劉大偉，譚萬鑫，金 昕，任廷志

變速橢圓齒輪泵的非線性振動模型與拍擊特性

劉大偉1，譚萬鑫1，金 昕2，任廷志2

（1. 燕山大學(xué)機械工程學(xué)院，秦皇島 066004；2. 燕山大學(xué)國家冷軋板帶裝備及工藝工程技術(shù)研究中心，秦皇島 066004）

變速橢圓齒輪泵是一種具有大排量、低脈動的新型容積泵，為提升其在高轉(zhuǎn)速下的動力學(xué)性能，降低振動和噪聲，對該齒輪泵在周期負載作用下的拍擊振動行為進行研究。闡明了基于外部非圓齒輪變速驅(qū)動的橢圓齒輪泵流量脈動平抑原理，給出了變速橢圓齒輪泵中兩級非圓齒輪機構(gòu)的傳動比函數(shù)；基于集中參數(shù)法，考慮輪齒間的彈性變形、靜態(tài)傳遞誤差、齒側(cè)間隙及周期負載等因素，構(gòu)建了變速橢圓齒輪泵的非線性拍擊動力學(xué)模型，運用龍格-庫塔法求解系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，定量分析了變速橢圓齒輪泵的拍擊特性以及關(guān)鍵參數(shù)對拍擊門檻轉(zhuǎn)速的影響。結(jié)果表明：隨著變速橢圓齒輪泵輸入轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)先后經(jīng)歷無拍擊、單邊拍擊和雙邊拍擊狀態(tài)，在設(shè)計參數(shù)下系統(tǒng)的拍擊門檻轉(zhuǎn)速為985 r/min，當(dāng)拍擊發(fā)生后齒間動態(tài)嚙合力均方根會迅速增大；提高泵口壓強或系統(tǒng)制造精度能夠提升拍擊門檻轉(zhuǎn)速，泵口壓強由0增至3.5 MPa，系統(tǒng)的拍擊門檻轉(zhuǎn)速由118 r/min增至1 637 r/min，從動橢圓轉(zhuǎn)子靜態(tài)傳遞誤差幅值由7′10-2mm降低至1′10-2mm，拍擊門檻轉(zhuǎn)速由441 r/min提升至985 r/min，而增加轉(zhuǎn)子偏心率，會導(dǎo)致拍擊門檻轉(zhuǎn)速先緩慢升高后迅速降低，為抑制變速橢圓齒輪泵的拍擊振動和噪聲及提升無拍擊狀態(tài)下最大瞬時流量提供理論依據(jù)。

齒輪；齒輪泵；非線性振動；拍擊狀態(tài)；拍擊門檻

0 引 言

非圓齒輪能夠?qū)崿F(xiàn)兩軸間精確的變速比傳動，廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物移栽機械[1-3]、汽車差速器[4]、采油機[5]和人工血泵[6]等。針對農(nóng)業(yè)上的大流量流體輸送需求，徐高歡等[7]將非圓齒輪與葉片泵融合，提出了一種大排量葉片差速泵，具有良好的流體輸送性能。而利用高階橢圓齒輪替換齒輪泵轉(zhuǎn)子，可以獲得另一種大排量容積泵，針對該泵的流量脈動問題，Liu等[8]通過外部非圓齒輪變速驅(qū)動，實現(xiàn)橢圓齒輪泵流量均化，不僅其排量數(shù)倍于同泵腔容積的圓齒輪泵，而且瞬時流量均勻，在農(nóng)業(yè)、石油、化工、食品、醫(yī)療和交通等領(lǐng)域具有廣闊應(yīng)用前景。但由于非圓齒輪存在特殊內(nèi)部激勵，容易引發(fā)拍擊振動和噪聲，嚴重影響泵的使用性能，因此研究該泵的非線性動力學(xué)，揭示拍擊發(fā)生機制，是設(shè)計高品質(zhì)變速橢圓齒輪泵的關(guān)鍵問題。

