鄧冰杰， 王林峰， 李 振， 李林剛， 莫 詘

(1. 重慶交通大學(xué) 河海學(xué)院，重慶 400074； 2. 中交二航局建筑科技有限公司，武漢 430040； 3. 中交第二航務(wù)工程局有限公司，武漢 430040； 4. 重慶交通大學(xué) 山區(qū)公路水運(yùn)交通地質(zhì)減災(zāi)重慶市高校市級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400074；5. 重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074)

爆破振動(dòng)對(duì)建(構(gòu))筑物的影響一直都是爆破安全施工關(guān)注的問(wèn)題。隨著對(duì)爆破振動(dòng)研究的深入，研究人員普遍意識(shí)到建(構(gòu))筑物的爆破振動(dòng)破壞不僅取決于振動(dòng)峰值振速，與振動(dòng)頻率和持續(xù)時(shí)間也密切相關(guān)[1]。目前，國(guó)內(nèi)外常用的爆破安全控制判據(jù)基本都是“主振頻率-峰值振動(dòng)速度”判據(jù)[2]，如德國(guó)標(biāo)準(zhǔn)(DIN 4150-3)、英國(guó)標(biāo)準(zhǔn)(BS 7385-2)、法國(guó)標(biāo)準(zhǔn)(87/70558)、美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)(USBM)、印度標(biāo)準(zhǔn)(directorate general of mines safety)、土耳其等采用的爆破振動(dòng)控制標(biāo)準(zhǔn)及我國(guó)2014版的GB 6722—2014《爆破安全規(guī)程》[3]。

由于爆破振動(dòng)頻率離散性較大，相對(duì)于爆破振動(dòng)強(qiáng)度預(yù)測(cè)的研究，對(duì)于爆破振動(dòng)頻率預(yù)測(cè)的研究相對(duì)較少[4]。就目前的研究現(xiàn)狀來(lái)看，預(yù)測(cè)方法可以分為三類：半理論半經(jīng)驗(yàn)公式；智能算法預(yù)測(cè)；基于振動(dòng)波形預(yù)測(cè)的主振頻率預(yù)測(cè)。

經(jīng)驗(yàn)(半理論半經(jīng)驗(yàn))公式預(yù)測(cè)方面。早期，前蘇聯(lián)學(xué)者、焦永斌[5]、唐春海等[6]分別提出了含單一未知參數(shù)的爆破振動(dòng)主頻預(yù)測(cè)公式。張立國(guó)等[7-8]基于相似準(zhǔn)數(shù)方程、孟海利等[9]基于地震波在黏彈性介質(zhì)中的傳播理論分別提出了包含兩個(gè)待求參數(shù)的預(yù)測(cè)公式；陳博聞[10]基于量綱分析建立了爆破振動(dòng)頻率的相似準(zhǔn)數(shù)方程，提出了考慮炮孔深度的爆破振動(dòng)主頻率的預(yù)測(cè)公式。

近年來(lái)，盧文波教授及其團(tuán)隊(duì)在主振頻率預(yù)測(cè)方面做了較多的研究，盧文波等[11]基于彈性介質(zhì)中球狀藥包激發(fā)引力波的理論解及其頻譜表達(dá)式，提出了質(zhì)心頻率的預(yù)測(cè)公式；周俊汝等[12]指出相較于傅里葉主頻，平均頻率的隨爆心距的衰減規(guī)律更加顯著，利用反冪函數(shù)擬合頻率與爆心距的變化規(guī)律，平均頻率的相關(guān)系數(shù)更高；盧文波等[13]基于量綱和諧原理和球面波理論推導(dǎo)主頻預(yù)測(cè)公式，并指出采用柱面波理論擬合的主頻衰減公式擬合相關(guān)系數(shù)較基于球面波的主頻衰減公式總體稍高；劉達(dá)等[14]采用量綱分析的方法，從結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的角度得到的爆破振動(dòng)主頻衰減公式，指出在爆破振動(dòng)主頻的選擇上，視主頻相較于傅里葉主頻能夠更好的反映爆破振動(dòng)的頻率特性。葉紅宇等[15]結(jié)合C40混凝土試塊的爆破累積試驗(yàn)提出了同一介質(zhì)中的傅里葉主頻預(yù)測(cè)公式。周俊汝等[16]基于彈性波動(dòng)理論，研究了豎向鉆孔爆破激發(fā)的振動(dòng)波頻率衰減特征，指出主頻衰減過(guò)程中易發(fā)生突變，質(zhì)心頻率的衰減規(guī)律相對(duì)平滑穩(wěn)定。

