張曉娜， 及春寧 ,2， 陳威霖， 許 棟,2， 張志猛

(1. 天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350；2. 天津大學(xué) 中國(guó)地震局地震工程綜合模擬與城鄉(xiāng)抗震韌性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350)

一直以來，圓柱形結(jié)構(gòu)物的渦激振動(dòng)問題是研究的熱點(diǎn)。圓柱在來流的作用下產(chǎn)生周期性交替瀉渦，在一定條件下，瀉渦誘發(fā)的交變流體力會(huì)引發(fā)圓柱的大振幅響應(yīng)。對(duì)圓柱渦激振動(dòng)的研究具有非常重要的工程和科學(xué)價(jià)值[1-4]。其中，對(duì)低雷諾數(shù)圓柱渦激振動(dòng)問題的研究，可以提高對(duì)以工業(yè)熱交換管為代表的小直徑結(jié)構(gòu)物渦激振動(dòng)的認(rèn)識(shí)，指導(dǎo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高其疲勞壽命。一般來說，工業(yè)鍋爐和核反應(yīng)堆冷卻器的熱交換管直徑較小，且熱媒多為密度較小的水蒸氣，流動(dòng)的雷諾數(shù)較低(～O×102)。此外，熱交換管之間多通過卡具剛性連接，形成陣列。因此，對(duì)剛性耦合圓柱陣列的研究具有明顯的應(yīng)用價(jià)值。

對(duì)以單圓柱為代表的鈍頭體渦激振動(dòng)的研究已經(jīng)持續(xù)了幾十年，并取得了大量的成果[5-8]。Williamson等[9-10]通過一系列的實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，單圓柱渦激振動(dòng)的振動(dòng)響應(yīng)受質(zhì)量-阻尼比系數(shù)(m*ζ)的顯著影響。當(dāng)m*ζ較小時(shí)，振動(dòng)響應(yīng)可分為初始分支，上端分支和下端分支，分別對(duì)應(yīng) 2S(一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)從圓柱的兩側(cè)分別脫落一個(gè)旋渦)、2P(一個(gè)振動(dòng)周期從圓柱的兩側(cè)分別脫落一對(duì)旋渦)和2PO模式三種。需要指出的是，2PO模式的渦對(duì)中兩個(gè)旋渦的強(qiáng)度不等。當(dāng)m*ζ較大時(shí)，振動(dòng)響應(yīng)僅出現(xiàn)初始和下端兩個(gè)分支。目前對(duì)低雷諾數(shù)單圓柱渦激振動(dòng)的研究表明，不論m*ζ怎么變化，振動(dòng)響應(yīng)始終表現(xiàn)為初始和下端兩個(gè)分支[11-12]。

在多柱體繞流方面，Bansal 等[13]對(duì)間距比L*= 1.35(L*=L/D, 其中L為兩圓柱中心距離，D為圓柱直徑)和雷諾數(shù)Re= 2.1×103條件下，入射角度α對(duì)等邊三角形布置三圓柱繞流的影響進(jìn)行了研究，其中α= 0°～60°(α=0°對(duì)應(yīng)一個(gè)圓柱位于上游，兩個(gè)圓柱在下游并排放置的工況，α=60°對(duì)應(yīng)上游兩個(gè)并排圓柱，下游一個(gè)圓柱的工況)。發(fā)現(xiàn)：所有入射角工況下圓柱間均出現(xiàn)射流，并形成兩個(gè)明顯的尾流區(qū)—寬尾流和窄尾流，且回流區(qū)長(zhǎng)度隨α變化。窄尾流中的小尺度旋渦會(huì)在圓柱下游融合并形成大尺度旋渦，其脫渦頻率與同等雷諾數(shù)下單圓柱繞流相同。Lam等[14-15]通過流場(chǎng)可視化發(fā)現(xiàn)，間距比和入射角對(duì)靜止三圓柱之間的流動(dòng)特性有顯著影響。

