(jù)。

多激勵(lì)耦合使式(18)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性，轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的彎振和扭振特性也隨之發(fā)生復(fù)雜的變化，本文采用4階Runge-Kutta法對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解，選用積分步長設(shè)為2π/200，計(jì)算1 200個(gè)周期，為消除瞬態(tài)響應(yīng)的影響，舍去前1 100個(gè)周期，保留最后100個(gè)周期進(jìn)行分析。系統(tǒng)模型主要參數(shù),如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型主要參數(shù)

2.1 質(zhì)量偏心的影響

轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心是影響機(jī)組動(dòng)態(tài)特性的主要因素之一，受制造、裝配、運(yùn)行等原因影響，其大小在實(shí)際運(yùn)行中將會(huì)發(fā)生不同程度的變化。同時(shí)，由上述分析可知，轉(zhuǎn)子彎振和扭振通過各自的質(zhì)量偏心外激勵(lì)項(xiàng)產(chǎn)生相互關(guān)聯(lián)與耦合。因此，以質(zhì)量偏心為控制參數(shù)，討論彎振與扭振因其改變而產(chǎn)生的相互影響關(guān)系將能夠更加準(zhǔn)確地把握系統(tǒng)所蘊(yùn)含的非線性動(dòng)力學(xué)特性。

由文獻(xiàn)[16,24-25]可知，相比于彎曲振動(dòng)，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值通常較小，對(duì)系統(tǒng)總體振動(dòng)的影響相對(duì)有限，故本文在此僅討論扭振對(duì)彎振的影響。

圖4為Ij= 500 A、ω=4 Hz、δs=0.2×10-3m、δd=0.2×10-3m時(shí)以e0為控制參數(shù)，是否考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)兩種情況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的分岔圖，其中，P-n表示周期n運(yùn)動(dòng)，Q-P表示擬周期運(yùn)動(dòng)，Chaos表示混沌運(yùn)動(dòng)，后續(xù)含義相同。

圖4 質(zhì)量偏心變化時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖

從圖中可以看出在e0=(0～2)mm的變化區(qū)間內(nèi)，兩種模型系統(tǒng)響應(yīng)變化趨勢十分相似，均始于Q-P運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過Chaos運(yùn)動(dòng)、P-n運(yùn)動(dòng)等最終進(jìn)入同步周期一運(yùn)動(dòng)。然而通過仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)后，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)發(fā)生細(xì)微的變化，其具體體現(xiàn)在：

(1)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的擬周期運(yùn)動(dòng)和同步周期一運(yùn)動(dòng)范圍減少，混沌運(yùn)動(dòng)范圍增加。從圖4(b)可以看出，不考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)Q-P運(yùn)動(dòng)范圍為e0=(0～0.47, 0.59～0.61)mm，P-1運(yùn)動(dòng)范圍為e0=(0.62～2)mm，在加入扭轉(zhuǎn)自由度之后，擬周期運(yùn)動(dòng)與P-1運(yùn)動(dòng)區(qū)間分別縮減至e0=(0～0.47)mm、e0=(0.67～2)mm，如圖4(a)所示，系統(tǒng)非穩(wěn)態(tài)同步周期一運(yùn)動(dòng)區(qū)間減小，表明考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)之后系統(tǒng)穩(wěn)定性在一定程度上有所提高。但對(duì)于混沌運(yùn)動(dòng)，不考慮扭振時(shí)其出現(xiàn)區(qū)間為e0=(0.47～0.52)mm，如圖4(b)所示，而考慮彎扭耦合作用之后，混沌運(yùn)動(dòng)發(fā)生范圍擴(kuò)大至e0=(0.51～0.67)mm，極大影響了機(jī)組系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行，需格外重視。

(2)考慮扭振影響后新的運(yùn)動(dòng)形式—P-7運(yùn)動(dòng)在e0=(0.47 mm

圖5 e0=0.51 mm時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的映射圖、軌跡圖、時(shí)域圖和頻譜圖(i、考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)；ii、不考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng))

從上述分析可以看出，扭轉(zhuǎn)自由度的加入在一定程度上改變了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。當(dāng)質(zhì)量偏心較小時(shí)，扭振對(duì)系統(tǒng)彎振的影響很小可以忽略不計(jì)；當(dāng)質(zhì)量偏心增至一定程度后，二者的耦合作用較為明顯，扭振影響不能忽略。

2.2 勵(lì)磁電流的影響

勵(lì)磁電流是影響UMP的重要因素之一，在電力系統(tǒng)中，為滿足用戶對(duì)電能質(zhì)量的需求，往往需對(duì)勵(lì)磁電流進(jìn)行相應(yīng)調(diào)節(jié)，使端電壓保持不變，避免負(fù)載電流的過大波動(dòng)。勵(lì)磁電流的改變勢必會(huì)影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，因此，研究其變化對(duì)機(jī)組轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響是十分必要的。