國內(nèi)外眾多學(xué)者對圓齒輪拍擊動態(tài)特性進行了深入的研究，建立了綜合考慮時變嚙合剛度、阻尼比、齒側(cè)間隙、誤差等因素齒輪非線性動力學(xué)模型，深入分析了嚙合剛度[9]、阻尼[10]、傳遞誤差[11]、摩擦[12]、修形[13]以及激勵幅值[14]等對分岔、混沌等非線性特性的影響機理，為圓齒輪系統(tǒng)的設(shè)計和優(yōu)化奠定了理論基礎(chǔ)。但非圓齒輪由于瞬心時變會引起額外的內(nèi)部激勵，其振動行為相對圓齒輪更加復(fù)雜。Huang等[15-16]設(shè)計了一種由非圓齒輪控制步態(tài)的仿生六足機器人并對其進行動力學(xué)分析，使其能夠在地面快速移動和轉(zhuǎn)向；Okada等[17]針對一種含非圓齒輪的彈跳機器人進行了動力學(xué)分析，并對其彈跳性能進行了優(yōu)化；李憲奎等[18]研究了橢圓齒輪驅(qū)動連鑄機非正弦振動時的低頻共振現(xiàn)象。葉秉良等[19]提出了橢圓齒輪-不完全非圓齒輪行星系旋轉(zhuǎn)式水稻缽苗移栽機構(gòu)，并對其動力學(xué)仿真計算得出支座振動的主要因素。王麗紅等[20]中提出了一種用于番茄果秧分離的非圓齒輪振動發(fā)生器，通過傳動比設(shè)計實現(xiàn)特定振動規(guī)律。上述研究中主要關(guān)注整個機械系統(tǒng)的動力學(xué)特性，因此在動力學(xué)建模中只計入了非圓齒輪變速轉(zhuǎn)動引起的動態(tài)慣性扭矩，而忽略了輪齒的彈性變形。

針對非圓齒輪的非線性傳動比導(dǎo)致齒間彈性變形不易表征的問題，劉大偉等[21]提出了基于彈性轉(zhuǎn)角分離的非圓齒輪扭振模型，分析了時變瞬心、轉(zhuǎn)速和負載等參數(shù)對非圓齒輪動態(tài)響應(yīng)的影響，應(yīng)用該方法，Liu等[22-23]分別建立了非圓面齒輪的彎-扭-軸耦合振動模型以及兩級非圓齒輪純扭振模型，并得到振動響應(yīng)隨齒輪參數(shù)的演變規(guī)律；Gao等[24]研究了橢圓齒輪參數(shù)振動與穩(wěn)定性，但以上模型中忽略了齒側(cè)間隙，無法反映齒輪的拍擊行為以及由此產(chǎn)生的振動和噪聲。Liu等[25]引入齒側(cè)間隙，建立了一對橢圓齒輪的非線性振動模型，通過仿真得到了齒輪扭矩、轉(zhuǎn)速的振動規(guī)律以及輪齒發(fā)生分離的臨界值，進一步通過試驗方法測試了橢圓齒輪的實際扭矩、轉(zhuǎn)速[26]及噪聲[27]等特性，發(fā)現(xiàn)橢圓齒輪的非勻速旋轉(zhuǎn)將使輪齒在低速時發(fā)生輪齒分離，當(dāng)轉(zhuǎn)速超過臨界轉(zhuǎn)速時，系統(tǒng)將產(chǎn)生嚴重的拍擊和噪聲。董長斌等[28]著重分析了含間隙時橢圓齒輪的主要參數(shù)對齒輪振動性質(zhì)的影響規(guī)律。針對空間非圓齒輪，Lin等[29-30]研究了一種曲線面齒輪的非線性振動問題，揭示了不同條件下該齒輪會發(fā)生多周期、擬周期和混沌振動現(xiàn)象。上述研究表明：非圓齒輪由于時變瞬心的影響，會比圓齒輪更容易產(chǎn)生拍擊振動和噪聲，研究非圓齒輪的拍擊動力學(xué)，抑制拍擊振動，對提升含非圓齒輪的機械系統(tǒng)動態(tài)特性具有重要的意義。但目前考慮齒側(cè)間隙的非圓齒輪拍擊動力學(xué)研究，尚局限于一對齒輪副，無法解釋非圓齒輪輪系的拍擊行為。

為此，本文針對包含兩級非圓齒輪傳動機構(gòu)的變速橢圓齒輪泵，考慮輪齒彈性變形和齒側(cè)間隙，建立了周期負載下兩級非圓齒輪的拍擊振動模型，定量分析該泵的拍擊振動行為及主要參數(shù)對拍擊狀態(tài)、拍擊門檻轉(zhuǎn)速等參數(shù)的影響規(guī)律，擬為抑制變速橢圓齒輪泵的拍擊振動和噪聲提供理論依據(jù)。

1 變速橢圓齒輪泵的機構(gòu)原理

高階橢圓齒輪泵的內(nèi)部結(jié)構(gòu)與普通齒輪泵相似，區(qū)別在于轉(zhuǎn)子為一對橢圓齒輪，如圖1a所示，它通過橢圓齒輪向徑最長處的輪齒對液體進行封閉，儲液腔為圖1b中的月牙部分，故相對于相同泵腔容積和模數(shù)的圓齒輪泵，非圓齒輪泵具有大排量的優(yōu)勢。

伴隨大排量，橢圓齒輪泵會產(chǎn)生劇烈的流量脈動，橢圓齒輪轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周，瞬時流量的波動次數(shù)與橢圓齒輪階數(shù)相同。Liu等[8]提出采用非圓齒輪變速驅(qū)動流量脈動平抑原理，如圖2所示，在非圓齒輪泵外部增加一對特殊的非圓齒輪，通過改變齒輪泵的瞬時轉(zhuǎn)速消除流量脈動。

