王尚長(zhǎng)， 楊 格， 吳 斌， 譚啟陽(yáng)， 楊少攀

(1. 武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070; 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150090)

結(jié)構(gòu)抗震試驗(yàn)是檢驗(yàn)建筑結(jié)構(gòu)抗震性能、探索抗震設(shè)計(jì)理論的重要工具[1]。隨著我國(guó)建筑結(jié)構(gòu)的不斷發(fā)展，結(jié)構(gòu)件尺寸不斷增大，為了能更準(zhǔn)確地模擬結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)，試件的大型化、足尺化已成為必然趨勢(shì)[2-3]。擬靜力試驗(yàn)、地震模擬振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)[4-5]、擬動(dòng)力試驗(yàn)[6]是目前最常用的三種結(jié)構(gòu)抗震試驗(yàn)方法。其中，擬動(dòng)力試驗(yàn)又稱(chēng)混合試驗(yàn)[7]，它可以經(jīng)濟(jì)有效地開(kāi)展大型結(jié)構(gòu)的抗震試驗(yàn)研究，因而受到了研究者的廣泛關(guān)注。對(duì)于大型結(jié)構(gòu)的足尺或者大比例尺擬動(dòng)力試驗(yàn)，其試件剛度往往較大，為了滿足出力要求，每個(gè)加載方向可能至少需要兩臺(tái)作動(dòng)器。此時(shí)，作動(dòng)器數(shù)量多于所要控制的試件自由度數(shù)量，即存在冗余作動(dòng)器[8]。冗余作動(dòng)器具有消除加載系統(tǒng)奇異、增加系統(tǒng)剛度和出力均勻等優(yōu)點(diǎn)，通過(guò)采用冗余作動(dòng)器，試驗(yàn)加載系統(tǒng)可以使用多個(gè)質(zhì)量更輕、出力更小的作動(dòng)器來(lái)實(shí)現(xiàn)加載。此外，在某臺(tái)作動(dòng)器失效的情況下，加載系統(tǒng)仍具有繼續(xù)工作的能力，增加了試驗(yàn)的安全性。邱法維等[9]對(duì)單根柱進(jìn)行了單向和雙向的擬動(dòng)力試驗(yàn)，試驗(yàn)表明水平雙向地震作用對(duì)結(jié)構(gòu)的危害更為嚴(yán)重，在雙向試驗(yàn)中研究冗余作動(dòng)器的加載控制具有重要的價(jià)值。

Meyer等[10]對(duì)機(jī)械手控制時(shí)采用最小能耗功率損失最小為目標(biāo)函數(shù)，驗(yàn)證了此時(shí)設(shè)備承受很大內(nèi)力。Molina等[11]為使各臺(tái)作動(dòng)器出力之和最小而提出一種約束方程，并且對(duì)作動(dòng)器采用全位移控制策略完成了三層雙向結(jié)構(gòu)試驗(yàn)。Wu等[12]提出等效力控制方法，并利用力-位移轉(zhuǎn)換系數(shù)將等效力轉(zhuǎn)化為位移命令，對(duì)作動(dòng)器仍采用傳統(tǒng)位移控制方法完成了實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)，Chen等[13]在此基礎(chǔ)上對(duì)等效力控制方法進(jìn)行了改進(jìn)，并選取三層框架支撐的全尺度鋼筋混凝土砌體剪力墻作為物理子結(jié)構(gòu)進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。武漢理工大學(xué)吳斌教授團(tuán)隊(duì)研發(fā)的一款混合試驗(yàn)軟件HyTest[14-15]將加載控制方法整合到一起，并且完成了多種類(lèi)型的混合試驗(yàn)[16]。在不存在冗余作動(dòng)器的情況下，以上控制方法對(duì)單臺(tái)作動(dòng)器或試驗(yàn)采用了各種控制方法都獲得良好精度，但是由于作動(dòng)器與試件和反力墻的連接不可避免地存在滑移、變形等原因，在冗余作動(dòng)器存在的試驗(yàn)仍然采用傳統(tǒng)的控制手段將會(huì)對(duì)試驗(yàn)精度甚至試驗(yàn)安全產(chǎn)生很大影響。比如，柱子的單向試驗(yàn)，在柱頂一個(gè)方向上布置兩臺(tái)采用位移控制的作動(dòng)器，由于滑移、變形等原因，位移命令使兩臺(tái)作動(dòng)器互相掣肘，產(chǎn)生巨大內(nèi)力甚至發(fā)生危險(xiǎn)。