圖6為ω=4 Hz、δs=0.1×10-3m、δd= 0.1×10-3m、e0= 0.60×10-3m時(shí)，以勵(lì)磁電流為控制參數(shù)、是否考慮動(dòng)靜偏心兩種模型下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖。從圖中可以看出，隨著勵(lì)磁電流的增加，兩種模型均大致經(jīng)歷了從P-1至混沌與擬周期交替運(yùn)動(dòng)，最終進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)的過程。不過，二者在各運(yùn)動(dòng)區(qū)間及振動(dòng)表現(xiàn)形式上存在較大差異。

(1)考慮動(dòng)靜偏心后轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)P-1區(qū)間顯著增加。P-1運(yùn)動(dòng)區(qū)間由圖6(a)的Ij=10～210 A變?yōu)閳D6(b)的Ij= 10～460 A。換言之，非周期響應(yīng)起點(diǎn)大幅向后推延，勵(lì)磁電流穩(wěn)定運(yùn)行范圍的增加令系統(tǒng)穩(wěn)定性得到提升，且在此區(qū)域內(nèi)轉(zhuǎn)子的振幅較小，并未發(fā)生碰摩。

圖6 勵(lì)磁電流變化時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖

(2)動(dòng)靜偏心的存在使轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)一種新的特征。隨著動(dòng)靜偏心的加入，P-7與P-10運(yùn)動(dòng)分別于Ij=760～818 A及Ij=868～904 A范圍內(nèi)出現(xiàn)。以Ij=770 A和870 A為例，系統(tǒng)的映射分別表現(xiàn)為七個(gè)和十個(gè)孤立點(diǎn)，如圖7(ii)所示。而在未考慮動(dòng)靜偏心情況下，系統(tǒng)在相應(yīng)勵(lì)磁電流數(shù)值下的響應(yīng)情況則為不規(guī)則封閉擬周期環(huán)狀，如圖7(i)所示。

圖7 不同勵(lì)磁電流下系統(tǒng)響應(yīng)的映射圖和軌跡圖(i、不考慮動(dòng)靜偏心；ii、考慮動(dòng)靜偏心)

(3)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)最大振幅隨著動(dòng)靜偏心的加入明顯下降。如圖8(i)所示，未考慮動(dòng)靜偏心時(shí)，P-1運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下系統(tǒng)于Ij=195 A處出現(xiàn)最大振動(dòng)，振幅為0.43；進(jìn)入擬周期和混沌運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)，在Ij=1 115 A處系統(tǒng)振動(dòng)達(dá)到1.66的峰值。伴隨著動(dòng)靜偏心的加入，系統(tǒng)P-1運(yùn)動(dòng)的最大振幅為0.39，發(fā)生在Ij=450 A處，相比前者有了小幅度下降；系統(tǒng)非P-1運(yùn)動(dòng)的最大振幅為1.36(Ij=1 130 A時(shí))，相比之下振幅下降約18%，如圖8(ii)所示。由此可知，動(dòng)靜偏心的加入起到了一定抑制系統(tǒng)振動(dòng)的作用。經(jīng)計(jì)算，考慮動(dòng)靜偏心后的UMP數(shù)值小于文獻(xiàn)[16]中對(duì)應(yīng)激勵(lì)數(shù)值，故系統(tǒng)穩(wěn)定性有所提升。

圖8 不同勵(lì)磁電流下系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域圖和軌跡圖(i、不考慮動(dòng)靜偏心；ii、考慮動(dòng)靜偏心)

2.3 動(dòng)、靜偏心的影響

由上述分析可知，動(dòng)靜偏心的加入對(duì)轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性影響顯著。發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子在工作前，普遍會(huì)存在不同程度的氣隙偏心。一旦偏心故障發(fā)生，輕則使氣隙磁場產(chǎn)生畸變，惡化電機(jī)各項(xiàng)性能指標(biāo)；重則引起過大電磁激勵(lì)，造成定轉(zhuǎn)子相擦，電機(jī)燒毀。因此，定量分析動(dòng)靜偏心量的變化對(duì)機(jī)組轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響具有重要的工程意義。

表2、3分別為Ij=500 A、ω=4 Hz時(shí)靜、動(dòng)偏心變化引起的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)走向。顯然，隨著各偏心量的增大，系統(tǒng)呈現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為，其響應(yīng)以P-1、P-2、P-4、擬周期及混沌等多種運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)形式交替出現(xiàn)。