智能算法預(yù)測(cè)方面。張藝峰等[17]提出了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論的預(yù)測(cè)方法、周玉純等[18]提出了基于粗糙集理論的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RS-FNN)預(yù)測(cè)方法。Singh等[19-21]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法(ANN)模型對(duì)爆破振動(dòng)主振頻率f進(jìn)行了預(yù)測(cè)。Li等[22]提出了一種基于灰色關(guān)聯(lián)分析和量綱分析相結(jié)合的主振頻率預(yù)測(cè)方法。

基于振動(dòng)波形預(yù)測(cè)的主振頻率預(yù)測(cè)方面。Blair[23]根據(jù)爆破孔之間的間距提出了一種非線性疊加模型，實(shí)現(xiàn)了多孔微差爆破振動(dòng)波形的預(yù)測(cè)。楊年華等[24]根據(jù)場(chǎng)地地震波的傳播疊加原理，以實(shí)測(cè)單炮孔爆破振動(dòng)波形為基礎(chǔ)，計(jì)算獲得預(yù)測(cè)點(diǎn)的爆破振動(dòng)波形。雷振[25]對(duì)Anderson線性疊加模型進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種非線性疊加模型，并建立了基于Volterra泛函級(jí)數(shù)的臺(tái)階爆破振動(dòng)預(yù)測(cè)模型；楊年華[26]利用單孔振源的格林函數(shù)來(lái)疊加合成群孔爆破振動(dòng)時(shí)程，實(shí)現(xiàn)了對(duì)爆破振動(dòng)峰值速度、頻率及持續(xù)時(shí)間的預(yù)測(cè)。雷振等[27]提出了一種基于三次B樣條的爆破振動(dòng)歷程預(yù)測(cè)方法。劉小鳴等[28]在球形藥包的地表振速波形函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)疊加法得到了單孔柱狀藥包的振速波形函數(shù)，并借鑒了Blair的非線性群孔疊加理論，提出了振動(dòng)波形函數(shù)預(yù)測(cè)法。

表征爆破振動(dòng)主頻的特征頻率包括視主頻、傅里葉主頻、擬速度反應(yīng)譜主頻和質(zhì)心頻率(加權(quán)平均頻率)等，到底哪一種特征主頻與結(jié)構(gòu)的爆破振動(dòng)破壞關(guān)系最密切，目前沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。就工程實(shí)際而言，采用的較多的依舊是傅里葉主頻，比較實(shí)用的預(yù)測(cè)公式主要是半理論半經(jīng)驗(yàn)公式?？紤]到傅里葉主頻的接受度較高，本文研究對(duì)象為傅里葉主頻。同時(shí)考慮到各種預(yù)測(cè)公式的預(yù)測(cè)結(jié)果總是與實(shí)際值存在一定的誤差，但是實(shí)測(cè)值基本在預(yù)測(cè)值附近波動(dòng)，因此本文在提出基本公式預(yù)測(cè)模型的基礎(chǔ)上將概率論的思想引入到傅里葉主頻的預(yù)測(cè)中。

1 傅里葉主頻預(yù)測(cè)公式及參數(shù)求解

1.1 主頻預(yù)測(cè)公式分析

目前的工程實(shí)際，采用的較多的是基于最大單段裝藥量和爆心距的半經(jīng)驗(yàn)半理論公式，通過(guò)線性回歸得到預(yù)測(cè)公式中的兩個(gè)參數(shù)。經(jīng)驗(yàn)公式如果直接進(jìn)行非線性回歸，無(wú)法求得解析解，只能通過(guò)迭代法求解數(shù)值解。呂濤等對(duì)比了非線性回歸和線性回歸的結(jié)果，指出兩種回歸方法得到的預(yù)測(cè)公式的標(biāo)準(zhǔn)殘差平方和非常接近，采用兩種方法都是可行的?？紤]到線性回歸方法比較容易實(shí)現(xiàn)，工程使用方便，因此在參數(shù)求解時(shí)將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題。

(1) 張立國(guó)公式

(1)

式(1)可轉(zhuǎn)化為

(2)

等式(2)兩邊求對(duì)數(shù)得

ln(fR)=lnK+αln(Q1/3/R)

(3)

(2) 孟海利公式

(4)

式(4)可轉(zhuǎn)化為

(5)

(3) 盧文波等提出的公式

基于球面波理論

(6)

式(6)可轉(zhuǎn)化為

(7)

式(7)兩邊求對(duì)數(shù)得

ln(fQ1/3)=lnK+βln(Q1/3/R)

(8)

基于柱面波理論

(9)

式(9)可轉(zhuǎn)化為

(10)