為了解決上述問(wèn)題，王貞等[17]提出對(duì)冗余作動(dòng)器采用力控制模式完成了單層單跨雙向混合試驗(yàn)。本文在此基礎(chǔ)上考慮作動(dòng)器的出力范圍，提出考慮作動(dòng)器出力邊界的冗余作動(dòng)器控制方法，給出作動(dòng)器系統(tǒng)能力可行域的求解方法；然后基于Simulink搭建了加載控制系統(tǒng)仿真平臺(tái)，通過(guò)預(yù)先確定的運(yùn)動(dòng)軌跡模擬了冗余控制系統(tǒng)與非冗余控制系統(tǒng)工作狀態(tài)，檢驗(yàn)了冗余作動(dòng)器的控制效果。最后對(duì)一個(gè)兩層雙向足尺結(jié)構(gòu)開(kāi)展了虛擬混合試驗(yàn)，驗(yàn)證了所提冗余控制方法的有效性，并給定了各臺(tái)作動(dòng)器最大出力參考值，可為相關(guān)人員在選擇作動(dòng)器噸位或型號(hào)時(shí)提供參考。

1 冗余作動(dòng)器的控制

雙向結(jié)構(gòu)試驗(yàn)對(duì)象假定為單層單跨空間鋼框架，樓板為正方形剛體，試件及作動(dòng)器布置方案如圖1所示?？紤]樓板平面內(nèi)的3個(gè)自由度，即兩個(gè)平動(dòng)位移和一個(gè)平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角。采用4臺(tái)作動(dòng)器實(shí)現(xiàn)這3個(gè)自由度上的位移，本試驗(yàn)的作動(dòng)器數(shù)量多于自由度數(shù)量，因此存在冗余作動(dòng)器。將4號(hào)作動(dòng)器定義為冗余作動(dòng)器，采用力控制，其余3臺(tái)作動(dòng)器則為非冗余作動(dòng)器，采用位移控制。本試驗(yàn)的加載控制點(diǎn)[18]為樓板的質(zhì)心，通過(guò)建立樓板質(zhì)心與非冗余作動(dòng)器伸長(zhǎng)量之間的關(guān)系，以及樓板質(zhì)心恢復(fù)力與冗余作動(dòng)器出力值之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)雙向試驗(yàn)。

圖1 試件及加載設(shè)備

1.1 基于平面的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

為準(zhǔn)確分析試件運(yùn)動(dòng)性能，需要采用兩套坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述：第一套坐標(biāo)系是固定于地面的整體坐標(biāo)系XgOgYg；第二套坐標(biāo)系是固定于樓板上且以質(zhì)心Ol為原點(diǎn)的局部坐標(biāo)系XlOlYl，整體坐標(biāo)軸和局部坐標(biāo)軸始終相互平行。以第i號(hào)作動(dòng)器為例，在作動(dòng)器未出力之前，作動(dòng)器與樓板連接點(diǎn)坐標(biāo)為Ai，作動(dòng)器出力之后，樓板發(fā)生平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。假定樓板先發(fā)生繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)，再發(fā)生平動(dòng)，如圖2所示。

圖2 樓板位置變換

因此，可設(shè)樓板發(fā)生繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)后，Ai變換到A′i，發(fā)生平動(dòng)后，A′i變換到A″i。設(shè)質(zhì)心位移命令記為

d=(xd,yd,θd)T

(1)

在作動(dòng)器作用之前，已知位移矢量：

則A′存在如下矢量關(guān)系

OlA′i=T·OlAi

(2)

OgA′i=OgOl+OlA′i

(3)

由式(2)和式(3)可以得到

(4)

