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        四足機(jī)器人跳躍控制規(guī)劃及仿真分析*

        2021-06-29 10:57:46任坤照田春霖
        科技創(chuàng)新與應(yīng)用 2021年17期
        關(guān)鍵詞:規(guī)劃

        任坤照,田春霖,陳 帥,鄭 達(dá),劉 巖

        (1.西安交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院,陜西 西安710000;2.西安交通大學(xué) 電信學(xué)部,陜西 西安710000;3.西安交通大學(xué) 機(jī)械學(xué)院,陜西 西安710000)

        由于四足仿生機(jī)器人具有高機(jī)動(dòng)性,負(fù)載和適應(yīng)能力強(qiáng),可運(yùn)用于物資運(yùn)輸、搶險(xiǎn)救援等方面,因而具有廣闊的應(yīng)用前景。

        四足機(jī)器人的性能主要取決于對復(fù)雜環(huán)境的適應(yīng)能力,實(shí)現(xiàn)不同步態(tài)的規(guī)劃最為關(guān)鍵。目前,國內(nèi)外對四足機(jī)器人的Walk(慢步)、Trot(快步)等一般步態(tài)的研究都較為成熟,如Hiroshi Kimura等提出了基于各種復(fù)雜環(huán)境下的Walk步態(tài)的閉環(huán)控制系統(tǒng)[1],李川等基于足端軌跡及CPG(Central Pattern Generators)網(wǎng)絡(luò)對兩種步態(tài)展開了研究[2-3]。但對于四足機(jī)器人的跳躍步態(tài)的研究較少,跳躍規(guī)劃的理論仍需完善,在機(jī)械結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)過程中姿態(tài)調(diào)整也有待進(jìn)一步改進(jìn),對其運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)的研究成為熱點(diǎn)。在實(shí)際場景中,跳躍步態(tài)可以跨越障礙物,適應(yīng)各種復(fù)雜地表,應(yīng)用廣泛,極大增強(qiáng)了四足機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)性能。

        本文著重對四足機(jī)器人的跳躍步態(tài)進(jìn)行控制規(guī)劃并通過搭建仿真平臺進(jìn)行驗(yàn)證。根據(jù)足端是否觸地分階段采取利用幾何解析法進(jìn)行軌跡規(guī)劃。利用D-H法建立機(jī)身質(zhì)心與各關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系,并基于正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)對跳躍步態(tài)進(jìn)行分析,求解出各階段關(guān)節(jié)角度函數(shù)。同時(shí),根據(jù)Lagrange法以及D'Alembert's原理對跳躍過程進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,得到關(guān)節(jié)電機(jī)的力矩驅(qū)動(dòng)函數(shù)。

        通過SolidWork軟件建立了全肘式四足機(jī)器人的結(jié)構(gòu)模型,使用ADAMS和MATLAB軟件對物理樣機(jī)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)聯(lián)動(dòng)仿真,驗(yàn)證了跳躍控制規(guī)劃的有效性。

        1 跳躍運(yùn)動(dòng)建模

        四足機(jī)器人的設(shè)計(jì)模型如圖1所示。在跳躍過程中,只研究正中面上的運(yùn)動(dòng)特征,對冠狀面不做考慮。同時(shí),由于在跳躍過程中前(后)兩腿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同,因此,可把四足機(jī)器人視為一維平面的多剛體系統(tǒng)。根據(jù)足底是否觸地,將跳躍過程分為起跳相、騰空相和著地相。在足端騰空時(shí)機(jī)器人與地面不存在約束限制,即機(jī)身不受外部作用力與力矩。

        圖1 四足機(jī)器人設(shè)計(jì)模型

        1.1 D-H坐標(biāo)系建立

        如圖2所示,根據(jù)D-H()法對四足機(jī)器人建立坐標(biāo)系。據(jù)此進(jìn)行各坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,對跳躍過程進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。