與多柱體繞流相比，目前對(duì)柱群渦激振動(dòng)的研究則相對(duì)較少。對(duì)于自由振動(dòng)(圓柱之間無連接)的情況，Kubo等[16]對(duì)不同排列多圓柱風(fēng)致振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究表明，L*= 4.0的等邊三角形布局抑制系統(tǒng)振動(dòng)最佳。Chen等[17]對(duì)L*=1.2～5.0和折合流速Ur= 3～80工況下串列三圓柱的渦激振動(dòng)數(shù)值模擬表明，當(dāng)L*=1.2時(shí)，串列三圓柱振動(dòng)表現(xiàn)為馳振現(xiàn)象，而當(dāng)L*= 1.5～5.0時(shí)，下游兩圓柱表現(xiàn)為大振幅的渦激振動(dòng)，上游圓柱的渦激振動(dòng)隨L*的增加而趨于單圓柱的情況。徐楓等[18]對(duì)雷諾數(shù)Re= 200工況下的正三角形排列自由振動(dòng)三圓柱的渦激振動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，研究發(fā)現(xiàn)：振動(dòng)圓柱受到的流體力要遠(yuǎn)大于繞流的情況，多圓柱振動(dòng)系統(tǒng)之間的相互作用使得其振動(dòng)響應(yīng)也遠(yuǎn)大于孤立圓柱工況。

對(duì)于多圓柱耦合振動(dòng)情況，Zhao等[19-20]對(duì)低雷諾數(shù)下串列與并列的剛性耦合雙圓柱渦激振動(dòng)研究發(fā)現(xiàn)，剛性耦合與獨(dú)立工況下的圓柱振動(dòng)響應(yīng)存在明顯差異。當(dāng)L*較小時(shí)，剛性耦合的并列雙圓柱結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)了馳振現(xiàn)象。Han等[21]對(duì)L*= 4.0、Re= 103～3×104和不同入射角度(α= 0°～60°)情況下的正三角形排列剛性耦合圓柱渦激振動(dòng)進(jìn)行了研究，結(jié)果表明，入射角對(duì)鎖定區(qū)間有較大影響，最寬與最窄的鎖定區(qū)間分別出現(xiàn)在入射角α=15°與α=0°處。在α=60°和Ur>12.0時(shí)出現(xiàn)了馳振現(xiàn)象。Han等[22]進(jìn)一步對(duì)正三角形排列耦合圓柱在L*= 1.5、Re=3×103～1.6×104、Ur=3～16和入射角α= 0°～60°工況下的渦激振動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，發(fā)現(xiàn)最寬與最窄的鎖定范圍分別出現(xiàn)在α=60°與α=0°情況下。

綜上，目前對(duì)三角形排列剛性耦合圓柱渦激振動(dòng)的研究還比較有限，部分研究考慮了來流攻角對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響，而忽略了間距比的影響?；诖?，本文研究均勻來流下間距比對(duì)正三角形排列剛性耦合圓柱渦激振動(dòng)的影響，詳細(xì)分析圓柱振幅、響應(yīng)頻率、水動(dòng)力系數(shù)、相位差以及尾流模式等隨間距比和折合流速的變化。

1 數(shù)值方法

1.1 控制方程

流固耦合的數(shù)值模擬采用浸入邊界法[23]，其控制方程如下：

(1)

?·u=0

(2)

式中：u為速度，t為時(shí)間，p為壓強(qiáng)，v為運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)，?為梯度算子，f為附加體積力矢量，代表流固耦合邊界條件。

采用二階精度的Adams-Bashforth時(shí)間格式對(duì)以上控制方程進(jìn)行離散，可得控制方程的守恒形式為

(3)

?·un+1=0

(4)

式中：h=?·(-uu+v(?u+?uT)由對(duì)流項(xiàng)與擴(kuò)散項(xiàng)組成，上標(biāo)T為矩陣轉(zhuǎn)置，附加體積力表示為：

(5)

式中：I和D為插值函數(shù)，Vn+1為物面邊界的速度，上標(biāo)n+1，n+1/2，n，n-1為時(shí)間步。

針對(duì)傳統(tǒng)浸入邊界法施加邊界條件精度不高的情況，Ji等[23]提出了基于嵌入式迭代的浸入邊界法，將浸入邊界法嵌入到壓強(qiáng)泊松方程的迭代求解中，利用壓強(qiáng)的中間解比初始值更接近真實(shí)值的特點(diǎn)，迭代修正附加體積力，在不顯著增加計(jì)算耗時(shí)的前提下，提高了整個(gè)算法的求解精度。有關(guān)浸入邊界法的細(xì)節(jié)，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[23-24]，此處不再贅述。

對(duì)僅做橫流向運(yùn)動(dòng)的剛性圓柱，其運(yùn)動(dòng)方程可以用下述方程來描述：

(6)

式中：M為圓柱質(zhì)量，Y表示位移，C為結(jié)構(gòu)阻尼，KY為彈簧剛度系數(shù)，F(xiàn)L為圓柱受到的橫流向流體力。方程采用標(biāo)準(zhǔn)的Newmak-β法求解。