以實現(xiàn)均勻流量為目標，根據(jù)橢圓齒輪泵的瞬時流量公式，反求的外部非圓齒輪的傳動比為

式中12分別為外部主動非圓齒輪1和從動非圓齒輪2的角速度，rad/s；為橢圓齒輪泵轉(zhuǎn)子偏心率，無量綱；為橢圓齒輪泵兩轉(zhuǎn)子中心距的一半，m；為泵腔半徑，m；3為主動橢圓齒輪3的節(jié)曲線向徑，m；3為主動橢圓齒輪3的轉(zhuǎn)角，rad。外部從動非圓齒輪2與主動橢圓齒輪3固定在同一個軸上，二者的轉(zhuǎn)角相等，從公式（1）可以看出，外部非圓齒輪的傳動比是以從動非圓齒輪轉(zhuǎn)角為自變量構(gòu)建的，而泵內(nèi)部橢圓齒輪的傳動比自變量是主動橢圓齒輪轉(zhuǎn)角，其表達式為

式中34分別為主動橢圓轉(zhuǎn)子3和從動橢圓轉(zhuǎn)子4的角速度，rad/s；4為從動橢圓齒輪4節(jié)曲線向徑，m；為橢圓齒輪階數(shù)，無量綱。

根據(jù)式（1）、（2）設(shè)計的橢圓齒輪泵，可以完全平抑因橢圓形轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的低頻大幅脈動，從而實現(xiàn)橢圓齒輪泵的穩(wěn)定大流量輸送[8]。

2 變速橢圓齒輪泵傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型

2.1 力學(xué)模型

為研究泵在不同工況下的振動性能，對其傳動系統(tǒng)進行動力學(xué)建模。變速橢圓齒輪泵的傳動系統(tǒng)為兩級非圓齒輪機構(gòu)，考慮輪齒彈性及齒側(cè)間隙，基于集中參數(shù)法建立兩級非圓齒輪機構(gòu)的動力學(xué)模型，建模中做如下假設(shè)：

1）考慮非線性阻尼對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)影響較小，忽略齒側(cè)間隙對嚙合阻尼的影響，認為阻尼為線性；

2）軸的剛度遠大于齒輪嚙合剛度；

3）忽略齒輪彈性振動對傳動比的影響。

非圓齒輪簡化成集中質(zhì)量，考慮非圓齒輪靜態(tài)傳遞誤差和齒側(cè)間隙的嚙合輪齒通過圖3中靜態(tài)傳遞誤差、彈簧、阻尼和間隙元件的組合機構(gòu)表示，其中彈簧和阻尼的受力方向與輪齒嚙合力方向相同。

1.靜態(tài)傳遞誤差 2.間隙 3.直線彈簧4.直線阻尼

1.Static transfer error 2.Clearance 3.Linear spring 4.Linear damping

圖3 嚙合輪齒的等效機構(gòu)

Fig.3 Equivalent mechanism of meshing gear teeth

根據(jù)以上假設(shè)和簡化，可得到兩級含間隙非圓齒輪機構(gòu)的力學(xué)模型，如圖4所示。非圓齒輪集中質(zhì)量的輪廓線由非圓齒輪齒廓的漸屈線表示，在本文中將該漸屈線稱為非圓齒輪基圓。根據(jù)假設(shè)3），在任意時刻嚙合輪齒等效機構(gòu)都與兩非圓齒輪的基圓相切。

1.外部主動非圓齒輪 2.外部從動非圓齒輪 3.齒輪泵主動橢圓轉(zhuǎn)子 4.齒輪泵從動橢圓轉(zhuǎn)子

1.External driving noncircular gear 2.External driven noncircular gear 3.Driving elliptical rotor of gear pump 4.Driven elliptical rotor of gear pump

注：r1、r2、r3、r4分別為齒輪1、2、3、4的瞬時基圓半徑，m；k1、c1為齒輪1、2間的嚙合剛度和阻尼，N·m-1，N·(s·m-1)；k2、c2為轉(zhuǎn)子3、4間的嚙合剛度和阻尼，N·m-1，N·(s·m-1)；1、2分別為為齒輪1、2和轉(zhuǎn)子3、4齒側(cè)間隙的一半，m；1、2分別為齒輪1、2上和轉(zhuǎn)子3、4上的靜態(tài)傳遞誤差幅值，m；T為輸入轉(zhuǎn)矩，N·m；T3、T4為齒輪3、4上的負載轉(zhuǎn)矩，N·m。

Note:r1,r2,r3andr4are instantaneous base circle radii of gears 1, 2, 3 and 4 respectively, m,k1,c1are the meshing stiffness and damping between gears 1 and 2, N·m-1, N·(s·m-1),k2、c2are the meshing stiffness and damping between rotors 3 and 4, N·m-1, N·(s·m-1),1and2are half of the backlash of gears 1 and 2 and rotors 3 and 4 respectively, m,1and2are the static transfer error amplitudes on gears 1 and 2 and rotors 3 and 4 respectively, m,Tis the input torque, N·m,T3andT4are the load torque on gears 3 and 4, N·m.