式(10)兩邊求對(duì)數(shù)得

ln(fQ1/2)=lnK+βln(Q1/2/R)

(11)

(4) 葉紅宇等提出的公式

(12)

等式(12)兩邊去對(duì)數(shù)

lnf=lnK+αln(Q1/3/lgR)

(13)

(5) 本文提出的基本預(yù)測(cè)公式

總結(jié)現(xiàn)有的主振頻率的預(yù)測(cè)公式，可以看出研究者普遍認(rèn)為主振頻率預(yù)測(cè)公式主要包含受單段最大裝藥量和爆心距兩個(gè)參數(shù)。因此本文提出如下的主振頻率預(yù)測(cè)公式

f=KQαRβ

(14)

等式(14)兩邊取對(duì)數(shù)得

lnf=lnK+αlnQ+βlnR

(15)

1.2 基于最小二乘法的預(yù)測(cè)模型參數(shù)求解

(1) 一元線性回歸

對(duì)于張立國(guó)公式、孟海利公式、盧文波公式和葉紅宇公式在參數(shù)求解時(shí)都可以轉(zhuǎn)化為一元線性回歸問(wèn)題。目標(biāo)函數(shù)為

y=ax+b

(16)

(17)

(18)

將式(17)代入式(18)整理得

(19)

求解式(19)得

(20)

(2) 二元線性回歸

對(duì)于本文推薦的基本公式預(yù)測(cè)模型，可轉(zhuǎn)化為二元線性回歸問(wèn)題。

令

Z=lnf

(21)

X=lnQ

(22)

Y=lnR

(23)

γ=lnK

(24)

式(21)～(24)代入式(15)得到目標(biāo)函數(shù)

Z=αX+βY+γ

(25)

(26)

由級(jí)值定理有

(27)

式(27)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

(28)

令

(29)

(30)

M=(αβγ)T

(31)

當(dāng)A≠0時(shí)，線性方程組可求得M的唯一解

M=A-1B

(32)

由于各公式經(jīng)過(guò)不同的變換之后轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，X、Y、Z的表達(dá)式不一致，不同公式基于最小二乘法的求解得到的參數(shù)是使不同的目標(biāo)函數(shù)實(shí)測(cè)值與目標(biāo)函數(shù)預(yù)測(cè)值之間偏差平方和RSS[如式(17)和式(26)]最小，但是并不是使主振頻率f殘差平方和RSS[如式(33)]最小。為了區(qū)分各公式擬合結(jié)果的優(yōu)劣，這里采用殘差平方和RSS作為統(tǒng)一的優(yōu)劣判別標(biāo)準(zhǔn)。

殘差平方和

(33)

2 基于正態(tài)分布的主振頻率預(yù)測(cè)模型

2.1 基于正態(tài)分布的主頻預(yù)測(cè)模型的建立

由于爆破振動(dòng)的復(fù)雜性和隨機(jī)性，以及監(jiān)測(cè)儀器工作的不穩(wěn)定性，即使在相同爆破參數(shù)和爆心距條件下，振動(dòng)主頻也不是一個(gè)確定的值，實(shí)測(cè)值往往在預(yù)測(cè)值上下進(jìn)行波動(dòng)，因此這里考慮引進(jìn)概率論的思想對(duì)主振頻率預(yù)測(cè)公式進(jìn)行修正。同時(shí)，考慮到現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際振動(dòng)主頻越大，傅里葉主頻預(yù)測(cè)速度與實(shí)際傅里葉主頻的絕對(duì)誤差出現(xiàn)較大值得可能性就越大。因此，不同爆破參數(shù)對(duì)應(yīng)的主振頻率的分布函數(shù)方差是不一樣的，表現(xiàn)為主振頻率越大，分布函數(shù)方差就越大。

定義主振頻率相對(duì)誤差(relative error of main vibration frequency，REMVF)

(34)

假設(shè)

REMVF～N(0,σ2)

(35)

式(35)中

(36)

(37)

由式(34)可得

(38)

由正態(tài)分布的傳遞性，可得在已知某一爆破參數(shù)下(Q、R確定)，爆破振動(dòng)主振頻率分布函數(shù)為

(39)

振動(dòng)速度的分布函數(shù)為

(40)

為了方便計(jì)算，對(duì)式(39)做一下變換，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布[30]。令

(41)

根據(jù)分布函數(shù)的意義，則有

(42)

2.2 爆破參數(shù)確定下頻率分布在某一區(qū)間的概率計(jì)算

由分布函數(shù)的意義可知，在爆破參數(shù)和爆心距已知的情況下，就可以算出主振頻率分布在具體區(qū)間范圍[f1,f2]的概率，如下式所示，基于此可以對(duì)爆破振動(dòng)主振頻率進(jìn)行一個(gè)提前的預(yù)估。