1.2 問題描述

如圖1所示，編號(hào)為1、2和3的三等直徑圓柱按等邊三角形布置于計(jì)算域中心。其中，間距比L*分別為1.0、1.6、2.5和4.0。圓柱間剛性連接，形成單自由度振動(dòng)系統(tǒng)[25]。圓柱質(zhì)量比為m*=M/Mf= 2.0，阻尼系數(shù)設(shè)為C= 0。雷諾數(shù)為Re=UD/ν= 100和折合流速為Ur=U/fnD= 3.0 - 30.0。以上參數(shù)中，M為三個(gè)圓柱的質(zhì)量，Mf為等體積流體質(zhì)量，U為來流流速，取為1.0，ν為運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù)，fn為圓柱固有頻率，D為圓柱直徑，取為1.0。采用正交笛卡爾網(wǎng)格對(duì)計(jì)算域進(jìn)行劃分，笛卡爾坐標(biāo)系位于等邊三角形中心。計(jì)算域大小取為200D×200D，有效地避免了邊界對(duì)流場(chǎng)的影響[26]。三個(gè)圓柱連線的中心到入口、出口以及上、下邊界的距離均為100D，如圖1所示。為保證計(jì)算精度，對(duì)圓柱周圍的網(wǎng)格進(jìn)行加密，其中加密區(qū)域大小為8D×8D，對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格尺度為Δx/D=Δy/D= 1/64，該網(wǎng)格精度可以較好模擬多圓柱的渦激振動(dòng)問題[27]。圖2給出了圓柱體周圍網(wǎng)格的放大圖。為節(jié)省計(jì)算資源，加密區(qū)域外的網(wǎng)格間距以等比形式增加。本文采用768(流向)×768(橫向)的正交網(wǎng)格，總結(jié)點(diǎn)數(shù)約為59萬。

圖1 三角形排列三圓柱渦激振動(dòng)的計(jì)算域和邊界條件

圖2 網(wǎng)格劃分和局部放大圖

邊界條件設(shè)置如下：入口為Dirichlet型邊界(u=U,ν=0)，出口為Neumann型邊界(?u/?x=0，?v/?x=0)，上下為可滑移邊界(?u/?y=0，ν=0)。

2 程序驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文數(shù)值方法的精度，針對(duì)剛性耦合并列雙圓柱的渦激振動(dòng)問題進(jìn)行有效性驗(yàn)證。采用與Zhao等[19]相同的參數(shù)，并將結(jié)果與Zhao等[19]進(jìn)行比較。具體參數(shù)為雷諾數(shù)為Re= 150，質(zhì)量比為m*= 2，阻尼比為ζ=0。采用與Zhao等相同的計(jì)算域：50D×80D，其中Lu= 20D和Ld= 30D。算例中，兩圓柱的中心間距為4D，振幅的定義與Zhao等相同，為A=(Ymax-Ymin)/2D。由圖3可知，本文的模擬結(jié)果與Zhao等吻合良好，從而驗(yàn)證了本文數(shù)值方法和程序的正確性。

圖3 剛性耦合并列雙圓柱振幅隨折合流速的變化情況

為保證數(shù)值收斂，模擬需滿足CFL(courant-friedrichs-lewy)條件，即ΔtU/Δx≤0.5。分別選定無量綱時(shí)間步長(zhǎng)ΔtU/D為0.002與0.004，考察時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)正三角形排列剛性耦合三圓柱渦激振動(dòng)在L*= 1.0和Ur=9.0條件下的特征參數(shù)的影響。如表1所示，兩組結(jié)果的最大誤差僅為1.9%。因此，采用ΔtU/D=0.004時(shí)，模擬結(jié)果是收斂的。此外，本文所采用網(wǎng)格(Δx/D=Δy/D=1/64)的收斂性在已發(fā)表文獻(xiàn)[27]中進(jìn)行了充分驗(yàn)證，出于簡(jiǎn)潔的目的，本文并未給出。

表1 正三角形排列剛性耦合三圓柱渦激振動(dòng)對(duì)比，其中表示阻力均值，為阻力脈動(dòng)值，為升力脈動(dòng)值，Ay/D為橫向無量綱振幅， St為圓柱的脫渦頻率，括號(hào)內(nèi)為兩者的誤差百分比

3 結(jié)果和討論

3.1 振動(dòng)響應(yīng)