圖4 兩級非圓齒輪力學(xué)模型

Fig.4 Mechanical model of two-stage noncircular gears

2.2 齒間動態(tài)嚙合力

在齒輪傳動過程中，齒輪的實際轉(zhuǎn)角由剛性轉(zhuǎn)角和彈性轉(zhuǎn)角兩部組成，其中剛性轉(zhuǎn)角為兩齒輪按照理想傳動比轉(zhuǎn)過的角度，彈性轉(zhuǎn)角為輪齒彈性變形產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角，輪齒間的相對位移和嚙合力均可由彈性轉(zhuǎn)角表示，則圖4中兩對非圓齒輪之間的相對位移為

式中θ(=1，2，3，4)為非圓齒輪的彈性轉(zhuǎn)角，rad；瞬時基圓半徑由下式求得。

式中0為刀具的齒形角，rad；r(=1，2，3，4)為非圓齒輪的瞬時節(jié)曲線向徑，m；1和2分別為非圓齒輪1、2和非圓齒輪3、4的節(jié)曲線向徑與其切線在正方向上的夾角，rad；正、負號分別代表齒輪的左、右齒廓。

考慮齒側(cè)間隙，齒輪1、2間的相對彈性位移為

同理，齒輪3、4間的相對彈性位移表示為

根據(jù)假設(shè)（1），不考慮齒側(cè)間隙對嚙合阻尼的影響，對式（3）求導(dǎo)，可得兩對非圓齒輪的相對速度為

則兩對非圓齒輪間的動態(tài)嚙合力分別為

式中12為齒輪2對齒輪1的作用力，N；34為齒輪4對齒輪3的作用力，N。

2.3 非圓齒輪剛性角加速度

在圖4中非圓齒輪1與電機相連，以角速度1勻速轉(zhuǎn)動。由于非圓齒輪變傳動比特點，非圓齒輪2、3和4均為非勻速運動，因此轉(zhuǎn)動過程必然會產(chǎn)生慣性力。根據(jù)假設(shè)2），固定在同一根傳動軸上的非圓齒輪2和3具有相同的運動規(guī)律，即剛性轉(zhuǎn)角和彈性轉(zhuǎn)角相同，則非圓齒輪2或轉(zhuǎn)子3的剛性角速度和角加速度為

式中2為從動非圓齒輪2或轉(zhuǎn)子3的剛性角速度，rad/s；2為非圓齒輪2的剛性轉(zhuǎn)角，rad；2為非圓齒輪2或3的剛性角加速度，rad/s2；非圓齒輪4的剛性角速度和角加速度為

式中4為從動橢圓齒輪4剛性角速度，rad/s；4為非圓齒輪4的剛性角加速度，rad/s2；其中2=3。

2.4 齒輪泵轉(zhuǎn)子的負載扭矩

轉(zhuǎn)子的負載扭矩包括泵口壓強作用在轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生的扭矩T和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動帶來的黏性摩擦力T,考慮到齒間和軸承的摩擦等對齒輪傳動效率的影響，取兩級非圓齒輪間傳遞效率為95%計算系統(tǒng)的負載扭矩。

式中L3、L4為轉(zhuǎn)子3、4上的負載扭矩，N·m；c3、c4為由轉(zhuǎn)子與泵體內(nèi)壁因相對轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生的粘性摩檫阻力矩，N·m；P3、P4為泵口壓強作用在轉(zhuǎn)子3、4上的負載轉(zhuǎn)矩N·m；將兩橢圓轉(zhuǎn)子簡化成直徑為中心距、厚度為齒厚的兩圓柱，代入扭轉(zhuǎn)阻尼器阻力公式得c3、c4為

式中為油液黏度，MPa·s；為轉(zhuǎn)子3、4齒寬，m；為轉(zhuǎn)子端面與泵腔間隙，m。

泵口壓強作用在轉(zhuǎn)子3、4上的負載（圖5）轉(zhuǎn)矩P3、P4為

式中為橢圓齒輪泵的出口壓強，MPa。

注：3、4為高壓液體作用在轉(zhuǎn)子3、4上的壓力，N；3、4為橢圓齒輪泵轉(zhuǎn)子與泵殼內(nèi)壁接觸點；3、4為橢圓齒輪泵主從動齒輪嚙合點；3、4分別為線段33、44中點。

Note:3and4are the pressure of high pressure liquid acting on rotor 3 and 4 respectively, N,3and4are the contact points between the rotor and the inner wall of the pump shell,3and4are meshing points of driving and driven gears of elliptical gear pump,3and4are the midpoint of33and44respectively.