表2 以靜偏心為控制參數(shù)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)

表3 以動(dòng)偏心為控制參數(shù)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)

圖9為靜偏心量變化的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔圖，從圖中可以看出，當(dāng)δs=[0～0.17×10-3]m時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)為擬周期運(yùn)動(dòng)，Poincaré映射圖中吸引子呈一封閉圓環(huán)，軌跡圖表現(xiàn)為花瓣?duì)?，其振幅小?，表明定轉(zhuǎn)子間還未發(fā)生碰摩。隨著靜偏心量的增大，進(jìn)入δs= [0.17×10-3～0.59×10-3]m范圍內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)，映射圖中吸引子數(shù)目不斷無序增加，相應(yīng)地，轉(zhuǎn)子軸心軌跡失去規(guī)律，其運(yùn)動(dòng)中心已偏離原點(diǎn)，由于在區(qū)間0.17×10-3<δs<0.59×10-3m內(nèi)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)振幅超過1，表明系統(tǒng)發(fā)生碰摩故障。伴隨δs的進(jìn)一步增加，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)離開混沌區(qū)域進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)，響應(yīng)范圍為δs=[0.59×10-3～ 0.69×10-3]m。值得注意的是，當(dāng)偏心量增至0.69×10-3m時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)突然變?yōu)镻-4運(yùn)動(dòng)，如圖10所示，在δs=[0.69×10-3～ 0.73×10-3]m的區(qū)間，Poincaré映射表現(xiàn)為四個(gè)孤立的點(diǎn)，轉(zhuǎn)子軌跡呈現(xiàn)為四個(gè)蝴蝶狀的圓環(huán)。隨后，系統(tǒng)由P-4運(yùn)動(dòng)變?yōu)镻-2運(yùn)動(dòng)，其映射圖和軌跡分別顯現(xiàn)為兩個(gè)孤立的點(diǎn)和雙橢圓結(jié)構(gòu)，雖然碰摩依然存在，但已有規(guī)律可循。由上述分析可知，隨著靜偏心量的增大，定轉(zhuǎn)子碰摩提前發(fā)生，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)由擬周期運(yùn)動(dòng)過渡到P-2運(yùn)動(dòng)。

圖9 以靜偏心為控制參數(shù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變化分岔圖

圖10 δs=0.69 mm時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的映射圖、軌跡圖、時(shí)域圖和頻譜圖

同靜偏心相比，動(dòng)偏心的改變則令系統(tǒng)呈現(xiàn)出另一種不同的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式，如圖11所示，在δd=[0～2×10-3]m的變化范圍內(nèi)，系統(tǒng)經(jīng)歷了混沌、擬周期和P-n運(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)，最終過渡到P-1運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜歷程?；煦邕\(yùn)動(dòng)初始在0<δd<0.43×10-3m范圍內(nèi)出現(xiàn)，相應(yīng)Poincaré映射圖中為離散的點(diǎn)，軌跡圖表現(xiàn)為交雜錯(cuò)亂的橢圓。當(dāng)動(dòng)偏心繼續(xù)增加進(jìn)入?yún)^(qū)間0.43×10-3<δd<0.49×10-3m，混沌運(yùn)動(dòng)消失，系統(tǒng)響應(yīng)變?yōu)橐?guī)則的P-5運(yùn)動(dòng)，其映射圖中吸引子數(shù)目減少至五個(gè)點(diǎn)，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡呈梨狀體。隨后，系統(tǒng)再次進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域0.49×10-3<δd<0.65×10-3m，并在δd=0.66×10-3m時(shí)短暫經(jīng)歷擬周期運(yùn)動(dòng)，Poincaré映射圖中吸引子環(huán)面破裂，點(diǎn)數(shù)減少，軌跡圖表現(xiàn)為蝴蝶狀。而隨著δd繼續(xù)增加，系統(tǒng)響應(yīng)開始向周期運(yùn)動(dòng)過渡，在δd=[0.67×10-3～0.73×10-3]m范圍內(nèi)，系統(tǒng)保持為規(guī)則的P-4分頻振動(dòng)，Poincaré映射表現(xiàn)為四個(gè)孤立的點(diǎn)，轉(zhuǎn)子軌跡呈現(xiàn)為四個(gè)蝴蝶狀的圓環(huán)。當(dāng)δd進(jìn)一步擴(kuò)大，系統(tǒng)由P-4運(yùn)動(dòng)變?yōu)镻-2運(yùn)動(dòng)，其映射圖和軌跡分別顯現(xiàn)為兩個(gè)孤立的點(diǎn)和雙橢圓結(jié)構(gòu)，相應(yīng)范圍為δd=[0.73×10-3～0.93×10-3]m。如圖12所示，當(dāng)δd=0.94×10-3m時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為同步P-1運(yùn)動(dòng)，頻譜圖中只有一倍頻率成分存在，通過觀察時(shí)域圖可以發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅值已超過均勻間隙，定轉(zhuǎn)子之間發(fā)生全周碰摩。而在區(qū)間δd=[0.95～1.05×10-3]m內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)又一次恢復(fù)為擬周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)δd超過1.05×10-3m后，系統(tǒng)重新進(jìn)入具有全周碰摩形式的P-1運(yùn)動(dòng)，直至δd=2×10-3m。