圖4 不同間距比下圓柱振幅(A*)、頻率比(fosc/fn)與St數(shù)隨折合流速變化情況

L*=1.6與2.5振動(dòng)響應(yīng)同樣分為四個(gè)分支，且對(duì)應(yīng)的Ur范圍相同，即3.0≤Ur<4.0(DS1)、4.0≤Ur<5.0(IB)、5.0≤Ur<10.0(LB)和10.0≤Ur≤30.0(DS2)。此外，兩者LB的振幅均存在較大的波動(dòng)。所不同的是，L*=1.6時(shí)，最大振幅在LB的末端取得，而L*=2.5時(shí)，最大振幅在LB的前端取得。此外，在DS2內(nèi)，前者的振幅單調(diào)緩慢遞減，而后者的振幅存在緩慢增大的趨勢(shì)。在振動(dòng)頻率方面，兩者也存在異同。例如，兩者均存在鎖定區(qū)間，且鎖定區(qū)間的范圍相同；鎖定區(qū)間內(nèi)，頻率的變化較緩，且接近固有頻率；在DS1和IB之間，振動(dòng)頻率存在一個(gè)小幅跳躍。然而，在DS2內(nèi)，兩者存在明顯區(qū)別。L*=1.6時(shí)，振動(dòng)為單頻振動(dòng)，振動(dòng)頻率遵從St隨折合流速線性變化；L*=2.5時(shí)，振動(dòng)存在兩個(gè)相當(dāng)?shù)淖吭筋l率，分別稱為渦振頻率和馳振頻率，其中渦振振動(dòng)頻率遵從St變化，而馳振頻率變化不大，且小于固有頻率(馳振的特性)。此方面的詳細(xì)分析可見3.3節(jié)。

L*=4.0時(shí)，圓柱的振動(dòng)響應(yīng)可以分為IB、LB和DS2分支，分別對(duì)應(yīng)3.0≤Ur<6.0、6.0≤Ur<11.0和11.0 ≤Ur≤30.0。隨著折合流速的增大，振動(dòng)振幅先快速增大，后逐漸減小。振動(dòng)頻率遵從St變化，隨折合流速線性增加，未出現(xiàn)鎖定區(qū)域，因此本文稱之為非鎖定渦激振動(dòng)。圓柱的振幅在共振點(diǎn)處(Ur= 6.0，fosc/fn=1.0)達(dá)到最大值。

對(duì)比四種不同的間距比，可見L*=1.0的振幅明顯高于其他工況，這與圓柱間不存在間隙流動(dòng)，三個(gè)圓柱構(gòu)成一個(gè)單一鈍體有關(guān)。對(duì)于另外的三個(gè)工況，隨著間距比的增大，圓柱的最大振幅逐漸增大，且DS2的振幅也較大。

3.2 流體力

圖5 不同間距比下流體力隨折合流速變化情況

為了進(jìn)一步對(duì)比每一個(gè)圓柱的受力變化，圖6～8分別給出了不同間距比下三個(gè)圓柱的阻力均值、升力均方根和升力均值隨折合流速的變化情況。可以看出，當(dāng)L*=1.0時(shí)，上游圓柱的阻力均值隨折合流速的增大先減后增，這與下游圓柱阻力均值的變化趨勢(shì)相反。然而，對(duì)于另外三個(gè)工況，上、下游圓柱阻力均值的變化趨勢(shì)相同，均為先增后減。需要注意的是，當(dāng)L*=1.6時(shí)，兩個(gè)下游圓柱在DS1和DS2分支上的阻力均值不相等，這與偏斜的間隙流動(dòng)以及所形成的寬-窄尾流有關(guān)(見圖13(e)和(h))。類似的情況也出現(xiàn)在并列雙圓柱渦激振動(dòng)中[24，29]。

圖6 不同間距比下三圓柱阻力均值隨折合流速變化情況

如圖7所示，上、下游圓柱的升力均方根值均隨著折合流速的增大而先增后減。整體上看，隨著間距比的增大，上游圓柱的升力均方根值逐漸小于下游圓柱的。當(dāng)L*=1.6時(shí)，在DS2分支上，三個(gè)圓柱的升力均方根值均接近于零，說明三個(gè)圓柱的剪切層在近尾流區(qū)均沒有發(fā)生旋渦泄放。結(jié)合此情況下下游圓柱不等的阻力均值，可知：下游圓柱在近尾流區(qū)形成四條相對(duì)穩(wěn)定的剪切層，其中外部的剪切層只發(fā)生小幅擺動(dòng)，沒有旋渦脫落，而內(nèi)部的剪切層穩(wěn)定地偏斜向一側(cè)，如圖13(h)所示。

圖7 不同間距比下三圓柱升力均方根隨折合流速變化情況

圖8 不同間距比下三圓柱升力均值隨折合流速變化情況

3.3 歷時(shí)曲線與頻率響應(yīng)