圖5 橢圓齒輪泵受力分析

Fig.5 Force analysis of elliptical gear pump

2.5 運動微分方程

在圖4中非圓齒輪1以角速度為1勻速轉(zhuǎn)動，其他非圓齒輪的剛性轉(zhuǎn)角規(guī)律可由式（9）～（10）確定。根據(jù)各非圓齒輪的受力平衡，可以推導(dǎo)出兩級非圓齒輪的運動微分方程為

式中2、3、4為非圓齒輪2、3、4的轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2。

3 拍擊振動仿真結(jié)果與分析

基于兩級非圓齒輪運動微分方程，運用龍格-庫塔法數(shù)值求解系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，對系統(tǒng)的拍擊振動進行仿真分析，以揭示系統(tǒng)拍擊振動規(guī)律。引入3個參數(shù)表征系統(tǒng)的拍擊行為，其中r表示拍擊狀態(tài)，當(dāng)r取0、1、2時分別表示無拍擊、單邊拍擊和雙邊拍擊；齒間動態(tài)嚙合力均方根F表示拍擊振動強度；變速橢圓齒輪泵中任意齒輪發(fā)生拍擊時齒輪1的臨界轉(zhuǎn)速n為拍擊門檻轉(zhuǎn)速。

以圖2中變速橢圓齒輪泵為研究對象，進行拍擊動力學(xué)仿真，其主要參數(shù)如表1所示。考慮實際工程中基頻穩(wěn)態(tài)響應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)地位，出于簡化計算的目的，時變嚙合剛度和靜態(tài)傳遞誤差均為僅考慮平均分量和基頻分量的簡諧函數(shù)，并且誤差的平均分量為0。通過控制變量法，研究變速橢圓齒輪泵拍擊行為的演變規(guī)律，依次改變輸入轉(zhuǎn)速1，泵口壓強，齒輪靜態(tài)傳遞誤差12以及轉(zhuǎn)子偏心率等參數(shù)的取值，計算相應(yīng)的拍擊狀態(tài)值r，齒間動態(tài)嚙合力均方根F以及拍擊門檻轉(zhuǎn)速n等，仿真中當(dāng)泵系統(tǒng)參數(shù)中的任何一個變化時，其他參數(shù)均取表1中初始設(shè)計值[8]。

表1 變速橢圓齒輪泵的基本設(shè)計參數(shù)

3.1 轉(zhuǎn)速對拍擊行為的影響

圖6中給出了轉(zhuǎn)速1分別為500、1 500和2 500 r/min時齒輪2彈性轉(zhuǎn)角2和轉(zhuǎn)子4彈性轉(zhuǎn)角4的時域圖，從兩個圖中整體來看，隨著轉(zhuǎn)速的增加，兩對非圓齒輪的振動均加劇，并且轉(zhuǎn)子4比齒輪2的振動更劇烈。當(dāng)轉(zhuǎn)速1為500 r/min時，2和4均小于0，系統(tǒng)不發(fā)生拍擊；當(dāng)轉(zhuǎn)速1為1 500 r/min時，2為0和負值，4出現(xiàn)正值和負值，表明齒輪1、2間發(fā)生了單邊拍擊，轉(zhuǎn)子3、4間發(fā)生了雙邊拍擊。當(dāng)轉(zhuǎn)速為2 500 r/min時，2和4正負交替出現(xiàn)表明兩級非圓齒輪間均為雙邊拍擊。

進一步對彈性轉(zhuǎn)角進行傅里葉變換得到不相同轉(zhuǎn)速下彈性轉(zhuǎn)角頻譜圖，由圖7發(fā)現(xiàn)，兩對齒輪的主要頻率成分為1=21/60的時變瞬心激勵頻率、2=1Z/60的輪齒嚙合激勵頻率、兩者的倍頻以及和差型頻率。對比圖7中兩個齒輪的幅值-頻率圖發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子4中時變瞬心頻率對應(yīng)的幅值遠大于齒輪2，而兩個齒輪中嚙合頻率對應(yīng)的幅值接近，其原因為橢圓齒輪轉(zhuǎn)子3、4的偏心程度遠大于外部驅(qū)動齒輪1、2，從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)子4比齒輪2的振動程度更大，該現(xiàn)象在圖6中也可以清晰地觀察到。

注：1為時變瞬心激勵，Hz；2為輪齒嚙合激勵，Hz。

Note:1is time varying instantaneous center excitation, Hz,2is tooth meshing excitation, Hz.