        圖2 四足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系坐標(biāo)圖

        在軀體的幾何正中心建立身體坐標(biāo)系{Ob},前進(jìn)方向?yàn)閤軸的正方向,豎直向上為z軸的正方向。以順時(shí)針方向?qū)λ臈l腿分別編號為1,2,3,4。在每條腿的髖關(guān)節(jié)建立坐標(biāo)系{Oih}(i=1,2,3,4),{Oih}的x軸正向?yàn)樨Q直向下方向,z軸正向?yàn)榍斑M(jìn)方向。同理,對膝關(guān)節(jié)建立坐標(biāo)系{Oik},以足端為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系{Oit}。由此可得身體坐標(biāo)系到髖關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣N如式(1)。以左前腿為例,設(shè)足端運(yùn)動(dòng)軌跡在身體坐標(biāo)系下的函數(shù)為z=f(x,y)。由足端在身體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)P知足端在髖關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)P0。由此可以逆解出大小腿電機(jī)旋轉(zhuǎn)角度。

        式中,disx為前兩腿髖關(guān)節(jié)間距;disy為同側(cè)兩腿髖關(guān)節(jié)間距。

        1.2 跳躍軌跡規(guī)劃

        1.2.1 起跳階段軌跡規(guī)劃

        起跳階段需保證足端與接觸地面有足夠的摩擦力,即在跳躍過程未發(fā)生相對滑動(dòng),同時(shí)髖關(guān)節(jié)相對于足底坐標(biāo)應(yīng)該滿足以下條件:

        (1)初始機(jī)身高度為y0,水平位移為0m離地前機(jī)身高度為y1,水平位移x1;

        (2)初速度為0m/s,離地前速度為v1;

        (3)初加速度為0m/s2,離地前,豎直加速度為-g,水平加速度為ax1。

        在起跳階段,足底在大地坐標(biāo)系下位置固定,故以足底為參考,規(guī)劃機(jī)器人質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程。由于在起跳階段,四腿同時(shí)起跳,動(dòng)作一致,可只考慮單腿的運(yùn)動(dòng)。如圖3所示,設(shè)機(jī)身質(zhì)心在起跳階段,水平加速度ax(t)=k1t,豎直加速度ay(t)=k2t(k1、k2為常系數(shù)),則水平位移為,豎直位移為

        圖3 跳躍階段單腿示意圖

        由于髖關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡與質(zhì)心同步,設(shè)足端為原點(diǎn)O,髖關(guān)節(jié)的坐標(biāo)為B(PX,PY),建立如圖4所示坐標(biāo)系。

        圖4 起跳階段腿部關(guān)節(jié)坐標(biāo)系

        起跳階段D-H參數(shù)見表1。

        表1 起跳階段D-H參數(shù)

        髖關(guān)節(jié)在基坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換矩陣:

        利用幾何解析法對起跳階段做逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,由此得到關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度函數(shù):

        1.2.2 騰空階段軌跡規(guī)劃

        足端離地后,機(jī)器人處于僅受重力作用的騰空狀態(tài)。在騰空階段機(jī)器人機(jī)身做類平拋運(yùn)動(dòng),即機(jī)身在豎直方向由于以-g為加速度的勻變速運(yùn)動(dòng)。同時(shí),在起跳離地時(shí)刻與著地時(shí)刻,足端與地面接觸且速度均為0。在騰空階段,在跳躍過程中足端有伸縮。

        對于質(zhì)心而言,跳躍階段機(jī)身質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡為:

        式中,νx1為起跳結(jié)束時(shí)刻水平速度;νy1為豎直速度。如圖5,以髖關(guān)節(jié)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系:

        圖5 騰空階段腿部關(guān)節(jié)坐標(biāo)系

        足端在基坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換:

        得到跳躍過程中的角度驅(qū)動(dòng)函數(shù):