圖9為不同間距比下圓柱的總升力系數(shù)與位移歷時(shí)曲線。如圖9(a)～(c)所示，當(dāng)L*= 1.0時(shí)，除了Ur=5.0時(shí)升力和位移歷時(shí)曲線出現(xiàn)拍現(xiàn)象以外，其他兩個(gè)折合流速下升力和位移均表現(xiàn)為規(guī)則的正弦變化。這與升力和位移在Ur=5.0有兩個(gè)相當(dāng)?shù)淖吭筋l率，而在其他折合流速上僅有一個(gè)主頻的情況一致(如圖10(a)所示)。當(dāng)L*=1.6時(shí)，DS1與IB分支的升力和位移均表現(xiàn)為正弦變化(如圖9(d)所示)，而在LB和部分DS2分支上，升力和位移表現(xiàn)為明顯的拍振(如圖9(e)～(f)所示)，此時(shí)圓柱振動(dòng)由多個(gè)頻率成分組成(如圖10(b)所示)。當(dāng)Ur>15.0時(shí)，升力和位移又恢復(fù)到規(guī)律的正弦變化。對(duì)于L*=2.5的情況，當(dāng)Ur=3.0時(shí)，升力和位移出現(xiàn)拍振，如圖9(g)所示。在IB和LB分支，升力和位移轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的周期變化，如圖9(h)所示。而在DS2分支上，升力和位移呈現(xiàn)不規(guī)則波動(dòng)，這與升力和位移的多頻特性有關(guān)(見圖10(c))。

圖9 不同間距比下圓柱總升力系數(shù)與位移時(shí)程曲線

圖10 不同間距比下圓柱升力系數(shù)與位移的頻譜圖

當(dāng)L*=4.0時(shí)，升力和位移在大部分折合流速下均呈現(xiàn)為規(guī)律的正弦變化，僅在Ur= 7.0時(shí)升力出現(xiàn)了非正弦的周期變化(如圖9(k)所示)，這與升力出現(xiàn)顯著的二階和三階倍頻分量相對(duì)應(yīng)，如圖10(d)所示。倍頻的出現(xiàn)與升力與位移相位差的跳躍有關(guān)[30-31]。綜合以上分析可知，圓柱的升力和位移在大多數(shù)折合流速下為單頻主導(dǎo)，相應(yīng)地，歷時(shí)曲線表現(xiàn)為規(guī)律的正弦變化。不規(guī)律的歷時(shí)曲線主要出現(xiàn)在L*=1.6和2.5工況下的DS2分支上，對(duì)應(yīng)折合流速范圍分別為Ur=9.0～15.0和Ur=11.0～30.0，這與中等間距比下圓柱之間強(qiáng)烈的相互作用有關(guān)。

圖11給出了不同間距比下不同圓柱升力以及總升力頻率的變化情況，其中，fL0，fL1，fL2與fL3分別為總升力頻率和圓柱1、2、3升力頻率。當(dāng)L*=1.0時(shí)，圓柱之間的間隙為零，柱間流動(dòng)不存在，因此，三個(gè)圓柱的升力頻率與總升力頻率相等。當(dāng)L*=1.6時(shí)，圓柱系統(tǒng)振幅在Ur=8.0～9.0時(shí)達(dá)到最大，下游兩圓柱的內(nèi)側(cè)剪切層脫落旋渦(見圖13(g))，使得下游兩圓柱的升力頻率兩倍于上游圓柱以及總圓柱的升力頻率。在其余折合流速下，振幅相對(duì)較小，下游兩圓柱的內(nèi)側(cè)剪切層不脫落旋渦，上下游圓柱的升力頻率與總升力頻率相等。當(dāng)L*=2.5時(shí)，柱間流動(dòng)和尾渦模式在不同折合流速上呈現(xiàn)顯著變化，導(dǎo)致升力頻率變化復(fù)雜。如圖11(c)所示，上游圓柱的升力頻率與總升力的第一主頻幾乎完全相等，而下游兩圓柱的升力頻率則明顯不同，總體上略大于上游圓柱的升力頻率和總升力的第一主頻。當(dāng)L*=4.0時(shí)，較大的間距使得旋渦可以從各圓柱上自由脫落。當(dāng)振幅較大時(shí)，從上游圓柱脫落的旋渦直接“撞擊”在下游圓柱上，使得下游兩圓柱升力頻譜中出現(xiàn)了主導(dǎo)的兩倍頻成分 (圖11(d))。