(43)

令

(44)

(45)

通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就可以得到

P(f1≤f≤f2)=Φ(m2)-Φ(m1)

(46)

2.3 特定雙側(cè)置信度下的頻率范圍預(yù)測(cè)

當(dāng)雙側(cè)置信度M確定時(shí)，查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以得到m1和m2，其中m1和m2互為相反數(shù)。以本文提出的基本公式作為預(yù)測(cè)模型有

f1=(σ*m1+1)KQαRβ

(47)

f2=(σ*m2+1)KQαRβ

(48)

根據(jù)“小概率事件”的基本思想，小概率事件通常指“發(fā)生概率小于5%的事件”，該事件被認(rèn)為在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率幾乎為0。因此，建議取雙側(cè)置信度為95%，即：確保爆破主振頻率在該頻率區(qū)間的概率為95%。查閱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，當(dāng)雙側(cè)置信度為95%時(shí)，m2=1.96，m1=-1.96。

3 工程實(shí)例驗(yàn)證

現(xiàn)場(chǎng)爆破數(shù)據(jù)采集依托于貴安新區(qū)核心區(qū)污水處理廠尾水排放通道工程2標(biāo)段，隧道為圓拱形斷面，斷面面積為17.8 m2，采用全斷面爆破開(kāi)挖?，F(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)儀器為成都交博科技M20型爆破測(cè)振儀，每次監(jiān)測(cè)采用3臺(tái)儀器?，F(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)儀器布置如圖1所示。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)表明：隧道沿線地表爆破振動(dòng)三個(gè)方向分量中重力方向振動(dòng)速度最大，典型三分量振動(dòng)曲線如圖2所示；隧道內(nèi)側(cè)壁爆破振動(dòng)三個(gè)方向分量中水平徑向(即垂直側(cè)壁表面方向)振動(dòng)速度最大，典型三分量振動(dòng)曲線如圖3所示。本文研究對(duì)象為峰值速度最大的方向分量對(duì)應(yīng)的傅里葉主頻,隧道沿線地表為重力方向振動(dòng)傅里葉主頻；隧道內(nèi)側(cè)壁為水平徑向振動(dòng)傅里葉主頻。在隧道內(nèi)側(cè)壁采集了48組數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如表1所示；在隧道沿線地表采集18組數(shù)據(jù)(其中1組數(shù)據(jù)無(wú)效，有效數(shù)據(jù)17組)，統(tǒng)計(jì)如表2所示。共計(jì)65組有效數(shù)據(jù)。

圖1 現(xiàn)場(chǎng)振動(dòng)監(jiān)測(cè)儀器布置

圖2 隧道沿線地表典型振動(dòng)曲線

圖3 隧道內(nèi)側(cè)壁典型振動(dòng)曲線

圖4 隧道內(nèi)側(cè)壁部分振動(dòng)信號(hào)的FFT頻譜

表1 隧道內(nèi)側(cè)壁實(shí)測(cè)振動(dòng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

表2 隧道沿線地表實(shí)測(cè)振動(dòng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，分別采用張立國(guó)公式、孟海利公式、盧文波等基于球面波理論和柱面波理論分別提出的兩個(gè)預(yù)測(cè)公式、葉紅宇等提出的公式和本文提出的基本公式，采用非線性問(wèn)題線性化的思路，基于最小二乘法原理得到的回歸結(jié)果，如圖5～圖10所示。

圖5 張立國(guó)公式預(yù)測(cè)結(jié)果

圖6 孟海利公式預(yù)測(cè)結(jié)果

圖7 基于球面波理論的預(yù)測(cè)結(jié)果

圖8 基于柱面波理論的預(yù)測(cè)結(jié)果

圖9 葉紅宇公式預(yù)測(cè)結(jié)果

圖10 本文提出公式的預(yù)測(cè)結(jié)果

各預(yù)測(cè)模型的回歸系數(shù)和殘差平方和統(tǒng)計(jì)，如表3所示。比較6種預(yù)測(cè)模型的回歸系數(shù)R2和殘差平方和RSS，可以得出結(jié)論：采用不同的回歸模型，并通過(guò)變形將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題，基于最小二乘法原理進(jìn)行回歸擬合得到的回歸系數(shù)R2越高，式(33)計(jì)算得到的傅里葉主頻預(yù)測(cè)殘差平方和RSS并不一定越小，因此并不代表預(yù)測(cè)效果越好。因此，對(duì)比分析中應(yīng)采用式(33)所示的殘差平方和RSS這一參數(shù)來(lái)反映擬合結(jié)果的優(yōu)劣。6種預(yù)測(cè)模型中，本文提出的基本公式預(yù)測(cè)模型的擬合結(jié)果的RSS最小，擬合效果是6種預(yù)測(cè)模型中最優(yōu)的。