A′iA″i=(xd,yd)T為考慮樓板平動(dòng)矢量，得到

OgA″=OgA′+A′A″

(5)

由式(4)和式(5)得到

(6)

所以作動(dòng)器的伸長(zhǎng)量可以表示為

Li=‖BiA″i‖2-‖BiAi‖2=
‖OgA″i-OgBi‖2-‖OgAi-OgBi‖2

(7)

式中：OgBi為作動(dòng)器與反力墻連接點(diǎn)位置矢量； ‖·‖2為2-范數(shù),作動(dòng)器的伸長(zhǎng)量與樓板質(zhì)心位移之間的函數(shù)關(guān)系表示為

Li=G(d)

(8)

1.2 基于平面的靜力學(xué)分析

在樓板平面內(nèi)三個(gè)自由度方向上建立恢復(fù)力與作動(dòng)器出力之間的方程。第i號(hào)作動(dòng)器出力方向的單位向量為

(9)

(10)

式中：k1=(1 0)T、k2=(0 1)T分別為整體坐標(biāo)系XgOgYg的橫軸與縱軸的單位矢量。

(11)

整理式(10)、式(11)可以簡(jiǎn)記為

fvi=Tifi

(12)

若試件的恢復(fù)力為R=(rxryrθ)T，則作動(dòng)器出力值與試件恢復(fù)力之間的關(guān)系為

(13)

式(13)可以化為矩陣形式[19]

R=AF

(14)

式中：F=[‖f1‖2‖f2‖2… ‖fn‖2]T，

式中：Mi=-e1·k1(yA″i-yol)+e1·k2(xA″i-xol)。

1.3 基于內(nèi)點(diǎn)法和拉格朗日乘子法的冗余作動(dòng)器控制方法

式(14)對(duì)應(yīng)三個(gè)自由度，但有多于三個(gè)的未知量，理論情況下具有無(wú)窮多組解，這為優(yōu)化作動(dòng)器出力提供了可能。內(nèi)點(diǎn)法[20]可以利用問(wèn)題中的約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造出新的目標(biāo)函數(shù)，把不等式約束問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)化為求解一系列無(wú)約束非線性規(guī)劃問(wèn)題。該方法求解形式是從可行區(qū)域內(nèi)部收斂到約束問(wèn)題邊界上的解。

拉格朗日乘子法是一種經(jīng)典求解條件極值的解析方法，可將所有等式約束的優(yōu)化模型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解無(wú)約束極值問(wèn)題[21]。

本文針對(duì)樓板平面內(nèi)的三自由度控制問(wèn)題，為使各臺(tái)作動(dòng)器出力值相對(duì)均勻，以各臺(tái)作動(dòng)器出力值平方和最小作為優(yōu)化目標(biāo)并考慮作動(dòng)器的最大出力，以式(15)表示；作動(dòng)器約束條件以式(14)和式(16)表示

(15)

(16)

式(14)～式(16)運(yùn)用內(nèi)點(diǎn)法和拉格朗日乘子法得到考慮約束條件的目標(biāo)控制函數(shù)為

(17)

以4臺(tái)作動(dòng)器為例，式(17)中對(duì)各變量的偏導(dǎo)數(shù)為0，即

(18)

為方便理解，將式(18)展開(kāi)為：

以上aij代表式(14)A中第i行第j列元素，Xi代表X中第i個(gè)變量，求解可以采用牛頓迭代方法，本文給出牛頓迭代格式如下

(19)

式(19)中雅可比矩陣J為

2 數(shù)值分析

2.1 作動(dòng)器能力可行域

為檢驗(yàn)考慮作動(dòng)器能力范圍的冗余作動(dòng)器控制方法，現(xiàn)以一個(gè)算例來(lái)進(jìn)行數(shù)值模擬。已知樓板尺寸為長(zhǎng)×寬=2.0 m×2.0 m，僅考慮樓板質(zhì)心處平面內(nèi)的三個(gè)自由度，設(shè)定試件在Xg、Yg方向剛度均為100 kN/mm，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為100 kNmm/rad。采用4臺(tái)液壓伺服作動(dòng)器，其初始長(zhǎng)度為1 m，最大出力均為2 000 kN，定義4號(hào)作動(dòng)器為冗余作動(dòng)器，其試驗(yàn)平面圖為圖3。