        跳躍機(jī)器人有一定的越障能力,欲得到跳躍跨越的最大障礙物高度極限H。用sin函數(shù)曲線以及二階多項(xiàng)式擬合足端軌跡,規(guī)劃足端軌跡:

        1.2.3 著地階段軌跡規(guī)劃

        足端著地后,此時(shí)地面有足夠的摩擦力,即無相對滑動(dòng)。在電機(jī)力矩驅(qū)動(dòng)下產(chǎn)生與機(jī)身慣性相反的作用力,使得機(jī)器人的速度減小直至為0m/s。著地階段可視為起跳階段的逆過程。同樣,此時(shí)足端固定,如圖6,建立坐標(biāo)系。著地階段質(zhì)心的位移曲線為

        圖6 著地階段腿部關(guān)節(jié)坐標(biāo)系

        2 動(dòng)力學(xué)建模

        四足機(jī)器人關(guān)節(jié)數(shù)較多,整個(gè)系統(tǒng)有多個(gè)輸入輸出,力學(xué)關(guān)系較為復(fù)雜。本文采用Lagrange法以及D'Alembert's原理對其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,根據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃,求解跳躍過程中各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩,進(jìn)而得到電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力函數(shù)。

        力矩控制的靈敏度更高,控制方式以及動(dòng)態(tài)性能更好。如圖7所示,建立跳躍過程中的受力分析圖:

        圖7 四足機(jī)器人單腿的受力分析

        單腿物理參數(shù)見表2。

        表2 單腿物理參數(shù)

        設(shè)定整個(gè)機(jī)器人的機(jī)械結(jié)構(gòu)均為剛性,不發(fā)生柔性變形,同時(shí)忽略關(guān)節(jié)間的相對摩擦以及物理樣機(jī)裝備過程的誤差。由于起跳階段動(dòng)力較為簡單,此處僅討論騰空與著地階段的動(dòng)力學(xué)分析。與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析類似,建立如圖7坐標(biāo)系。

        式中,P1為大腿質(zhì)心到髖關(guān)節(jié)距離;P2為小腿質(zhì)心到膝關(guān)節(jié)距離(X1,Y1)為大腿質(zhì)心坐標(biāo);(X2,Y2)為小腿質(zhì)心坐標(biāo)。此時(shí)動(dòng)能Ek,勢能Ep為:

        得到Lagrange函數(shù):

        式中,M1為髖關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩;M2為肘關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩。

        著地后,由于機(jī)身具有慣性,此時(shí)需要反方向的作用力,設(shè)此時(shí)足端與地面無相對滑動(dòng),地面給機(jī)器人的靜摩擦力。根據(jù)D'Alembert's原理,對單腿力矩平衡分析得到:

        如圖8,對整體進(jìn)行受力分析,由于跳躍過程中軀干是平動(dòng),質(zhì)心處力矩為0,根據(jù)受力平衡與力矩平衡,得到式(9)的力學(xué)方程。

        圖8 四足機(jī)器人整體的受力分析

        式中,F(xiàn)xi、Fyi為第i條腿足端的水平與豎直方向的力,F(xiàn)x Fy為質(zhì)心受到的水平與豎直方向的力,LQ為質(zhì)心到髖關(guān)節(jié)的水平距離。

        根據(jù)軌跡規(guī)劃可知大腿、小腿角加速度在開始準(zhǔn)備跳躍的一瞬間發(fā)生突變,同時(shí)在離地和著地的瞬間有微小突變,由此引發(fā)力矩的突變。

        在力矩控制中,可對這兩次的突變進(jìn)行一個(gè)平滑的曲線過渡,可有效減小四足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中受到的沖擊力。

        Fx1作為可變參數(shù),結(jié)合前面驅(qū)動(dòng)力矩公式得到相應(yīng)驅(qū)動(dòng)函數(shù),利用MATLAB求解出如圖9髖、膝關(guān)節(jié)力矩變化。由力矩圖觀察可得Fx1取時(shí),即取Fx1=Fx4分析得到的力矩為最優(yōu)解。