表3 六種預(yù)測(cè)模型的回歸系數(shù)和殘差平方和統(tǒng)計(jì)表

因此本工程推薦的傅里葉主頻預(yù)測(cè)模型為

f=458.216Q0.068R-0.448

(49)

通過(guò)對(duì)廣義REMVF的統(tǒng)計(jì)分析得到，廣義REMVF的平均值為0.012 18(非常接近0)，標(biāo)準(zhǔn)差為σ*=0.149 5。故傅里葉主頻的分布函數(shù)為

(50)

式(50)中

(51)

為了驗(yàn)證式(51)的正確性，引入正態(tài)分布理論中的“3σ準(zhǔn)則”。μ為平均數(shù)，σ標(biāo)準(zhǔn)差，“3σ準(zhǔn)則”具體表述為：

假設(shè)：x～N(μ,σ2)。則：x的值分布在(μ-σ,μ+σ)區(qū)間的概率為0.652 6；x的值分布在(μ-2σ,μ+2σ)區(qū)間的概率為0.954 4；x的值分布在(μ-3σ,μ+3σ)區(qū)間的概率為0.997 4。

如圖11所示，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)全部分布在預(yù)測(cè)值3σ上限和3σ下限之間，這說(shuō)明實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)基本符合“3σ準(zhǔn)則”，這說(shuō)明式(35)的假設(shè)是合理的。因此，修正的主振頻率預(yù)測(cè)模型可以有效的預(yù)測(cè)傅里葉主頻可能出現(xiàn)的區(qū)間范圍。圖12為雙側(cè)置信度取95%時(shí)依托工程傅里葉主頻關(guān)于最大單段裝藥量Q和爆心距R的分布區(qū)間的三維網(wǎng)格圖。

圖11 主振頻率實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的關(guān)系

圖12 傅里葉主頻隨爆破參數(shù)的分布區(qū)間圖

取雙側(cè)置信度為95%時(shí)，最大單段裝藥量為Q、爆心距為R時(shí)傅里葉主頻取值上限和取值下限計(jì)算如下

f1=(σ*m1+1)KQαRβ=(0.149 5×(-1.96)+1)×458.216Q0.068R-0.448=323.95Q0.068R-0.448

(52)

f2=(σ*m2+1)KQαRβ=(0.149 5×1.96+1)×458.216Q0.068R-0.448=592.482Q0.068R-0.448

(53)

傅里葉主頻取值區(qū)間為：[323.95Q0.068R-0.448,592.482Q0.068R-0.448]。

4 結(jié) 論

(1) 爆破振動(dòng)主頻包括：視主頻、傅里葉主頻、擬速度反應(yīng)譜主頻和質(zhì)心頻率，其中傅里葉主頻最為經(jīng)典，采用也是最多的，因此本文以傅里葉主頻為研究對(duì)象。在總結(jié)現(xiàn)有特征主頻預(yù)測(cè)模型的基礎(chǔ)上提出了基本公式預(yù)測(cè)模型f=KQαRβ，并基于非線性問(wèn)題線性化的思想給出了基本公式預(yù)測(cè)模型參數(shù)求解過(guò)程。

(2) 基于現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，以傅里葉主頻為研究對(duì)象，比較了張立國(guó)公式、孟海利公式、盧文波等分別基于球面波理論和柱面波理論提出的兩種公式、葉紅宇等提出的公式和本文提出的基本公式這6種預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。指出了以回歸系數(shù)R2作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判別預(yù)測(cè)優(yōu)劣的不足之處，提出應(yīng)以殘差平方和RSS作為預(yù)測(cè)相對(duì)優(yōu)劣的判別標(biāo)準(zhǔn)。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)表明：采用本文提出的基本公式預(yù)測(cè)得到的殘差平方和最小，預(yù)測(cè)效果是六種預(yù)測(cè)公式中最優(yōu)的。

(4) 根據(jù)“小概率事件”的基本思想，建議取雙側(cè)置信度為95%。進(jìn)而計(jì)算出爆破振動(dòng)傅里葉主頻預(yù)測(cè)區(qū)間為：[(σ*m1+1)KQαRβ,(σ*m2+1)KQαRβ]。并基于現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了預(yù)測(cè)的正確性。