圖11 以動(dòng)偏心為控制參數(shù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變化分岔圖

圖12 δd=0.94 mm時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的映射圖、軌跡圖、時(shí)域圖和頻譜圖

結(jié)合上述分析可知，盡管動(dòng)靜偏心的存在均會(huì)使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性發(fā)生變化，但顯然，由動(dòng)偏心改變引起的系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)更加豐富，這主要是由二者在UMP所處地位及各自對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響不同所致。分析式(6)可知，靜偏心故障會(huì)引起轉(zhuǎn)子二倍機(jī)械頻率的UMP成分，然而，同一倍轉(zhuǎn)頻相比，二倍頻率電磁激勵(lì)所占比例相對(duì)較小，故其對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)作用不是很明顯。相比之下，由動(dòng)偏心故障引起的一倍轉(zhuǎn)頻電磁激勵(lì)成分占據(jù)主導(dǎo)地位，極易誘發(fā)水電機(jī)組在該頻率下的振動(dòng)，因此，其對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)將產(chǎn)生更為顯著的影響。此外，較大的動(dòng)偏心會(huì)使定轉(zhuǎn)子之間發(fā)生嚴(yán)重的全周碰摩故障，而靜偏心在δs=[0～2×10-3]m區(qū)間變化時(shí)系統(tǒng)并未出現(xiàn)上述現(xiàn)象。由此可見，相比于靜偏心，盡管動(dòng)偏心量監(jiān)測難度相對(duì)較大，但其對(duì)系統(tǒng)所造成的影響更為顯著，十分不利于機(jī)組安全穩(wěn)定運(yùn)行。

3 結(jié) 論

針對(duì)機(jī)械和電磁故障引起的碰摩轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)彎扭耦合振動(dòng)問題，本文推導(dǎo)了同時(shí)考慮動(dòng)、靜偏心作用下的UMP模型，在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建了電磁激勵(lì)下水輪發(fā)電機(jī)組碰摩轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)彎扭耦合振動(dòng)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程，采用非線性數(shù)值分析方法研究了勵(lì)磁電流和動(dòng)靜偏心參數(shù)對(duì)系統(tǒng)彎扭耦合振動(dòng)特性的影響，得到主要結(jié)論如下：

(1)扭轉(zhuǎn)自由度的加入在一定程度上改變了系統(tǒng)彎曲振動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性。當(dāng)質(zhì)量偏心較小時(shí)，扭振對(duì)系統(tǒng)彎振的影響有限，二者的耦合作用相對(duì)較弱；當(dāng)質(zhì)量偏心增大后，系統(tǒng)的彎扭耦合作用顯著增強(qiáng)，容易引起系統(tǒng)潛在的不穩(wěn)定。因此，在機(jī)組實(shí)際運(yùn)行過程中，應(yīng)定期對(duì)質(zhì)量偏心狀況進(jìn)行檢查并采取有效措施加以控制，以達(dá)到維持機(jī)組安全穩(wěn)定運(yùn)行的目的。

(2)動(dòng)靜偏心的加入顯著改變了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，同未考慮復(fù)合偏心影響相比，隨著勵(lì)磁電流的增加，系統(tǒng)非周期運(yùn)動(dòng)范圍大幅縮短，轉(zhuǎn)子最大振幅明顯下降。此外，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)如P-7和P-10等新的運(yùn)動(dòng)特征。動(dòng)靜偏心的存在起到了一定抑制系統(tǒng)振動(dòng)、穩(wěn)定系統(tǒng)響應(yīng)的作用。

(3)動(dòng)靜偏心故障對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的表現(xiàn)形式影響不同，差異較為明顯。相比于靜偏心故障，由動(dòng)偏心因素引起的一倍轉(zhuǎn)頻電磁激勵(lì)成分占據(jù)主導(dǎo)地位，極易誘發(fā)水電機(jī)組在該頻率下的振動(dòng)。此外，較大的動(dòng)偏心還會(huì)使定轉(zhuǎn)子之間發(fā)生嚴(yán)重的全周碰摩故障，必須引起足夠的重視。