        圖9 髖、膝關(guān)節(jié)力矩變化曲線圖

        3 仿真研究

        利用SolidWorks建立機(jī)器人得機(jī)械模型,并基于MATLAB中的Simulink模塊搭建四足機(jī)器人系統(tǒng),聯(lián)合ADAMS進(jìn)行模擬實(shí)際跳躍過程。

        3.1 物理樣機(jī)跳躍軌跡規(guī)劃

        根據(jù)上述的軌跡規(guī)劃,對物理樣機(jī)探究其跳躍階段的最大限度。根據(jù)樣機(jī)參數(shù)(如表3所示),跳躍時(shí)取每條腿的輸出扭矩為T=18N·m,則跳躍時(shí)對地面的作用力為

        表3 物理樣機(jī)參數(shù)

        設(shè)初始時(shí),小腿與地面夾角為φ,大小腿夾角(外角)為ω,則根據(jù)規(guī)劃的軌跡,加速度a在起跳過程中與時(shí)間t成線性關(guān)系,則有k1=

        為了使同一腿上兩個(gè)電機(jī)在起跳過程中都能以最優(yōu)效率輸出,應(yīng)使髖關(guān)節(jié)即身體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡和足端接觸點(diǎn)與髖關(guān)節(jié)中心的角度α盡量小,故需要對起跳的姿態(tài)進(jìn)行調(diào)整,而起跳的姿態(tài)主要由小腿與地面夾角φ以及大小腿夾角ω決定,通過MATLAB對φ∈(40°,70°),ω∈(130°,160°)進(jìn)行迭代分析。得到:φ越大,α越小,在ω=158°時(shí)α有最小值??紤]機(jī)械結(jié)構(gòu)的限制,取ω=148°。

        由于φ與起跳階段加速度及時(shí)間都有關(guān),進(jìn)而影響到跳躍的高度以及距離,為求得最優(yōu)的高度與距離,通過非線性規(guī)劃來得到φ的值。建立非線性規(guī)劃問題:

        式中,(px,py)為開始起跳時(shí)髖關(guān)節(jié)較足端與地面接觸點(diǎn)的相對位置;(PX,PY)為起跳階段結(jié)束時(shí)髖關(guān)節(jié)相對于足端接觸點(diǎn)的位置;H、X分別為跳躍的高度和距離。

        利用MATLAB得到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)時(shí),此時(shí)a=25.7°,t=0.384s。得到機(jī)身質(zhì)心軌跡隨時(shí)間變化的函數(shù):

        根據(jù)得到的質(zhì)心與足端的運(yùn)動(dòng)軌跡函數(shù),得到如圖10的一個(gè)跳躍周期膝、髖關(guān)節(jié)角度變化曲線。

        由圖10可以分析得到,在起跳階段,機(jī)體的前伸主要靠膝關(guān)節(jié)擺動(dòng),因此膝關(guān)節(jié)角度以較大幅度增加,而髖關(guān)節(jié)角度逐漸減小;在騰空期前期,膝關(guān)節(jié)的擺動(dòng)對機(jī)體的豎直運(yùn)動(dòng)起主要作用;在跨越期間,髖關(guān)節(jié)角度變化較快,膝關(guān)節(jié)先收縮再伸展;著地后,恢復(fù)初始角度。

        圖10 膝、髖關(guān)節(jié)角位移變化曲線圖

        3.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

        通過前文規(guī)劃的四足機(jī)器人在跳躍過程中的機(jī)身質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡以及足端運(yùn)動(dòng)軌跡,通過正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,得到每條腿關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角方程,仿真過程如圖11所示。

        圖11 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角函數(shù)的運(yùn)動(dòng)分解圖