圖3 樓板平面位置及作動(dòng)器編號(hào)

采用MATLAB軟件模擬，式(17)對(duì)各變量的偏導(dǎo)數(shù)為0，對(duì)于非線性方程組(18)采用式(19)形式進(jìn)行迭代求解。

加載系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)性能由其結(jié)構(gòu)形式和作動(dòng)器參數(shù)所決定。本文將作動(dòng)器組成的加載系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的閉合曲線稱(chēng)之為作動(dòng)器能力可行域，并將其作為衡量作動(dòng)器使用和布置以及冗余控制是否合理的重要指標(biāo)。如果試驗(yàn)預(yù)加載位移在作動(dòng)器能力可行域內(nèi)，試驗(yàn)?zāi)軌蝽樌M(jìn)行；如果試驗(yàn)預(yù)加載位移在作動(dòng)器能力可行域之外，試驗(yàn)可能導(dǎo)致失敗。求解該系統(tǒng)下作動(dòng)器能力可行域時(shí)令懲罰因子為μi=0，流程圖如圖4所示，試件質(zhì)心在不同轉(zhuǎn)角θd命令下作動(dòng)器能力可行域如圖5所示。

圖4 作動(dòng)器能力可行域求解過(guò)程

圖5 樓板在不同轉(zhuǎn)角命令情況下的作動(dòng)器能力可行域

結(jié)果表明，加載設(shè)備對(duì)試驗(yàn)對(duì)象加載時(shí)存在加載極限；考慮試件轉(zhuǎn)動(dòng)情況在某些情況能夠增強(qiáng)加載系統(tǒng)在空間的作用能力，但是多數(shù)情況下試件轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)降低其作用能力。在試驗(yàn)之前相關(guān)試驗(yàn)人員可根據(jù)本節(jié)內(nèi)容驗(yàn)證加載系統(tǒng)能力，為作動(dòng)器布置形式和型號(hào)等方面提供理論依據(jù)。

2.2 冗余作動(dòng)器的控制效果

對(duì)于冗余作動(dòng)器控制方法，為與文獻(xiàn)[17]的作動(dòng)器控制方法相比較，令θd=0，此時(shí)更改懲罰因子為μi=10-2，求出兩種方法的作動(dòng)器能力可行域，如圖6所示。圖中也給出了試件質(zhì)心位移曲線，選擇Δx=0.01 mm將運(yùn)動(dòng)軌跡離散，隨著試件質(zhì)心位置變動(dòng)求解冗余作動(dòng)器出力結(jié)果。冗余作動(dòng)器的出力值與質(zhì)心位移在Xg方向的分量之間的關(guān)系如圖7所示。

圖6 樓板質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡

圖7 冗余作動(dòng)器出力結(jié)果

該試驗(yàn)結(jié)果顯示，當(dāng)位移命令使作動(dòng)器實(shí)際出力值在其作動(dòng)器能力可行域之內(nèi)時(shí)，兩種控制方法效果一致，表明該方法的可行性；當(dāng)位移命令使作動(dòng)器實(shí)際出力值接近或超過(guò)其最大能力時(shí)，本文方法不會(huì)產(chǎn)生作動(dòng)器出力命令，從而保證了加載系統(tǒng)和試驗(yàn)人員的安全。另外，因?yàn)樵谀繕?biāo)函數(shù)中引入初始控制力αi，所以本文方法可以通過(guò)調(diào)節(jié)該參數(shù)來(lái)改變作動(dòng)器能力可行域。

3 虛擬混合試驗(yàn)

3.1 基于Simulink的加載控制系統(tǒng)

為了驗(yàn)證本文提出的冗余作動(dòng)器控制方法，搭建了采用多臺(tái)作動(dòng)器的雙向試驗(yàn)加載仿真平臺(tái)如圖8所示。作動(dòng)器模型采用標(biāo)準(zhǔn)二階傳遞函數(shù)[22]