圖11 不同間距比下不同圓柱升力與總升力頻率的變化

圓柱升力和位移相位差反應(yīng)了旋渦脫落時(shí)機(jī)的變化。應(yīng)用希爾伯特變換求得升力和位移的相位差，并使其在[-90, 270]范圍內(nèi)，相位差均值通過時(shí)間平均得到。圖12給出了不同間距比下圓柱升力和位移之間相位差隨折合流速的變化情況，其中，φ0，φ1，φ2與φ3分別表示三圓柱總升力、圓柱1，2，3升力與位移之間的相位差。根據(jù)圓柱升力與位移的相位差可判斷圓柱在振動(dòng)系統(tǒng)中起到的作用?？梢园l(fā)現(xiàn)，總升力與位移相位差均出現(xiàn)了相位跳躍現(xiàn)象。當(dāng)L*=1.0、1.6和4.0時(shí)，相位跳躍的幅值為180°。而L*=2.5時(shí)，相位跳躍的幅值約為150°，而后相位差隨著折合流速遞減至125°左右，這與該間距比下DS2分支的多頻特性有關(guān)。此外，雖然不同間距比下總升力-位移相位跳躍對(duì)應(yīng)的折合流速并不完全相同，但均出現(xiàn)在LB分支內(nèi)部或者兩端。對(duì)比圖12和圖4可以發(fā)現(xiàn)，相位跳躍發(fā)生的折合流速恰好對(duì)應(yīng)fosc/fn=1.0。這是由于升力位移相位跳躍是線性振動(dòng)系統(tǒng)的固有特性，當(dāng)振動(dòng)頻率跨過固有頻率時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)相位跳躍。

圖12 不同間距比下升力和位移相位差隨折合流速的變化

進(jìn)一步還可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)L*=1.0時(shí)，下游兩圓柱相位差處于0°～150°之間，隨著折合流速的增大而逐漸增大。而上游圓柱的相位差一直位于小于零(Ur≤18.0)或者大于180°(Ur>18.0)的區(qū)間內(nèi)。Ji等[32]指出：升力位移之間的相位差決定了能量在圓柱振動(dòng)和流動(dòng)之間的傳遞方向。當(dāng)相位差在0°～180°之間時(shí)，圓柱升力做正功，能量由流動(dòng)傳遞給圓柱振動(dòng)；反之，當(dāng)相位差在180°～360°之間時(shí)，圓柱升力做負(fù)功，能量由圓柱振動(dòng)傳遞給流動(dòng)。由此可見，下游圓柱對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)起促進(jìn)作用，而上游圓柱對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)起抑制作用。

如圖12(b)所示，當(dāng)L*=1.6時(shí)，圓柱1升力做負(fù)功(Ur=3.0除外)，抑制振動(dòng)。當(dāng)Ur≤10.0時(shí)，圓柱2和3做正功，促進(jìn)振動(dòng)；當(dāng)Ur≥12.0時(shí)，兩圓柱的相位角不等，圓柱3做正功，促進(jìn)振動(dòng)，而圓柱2做功幾乎為零(相位角等于0°或者180°時(shí)，升力做功為零)。這主要與下游兩圓柱的偏斜間隙流有關(guān)(如圖13(h)所示)。高折合流速時(shí)，窄尾流圓柱(圓柱3)的升力較大，對(duì)振動(dòng)起促進(jìn)作用，寬尾流圓柱(圓柱2)的升力較小，對(duì)振動(dòng)幾乎不起作用。

當(dāng)L*=2.5時(shí)，由于多頻存在，升力主頻與位移的相位差呈現(xiàn)明顯雜亂變化?？傮w上看，上游圓柱在大折合流速做正功，在小折合流速做負(fù)功，而下游兩圓柱則幾乎在所有的折合流速上做正功。需要指出的是：由于升力的多頻特性，相位差隨時(shí)間波動(dòng)較大，相位差的均值并不能完全代表圓柱做功情況。當(dāng)L*=4.0時(shí)，上游圓柱在Ur≤7.0時(shí)起抑制作用，在Ur>7.0以后起促進(jìn)作用，而下游兩圓柱的情況則正好相反。

可見，不同圓柱對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的貢獻(xiàn)是有區(qū)別的，且隨間距比變化。間距比小時(shí)，上游圓柱做負(fù)功，抑制振動(dòng)，下游兩圓柱做正功，促進(jìn)振動(dòng)。而當(dāng)間距比較大時(shí)，上游圓柱在折合流速較小時(shí)做負(fù)功，抑制振動(dòng)，而在折合流速較大時(shí)做正功，促進(jìn)振動(dòng)。下游兩圓柱的做功情況與上游圓柱相反。