圖7 齒輪2和轉(zhuǎn)子4的彈性轉(zhuǎn)角頻譜圖

Fig.7 Spectrum of elastic rotation angle for gear2 and rotor4

改變輸入轉(zhuǎn)速1，計算得到兩對齒輪的拍擊狀態(tài)如圖8a、8b所示。從整體來看，隨著轉(zhuǎn)速的升高，兩對齒輪會依次經(jīng)歷無拍擊、單邊拍擊和雙邊拍擊狀態(tài)。當(dāng)轉(zhuǎn)速1為985 r/min時，轉(zhuǎn)子3、4由無拍擊狀態(tài)變化到單邊拍擊狀態(tài)，系統(tǒng)的拍擊門檻轉(zhuǎn)速n=985 r/min。隨著轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，轉(zhuǎn)子3、4率先進入雙邊拍擊狀態(tài)，原因是轉(zhuǎn)子4的振動程度遠大于齒輪2，故在高轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子3、4相對齒輪1、2更容易誘發(fā)雙邊拍擊。

圖8c為兩對齒輪的齒間動態(tài)嚙合力F隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律，當(dāng)轉(zhuǎn)速小于985 r/min時，兩對齒輪處于無拍擊狀態(tài)，隨著轉(zhuǎn)速的提升，F緩慢地線性增加，而當(dāng)轉(zhuǎn)速大于985 r/min后，齒輪發(fā)生拍擊振動，F整體上隨轉(zhuǎn)速提高而快速上升，說明拍擊會引起齒間動態(tài)嚙合力大幅增加。另外由于拍擊行為的復(fù)雜性，F在局部還會出現(xiàn)小的振動。

3.2 系統(tǒng)參數(shù)對拍擊門檻轉(zhuǎn)速的影響

進一步計算泵口壓強，齒輪靜態(tài)傳遞誤差1、2以及轉(zhuǎn)子偏心率不同時，泵的拍擊狀態(tài)參數(shù)r，以及齒間動態(tài)嚙合力均方根F，發(fā)現(xiàn)隨著1、2和的增加以及的減小，泵中兩對齒輪都會依次發(fā)生無沖擊、單邊沖擊和雙邊沖擊3種振動行為，在無沖擊時，兩對齒輪上F隨1、2、或的增長而緩慢地線性增加，而一旦出現(xiàn)拍擊，F將快速增加，從而引起系統(tǒng)產(chǎn)生強烈的振動和噪聲。為了抑制拍擊的發(fā)生，分別求出了拍擊門檻轉(zhuǎn)速n隨系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律，如圖9、10所示。

圖9a為不同泵口壓強下系統(tǒng)的拍擊門檻轉(zhuǎn)速，隨著泵口壓強增大，拍擊門檻轉(zhuǎn)速n提升，泵口壓強由0增至3.5 MPa，系統(tǒng)的拍擊門檻轉(zhuǎn)速由118 r/min增至1 637 r/min，這與圓齒輪拍擊門檻轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律相同，負載增加能有效抑制輪齒的分離，降低拍擊振動的發(fā)生。但對于變速橢圓齒輪泵來說，齒輪2和轉(zhuǎn)子4的非勻速轉(zhuǎn)動將產(chǎn)生周期性慣性扭矩，當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到一定程度后，兩齒輪上負載扭矩與慣性扭矩之和必然會出現(xiàn)正、負交替現(xiàn)象，從而引起拍擊，因此對變速橢圓齒輪泵，即便泵口具有較大壓強，也應(yīng)計算相應(yīng)的拍擊門檻轉(zhuǎn)速，以防止拍擊振動發(fā)生。

分別改變齒輪1、2間靜態(tài)傳遞誤差1和轉(zhuǎn)子3、4間靜態(tài)傳遞誤差2，得到系統(tǒng)拍擊門檻轉(zhuǎn)速n如圖9b所示。隨著1和2增大，拍擊門檻轉(zhuǎn)速n均呈下降趨勢，當(dāng)轉(zhuǎn)子4靜態(tài)傳遞誤差幅值由1′10-2mm升高至7′10-2mm時，拍擊門檻轉(zhuǎn)速由985 r/min降低至441 r/min，故加工精度降低容易誘發(fā)拍擊現(xiàn)象。相對外部非圓齒輪1和2來說，內(nèi)部轉(zhuǎn)子3和4的靜態(tài)傳遞誤差對n影響更大，為提高拍擊門檻轉(zhuǎn)速，內(nèi)部轉(zhuǎn)子3、4的精度應(yīng)比外部非圓齒輪1、2更高。

轉(zhuǎn)子偏心率越大變速橢圓齒輪泵排量越大，泵腔容積的利用率越高。圖10a給出了偏心率∈[0.05，0.6]時拍擊門檻轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律。當(dāng)偏心率從0.05增大到0.15時，拍擊門檻轉(zhuǎn)速n出現(xiàn)小幅上升趨勢，隨著偏心率繼續(xù)增大，拍擊門檻轉(zhuǎn)速n大幅下降。