圖8 基于Simulink的加載控制系統(tǒng)

(20)

式中： 作動(dòng)器的等效阻尼比ζa取80%，等效圓頻率ωa取300 rad/s。采樣時(shí)間設(shè)定為0.001 s，對(duì)單臺(tái)作動(dòng)器通過(guò)階躍響應(yīng)調(diào)試其PI參數(shù)如圖9所示。選取KI=50，KP=0.1。

圖9顯示該作動(dòng)器具有時(shí)滯τ=0.15 s，因此以上試驗(yàn)加載控制系統(tǒng)不能很好地模擬實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)[23-24]。由于本例為對(duì)慢速混合試驗(yàn)[25]的模擬，故不需要考慮時(shí)滯問(wèn)題。為消除時(shí)滯對(duì)仿真結(jié)果的影響，本文對(duì)加載目標(biāo)進(jìn)行線性插值并給出插值個(gè)數(shù)：N≥Δτ/Δt-1。

圖9 作動(dòng)器模型的單步階躍響應(yīng)

結(jié)合MATLAB和Simulink進(jìn)行加載控制系統(tǒng)的數(shù)值仿真，設(shè)定一組簡(jiǎn)單位移命令，其中，頻率全為5 Hz，x軸平移振幅為10 mm，y軸平移振幅為20 mm，繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)振幅為0.01°，由于時(shí)滯是0.15 s，N≥14，取N=19。如式(21)所示，系統(tǒng)響應(yīng)如圖10所示。

圖10 消除時(shí)滯后的系統(tǒng)響應(yīng)

(21)

由圖10可知，選擇插值點(diǎn)個(gè)數(shù)N為19個(gè)，時(shí)滯對(duì)仿真結(jié)果帶來(lái)的誤差幾乎消除。

3.2 冗余系統(tǒng)與非冗余系統(tǒng)的比較

為設(shè)立非冗余系統(tǒng)作為對(duì)照組，將此系統(tǒng)去掉4號(hào)作動(dòng)器，其他作動(dòng)器參數(shù)保持不變，為比較冗余系統(tǒng)與非冗余系統(tǒng)的工作狀態(tài)，設(shè)定轉(zhuǎn)角為0，其運(yùn)動(dòng)參數(shù)如式(22)，各臺(tái)作動(dòng)器出力值如圖11所示。

(22)

由圖11可知，在1號(hào)作動(dòng)器出力峰值處t=0.01 s時(shí)，非冗余系統(tǒng)1號(hào)和2號(hào)作動(dòng)器在x向合力為Fx=F1+F2=-500 kN+1 500 kN=1 000 kN，冗余系統(tǒng)1號(hào)和2號(hào)作動(dòng)器在x向合力為F′x=F′1+F′2=500 kN+500 kN=1 000 kN；非冗余系統(tǒng)各臺(tái)作動(dòng)器出力最大值之和為4 000 kN，而冗余系統(tǒng)各臺(tái)作動(dòng)器出力最大值之和為3 000 kN。綜上所述，冗余系統(tǒng)不僅能夠減小作動(dòng)器之間產(chǎn)生的內(nèi)力，而且還可以充分利用小型作動(dòng)器完成大型試驗(yàn)。

圖11 冗余系統(tǒng)與非冗余系統(tǒng)響應(yīng)

3.3 基于MATLAB和OpenSees & Simulink的虛擬混合試驗(yàn)

為仿真控制系統(tǒng)對(duì)試驗(yàn)過(guò)程的效果，以在中國(guó)建筑技術(shù)中心完成的雙向混合試驗(yàn)等效結(jié)構(gòu)為試驗(yàn)對(duì)象，如圖12所示。結(jié)構(gòu)雙向跨度均為6.5 m，底層層高為3.9m，二層層高為3.5 m。每層樓板僅考慮平面內(nèi)的三個(gè)自由度，布置4臺(tái)作動(dòng)器，其中4號(hào)作動(dòng)器均為冗余作動(dòng)器，底層布置的4臺(tái)作動(dòng)器量程信息為-1 500～1 000 kN，二層布置的4臺(tái)作動(dòng)器量程信息為-3 000～2 000 kN。在OpenSees中分別建立數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型和物理子結(jié)構(gòu)模型，模型將結(jié)構(gòu)質(zhì)量集中在梁柱結(jié)點(diǎn)上，每個(gè)結(jié)點(diǎn)質(zhì)量為26 000 kg，梁柱模型采用nonlinearBeamColumn單元，鋼材采用Steel02模型，混凝土采用Concrete01模型，材料參數(shù)如表1、表2所示。截面等參數(shù)信息參見(jiàn)文獻(xiàn)[26-27]。