3.4 尾渦結(jié)構(gòu)

為了更好地理解柱群渦激振動(dòng)現(xiàn)象，圖13給出了各間距比下不同分支內(nèi)的尾渦結(jié)構(gòu)。

當(dāng)L*=1.0時(shí)，三圓柱彼此相貼，圓柱間不存在間隙流動(dòng)，上游圓柱的剪切層完全包裹下游圓柱，并從下游圓柱的兩側(cè)交替脫落，形成2S尾流模式，與單鈍體的情況類似。隨著振幅的變化，圓柱后的尾渦結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)不同的特性。當(dāng)振幅較小時(shí)(DS1分支)，尾渦表現(xiàn)為交錯(cuò)渦街，如圖13(a)所示。當(dāng)振幅較大時(shí)，兩渦列之間的橫向距離逐漸增加，在圓柱后形成平行渦街，如圖13(c)～(d)所示。

對(duì)于L*=1.6的工況，當(dāng)Ur=3.0和13.0時(shí)(DS分支)，圓柱的振幅幾乎為零，上游圓柱的剪切層“堆積”在圓柱間，一小部分與下游圓柱外側(cè)的剪切層融合，如圖13(e)和(h)所示。此外，下游圓柱間的間隙流動(dòng)偏向于圓柱3，形成了寬-窄尾流。結(jié)合圖6(b)、8(b)可知，寬尾流圓柱所受的平均阻力較小，平均升力(斥力)較小；而窄尾流圓柱則與之相反。由于間隙剪切層較長(zhǎng)且無明顯擺動(dòng)，下游圓柱外側(cè)的剪切層卷起形成旋渦的位置距離下游圓柱較遠(yuǎn)，因此下游圓柱受到的升力很小，如圖5(b)和7(b)所示。當(dāng)圓柱振幅較大時(shí)(LB分支)，如Ur=5.0和9.0，隨著圓柱的上下振動(dòng)，上游圓柱的剪切層交替包裹其中的一個(gè)下游圓柱，在尾流中形成平行渦街和交替渦街，如圖13(f)和13(g)所示。其中平行渦街在下游發(fā)生同側(cè)旋渦融合，形成更大尺度的二次渦街，二次渦街頻率會(huì)顯著低于平行渦街的情況[33-34]。

圖13 不同間距比下尾流隨折合流速的變化情況

當(dāng)L*=2.5時(shí)，由于圓柱間隙的進(jìn)一步增大，當(dāng)圓柱振幅較小時(shí)(Ur=3.0和14.0)，上游圓柱的剪切層完全進(jìn)入下游兩圓柱的間隙(圖13(i)和13(l))，但由于受到下游圓柱的擠壓，在下游不遠(yuǎn)處即完全耗散。下游圓柱的剪切層發(fā)生周期性的旋渦泄放，但內(nèi)部剪切層脫落的旋渦發(fā)生融合，很快消散。當(dāng)圓柱的振幅較大時(shí)，上游圓柱的剪切層交替包裹下游圓柱，剪切層與下游柱體發(fā)生強(qiáng)烈的相互作用，尾流變得很不規(guī)律。當(dāng)Ur= 5.0時(shí)，三圓柱同相瀉渦，在圓柱下游形成了四列彼此平行的渦街，由于振幅達(dá)到最大值，上游圓柱的剪切層在柱間發(fā)生泄渦，并“碰撞”下游圓柱表面，如圖13(j)所示。

當(dāng)L*=4.0時(shí)，柱間間隙已經(jīng)大到上游圓柱的剪切層可以在柱間卷起并脫落旋渦。當(dāng)振幅較小時(shí)，上游圓柱的泄渦從下游圓柱間通過，并與下游圓柱的泄渦發(fā)生配對(duì)、融合，在下游形成較為規(guī)則聯(lián)合渦街，如圖13(m)和(p)所示。在IB分支，當(dāng)Ur= 5.0時(shí)，振幅接近最大值，上游圓柱脫落的旋渦直接撞擊到下游圓柱上，并從下游兩圓柱的兩側(cè)分離，在下游形成穩(wěn)定的四列渦街，如圖13(n)所示。Ur=7.0的工況與Ur= 5.0類似，但下游圓柱后方形成寬-窄尾流模式，對(duì)應(yīng)不相等的阻力均值和升力均值和均方根值，如圖6(d)、7(d)和8(d)所示。DS2上，圓柱的振幅顯著降低， 尾流模式又恢復(fù)到了初始分支DS1的情況。如圖 13(p)所示，內(nèi)側(cè)旋渦強(qiáng)度低于外側(cè)，上游圓柱的旋渦與下游圓柱內(nèi)側(cè)旋渦配對(duì)，并在下游形成三列渦街。