為解釋以上現(xiàn)象，求出了在系統(tǒng)參數(shù)下1為600 r/min時系統(tǒng)的齒間嚙合力隨的變化曲線，如圖10b所示，當(dāng)偏心率從0.05增大到0.15時，兩齒輪間的平均嚙合力與嚙合力峰間值均程上升趨勢，峰間值雖然上升速度快，但幅值不大，齒間整體嚙合力隨增大而緩慢增大，從而對拍擊產(chǎn)生一定的抑制作用，使n小幅上升；隨著繼續(xù)增大，平均嚙合力緩慢增長，而嚙合力峰間值依然快速增長，導(dǎo)致振動加劇，齒輪容易脫齒，相應(yīng)n大幅下降。故增大偏心率雖然能提升變速橢圓齒輪泵排量，但其轉(zhuǎn)速受拍擊振動限制，實際工作中的有效流量并不一定得到提升，因此偏心率的設(shè)計必須同時兼顧泵的排量和臨界轉(zhuǎn)速。

4 樣機振動測試與分析

根據(jù)表1參數(shù)設(shè)計的變速橢圓齒輪泵試驗裝置如圖11所示，由橢圓齒輪泵、變速非圓齒輪和變頻電機組成。橢圓齒輪轉(zhuǎn)子3、4通過軸承安裝在泵體內(nèi)部，故轉(zhuǎn)子3、4的扭振將通過軸承座傳遞到泵體上，將兩個加速度傳感器分別布置在泵體側(cè)面和上面，使兩個加速度傳感器軸線相互垂直且垂直于轉(zhuǎn)子3、4軸線。泵的出油口置于空氣中，設(shè)置采樣頻率為1 000 Hz,調(diào)節(jié)輸入轉(zhuǎn)速得到系統(tǒng)不同流量下的振動數(shù)據(jù)。

將采集到的數(shù)據(jù)降噪濾波后進行傅里葉變換，得到泵體加速度的幅值-頻域曲線。由于理論計算得到的是齒輪扭振響應(yīng)，試驗測得的是泵體振動數(shù)據(jù)，二者在振動幅值上無法對應(yīng)，因此對振動頻率成分進行對比。圖12a給出了電機轉(zhuǎn)速為130 r/min時泵體加速度頻譜圖，測得系統(tǒng)主要含8、48.2和100 Hz的頻率成分。繼續(xù)調(diào)節(jié)電機轉(zhuǎn)速得到輸入轉(zhuǎn)速1=300 r/min時系統(tǒng)得頻譜圖如圖12b所示，對比圖12a發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)速后系統(tǒng)所受激勵組成基本不變，激勵幅值增大，與圖7理論計算的變化趨勢相符。圖13為輸入轉(zhuǎn)速1=130 r/min理論計算所得頻域圖，其中時變瞬心激勵頻率1=4.33 Hz、輪齒嚙合激勵頻率2=47.67 Hz，對比輸入轉(zhuǎn)速1=130 r/min時系統(tǒng)理論計算頻譜和試驗所得頻譜，發(fā)現(xiàn)試驗所得泵體加速度激勵組成與理論計算基本吻合，但試驗所得頻譜只有時變瞬心激勵二倍頻，無其基頻。

出現(xiàn)上述偏差的原因為：1）理論計算為單個轉(zhuǎn)子的彈性轉(zhuǎn)角加速度動態(tài)特性，而實驗所測為兩轉(zhuǎn)子扭振傳遞到泵體上疊加后的振動特性；2）時變瞬心激勵周期較輪齒嚙合激勵周期更長，其加速度幅值較小，更易受到振動噪聲的干擾；3）齒輪的振動經(jīng)過軸承座傳遞到泵體上衰減較大，測量存在誤差，故實驗值與理論值具有一定的偏差。

本文所研究的變速橢圓齒輪泵，具有大排量、低脈動的突出優(yōu)勢，可用于農(nóng)業(yè)灌溉、液態(tài)肥料輸送，農(nóng)機燃油供給以及植保等場合。

5 結(jié) 論

1）變速橢圓齒輪泵中，泵內(nèi)轉(zhuǎn)子的振動比外部非圓齒輪的振動更大，且兩級非圓齒輪的振動中都包含時變瞬心激勵頻率、輪齒嚙合激勵頻率以及二者的倍頻與差、和頻率成分。

2）隨著輸入轉(zhuǎn)速的增大，兩級非圓齒輪會依次經(jīng)歷無拍擊、單邊拍擊和雙邊拍擊狀態(tài)，當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速低于985 r/min時，系統(tǒng)處于無拍擊狀態(tài)，齒間動態(tài)嚙合力呈線性緩慢增加，一旦出現(xiàn)拍擊，齒間動態(tài)嚙合力將迅速增大。