圖12 試件及加載設(shè)備

表1 混凝土材料信息

表2 用鋼材料信息

對(duì)結(jié)構(gòu)輸入雙向地震動(dòng)：El Centro 1940(NS)、El Centro 1940(WE)，調(diào)節(jié)地震加速度峰值：X向?yàn)?00 gal，Y向?yàn)?02.86 gal。MATLAB作為協(xié)調(diào)器，實(shí)現(xiàn)與OpenSees和Simulink實(shí)時(shí)交互，當(dāng)前步試件恢復(fù)力采用結(jié)構(gòu)上一步采集的試件恢復(fù)力。具體流程如圖13所示，位移實(shí)現(xiàn)如圖14所示，各臺(tái)作動(dòng)器力時(shí)程曲線如圖15所示。

圖13 混合試驗(yàn)流程

圖14 樓層位移命令與響應(yīng)

圖15 各臺(tái)作動(dòng)器力時(shí)程曲線

從圖13可以看出，加載控制系統(tǒng)能夠與位移命令很好地吻合在一起，表明本文提出的冗余控制方法具有很高的精度。從圖14可以看出，同層同方向上的兩臺(tái)作動(dòng)器出力幾乎相同，表明本方法可以保證作動(dòng)器出力均勻，從而充分發(fā)揮作動(dòng)器的加載能力。同時(shí)，通過(guò)各作動(dòng)器的出力時(shí)程，還可以獲得各作動(dòng)器最大出力值，從而可以為試驗(yàn)人員選擇作動(dòng)器噸位提供支持。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)雙向混合試驗(yàn)中的冗余作動(dòng)器問(wèn)題，提出了基于內(nèi)點(diǎn)法和拉格朗日乘子法的冗余作動(dòng)器控制方法和作動(dòng)器能力可行域計(jì)算方法，搭建了基于Simulink冗余加載控制仿真系統(tǒng)，并通過(guò)雙層雙向結(jié)構(gòu)的虛擬混合試驗(yàn)加以驗(yàn)證，主要結(jié)論如下：

(1) 提出了考慮作動(dòng)器出力邊界的冗余作動(dòng)器控制方法，數(shù)值模擬表明該方法可以避免作動(dòng)器出力超界，同時(shí)還能充分考慮作動(dòng)器的加載能力。

(2) 提出作動(dòng)器能力可行域的計(jì)算方法，指出作動(dòng)器能力可行域不僅與作動(dòng)器的布置位置和型號(hào)有關(guān)，還與試件恢復(fù)力和實(shí)際轉(zhuǎn)角有關(guān)。本方法可為試驗(yàn)人員在布置和選擇作動(dòng)器時(shí)提供參考。

(3) 搭建了基于Simulink的冗余加載控制仿真系統(tǒng)，分析了冗余控制系統(tǒng)和非冗余控制系統(tǒng)的工作狀態(tài)。結(jié)果表明冗余控制系統(tǒng)消除了系統(tǒng)內(nèi)力，降低了對(duì)作動(dòng)器最大出力的要求，并且減小了系統(tǒng)總出力值。

(4) 以中國(guó)建筑技術(shù)中心完成的雙層雙向混合試驗(yàn)為原型，開(kāi)展了雙向虛擬混合試驗(yàn)，結(jié)果表明所提冗余控制方法控制精度較高，還能保證各臺(tái)作動(dòng)器出力均勻，充分發(fā)揮作動(dòng)器的加載能力。