4 結(jié) 論

對(duì)三角形排列的剛性連接三圓柱渦激振動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，其中，雷諾數(shù)為Re=100，質(zhì)量比為m*=2.0，折合流速Ur=3.0～30.0，間距比L*=1.0～4.0?；谡駝?dòng)振幅和頻率的特點(diǎn)，將圓柱的振動(dòng)響應(yīng)分為四個(gè)分支，詳細(xì)分析了振動(dòng)振幅、流體力系數(shù)、振動(dòng)頻率、歷時(shí)曲線、升力與位移相位差以及尾流模式等在各響應(yīng)分支的變化情況。主要結(jié)論如下：

(1)根據(jù)振動(dòng)振幅和頻率隨Ur的變化，將振動(dòng)響應(yīng)劃分為初始分支(IB)、下端分支(LB)與非鎖定區(qū)域(DS)，其中非鎖定區(qū)域又細(xì)分為前非鎖定區(qū)域(DS1)和后非鎖定區(qū)域(DS2)。各間距比下，隨著折合流速的增大，圓柱的振幅均呈現(xiàn)先增后減的趨勢(shì)，其中最大振幅(A*=1.11)出現(xiàn)在L*=1.0、Ur=8.0工況。隨著間距比的增大，圓柱振幅整體上表現(xiàn)為先減后增，L*=1.6 時(shí)圓柱的振幅明顯小于其他間距比的振幅。

(2)不同于其他間距比情況下出現(xiàn)的明顯的鎖定區(qū)間，L*=4.0工況下，圓柱的振動(dòng)頻率隨折合流速線性變化，未出現(xiàn)明顯的鎖定區(qū)間。此外，當(dāng)L*=2.5時(shí)，在DS2分支上，圓柱振動(dòng)出現(xiàn)了兩個(gè)強(qiáng)度相當(dāng)、頻率不同低頻馳振分量與高頻渦振分量。對(duì)圓柱升力主頻的進(jìn)一步分析表明，在L*=1.0，1.6與4.0工況下，三圓柱升力主頻幾乎相同，下游兩圓柱僅在部分折合流速下呈現(xiàn)二倍頻。L*=2.5處由于復(fù)雜的柱間流動(dòng)使得三圓柱升力頻率存在較大差異。

(3)DS1與IB分支上，總升力與位移同相變化，而DS2分支上，總升力與位移反相變化?？偵εc位移之間的相位差在LB分支上出現(xiàn)了180°的跳躍。當(dāng)L*=2.5時(shí)，相位跳躍約為150°，這主要是升力與位移由多頻特性造成的。不同圓柱升力與位移相位差的結(jié)果表明，間距比較小時(shí)(L*=1.0與1.6)，上游圓柱做負(fù)功，抑制振動(dòng)，下游兩圓柱做正功，促進(jìn)振動(dòng)。間距比較大時(shí)(L*= 4.0)，上游圓柱在小折合流速時(shí)做負(fù)功，抑制振動(dòng)，大折合流速做正功，促進(jìn)振動(dòng)；下游兩圓柱的做功情況則正相反。

(4)當(dāng)間距比較小(L*=1.0與1.6)時(shí)，隨著折合流速的增大，下游圓柱經(jīng)歷排斥-吸引-排斥的過程，而當(dāng)間距比較大(L*= 2.5與4.0)時(shí)，下游圓柱經(jīng)歷吸引-排斥-吸引的過程。由于間隙流偏斜的作用，L*=1.6時(shí)，下游兩圓柱的升阻力均值在DS2分支上不相等。

(5)當(dāng)L*= 1.0時(shí)，上游圓柱的剪切層覆蓋下游圓柱，形成2S尾流模式，與單圓柱渦激振動(dòng)的相似。隨間距比增加，圓柱間出現(xiàn)了間隙流動(dòng)。L*= 1.6的DS1和DS2分支的間隙流穩(wěn)定偏斜，在圓柱后方形成寬-窄尾流，造成了下游圓柱受力的不均衡。當(dāng)間距比較小時(shí)，上游圓柱的剪切層不發(fā)生旋渦脫落，而當(dāng)間距比較大時(shí)，上游圓柱的剪切層在柱間脫落旋渦，并與下游圓柱及其尾流發(fā)生復(fù)雜的相互作用。