        為驗(yàn)證規(guī)劃曲線的合理性與魯棒性,借助ADAMS得到機(jī)身質(zhì)心在水平與豎直方向位移與速度的變化圖,如圖12所示。

        在整個(gè)跳躍周期內(nèi),通過圖12可以看出整個(gè)機(jī)身在水平方向的跳躍軌跡與之前規(guī)劃的運(yùn)動(dòng)軌跡基本一致,在某些節(jié)點(diǎn)處,如起跳著時(shí)的速度變化有較大起伏,最大偏差約為0.5m/s,但由于偏差時(shí)間較小,對整體運(yùn)動(dòng)軌跡影響較小。

        圖12 中質(zhì)心水平方向偏移表明整個(gè)跳躍過程中機(jī)身較為穩(wěn)定,但在著地的瞬間豎直方向質(zhì)心會(huì)有0.005m的偏差,主要原因是在騰空階段對身體角度的調(diào)整不夠,使得下落時(shí)后腳先著地從而引起較小的偏差,可以通過加大騰空階段的下落過程中小腿擺動(dòng)角加速度,使身體下落時(shí)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)角度向下,機(jī)身更加平穩(wěn)著地。

        圖12 跳躍過程各參數(shù)變化圖

        3.3 動(dòng)力學(xué)仿真

        整個(gè)機(jī)器人為鋼體結(jié)構(gòu),與地面接觸碰撞過程較為復(fù)雜,同時(shí)為驗(yàn)證規(guī)劃的運(yùn)動(dòng)軌跡的正確性與合理性,故將前文得到的力矩驅(qū)動(dòng)函數(shù)施加在ADAMS中對機(jī)器人模型的各腿的髖關(guān)節(jié)與肘關(guān)節(jié),進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。跳躍過程,四足機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)分解姿態(tài)如圖13。從圖13中可以看出,機(jī)身質(zhì)心與足端的運(yùn)動(dòng)軌跡與規(guī)劃的曲線基本一致。起跳階段,獲得向上以及向前的驅(qū)動(dòng)力矩,肘關(guān)節(jié)變化較大,在起跳過程中起主要作用。騰空階段,腿部有收縮,同時(shí)機(jī)身做類平拋運(yùn)動(dòng)。在著地階段,機(jī)身減速,重心降低。

        圖13 關(guān)節(jié)力矩函數(shù)的運(yùn)動(dòng)分解圖

        水平與豎直方向的位移與速度的變化趨勢如圖14所示。在離地和著地的瞬間大小腿角加速度有微小突變,由此引發(fā)力矩的突變??蓪@兩次的突變進(jìn)行一個(gè)平滑的曲線過渡,減小四足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中受到的沖擊力。仿真結(jié)果與理論值基本一致,驗(yàn)證了前文規(guī)劃曲線以及力矩驅(qū)動(dòng)函數(shù)的正確性。

        圖14 跨高欄全過程控制效果圖

        4 結(jié)束語

        根據(jù)四足動(dòng)物跳躍運(yùn)動(dòng)特性,本文將跳躍過程分為起跳、騰空和著地三個(gè)階段分別進(jìn)行運(yùn)動(dòng)曲線的規(guī)劃。通過正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析得到了關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角控制函數(shù),并基于Lagrange法以及D'Alembert's原理進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析推導(dǎo)出力矩驅(qū)動(dòng)控制函數(shù)。利用SolidWorks建立物理樣機(jī)模型,利用ADAMS聯(lián)合MATLAB搭建仿真平臺。進(jìn)行了物理樣機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)仿真,將仿真結(jié)果與理論值進(jìn)行比較,從而驗(yàn)證了跳躍運(yùn)動(dòng)規(guī)劃曲線的可行性與正確性,以及角度控制、力矩控制的準(zhǔn)確性與魯棒性,為后續(xù)四足機(jī)器人或其他跳躍型機(jī)器人控制規(guī)劃以及仿真實(shí)驗(yàn)的研究提供了基礎(chǔ)。

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