3）提高泵口壓強或齒輪的制造精度，能提升變速橢圓齒輪泵的拍擊門檻轉(zhuǎn)速，泵口壓強由0增至3.5 MPa，系統(tǒng)的拍擊門檻轉(zhuǎn)速由118 r/min增至1 637 r/min。將轉(zhuǎn)子4靜態(tài)傳遞誤差幅值由7′10-2mm降低至1′10-2mm，拍擊門檻轉(zhuǎn)速由441 r/min提升至985 r/min，而在兩對非圓齒輪中，提高泵內(nèi)轉(zhuǎn)子的精度對拍擊的抑制更為顯著。

隨著轉(zhuǎn)子偏心率增大，拍擊門檻轉(zhuǎn)速會先緩慢上升然后快速降低，拍擊門檻最大值出現(xiàn)在偏心率為0.15附近，增大偏心率雖然可以增大泵的排量，但由于拍擊門檻轉(zhuǎn)速的下降，泵的流量不一定能得到提升。

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Nonlinear vibration model and rattling characteristics of elliptical gear pump with timing-varying input speed

Liu Dawei1, Tan Wanxin1, Jin Xin2, Ren Tingzhi2

(1.,,066004,; 2.,,066004,)

A pair of outer noncircular gear has widely been used to prevent severe flow pulsation in a variable-speed elliptic gear pump. The displacement is normally several times that of the circular gear pump with the same pump cavity volume, while the instantaneous flow rate is uniform. The structure can be expected to broadly apply in agriculture, petroleum, chemical industry, food, medical treatment, and transportation. However, the beating vibration and noise that occurred easily can be detrimental to the performance of a pump, because of the special internal excitation of non-circular gear. Therefore, it is necessary to explore the nonlinear dynamics of the pump, and thereby reveal the mechanism of a rattle for better design of a high-quality elliptical gear pump with variable speed. In this study, a transmission ratio function of a two-stage non-circular gear mechanism was constructed in a variable-speed elliptical gear pump using the flow pulsation suppression of an elliptic gear pump driven by external non-circular gear. A nonlinear rattle vibration model was established in a variable-speed elliptical gear pump using the separation of elastic rotating angle considering the elastic deformation of the teeth, the static transmission error, the backlash between teeth, and the periodic load. A Runge-Kutta method was utilized to calculate the dynamic responses for the vibration curve, excitation composition, and amplitude at different rotate speeds. A systematic analysis was made on the evolution in the rattle state and system intensity, as well as the influences of pump port pressure, transmission error, and eccentricity on the rattle threshold rotation speed. The results showed that the vibration of the internal rotor was greater than that of external non-circular gear in a variable-speed elliptical gear pump. Moreover, the vibration of two-stage non-circular gears contained the time-varying instantaneous center excitation frequency, the tooth meshing excitation frequency, the multiplication, difference, and sum of these frequencies. The two-stage non-circular gears successively experienced the states of no impact, unilateral impact and bilateral impact with the increase of input rotation speed. Compared with the outer noncircular gears 1 and 2, the internal rotors 3 and 4 vibrated more violently, and entered the rattle state earlier. The dynamic meshing force rose linearly and slowly, when there was no rattle. Once the rattle occurred, the dynamic meshing force rose rapidly. Improving the pump port pressure or the manufacturing accuracy of gears can improve the rattle threshold rotation speed of a variable-speed elliptical gear pump. Among the two pairs of non-circular gears, the internal rotors 3 and 4 had a greater influence on the rattle threshold rotation speed. The rattle threshold rotation speed increased slowly and then decreased rapidly, as the rotor eccentricity advanced. Therefore, the flow rate of a pump cannot be improved, although the eccentricity can contribute to the pump displacement, due mainly to the reduction of rattle threshold rotation speed.

gear; gear pump; non-linear vibration; rattling state; rattling threshold

2020-12-08

2021-03-13

國家自然科學(xué)基金資助項目（51705444）

劉大偉，博士，副教授，研究方向為非圓齒輪設(shè)計制造與創(chuàng)新應(yīng)用，脊柱機構(gòu)與仿生機器人。Email：liudw@ysu.edu.cn

10.11975/j.issn.1002-6819.2021.07.003

TH132

A

1002-6819(2021)-07-0015-09

劉大偉，譚萬鑫，金昕，等. 變速橢圓齒輪泵的非線性振動模型與拍擊特性[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報，2021，37(7)：15-23. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2021.07.003 http://www.tcsae.org

Liu Dawei1, Tan Wanxin, Jin Xin, et al. Nonlinear vibration model and rattling characteristics of elliptical gear pump with timing-varying input speed[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2021, 37(7): 15-23. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2021.07.003 http://www.tcsae.org